2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业第一章解三角形2

课时作业(二)余弦定理A组(限时：10分钟)1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定解析：由sin2A＋sin2B<sin2C，得a2＋b2<c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形．答案：A2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b等于()B.eqB.eq\r(2)C.eq\r(3)D．3解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，故b＝eq\r(3).答案：C3．在△ABC中，c2－a2－b2＝eq\r(3)ab，则角C为()A．60°B．45°或135°C．150°D．30°解析：∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(3)ab,2ab)＝－eq\f(\r(3),2)，∴C＝150°.答案：C4．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的度数等于________．解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则c边最大，∴角C最大．∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°.答案：120°5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝4，c＝6，cosB＝eq\f(1,4)，(1)求b的值；(2)求sinC的值．解：(1)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝42＋62－2×4×6×eq\f(1,4)＝40，∴b＝2eq\r(10).(2)解法一：由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16＋40－36,2×4×2\r(10))＝eq\f(\r(10),8).∵C是△ABC的内角．∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(6),8).解法二：∵cosB＝eq\f(1,4)，且B是△ABC的内角，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4).根据正弦定理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(6×\f(\r(15),4),2\r(10))＝eq\f(3\r(6),8).B组(限时：30分钟)1．在△ABC中，已知C＝120°，边a与边b是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则c的值为()A.eq\r(3)B．7D.eqD.eq\r(7)解析：∵a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝3，ab＝2.∴由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝9－2×2＋2×2×eq\f(1,2)＝7.∴c＝eq\r(7).答案：D2．在△ABC中，若6a＝4b＝3c，则cosB＝()A.eq\f(\r(15),4)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(3\r(15),16)D.eqD.\f(11,16)解析：设6a＝4b＝3c＝12k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq\f(11,16).答案：D3．若△ABC的边a，b，c满足a2＋b2－c2＝4，且C＝eq\f(π,3)，则ab的值为()A．4B．8C.eq\f(4\r(3),3)D.eqD.\f(8\r(3),3)解析：由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即eq\f(1,2)＝eq\f(4,2ab)，解得ab＝4.答案：A4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosB的值为()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eqD.\f(\r(2),3)解析：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).答案：B5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\f(1,2)ab,2ab)＝－eq\f(1,4)<0，∴90°<C<180°，∴三角形为钝角三角形．答案：A6．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2AA．10B．9C．8D．5解析：由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝eq\f(1,25).∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosA＝eq\f(1,5).∵cosA＝eq\f(36＋b2－49,2×6b)，∴b＝5或b＝－eq\f(13,5)(舍)．故选D.答案：D7．在△ABC中，若b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，则a＝__________.解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，9＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，化简得a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.答案：3或68．在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝________.解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝eq\r(5).由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠BAC＝eq\f(3\r(10),10).答案：eq\f(3\r(10),10)9．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，则b＝________.解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝4，∴b＝2.答案：210．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝eq\f(1,2).因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinAcosB＝0，即有sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－eq\r(3)cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝eq\f(1,2)，有b2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4).又0<a<1，于是有eq\f(1,4)≤b2<1，即有eq\f(1,2)≤b<1.12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解：(1)(方法一)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(方法二)由题设可知，2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)(方法一)因为eq\o(AD,\s\up14(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AC,\s\up14(→)),2)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up14(→))2＋eq\o(AC,\s\up14(→))2＋2eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋2×1×2×cos\f