九年级湘教版下册数学期末试卷含答案

九年级下册数学期末考试卷

一、选择题（共10题；共40分）

1.（4分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）

主视方向

2.（4分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖,这个事件是（）

A.必然事件B.确定性事件

C.不可能事件D.随机事件

3.（4分汝I图，已知在0。中，乙0。4：乙408=2:1,且乙403=25。，则ND的度数为

B.45°

C.50°D.55°

4.（4分）下列说法正确的是（）

A.“任意画一个三角形，其内角和为ISO。”是必然事件

B.调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式

C.抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确

D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯

的概率是L

r

J

5.（4分）如图，PA,是0。的切线，A、B为切点,若乙403=128。，则/P的度数为

（）

A.32°B.52°

C.64°D.72°

6.（4分）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对

面上的字是（）

恩I施乡I村-

A.“恩”B.“乡”

C“村，，D.“兴”

7.（4分）如果将抛物线j，=f-2平移，使平移后的抛物线与抛物线］，=『-8五+9重合，那么

它平移的过程可以是（）

A.向右平移4个单位,向上平移11个单位

B.向左平移4个单位,向上平移11个单位

C.向左平移4个单位,向上平移5个单位

D.向右平移4个单位,向下平移5个单位.

8.（4分）已知二次函数），=/Zr3的自变量不，丸,心对应的函数值分别为t，”,当

-1<X|<（）,1<X2<2,侬>3时，y\,”，”三者之间的大小关系是（

B.V<r

A.<y3<j333

・D.(J、<J'i

cy3<)\<y2

9.（4分）如图，0。是以原点为圆心，0为半径的圆，点「是直线），=一1+6上的一点，过

点p作。。的一条切线P。，。为切点，则s屈。的最小值为（）

A.3B.4产

C.6-岳D.2产

10.（4分）如图，多边形ABCDEF为正六边形，点M在边BC上，

过M作MN〃CD交ED于点N,连接AN,且满足

ZAMB=ZANM,设四边形MNDC,四边形AFEN和三角形ABM

的面积分别为a,b,c,则正六边形ABCDEF的面积为（）

A.2a+2b+2cB.2a+3b+cC.a+2b+2cD.

a+2b+3c

二、填空题（共8题；共32分）

11.（4分）抛物线y=3（x+2）2+4的对称轴是.

12.（4分）扇形的半径为2,圆心角为90。，则该扇形的面积（结果保留兀）为

13.（4分）抛物线的顶点坐标为.

14.（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形

ABCDEF的中心与原点0重合，AB〃x轴，交y轴于点P.将

△OAP绕点O顺时针旋转,每次旋转90。，则第2023次旋转结

束时，点A的坐标为.

15.（4分汝I图所示

是三棱柱的三视图，:、、、.AB在^EFG中,

俯视图主视图左视图

EF=6cm,EG=10cm,ZEGF=30°,则AB的长为cm.

16.（4分）如图，A、8、。是。。上的点，0c1M,垂足为点。，且。为OC的中点，若

OA-7,则BC的长为.

17.（4分）已知抛物线+（db,c是常数）开口向下，过4T。），3（勿,0）两

点，且下列四个结论：

&b>0;

②若加，则为+上<0；

③若点"（4乃）在抛物线上，%5,且M+4>1，则内〉J,；

④当时，关于K的一元二次方程"+6.+仁=1必有两个不相等的实数根.

其中正确的是_________（填写序号）.

18.(4分)如图，等边△ABC中，AB=2,点D是以A为圆心，半径为1

的圆上一动点，连接CD,取CD的中点E,连接BE,则线段BE的最大

值与最小值之和为.

三、解答题(共8题；共78分)

19.(8分)解方程：

(1)3x-2(x+3)=7(x-2)+5；

¥3=

20.(8分)(1)2sin60°+(；)/一旧；

(2)(a+b)(--r).

ab

21.(8分)小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用

无人机采集一组航拍的资料.在航拍时，小王在C处测得无

人机A的仰角为45°,同时小李登上斜坡CF的D处测得无

人机A的仰角为31。.若小李所在斜坡CF的坡比为1：3,

铅垂高度DG=3米(点E,G,C,B在同一水平线上).

(1)小王和小李两人之间的距离CD：

(2)此时无人机的高度AB.(sin31%0.52,cos31°~0.86,tan31°~0.60,结果精确到1米)

22.(10分)如图，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，且NCDF=NBDC、

ZDCF=ZACD.

(1)求证：DF=CF；

(2)若NCDF=6()。，DF=6,求矩形A3CO的面积.

23.(10分)如图.一次函数丁=匕1+6的图象与反比例函数.1•二务的图象相交干A、£两点.

x

其中点A的坐标为（T，4）,点B的坐标为（4,〃）.

（1）根据图象，直接写出满足的x的取值范围;

x

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段45上，且$3=1:2,求点p的坐标.

24.（10分）如图，四边形圈。。内接于。。，N1=N2,延长3C到点E，使得。£=四，连

接EQ.

(1)求证：BD=ED；

(2)若3=4,5C=6,ZABC=60%求ton/DCB的值.

25.（12分）问题提出：如图（1）,△4SC中，AB=AC,。是4c的中点，延长BC至点

E,使DE=DB,延长即交用于点尸，探究空的值.

AB

(1)Q)(3)

AF

（l）先将问题特殊化.如图（2）,当4&4。-60。时，直接写出F的值;

AB

（2）再探究一般情形.如图（1）,证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展：如图（3）,在中，AB=AC,。是月。的中点，G是边3c上一点，

—=-（«<2）,延长3C至点H,使OE=Z）G,延长ED交AB于点F.直接写出”的值

BCnAB

（用含/的式子表示）.

26,（12分）问题探究:

（1）如图1,△ABC、ZkAOE均为等边三角形，连接3D、CE,则线段3。与CE的数量关

系是______.

（2）如图2,在ABC和心△AOE中，ZACB=ZAED=90°,ZABC=ZADE=30%连

接8。、CE,试确定B。与CE的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,在四边形A6C。中，AC_L8C,且AC=6C,8=4,若将线段OA绕点。按

逆时针方向旋转90。得到连接8A,则线段8A的长度是______.

试卷答案

1.【答案】A

【解析】根据主视图的定义和画法进行判断即可.

解：从正面看过去，看到上下共三个矩形，所以主视图是:

故选A

【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形.

2.【答案】D

【解析】直接根据随机事件的概念即可得出结论.

购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机

事件.

故选：D.

【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵

活作出判断.

3.【答案】A

【解析】由圆周角定理可求出乙1。3=244感=50。，结合题意可求出

ZD04=2402=100。，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出N。.

VZAC5=25°,

・••乙4。3=2乙4匿=50。.

Z^O5=2:1,

AZDO/=2^405=100°.

VDO=AO,

・•.ZD=NOAD=1(180°-NDOA)=40°.

故选A.

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.掌握同弧所对的圆周

角等于它所对的圆心的角的一半是解题关键.

4.【答案】A

【解析】由二角形的内角和定理可判断A,由抽样调查与普查的含义可判断B,C,由简单随

机事件的概率可判断D,从而可得答案.

解：“任意画一个三角形，其内角和为180。”是必然事件，表述正确，故A符合题意；

调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；

抽样调查的样本容量越小，市总体的估计就越不准确，故C不符合题意：

十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的

概率不是?，与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的

内角和定理的含义，掌握“以上基础知识''是解本题的关键.

5.【答案】B

【解析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解.

解：,・・a,P3是OO的切线，

.•Q1P40S1P瓦

如。・ZPBO・90。，

•山。8=128。，

则"=360。-90。-90。-遮。=5?。，

故选B.

【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】根据正方体的平面展开图的特点即可得.

解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩''字与“乡”字在相对面上，"施''字与“村”字在相对面

上，“振"字与“兴''字在相对面上，

故选：D.

【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关

键.

7.【答案】D

【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解.

解：抛物线的顶点/标为：（0,-2）,

VV=X3-8.T+9=（X-4）3-7,则顶点坐标为：（4,-7）,

，顶点由（0,-2）平移到（4,-7）,需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位,

故选择：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题H,利用顶点的变化确定抛物线解析

式更简便.

8.【答案】B

【解析】先求得抛物线的对称轴为直线入=1,抛物线与工轴的交点坐标，画出草图，利用数

形结合，即可求解.

解：>=^-2x-3=(x-l)2-4,

・•・对称轴为直线x=l,

令y=0,则(X・1)2・4=0,

解得尸・1或3,

・••抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),

二次函数产f-〃-3的图象如图：

由图象知”<rx<y3.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析

式.利用数形结合解题是关键.

9.【答案】D

【解析】先确定A点和B点坐标，再计算出9=6下，则。，=:<3=3力，再利用切线性

质得到/「。。=90°,根据勾股定理得到22=廊匚5,于是可判断。尸最小时，也最小，

S.c的值最小，然后求出此时也的长，再计算的最小值.

解：作OH上AB于H,连接°。、。尸，

如图，

当J'=o时，-1+6=0,解得x=6,则月(6,0),

二a二05二6，

・・・“M3为等腰直角三角形，

:，AB=66，

・・.。月=%=汨

・.・也为切线，

・・・・叫。2，

：.£PQO=9Q°f

・•・PQ=^OP2-OO2=J。尸-2,

・・・也最小时，取也。的值最小，

丁。尸最小时,也最小，

・・・当。「工抽，即P点运动到H点时，。尸最小，S收。的值最小，

此时尸2="3后『-2=4，

AS”的最小值=：x0x4=20.

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行

计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解

决本题的关键是确定。尸垂直月5时S昭。的值最小.

1().【答案】C

【解析】如图，将△ABM绕点A逆时针旋转120。得到△AFG,连接GN交EF于H.证明

△FGH^AENH(AAS),△GAN^AMAN(SAS),可得结论.

解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转120。得到^AFG,连接GN交EF于H.

VZAFG=ZB=120°,

.•・ZEFG=360°-ZAFG-ZAFE=120°=ZE,

AMNCD,ZC=ZD,

・・・四边形CDNM是等腰梯形，

・・・CM=DN,

VBC=DE,

ABM=GF=EN,

VZGHF=ZNHE,

.'.△FGH^AENH(AAS),

•"•SAFHG=SAEHN，

ZMAN=180°-ZANM-ZAMN=180°-ZAMB-ZAMN=ZCMN=60°,ZMAG=120°,

・♦.ZGAN=ZMAN=60°,

VAG=AM,AN=AN,

/.△GAN^AMAN(SAS),

+

•'•SAAMN=SZAGN=SAABMS四边形AFEN=b+C,

S正六边形ABCDEF=a+b+c+b+c=a+2b+2c.

故选：C.

11.【答案】直线x=・2

【解析】根据抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h即可确定.

解：:抛物线的解析式为y=3(x+2)2+4,

・••抛物线的对称轴为直线x=-2,

故答案为：直线x=2.

12.【答案】X

【解析】根据扇形面积公式可直接进行求解.

解；由题意得：该扇形的面积为9°x2"、二〃；

360

故答案为开.

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.

13,【答案】（2-3）

【解析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标

解：P=^-（x3-4x+4）-2-1=i（x-2）?.3

111

二顶点坐标为（2.-3）

故答案为：（2.-3）

【点睛】本题考查了将一般式化为顶点式求顶点坐标，掌握配方法求顶点式是解题的关键.

14,【答案】（-。，1）

【解析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标

即可.

解：•・•正六边形ABCDEF边长为2,中心与原点O重合，AB〃x轴，

AAP=1,AO=2,ZOPA=90°,

•'*OP~]AO2-AP2=4，

・••第1次旋转结束时，点A的坐标为-1）,

第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1,-。），

第3次旋转结束时，点A的坐标为（-。，1）,

第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，0），

・・・4次一个循环，

・・・2023+4=505……3,

・••第2023次旋转结束时，点A的坐标为（一「，1）.

故答案为：（-。，1）.

15.【答案】5

【解析】根据三视图的对应情况可得出，4EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即

可.

解：过点E作EQ_LFG于点Q,

由题意可得出：EQ=AB,FQG

VEG=10cm,ZEGF=30°,

EQ=AB=yx1()=5(cm).

故答案为：5.

16.【答案】7

【解析】根据垂径定理可得。。垂直平分的，根据题意可得的平方。C,可得四边形

幺是菱形，进而根据菱形的性质即可求解.

解：如图，连接。氏C4,

•・•A、B、C是0。上的点，。。1M，

AD=DB»

・・•。为。。的中点，

0D=DC,

.•・四边形力03C是菱形，。4=7,

：,<0=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键.

17,【答案】①③④

【解析】首先判断对称轴==-±>0,再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A(-

2a

I,0),3(附,0),当加时，r=g+l)。,-勺，求出c=.£,再代入勿+上判断②，抛

物线4『+6K+C=a(x+l)(.x-w)=av3(1由点M(玉jJ,"(j”)在抛物

线上，得=y2=ax^+a(1-w)x2-am,把两个等式相减，整理得

JiQ、=。(玉7\)(内+与+1-加)，通过判断』-与，”+心+1-a的符号判断③；将方程

av2+bx+c=1写成。(x-〃?)(x+1)-1=0,整理，得炉+(1-加)k-加一1=0,再利用判别式

即可判断④.

解：・・•抛物线过出TO）,8（九0）两点，且1＜桁＜2,

b-1+用

2a2

1<w<2,

；.BU--L>0,

22%

•・•抛物线开口向下，1<0,

：.b>Q,故①正确；

r3、

3a+2c=3a+2x^--flj=0,故②不正确；

,・,抛物线1y=a/+历•+c=〃(i+l)(x-掰-m)X-M,点ME，］。Ni.q,%)在

抛物线上，

=心=ax：+a(l—加)与-M,把两个等式相减，整理得

31-v2=°(七一X?)(8+与+1-W),

•：a<0,xl<x2tXJ+XJ>1,1<加<2,

ij-Xj<0,玉+巧+1—加>0,

心=a(丸7?)(内+与+1-加)>0,

故③正确；

依题意，将方程ad+bx+c=1写成。(x-m)(x+l)-1=0,整理，得

x3+(l-m)x-m-i=0,

a

A=(1-w)-41-w_—|=(fn+1)+一,

1<w<2,a<-l,

24

：,4<(m+l)<9,一之一4,

>>4

：.（w+1）+->0,故④正确.

a

综上所述，①③④正确.

故答案为；①③④.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次

函数与方程及不等式的关系.

18.【答案】2。

【解析】延长CB到T,使得BT=BC,连接AT,DT,AD.首先确定DT的取值范围，再利

用三角形的中位线定理解决问题即可.

解：延长CB到T,使得BT二BC,连接AT,DT,AD.

VAABC是等边三角形，

ABA=BC=AC=BT=2,ZACB=60°,

・•・ZCAT=90°,

/.AT=CT*sin60°=2j7,

VAD=1,

A2j3-1<DT<2j3+l,

VCB=BT,CE二DE,

・・・BE=；DT,

2J3+1

,中<BE<Ar-

1,2

.,•线段BE的最大值与最小值之和为2。,

故答案为2。.

19.【解析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可;

（2）依次去分母，去括号，承项，合并同类项，系数化为1进行求解即可.

解：（1）去括号，得3x-2x-6=7x-14+5,

移项,得3x-2x-7x=-14+5+6,

合并同类项，得・6x=3,

系数化为1,得x=0.5；

（2）去分母，得3（3y-5）-2（5y-l）=-12,

去不号，得9y-15-1Oy+2=-12,

移项，得9y-10y=-12-2+15,

合并同类项，得・y=1,

系数化为1,得y=l.

20.【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数累的运算法则及数的开方法则分别

计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；

（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.

解：（1）原式=2x芈+2-2后

二。十2-2。

=2-j3；

（）原式=（）

2a+b-ao

，,、ab

）

-[a+b•a—-br

=ab.

21.【解析】（1）根据坡比的定义即可求解：

（2）过点D作DH1AB于点H,解RtAADH即可求解.

解：（1）•・•小李所在斜坡CF的坡比为1：3,铅垂高度DG=3米,

・・・GC=3DG=9（米），

•*-CD=]GD2-CG2=\32-92=（米）；

（2）解：设AB=x米，如图所示，过点D作DHJ_AB于点H,

，DH=GB,BH=DG=3,则AH=AB-BH=(x-3)米,

VZACB=45°,

.e.AB=BC=x米,

ADH=GB=(9+x)米,

在RIAADH中，NADH=31°,

・・.-f嚼=言3°屹6°,

解得：x-21,

AAB~21米.

答：无人机的高度约为21米.

22,【答案】(1)见解析⑵36君

【解析】(1)先证明△OCT之△OCO得到。CF=CO,再由矩形的性质证明

OC=OD,即可证明。尸=CF=0C=OO；

(2)由全等三角形的性质得到NC力。:NCZ)F=60。，OD=DF=6,即可证明△OCQ是等边三

角形，得至IJCD=OD=6,然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案.

【小问1详解】

解：在△OC尸和4。。。中，

'QCF=QCO

'CD=CD,

ZCDF=4CD0

:•△DCFm/XDCO(ASA),

：.DF=DOfCF=CO,

♦・♦四边形ASCO是矩形，

・・・。。二。。」4。」肛

：.DF=CF=OC=OD^

【小问2详解】

解:VADCF^ADCO,

:.ZCDO=ZCDF=60°,OD=DF=6,

乂：OD=OC,

•••△OCD是等边三角形，

:・CD=OD=6,

•・•四边形ABC。是矩形，

.•・ZBCD=90°,

・・・BC=CDtan/BDC=66

S中［43cp=BCCD=36币.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角

形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

4C7、

23.【答案】(1)或0＜工＜4；(2)?*=-一V=-x+3；(3)P

x

【解析】⑴观察图象得到当或0<工<4时，直线度kix+b都在反比例函数”生的图

x

象上方，由此即可得；

(2)先把A(-l,4)代入户包可求得k2,再把B(4,n)代入y=8■可得n=l,即B点坐标为(4,

xx

-1),然后把点A、B的坐标分别代入丫=皿+15得到关于ki、b的方程组，解方程组即可求得

答案；

(3)设加与J轴交十点C,先求出点C坐标，继而求出SAMB=7£根据=分

别求出S“”=25,S、BOP=5,再根据S“8=L5确定出点P在第一象限，求出色皿=1,继

而求出P点的横坐标由点P在直线丁二-1+3上继而可求出点P的纵坐标，即可求得

答案.

⑴观察图象可知当x<-l或0<K<4,kix+b>殳；

x

⑵把4-L4)代入】•=§,得&=-4,

4

4

・.•点3(4川在y=一一上，・・・〃二一1,

x

・・・8(4「1),

把省-L4),8(4「1)代入j，=E].x+4得

-h+6=4=-1

，解得

4片+6=-16=3

v=-x+3；

⑶设期与『轴交于点c,

•・•点。在直线了=-1+3上，・・.C（0.3）,

4。。他|+匕|)=93><(1+4)=75,

1一

又$UODS^OP=12,

•.SA/OA=,x75=255\皿=5,

又SAMC，=：X3X1=1.5,・••点P在第一象限，

1

57.5=1,

1c

又。。=3，；・k"3'》了=1,解得——v,

今7

把〃=W代入J，=-i+3,得j)=k，

.­.pfj.n

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式,

三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

24.【答案】（1）见解析（2）巫

3

【解析】（1）根据圆内接四边形的性质得到乙4二/0。3,证明△H50*CE0（SAS）,根据全

等三角形的性质证明结论；

⑵过点Z）作于M,根据等腰三角形的性质求出3”,进而求出CM,根据正切的定

义求出DM,根据正切的定义计算，得到答案.

【小问1详解】

・・•四边形25。。内接于。。，

：・U=ZDCE,

•・21=N2，

'AD=DC9

•••AD=DC,

」：二月如和△£)(7£•中，

fAB=CE

,&=QCE,

AD=DC

・•・SBDmACED触心,

BD=ED；

【小问2详解】

过点。作于A，,

VA5=4,5C=6,CE・AB,

：.BE=BC+EC=\Qf

,:BD=ED,DMJ.BE,

・•・BM=ME=LBE=5,

；・CM=BC-BM=1,

・・,乙45C=60。，N1=N2,

AZ2=30°,

手cr

:・DM=BM=tanN2=5*=3£，

JJ

.DM5^3

••13n/-----------=-----------•

CM3

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌

握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键.

25,【答案】(1)［问题提出］(1)1；(2)见解析

4

(2)［问题拓展］三巳

4

【解析】［问题探究］(1)根据等边三角形的性质结合已知条件，求得乙4255=乙必3二30。，

4FD=90。,根据含30度角的直角三角形的性质，可得"=:血即

一

可求解；

(2)取的中点H，连接。耳.证明可得BH=EC,根据。4〃/,

FRER2Ap1

证明△EDHSAERB,根据相似三角形的性质可得照=黑=;，进而可得芸■=；；

DHEH2AB4

［问题拓展］方法同(2)证明△OBHgADEC,得出，GH-EC,证明尸&得

FBEB2+n___r的AF2一〃

到进而可得Fr=「一

~DH~EH2AB4

【小问1详解】

［问题探究］：(1)如图,

(2)

・・・44比中，AB=AC,。是HC的中点，/区4。=60。,

.•.△MC是等边三角形，AD^^AB

:.4BD=ZDBE=30。，乙4=60。，

DB=DE，

ZE=ZDBE=30°,

vZZ)CE=180°-ZZCB=120°,

LADF=ZCDE=180°-Z£-ZDCE=30°,

•・・4=60。，

乙4㈤=90。，

:.AF=-ADf

AF_!心_1.

"AB=AB=4

(2)证明：取3C的中点H,连接。H.

•・・D是47的中点，

:.DH〃AB,DH^-oAB.

*：AB=AC,

:・DH=DC，

"DHC=Z.DCH.

,/BD=DE，

:ZDBH=4)EC.

："BDH=4DC.

：.^DBH^ADEC.

・・・BH=EC.

.EB3

••■=一・

EH2

•:DH"AB，

:ZDHS'EFB.

.FB_EB_3

9，^H=EH=2'

AB4

.AF1

••1=—・

AB4

【小问2详解】

［问题拓展］如图，取3。的中点H,连接DH.

是2C的中点，

:・DH〃AB，DH=^AB.

1

*：AB=ACf

:・DH=DC,

：.^DHC=^DCH.

•:DE=DG,

：・3GH=6EC.

"GD