2025年包头考试高一数学试卷及答案

2025年包头考试高一数学试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是（）A.\((\infty,1)\)B.\((\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)3.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)5.函数\(f(x)=x^32x\)的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数6.若\(\log_3x=2\)，则\(x\)的值为（）A.6B.9C.8D.277.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.4B.6C.3D.\(\frac{3}{2}\)9.函数\(y=\cosx\)，\(x\in[0,2\pi]\)的图象与直线\(y=\frac{1}{2}\)的交点个数是（）A.0B.1C.2D.310.已知\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_{0.3}2\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(a\ltc\ltb\)11.函数\(y=\tan(x\frac{\pi}{4})\)的定义域是（）A.\(\{x|x\neqk\pi+\frac{3\pi}{4},k\inZ\}\)B.\(\{x|x\neqk\pi\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)C.\(\{x|x\neq2k\pi+\frac{3\pi}{4},k\inZ\}\)D.\(\{x|x\neq2k\pi\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)12.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的周期为\(2\)的奇函数，当\(0\ltx\lt1\)时，\(f(x)=4^x\)，则\(f(\frac{5}{2})+f(1)=\)（）A.\(2\)B.0C.2D.1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知角\(\alpha\)的终边经过点\((3,4)\)，则\(\sin\alpha=\)______。14.函数\(y=2\sinx\cosx\)的最大值是______。15.若二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象的顶点坐标为\((1,3)\)，且过点\((2,1)\)，则\(a=\)______。16.已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(|\overrightarrow{b}|=2\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)，则向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，求实数\(a\)的值。18.（12分）已知函数\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。19.（12分）已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)。（1）求\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\)；（2）当\(k\)为何值时，\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}3\overrightarrow{b}\)垂直？20.（12分）已知函数\(f(x)=\log_2(x+1)\)，\(g(x)=\log_2(3x+1)\)。（1）求出使\(g(x)\geqf(x)\)成立的\(x\)的取值范围；（2）在（1）的范围内求\(y=g(x)f(x)\)的最小值。21.（12分）已知函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)，\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)）的部分图象如图所示。（1）求函数的解析式；（2）写出函数的单调递增区间。22.（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量\(y\)（单位：千克）与销售价格\(x\)（单位：元/千克）满足关系式\(y=\frac{a}{x3}+10(x6)^2\)，其中\(3\ltx\lt6\)，\(a\)为常数。已知销售价格为\(5\)元/千克时，每日可售出该商品\(11\)千克。（1）求\(a\)的值；（2）若该商品的成本为\(3\)元/千克，试确定销售价格\(x\)的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。答案一、选择题1.B。根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.D。要使根式有意义，则根号下的数非负，即\(x1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以定义域是\([1,+\infty)\)。3.C。\(y=x^2\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；\(y=2^x\)在\(R\)上单调递增，在\((0,+\infty)\)上也单调递增；\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。4.B。因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)。5.A。函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，关于原点对称，且\(f(x)=(x)^32(x)=(x^32x)=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数。6.B。由\(\log_3x=2\)，根据对数的定义可得\(x=3^2=9\)。7.B。根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以\(T=\pi\)。8.B。若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)，即\(1\timesm2\times3=0\)，解得\(m=6\)。9.C。令\(\cosx=\frac{1}{2}\)，\(x\in[0,2\pi]\)，则\(x=\frac{\pi}{3}\)或\(x=\frac{5\pi}{3}\)，所以交点个数是\(2\)个。10.B。\(a=0.3^2=0.09\)，\(0\lta\lt1\)；\(b=2^{0.3}\gt2^0=1\)；\(c=\log_{0.3}2\lt\log_{0.3}1=0\)，所以\(c\lta\ltb\)。11.A。正切函数\(y=\tanx\)的定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)，令\(x\frac{\pi}{4}\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(x\neqk\pi+\frac{3\pi}{4}\)，\(k\inZ\)。12.A。因为\(f(x)\)是周期为\(2\)的函数，所以\(f(x+2)=f(x)\)，\(f(1)=f(12)=f(1)\)，又\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(1)=f(1)\)，则\(f(1)=0\)。\(f(\frac{5}{2})=f(\frac{5}{2}+2)=f(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})\)，当\(0\ltx\lt1\)时，\(f(x)=4^x\)，所以\(f(\frac{1}{2})=4^{\frac{1}{2}}=2\)，则\(f(\frac{5}{2})=2\)，所以\(f(\frac{5}{2})+f(1)=2\)。二、填空题13.\(\frac{4}{5}\)。已知角\(\alpha\)的终边经过点\((3,4)\)，则\(r=\sqrt{(3)^2+4^2}=5\)，根据正弦函数的定义\(\sin\alpha=\frac{y}{r}=\frac{4}{5}\)。14.1。\(y=2\sinx\cosx=\sin2x\)，正弦函数的值域是\([1,1]\)，所以最大值是\(1\)。15.2。设二次函数的顶点式为\(y=a(x1)^23\)，因为过点\((2,1)\)，所以\(1=a(21)^23\)，解得\(a=2\)。16.\(\frac{\pi}{3}\)。设向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(\theta\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，即\(1=1\times2\times\cos\theta\)，解得\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，又\(0\leq\theta\leq\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{3}\)。三、解答题17.解：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)。当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)。若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)，\(1\)，\(2\)。18.解：（1）根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，对于\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)，\(\omega=2\)，所以\(T=\pi\)。（2）因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)。当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{3}\)时，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)，\(f(x)\)取得最大值\(2\times1=2\)。当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)，即\(x=0\)时，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)，\(f(x)\)取得最小值\(2\times(\frac{1}{2})=1\)。19.解：（1）\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(13,2+2)=(2,4)\)，则\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{(2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\)。（2）\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k(1,2)+(3,2)=(k3,2k+2)\)，\(\overrightarrow{a}3\overrightarrow{b}=(1,2)3(3,2)=(1+9,26)=(10,4)\)。因为\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}3\overrightarrow{b}\)垂直，所以\((k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}3\overrightarrow{b})=0\)。即\(10(k3)4(2k+2)=0\)，展开得\(10k308k8=0\)。合并同类项得\(2k38=0\)，解得\(k=19\)。20.解：（1）由\(g(x)\geqf(x)\)，即\(\log_2(3x+1)\geq\log_2(x+1)\)。根据对数函数的单调性，因为对数函数\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(\begin{cases}3x+1\gt0\\x+1\gt0\\3x+1\geqx+1\end{cases}\)。解\(3x+1\gt0\)得\(x\gt\frac{1}{3}\)；解\(x+1\gt0\)得\(x\gt1\)；解\(3x+1\geqx+1\)得\(2x\geq0\)，即\(x\geq0\)。综上，\(x\)的取值范围是\([0,+\infty)\)。（2）\(y=g(x)f(x)=\log_2(3x+1)\log_2(x+1)=\log_2\frac{3x+1}{x+1}=\log_2(3\frac{2}{x+1})\)。因为\(x\in[0,+\infty)\)，函数\(y=3\frac{2}{x+1}\)在\([0,+\infty)\)上单调递增。当\(x=0\)时，\(y=3\frac{2}{0+1}=1\)，所以\(y=\log_2(3\frac{2}{x+1})\geq\log_21=0\)，即\(y=g(x)f(x)\)的最小值是\(0\)。21.解：（1）由图象可知\(A=2\)。周期\(T=4\times(\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6})=\pi\)，根据\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，可得\(\omega=2\)。所以\(y=2\sin(2x+\varphi)\)，把点\((\frac{\pi}{6},2)\)代入得\(2=2\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)\)，即\(\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1\)。因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，则函数解析式为\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。（2）令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。先解\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\)，得\(2k\pi\frac{