广东省2026年重点学校高一数学分班考试试题及答案

广东省2026年重点学校高一数学分班考试试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-3x-10≤0,x∈R}，B={x|x∈N}，则A∩B的子集个数为（）1.已知集合A={x|x²-3x-10≤0,x∈R}，B={x|x∈N}，则A∩B的子集个数为（）A.16B.32C.64D.1282.已知a>0，化简(³√a²·a^(-3/2))·√[(-³√a)^(-2)]的结果为（）A.a^(1/2)B.a^(-1/2)C.a^(7/6)D.a^(-7/6)3.若关于x的一元二次方程x²-2(m+1)x+m²=0的两个实根都大于1，则实数m的取值范围是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞)4.已知sin(π-α)=-2/3，且α是第三象限角，则tan(2π-α)的值为（）A.-2√5/5B.2√5/5C.-√5/2D.√5/25.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²+2x，则f(-1)+f(0)的值为（）A.-3B.3C.-2D.26.定义运算a⊕b=max{2a,b}，a⊗b=min{a,2b}，设函数f(x)=(x⊕1)-(2x⊗(x+1))，则f(x)>0的解集为（）A.(-∞,1)B.(-∞,1/2)C.(1/2,1)D.(1,+∞)7.已知x>0，y>0，且x+2y=2，则1/x+2/y的最小值为（）A.4B.9/2C.5D.11/28.已知函数f(x)=x²-4x+3在区间[t,t+1]上的最小值为0，则实数t的取值范围是（）A.[0,2]B.[-1,1]C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.[-1,0]∪[1,2]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知a>b>0，c<d<0，则下列不等式一定成立的有（）A.ac²>bd²B.a/c<b/dC.ln(a-b)>0D.(1/2)^a<(1/2)^b10.下列函数中，定义域和值域均为R的有（）A.y=x³B.y=3x+sinxC.y=2^xD.y=ln(x²+1)11.已知平面向量a=(2,1)，b=(1,-3)，则下列说法正确的有（）A.|a+b|=5B.向量a与b的夹角余弦值为-√10/10C.若(a+kb)⊥a，则实数k=5D.与向量a同方向的单位向量为(2√5/5,√5/5)12.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，满足f(0)=1，且对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，若f(x)在区间[0,m]上的最大值为3，最小值为1，则实数m的取值可能为（）A.1B.2C.3D.4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若幂函数y=(m²-3m+3)x^(m²-m-2)的图像不经过原点，则实数m的值为______14.已知tanθ=2，则(2sinθ+3cosθ)/(sinθcosθ)的值为______15.若关于x的不等式ax²+bx+2>0的解集为(-1/2,1/3)，则a+b的值为______16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(2)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为______四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）先化简再求值：(x-25/(x+2))÷(x-3)/(2x+4)，其中x=√2318.（12分）已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|x²-(a+1)x+a<0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围19.（12分）已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1（1）求f(x)的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,1]上为单调函数，求实数k的取值范围20.（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b=√3，B=π/3（1）若a=√2，求角A的大小；（2）若△ABC的面积为√3/2，求△ABC的周长21.（12分）某厂家计划生产A、B两种产品销往粤港澳大湾区，已知生产1件A产品需消耗原料甲3kg、原料乙2kg，可获利200元；生产1件B产品需消耗原料甲2kg、原料乙4kg，可获利300元。现有库存原料甲120kg，原料乙160kg，问应如何安排生产计划可使得总利润最大，最大利润为多少元？22.（12分）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)=1（1）求f(1/2)的值；（2）求证：f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数；（3）解不等式f(x)+f(x-3)<2参考答案及详细解析一、单项选择题1.B解析：解不等式x²-3x-10≤0得(x-5)(x+2)≤0，即-2≤x≤5，故A={x|-2≤x≤5}，A∩B={1,2,3,4,5}，共5个元素，子集个数为2^5=32。2.D解析：原式=(a^(2/3)·a^(-3/2))·(a^(-2/3))^(1/2)=a^(2/3-3/2)·a^(-1/3)=a^(-5/62/6)=a^(-7/6)。3.D解析：设f(x)=x²-2(m+1)x+m²，对称轴为x=m+1，需满足Δ=4(m+1)²-4m²≥0、f(1)=m²-2m-1>0、m+1>1，解得m≥-1/2、m>1+√2≈2.414或m<1-√2、m>0，取交集得m>2。4.A解析：sin(π-α)=sinα=-2/3，α为第三象限角，故cosα=-√(1-4/9)=-√5/3，tan(2π-α)=-tanα=-(sinα/cosα)=-2√5/5。5.A解析：f(x)为奇函数，故f(0)=0，f(-1)=-f(1)=-(1+2)=-3，故f(-1)+f(0)=-3。6.B解析：分情况讨论：当2x≥1即x≥1/2时，x⊕1=2x，2x⊗(x+1)=min{2x,2(x+1)}=2x，故f(x)=0，不满足>0；当2x<1即x<1/2时，x⊕1=1，f(x)=1-2x>0，解得x<1/2，故解集为(-∞,1/2)。7.B解析：1/x+2/y=1/2×(x+2y)(1/x+2/y)=1/2×(5+2x/y+2y/x)≥1/2×(5+4)=9/2，当且仅当x=y=2/3时取等。8.A解析：f(x)=(x-1)(x-3)，零点为1和3，函数在(-∞,2)单调递减、(2,+∞)单调递增。当t∈[0,2]时，区间[t,t+1]包含1或3，可取得最小值0。二、多项选择题9.AD解析：A选项，c²>d²>0，a>b>0，故ac²>bd²，成立；B选项，取a=2,b=1,c=-3,d=-1，a/c=-2/3>b/d=-1，不成立；C选项，若a-b=0.5，ln0.5<0，不成立；D选项，y=(1/2)^x单调递减，a>b故(1/2)^a<(1/2)^b，成立。10.AB解析：A选项y=x³定义域值域均为R；B选项y=3x+sinx定义域值域均为R；C选项y=2^x值域为(0,+∞)；D选项y=ln(x²+1)值域为[0,+∞)。11.BCD解析：A选项a+b=(3,-2)，|a+b|=√13≠5，错误；B选项cos<a,b>=(2-3)/(√5×√10)=-√10/10，正确；C选项a+kb=(2+k,1-3k)，由垂直得2(2+k)+(1-3k)=0，解得k=5，正确；D选项单位向量为a/|a|=(2√5/5,√5/5)，正确。12.BC解析：由f(0)=1得c=1，由f(1+x)=f(1-x)得对称轴x=1，故f(x)在x=1处取得最小值1，f(0)=f(2)=1。最大值为3，说明m≥2，故m=2、3均符合，m=1时最大值为1不符合，m=4时若a=1则f(4)=10>3不符合。三、填空题13.1或2解析：幂函数系数满足m²-3m+3=1，解得m=1或m=2，代入验证均满足图像不过原点。14.7解析：分子分母同除以cosθ得(2tanθ+3)/(tanθ-1)=(4+3)/(2-1)=7。15.-14解析：-1/2和1/3是方程ax²+bx+2=0的根，由韦达定理得-1/2×1/3=2/a，解得a=-12，-1/2+1/3=-b/a，解得b=-2，故a+b=-14。16.(-1,3)解析：f(x-1)>0=f(2)，偶函数性质得|x-1|<2，解得-1<x<3。四、解答题17.解：原式=[(x-2)(x+2)-5]/(x+2)×2(x+2)/(x-3)=(x²-9)/(x+2)×2(x+2)/(x-3)=(x-3)(x+3)×2/(x-3)=2(x+3)代入x=√2-3，得原式=2×(√2-3+3)=2√218.解：解不等式得A={x|1<x<3}，A∪B=A等价于B⊆A。B对应不等式(x-1)(x-a)<0：①当a<1时，B={x|a<x<1}，与A无交集，不符合；②当a=1时，B=∅，满足B⊆A；③当a>1时，B={x|1<x<a}，要满足B⊆A则a≤3，即1<a≤3。综上，a的取值范围是[1,3]。19.解：（1）设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，由f(0)=1得c=1。f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+1-ax²-bx-1=2ax+a+b=2x，对应系数得2a=2、a+b=0，解得a=1、b=-1，故f(x)=x²-x+1。（2）g(x)=x²-(k+1)x+1，对称轴x=(k+1)/2，函数在[-1,1]单调则对称轴不在区间内，即(k+1)/2≥1或(k+1)/2≤-1，解得k≥1或k≤-3，故k的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞)。20.解：（1）由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinA=√2×(√3/2)/√3=√2/2，b>a故B>A，A为三角形内角，故A=π/4。（2）面积S=1/2acsinB=√3/2，代入sinB=√3/2得ac=2。由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得3=a²+c²-2，故a²+c²=5，(a+c)²=a²+c²+2ac=9，a+c=3，故周长为3+√3。21.解：设生产A产品x件、B产品y件，总利润z元，约束条件为：3x+2y≤120、2x+4y≤160、x≥0,y≥0且x,y∈N，目标函数z=200x+300y。化简约束得3x+2y≤120、x+2y≤80，联立解得x=20、y=30时满足约束，此时z=200×20+300×30=13000元。验证边界点：x=0,y=40时z=12000元，x=40,y=0时z=8000元，均小于13000元。故安排生产A产品20件、B产品30件时总利润最大，最大利润为13000元。22.解：（1）令x=y=1得f(1)=2f(1)，故f