2026届新高考数学考前热点冲刺复习导数中的函数构造问题

2026届新高考数学考前热点冲刺复习导数中的函数构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题型分析角度1

利用f(x)与xn构造例1(2026·毕节模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为__________________.

(-∞,-4)∪(0,4)令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x),当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,可以推出当x<0时,F'(x)<0,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.∵f(x)为偶函数,y=x为奇函数,∴F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4).题型一通过导数的运算法则构造感悟提升

角度2

利用f(x)与ex构造例2(2026·连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)-f(x)>0,则“x<2”是“e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件 D.充要条件A

感悟提升

B感悟提升

(2)(2026·厦门调研)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(lnx)>2lnx的解集为____________.

(e,e3)

a<b<c

例4若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(

)A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.b>c>aC

题型二通过变量构造具体函数感悟提升若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.训练2(2026·十堰模拟)已知sin5α+5cosα>cos5α+5sinα,α∈[0,2π),则α的取值范围为___________________.

令f(x)=x5-5x,则f'(x)=5(x4-1),当x∈[-1,1]时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递减,因为sin5α+5cosα>cos5α+5sinα,所以sin5α-5sinα>cos5α-5cosα,即f(sinα)>f(cosα),因为sinα,cosα∈[-1,1],所以sinα<cosα,

A

题型三通过数值构造具体函数

感悟提升当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.

C

一、单选题1.(2026·萍乡模拟)记x,y为实数,设甲:y>x>0;乙:x-cosy<y-cosx,则甲是乙的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A令函数f(x)=x+cosx,求导得f'(x)=1-sinx≥0,故f(x)在R上单调递增,由y>x>0,得f(y)>f(x),即x-cosy<y-cosx,即充分性成立;由x-cosy<y-cosx,得x+cosx<y+cosy,即f(x)<f(y),可得y>x,故必要性不成立,综上可知,甲是乙的充分不必要条件.2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(

)A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)B∵f(x)>2x+4,∴f(x)-2x-4>0,令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2>0,∴g(x)为R上的增函数,又∵g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0.∴由g(x)>g(-1)=0得x>-1.

D

4.若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f'(x),则当a>b时,下列不等式成立的是(

)A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)D

C

A

D

A

BD

二、多选题

CD

11.(2026·江西名校联考)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式可能成立的是(

)A.y>x>0 B.x>y>0C.x<y<0 D.x=y=0

BCD

12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,则xf(x)>1的解集为____________.

(1,+∞)令g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,则g(x)在R上单调递增,因为f(1)=1,则g(1)=1,则原不等式为g(x)>g(1),故x>1.三、填空题13.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且f'(x)+f(x)<0,则不等式ex+2·f(x+2)<e-xf(-x)的解集为____________.

(-1,+∞)设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)]<