中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式

中考数学总复习专题基础学问回顾二代数式

一、单元学问网络:

列代数式

求代数式的值代

数

式

代数式整式的

混

有理式合

分式因式分解运

算

」无理式二次根式

二、考试目标要求：

L代数式

①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；

②能分析简洁问题的数量关系，并用代数式表示；

③能说明一些简洁代数式的实际背景或几何意义；

④会求代数式的值；能依据特定的问题查阅资料，找到所须要的公式，并会代入

详细的值进行计算.

2.整式与分式

①了解整数指数幕的意义和基本性质；

②了解整式的概念，会进行简洁的整式加、减运算；会进行简洁的整式乘法运算（其

中的多项式相乘仅

指一次式相乘）；

③会推导乘法公式：=+吃了解公式的几何背

景，并能

进行简洁计算；

④会用提公因式法、公式法（干脆用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整

数)；

⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简洁的分式

加、减、乘、除运算.

3.二次根式

了解二次根式的概念和其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简

洁四则运算(不要求分母有理化).

三、学问考点梳理

1.代数式

(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式.单个

的数字或字母也可

以看作代数式.

(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.

(3)用数值代替代数式里的字母，依据代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代

数式的值.

2,整式

⑴单项式：

数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特别形式，它

的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算.在含有除法运算时，除数(分

母)只能是一个详细的数，可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，全部字母的指数的

和叫做这个单项式的次数.

⑵多项式：

几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成

的.其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最

高项的次数，叫做这个多项式的次数.

⑶整式：单项式和多项式统称整式.

⑷同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项.

⑸整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数

是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.

假如括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；假

如括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，假如有括号就先去括号，然后

再合并同类项.

⑹整式的乘除：①箱的运算性质：

（瓜诲是正整数）；

（浊谛B是正整数），

（ab）9=°”从（〃是正整数刀

a**a*=a*-*（a*0,初谛B是正整数,且州>"）］

/=】（awO）；

a*p是正整数）.

af

②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项

式里含有的字母，则

连同它的指数作为积的一个因式.

③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，

再把所得的积相加.用

才工主二十.冽（a+b+c）=ma+/+mc

④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分

别乘以另一个多项式

的每一项，再把所得的积相加.用式子表达：(。+蚁用+冷=的+•+加+弧・

平方差公式：S+b)(a-b)=『-户

(o+b)2=a2+2必+%

完全平方公式：(时»"2-9+利

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，假如括号前面是正

号，括到括号里的各

项都不变符号；假如括号前面是负号，括到括号里的各项都变更符号.

⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数痔分别相除作为商的因式，对于

只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,

再把所得的商相加.a2+2批+〃=3+杨）

『-=(a+b)(a-4)

<?一匕0+y=3—小尸.

⑺因式分解：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式

分解.

因式分解的两种基本方法：

①提公因式法："町+M+w=m(a+b+C

②运用公式法：

平方差公式：完全平方公式：

3.分式

A

⑴分式的意义：一般地，假如A、B表示两个整式，并且口中含有字母，那么式子万

叫做分式.其中5手0・

AA

B=0=分式卫无意义；3=0o分式力有意义.

A

分式后的值为0=A=0且3手0这两个条件缺一不行.

⑵最简分式：

假如一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式（也叫既约

分式）.假如一个分式的分子、分母有公因式，那么可依据分式的基本性质，用分子、

分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分.

⑶分式的基本性质:

AAxCAA^C

-=------,—=(CxO)

BBxCBB+C

⑷分式的运算:

.ba±ba±cad士-

①分式的加减：c匕-c,厂》一bd

ac_acac_ad

②分式的乘除：卫Nbd9bdbe.

f-T=^e=a々是正整数）

③分式的乘方：b.

4.二次根式：

⑴二次根式的概念：

式子指g20）叫做二次根式,3（。20）是一个非负数.

⑵二次根式的性质:

(>/a)a=a(a>0).4^卜，

3<0)

⑶最简二次根式：

①被开方数不含分母；

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满意上述两个条件的二次根式，叫做

最简二次根式.

⑷二次根式的运算：

①二次根式的乘除：

,Ja-Jb=y[ab(aNO.b0)i

②二次根式的加减:

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式进行合并.

四、规律方法指导

对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础学问的理解运用实力.

热点是化简、求值与分状况探讨的数学思想方法的考查，旨在让我们探究敏捷、简捷

的解法，提高分析问题的实力.因此，在复习中我们要驾驭分类探讨与数形结合思想，

提高运算实力、视察实力、解决实际问题的实力和探究学问、发觉规律的实力.

经典例题透析

类型一、整式的有关概念和运算

L同类项

1.(1)(2010湖南衡阳)若3sm+5y2与x3yn的和是单项式，则

nm=.

(2)若单项式2G•"I".」与丁丁是同类项，则小的值是()

1

A、-3B、-1C>3D、3

2,整式的运算和整式乘法公式的运用

02.(1)(201。湖北咸宁)下列运算正确的是()

A.2'3=-6B."・±2C./.京■/D.%+2a=F

⑵下列各式中正确的是()

B.a2-a3=a6C.(-3a2)3=-9a6D.a5+a3=a8

计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)

Or利用乘法公式计算：

⑴(a+b+c)2(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)

举一反三

【变式1］假如a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=

x--=1X♦-JT

【变式2】设x则X=______________

311

【变式3】用相同的方法可以求'，了等的值.

【变式4】若a2+3a+l=。,求的值.

类型二、因式分解

Ob.因式分解:

(1)(2010四川眉山)把代数式巧？-金^+加分解因式，下列结果中正确的是()

A,双彳+3)2B.E(A3)5-3)C,亚…)'D,用(13)2

(2)(T)3a3-6a2+12a;②(a+b^-l；Q)x2-12x+36;@(a2+b2)2-4a2b2

举一反三

【变式1】因式分解:

⑴2(”J+6a(x7)1⑵】6，(入4)；⑶"一歌3+16/

类型三、分式的意义和运算

1.分式的意义和分式值为零

06.（1）（2010湖北荆州）分式=的值为0,则（）

A.x=—1B.x=1C.x=±1D.x=0

2x“

（2）（2010山东聊城）使分式口无意义的x的值是（）

X2-3x4-2I1

X*--X*-

A.x=2C.2D.2

（3）当x取何值时，分式有意义？分式的值等于零?

举一反三

x-b

【变式1］已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0,则

a+b=_________________

2.分式的运算

.（1）（2010重庆）先化简,其中

X1-4x4-4x+2)x-2

(2)计算.

举一反三

【变式1】先化简，再求值：

x+1x2-2x4-1,其中x满意—-3x+2=0.

【变式2】先化简，再求值：(x-2x.2);x-2,其中x=2005

--2x+lx-1

【变式3】有这样一道题：“计算：--I一・丁三-'的值，其中x=2004.”甲同

学把“x=2004”错抄成仁=2040”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？

x+21y=4

【变式4】已知x、y是方程组卜一尸-5的解，求代数式

X_______PiA]?

xa-2x+/x'+p+Vy的值

类型四、二次根式的有关概念和运算

08.(1)(2010湖北襄樊)下列说法错误的是()

A.而的平方根是±2B.及是无理数

也

C.亚行是有理数D.三是分数

(2)下列二次根式中属于最简二次根式的是()

A.714B.V48D.74a+4

。以化简:⑴仔m⑵/?嬴<T⑶”疗.

思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要留意使二次

根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.

xjx+l-2(0<x<1)

⑵qx

举一反三

【变式1】化简：行・人+9+|1|,其中3<a<4.

类型五、代数式的综合应用

C10.(1)(2010四川自贡)已知n是一个正整数，标是整数，则n的

最小值是()。

A.3B.5C.15D.25

(2)若代数式2x2+3x+7的值为8,则代数式4x2+6x-9的值是()

A.2B.-17C.-7D.7

Oil.已知：a,b为实数，下列各式中肯定为正值的是()

A.a2-2a+2B.&由ca2+b2D.(a-l)2+|b+2|

012.现规定一种运算：a*b=ab+a-b,其中b为实数，贝联”+冲

等于（）

A.46B.b2-bC.b2D.b2•a

探究规律

013.视察下列依次排列的等式:

9XO+1=1

9X1+2=11

9x2+3=21

9x3+4=31

9x4+5=41

猜想第n个等式（n为正整数）应为.

分析：此题视察规律并不难，但要留意n的取值，n为正整数，为了便于视察,

我们可以象以下写法：

第1行9XO+1=1

第2行9x1+2=11

第3行9x2+3=21

第4行9x3+4=31

第5行9x4+5=41

第n行9X(n-1)+n=10(n-1)+1=1On-9.

综合应用

014.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a,b,c,d,且

a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,为B么四边形ABCD是().

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形

举一反三

【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、宽分别为a、b,则图

中阴影部分的面积为

15.(扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教化促进法》，某市教化

局拿出了b元资金建立民办教化发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学

校.奖金安排方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教化、教学工作业绩(假设工

b

作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金7元，然后再将

余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.

(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；

(2)设第k所民办学校所得到的奖金为孙元(1工上工用，试用k、n和b表示外(不

必证明)；

⑶比较外和外•】的大小(k=l,2,……,月-1),并说明此结果.

中考题萃

考点一：骞的运算、整式运算

1.（2010山西）.下列运算正确的是（）

A.（a—b）2=a2—b2B.（—a2）3=-a6C.x2+x2=x4

D.3a3•2a2=6a6

2.（2010黄冈）下列运算正确的是（）

A.3八3=1B,C.夕”十"D.R$-小3.1”

3.（成都市）下列运算正确的是（）

336

A.3X-2X=1B,"~2?c.L=rD（-a）=-a

4.（湖北咸宁）化简陋+〃-5-㈤的结果为（）

A.2wiB.-2用C.2刀D.-2w

5.（东莞市）下列式子中是完全平方式的是（）

A.a'+ab+从B./+如+2C.23+5?D.4'+电+1

6・（河北省）计算：.

7.（河北省）（3分）若〃2-0,贝壮/♦勿♦加7的值为.

8.（北京）（5分）已知34=0,求代数式小+铲-6+力-L7的值

9.（南昌市）先化简，再求值：1

x=—

9

xa+2）-（x+l）（x-D,其中

考点二；因式分解

1.（2010四川眉山）把代数式用加分解因式，卜列结果中正确的是

A,用（彳+3）2B,E（A3）（T-3）C.加彳・4）2D.用（*3尸

2.（北京）把代数式"2-4”+船分解因式，下列结果中正确的是（）

3

A.。（“2尸B,心+2尸Qa（x-4）D.。"+2）*-2）

3.（龙岩市）分解因式：/+而=.

4.（贵阳市）分解因式：m-4=.

5.（福州）因式分解：d+4x+4=.

6.（上海市）分解因式：.

7.（2010广东广州）因式分解：3ab2+a2b=.

考点三：分式的意义和运算

X-2

1.（宜宾市）若分式E的值为0,则x的值为（）

A.1B.-1C.±1D.2

（---—-K――）•（%-3）

2.（2010黄冈）化简：x-3的结果是（）

22x-4

A.2B.x-1C.x-3D.x-1

卜卜3

3.（巴中市）当。时，分式x-3无意义.

21_=

4.（上海市）化简：xX41.

2x1

5.（北京）计算：二一二T.

“b、＜ia+2aA+i2

6.（2010四川凉山）若。+弘=0,贝『a^2ba-4b2。

考点四：二次根式

1.（湖北省荆州市）下列根式中属最简二次根式的是（）

A.B.Gc,&D,质

y/x-1

2.（2010广东茂名）若代数式F"有意义，则x的取值范围是

A.x>lfix#2B.xNl

C.xw2D.xN1且x*2

^32xJ-+1^0

3.（芜湖市）估计V2的运算结果应在（）

A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到

10之间

4.（2010四川成都）若X/为实数，且|x+2|+J口=0,则5+丁）切」的值为

历二_______

5.（安徽省）化简

6.（宁夏回族自治区）计算：5亚-a=

考点五：代数式的综合运用

L（茂名）随意给定一个非零数，按下列程序计算，最终输出的结果是（）

|冽一加卜>|+冽川~研♦!结果

A.wB.掰2C.掰+1D.w-1

2.（北京）（4分）若"2|+（月-1尸=0,则m+2n的值为（）

A.-4B.-lC.OD.4

3.（山东淮坊）代数式3/-4X+6的值为9,则'一针”的值为（）

A.7B.18C.12D.9

4.（宁夏）某市对一段全长1500米的道路进行改造.原安排每天修x米，为了尽量削减

施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原安排的2倍还多35米，

那么修这条路实际用了

天.

5.（成都市乂3分）已知曲^+伯+5）'=0,那么。+力的值为

（一记」砥45。-2"十及

6.（南宁市）计算：

++|5_闵-动

7.（沈阳市）计算：（V

x+2x-1X2-\6

2,其中应

8.（泰州市）先化简，再求值：X2-2X/-4X+4x+4xx=2+

（言+