(2025年)统计学第六章统计量与抽样分布(习题附参考答案)

(2025年)统计学第六章统计量与抽样分布(习题附参考答案)一、概念理解题1.指出以下表达式是否为统计量，并说明理由：（1）设总体X的分布未知，样本为(X₁,X₂,…,Xₙ)，表达式T₁=X₁+X₂+…+Xₙ-μ（μ为总体均值）；（2）设总体X~N(μ,σ²)，样本为(X₁,X₂,…,Xₙ)，表达式T₂=(X₁+X₂)/2；（3）设总体X的二阶矩存在，样本为(X₁,X₂,…,Xₙ)，表达式T₃=Σ(Xi-μ)²（μ为已知常数）。参考答案：（1）不是统计量。统计量的定义是不含任何未知参数的样本函数，而μ是总体均值（未知参数），因此T₁包含未知参数，不符合统计量定义。（2）是统计量。T₂仅由样本(X₁,X₂)构成，不涉及任何未知参数（即使总体分布含μ和σ²，但T₂的计算不依赖这些参数）。（3）是统计量。虽然表达式中包含μ，但题目明确μ为已知常数（非未知参数），因此T₃是样本的函数且不含未知参数，属于统计量。2.简述“抽样分布”与“总体分布”的区别与联系。参考答案：区别：总体分布是研究对象全体的概率分布，描述总体中个体取值的规律；抽样分布是样本统计量（如样本均值、样本方差）的概率分布，描述统计量在所有可能样本中的取值规律。联系：抽样分布依赖于总体分布。例如，若总体服从正态分布N(μ,σ²)，则样本均值的抽样分布为N(μ,σ²/n)；若总体非正态但方差有限，根据中心极限定理，大样本下抽样分布近似正态。3.解释“无偏估计量”的定义，并判断样本均值X̄是否为总体均值μ的无偏估计量。参考答案：无偏估计量的定义：若估计量θ̂的期望E(θ̂)=θ（θ为待估参数），则称θ̂为θ的无偏估计量。对于样本均值X̄=(X₁+X₂+…+Xₙ)/n，其期望E(X̄)=E[(X₁+…+Xₙ)/n]=(E(X₁)+…+E(Xₙ))/n=(nμ)/n=μ，因此X̄是μ的无偏估计量。二、计算题4.已知某城市成年男性身高服从正态分布N(172,6²)（单位：cm），从中随机抽取25名成年男性，求样本均值X̄的分布，并计算P(170≤X̄≤174)。参考答案：总体X~N(μ,σ²)=N(172,36)，样本量n=25。根据正态总体下样本均值的性质，X̄~N(μ,σ²/n)=N(172,36/25)=N(172,1.44)。标准化得Z=(X̄-172)/√(36/25)=(X̄-172)/1.2~N(0,1)。P(170≤X̄≤174)=P[(170-172)/1.2≤Z≤(174-172)/1.2]=P(-1.67≤Z≤1.67)。查标准正态分布表得Φ(1.67)=0.9525，Φ(-1.67)=1-0.9525=0.0475，因此概率为0.9525-0.0475=0.905。5.某电子元件寿命（单位：小时）的总体方差σ²=400，但均值μ未知。现抽取n=100的样本，测得样本均值X̄=500小时。（1）求样本均值X̄的抽样分布的均值和方差；（2）若总体分布未知，说明X̄的近似分布并给出依据。参考答案：（1）无论总体分布如何，样本均值的期望E(X̄)=μ（与总体均值相同），方差Var(X̄)=σ²/n=400/100=4。（2）根据中心极限定理（CLT），当样本量n较大（通常n≥30）时，即使总体分布未知，样本均值X̄近似服从正态分布N(μ,σ²/n)。本题中n=100>30，因此X̄近似服从N(μ,4)。6.某地区选民中支持候选人A的比例为p=0.6，现随机抽取500名选民，求样本支持率p̂的标准差，并计算P(0.58≤p̂≤0.62)。参考答案：样本支持率p̂是样本比例，其期望E(p̂)=p=0.6，方差Var(p̂)=p(1-p)/n=0.6×0.4/500=0.24/500=0.00048，因此标准差为√0.00048≈0.0219。由于n=500较大，且np=300≥5，n(1-p)=200≥5，根据中心极限定理，p̂近似服从N(p,p(1-p)/n)=N(0.6,0.00048)。标准化得Z=(p̂-0.6)/√(0.00048)~N(0,1)。P(0.58≤p̂≤0.62)=P[(0.58-0.6)/0.0219≤Z≤(0.62-0.6)/0.0219]=P(-0.91≤Z≤0.91)。查标准正态分布表得Φ(0.91)=0.8186，Φ(-0.91)=1-0.8186=0.1814，因此概率为0.8186-0.1814=0.6372。三、推导与证明题7.设总体X的二阶矩存在，即E(X)=μ，Var(X)=σ²，样本为(X₁,X₂,…,Xₙ)，样本方差定义为S²=1/(n-1)Σ(Xi-X̄)²。证明：S²是σ²的无偏估计量。证明过程：首先展开Σ(Xi-X̄)²=Σ(Xi²-2XiX̄+X̄²)=ΣXi²-2X̄ΣXi+nX̄²。由于X̄=ΣXi/n，因此ΣXi=nX̄，代入得Σ(Xi-X̄)²=ΣXi²-nX̄²。计算E[Σ(Xi-X̄)²]=E(ΣXi²)-nE(X̄²)。由于E(Xi²)=Var(Xi)+[E(Xi)]²=σ²+μ²，因此ΣE(Xi²)=n(σ²+μ²)。E(X̄²)=Var(X̄)+[E(X̄)]²=σ²/n+μ²。因此E[Σ(Xi-X̄)²]=n(σ²+μ²)-n(σ²/n+μ²)=nσ²+μ²n-σ²-μ²n=(n-1)σ²。从而E(S²)=E[1/(n-1)Σ(Xi-X̄)²]=1/(n-1)×(n-1)σ²=σ²，故S²是σ²的无偏估计量。8.设总体X~N(0,σ²)，样本为(X₁,X₂,X₃,X₄)，令Y=(X₁+X₂)²+(X₃+X₄)²。证明：Y/σ²服从χ²分布，并指出自由度。证明过程：由于X₁,X₂独立同分布于N(0,σ²)，则X₁+X₂~N(0,2σ²)（独立正态变量和的方差为方差之和）。令Z₁=(X₁+X₂)/(√2σ)，则Z₁~N(0,1)（标准化后为标准正态）。同理，X₃+X₄~N(0,2σ²)，令Z₂=(X₃+X₄)/(√2σ)，则Z₂~N(0,1)。注意到Y=(X₁+X₂)²+(X₃+X₄)²=2σ²(Z₁²+Z₂²)，因此Y/σ²=2(Z₁²+Z₂²)。但Z₁²和Z₂²均服从χ²(1)分布（标准正态变量的平方服从自由度为1的χ²分布），且独立，因此Z₁²+Z₂²~χ²(2)（χ²分布的可加性）。因此Y/σ²=2(Z₁²+Z₂²)不直接是χ²分布？此处可能存在错误，需重新推导。修正说明：原命题可能需调整。正确推导应为：若X₁+X₂~N(0,2σ²)，则(X₁+X₂)/σ~N(0,2)，其平方为[(X₁+X₂)/σ]²~χ²(1)吗？不，标准正态变量平方才是χ²(1)。正确的标准化应为：(X₁+X₂)/√(2σ²)=(X₁+X₂)/(σ√2)~N(0,1)，其平方为[(X₁+X₂)/(σ√2)]²~χ²(1)。同理，(X₃+X₄)/(σ√2)~N(0,1)，平方后~χ²(1)。因此，[(X₁+X₂)²+(X₃+X₄)²]/(2σ²)=Z₁²+Z₂²~χ²(2)。因此，原命题中Y=(X₁+X₂)²+(X₃+X₄)²，则Y/(2σ²)~χ²(2)，而Y/σ²=2×[Y/(2σ²)]，即Y/σ²服从2倍的χ²(2)分布，并非标准χ²分布。可能题目条件需调整，例如若总体为N(0,1)，则Y=(X₁+X₂)²+(X₃+X₄)²，此时X₁+X₂~N(0,2)，标准化后为(X₁+X₂)/√2~N(0,1)，平方后~χ²(1)，因此Y=2(Z₁²+Z₂²)，Y/2=Z₁²+Z₂²~χ²(2)。四、综合应用题9.某企业生产的零件长度服从正态分布，标准差σ=0.05mm。为检验生产稳定性，随机抽取20个零件，测得样本均值X̄=2.1cm。（1）求样本均值X̄的抽样分布；（2）若企业要求零件长度均值μ=2.0cm，计算样本均值与μ的绝对误差超过0.01cm的概率。参考答案：（1）总体X~N(μ,σ²)=N(μ,0.05²)，样本量n=20，因此X̄~N(μ,σ²/n)=N(μ,0.05²/20)=N(μ,0.000125)。（2）要求P(|X̄-2.0|>0.01)=1-P(|X̄-2.0|≤0.01)。标准化得Z=(X̄-2.0)/√(0.000125)=(X̄-2.0)/0.01118~N(0,1)。|X̄-2.0|≤0.01等价于-0.01≤X̄-2.0≤0.01，即-0.01/0.01118≤Z≤0.01/0.01118，即-0.895≤Z≤0.895。查标准正态分布表得Φ(0.895)≈0.814，Φ(-0.895)=1-0.814=0.186，因此P(|X̄-2.0|≤0.01)=0.814-0.186=0.628，故所求概率为1-0.628=0.372。10.设总体X~N(μ,σ²)，样本为(X₁,X₂,…,Xₙ)，记S²=1/(n-1)Σ(Xi-X̄)²，T=(X̄-μ)/(S/√n)。证明：T服从自由度为n-1的t分布。证明过程：由正态总体性质，X̄~N(μ,σ²/n)，因此Z=(X̄-μ)/(σ/√n)~N(0,1)。又由χ²分布的定义，(n-1)S²/σ²~