2025-2026学年下学期江苏省盐城五校联盟高一数学期中试卷（含答案）

高一数学(总分150分考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。第I卷(选择题共58分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,请在答题纸的指定位置填涂答案选项)1.若复数z=i2−2iA.2B.iC.-2D.i2.已知点A1,−2,BA.3,−1B.1,53.在△ABC中,AB=2,ACA.53B.1C.2D.4.下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1=C.e1=5.已知向量a=3,1,A.1717B.117C.56.设△ABC中的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7.已知sinα+β=−13，且A.−59B.19C.8.平面向量a,b满足a−b=3,a=2b，则aA.23B.3C.22二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分,请在答题纸的指定位置填涂答案选项)9.下列命题正确的是()A.若a//b，则存在唯一实数λ使得B.“a=b”是“aC.不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以D.若点G为△ABC的重心,则10.下列等式正确的是()A.2tan22.5C.sin37.5∘cos7.5∘−cos37.5∘11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长,求三角形的面积的问题,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积."若把以上这段文字写成公式,即S=14c2a2−c2+a2−bA.△ABC三个内角A,B,B.△ABC的周长为C.若∠B的角平分线与AC交于D,则BD的长为D.若E为△ABC外接圆上任意一点,则AE⋅AC第II卷(非选择题共92分)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量a,b不共线，m=a−3b，n=13.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin14.如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器,其每层形状不规则,前后均敞开,无板壁封挡,便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示,网格中每个小正方形的边长为1,设Z为线段AK上任意一点，则UZ⋅KZ图1图2四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知向量a=−1,0,b=m,1，且(1)求m；(2)若a+λb与a+2b16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=1(1)求角C的大小；(2)求sinA+17.已知a∈(1)求sinαsinα+cosα2cos218.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,(2)若a=2,ΔABC的面积为3，求(3)若a=3，且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是:“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答:当△ABC的三个内角均小于120∘时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120∘时,最大内角的顶点为费马点.(1)求A；(2)若b=1,c=2，且点P为△(3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA高一数学参考答案一、单选题12345678CDCCABBA二、多选题91011BDABDABD三、填空题12.-613.21014.四、解答题15.(13分)(1)因为向量a=−1,0,b=m,1，且则cosπ4=a⋅ba⋅(2)由(1)可得a+λb=−1因为a+λb与a+2解得λ>−3且向量a+λb与a+2b不共线,则−因此,实数λ的取值范围是−3516.(15分)(1)∵a∵C∈(2)∵b=∵A+17.(15分)(1)因为sinαsinα+cosα所以sinαsin(2)因为a∈0,π2，β∈又cosα−β=513,所以所以cos(15分)18.(17分)(1)因为acosCsinA而sinB∴sinA即3sin又sinC≠0,∴3sin又0<A<π,则−π6(2)由(1)及题设可得12bcsinA=3cosA=b2+c2−a22bc=12，即bc=4b2+c2=(10分)(3)因为D为BC的中点，所以AD=1两边平方得A在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bc在△ABC中，由正弦定理得bsinB=csinC=所以bc=23因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2且所以π6<2B−π6<5π6，所以12所以中线AD的取值范围是72,19.(17分)(1)∵AB+AC=AB−∴AB∴4AB⋅AC=0(2)由(1)知A=π2，所以△ABC的三个角都小于由费马点定义知∠APB设PA=x,PB=整理得12xy⋅32则PA⋅PB