2026年浙江省杭州市中考第一轮复习专题练习：正方形专题 含解析

/2026年浙江省杭州市中考复习微专题：正方形专题1.如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）A．y+1x+1 B．（y+1）（C．xy D．x2+y22.如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（）A．PA+PCAB B．PA+PBPC3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（）A．23 B．35 C．674.如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①2CM=2AE；②点B，A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对5.如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F在以AE为直径的半圆上，EF＝EB，延长EF，AF分别交CD于点G，H，则DG：HC的值为（）A．2：1 B．4：3 C．5：4 D．26.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝；（2）若HFHB=112，则CB7.如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为．8.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则mn=9.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H．（1）求cos∠BCA的值．（2）求证：△DOG∽△DCH．（3）求证：BHOE10.已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）求证：∠ABE＝∠CBF；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：EHBE②设BD的中点为点O，如果BH＝1，求BGGF11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．（1）求证：AE＝HF．（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．12.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF．（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值．13.综合与实践【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H．【初步分析】（1）线段EG与BF的数量关系为，位置关系为；【深入分析】（2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由；（3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长．14.已知正方形ABCD内接于⊙O，边CD以点C为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交⊙O，边CD于点F，G．（1）如图1，若CE是⊙O的切线，①求∠E的度数；②连结DF，求证：BG＝2DF．（2）如图2，连结AF，DE，求证：AF∥DE．2026年浙江省杭州市中考复习微专题：正方形专题1.如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B′在边CD上，AB的对应边A′B′交AD于点G，记B′C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）A．y+1x+1 B．（y+1）（C．xy D．x2+y2【解答】解：由正方形的性质可得AD＝BC＝CD＝1，∠D＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质可得B'F＝BF，∠A'B'F＝∠B＝90°，设CF＝m，则B'F＝BF＝BC﹣CF＝1﹣m，在Rt△B'FC中，由勾股定理得B'F2＝CF2+B'C2，∴（1﹣m）2＝m2+x2，∴m=∴CF=∵∠DGB'+∠DB'G＝∠DB'G+∠CB'F，∴∠DGB'＝∠CB'F，∴△DGB'∽△CB'F，∴DGB∴DGx∴DG=∵AD＝AG+DG＝1，∴2x∴2x+xy+y＝1+x，∴xy+x+y＝1，∴（x+1）（y+1）＝2，故选：B．2.如图，四边形ABCD为正方形，点P是边AD上方一点，且满足∠APC＝90°，下列各式的值为定值的是（）A．PA+PCAB B．PA+PBPC【解答】解：过点B作BE⊥BP，交PC的延长线于点E，如图所示：∴∠PBE＝90°，在Rt△ABE中，∠E+∠BPC＝90°，∵∠APC＝90°，∴∠BPA+∠BPC＝90°，∴∠E＝∠BPA，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠PBE＝∠ABC＝90°，∴∠PBE﹣∠PBC＝∠ABC﹣∠PBC，即∠CBE＝ABP，在△BCE和△BAP中，∠E∴△BCE≌△BAP（AAS），∴EB＝PB，CE＝AP，∴PE＝DE+PC＝PA+PC，在Rt△BPE中，由勾股定理得：PE=PB∴PEPB即PA+∴PA+故选：D．3.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（）A．23 B．35 C．67【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°，∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形，∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°，∵点Q、B、F三点共线，∴∠QBN＝∠EBF＝45°，∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形，∴QN＝BN，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠QEN，在△ENQ和△CBE中，∠ENQ∴△ENQ≌△CBE（AAS），∴EN＝CB，QN＝EB，∵QN＝BN，∴EN＝CB＝2EB，∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG，设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a，∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°，∴∠DCP＝∠BCE，在△CBE和△CDP中，∠CBE∴△CBE≌△CDP（ASA），∴BE＝DP＝a，∴PA＝2a﹣a＝a，∴PA＝QN，在△PAM和△QNM中，∠PMA∴△PAM≌△QNM（AAS），∴AM=∴BM=2在Rt△PAM中，tan∠在Rt△BCM中，tan∠∵tanα＝ntanβ，∴12∴n=故选：A．4.如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①2CM=2AE；②点B，A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对【解答】解：①连接GE，MD，MB，过点E作EP∥BC，交MD于点P，如图所示：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD＝CD，AG＝AE，∠GAE＝∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠GAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠GAB＝∠EAD，在△GAB和△EAD中AB=∴△GAB≌△EAD（SAS），∴BG＝DE，∠ABG＝∠ADE＝90°，∴∠ABG+∠ABC＝180°，∴点G，B，C在同一条直线上，∵AF是正方形AEFG的对角线，点M为AF的中点，∴EG经过点M，∴GM＝EM＝MA，AF⊥GE，∴△AME是等腰直角三角形，由勾股定理得：AE=AM∴EM=22在Rt△CGE中，CM是斜边GE上的中线，∴CM＝EM＝GM＝AM，∴CM=22即2CM=2AE故结论①对；②在△ADM和△CDM中，AM=∴△ADM≌△CDM（SSS），∴∠ADM＝∠CDM=12∠∵EP∥BC，∴∠DEP＝∠BCD＝90°，∠BGM＝∠PEM，∴△EDP是等腰直角三角形，∴PE＝DE，∵BG＝DE，∴BG＝PE，在△BGM和△PEM中，GM=∴△BGM≌△PEM（SAS），∴∠BMG＝∠PME，∵AF⊥GE，∴∠AMG＝∠AME＝∠AMP+∠PME＝90°，∴∠AMP+∠BMG＝90°，∴∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，即∠BMD＝∠AMP+∠BMG+∠AMG＝180°，∴点B，M，D三点共线，故结论②对，综上所述：结论①，②都对．故选：A．5.如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F在以AE为直径的半圆上，EF＝EB，延长EF，AF分别交CD于点G，H，则DG：HC的值为（）A．2：1 B．4：3 C．5：4 D．2【解答】解：连接BF，AG，HE，BF交AE于点J．设AE的中点为O，连接OB．设正方形ABCD的边长为2a．∵点E为BC的中点，∴EC＝EB，∵EF＝BE，∴EF＝EC，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠EFH＝90°，∵四边形ABC都是正方形，∴∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AD＝AB，∴∠EFH＝∠C＝90°，∵EH＝EH，∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），∴FH＝CH，∵AE＝AE，EF＝EB，∠AFE＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），∴AF＝AB，∴AD＝AF，∵AG＝AG，∠D＝∠AFG＝90°，∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），∴DG＝FG，∴DGCH=FG∵AF＝AB，EF＝EB，∴AE垂直平分线段BF，∴BJ＝FJ，∵AB＝2a，EB＝a，∴AE=BE∵12•AE•BJ=12•AB∴BJ=25∵OA＝OE，∴OB=12AE=∴OJ=OB∴tan∠BOJ=BJ∵AB∥CD，∴∠GHF＝∠HAB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BOJ＝∠OAB+∠OBA，∠BAE＝∠EAF，∴∠BOJ＝∠HAB＝∠GHF，∴DGCH=tan∠GHF＝tan∠BOJ故选：B．6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且DE＝DF，点B关于直线EG的对称点B′在线段BC的延长线上，B′E与BF交于点H．（1）若点A与点H关于直线BE对称，则tan∠EBA＝33（2）若HFHB=112，则CB′【解答】解：（1）∵点A与点H关于直线BE对称，∴∠AEB＝∠HEB，∵点B与点B'关于EG对称，∴∠EBB'＝∠EB'B，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBB'，∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B，∵∠HEB+∠EBB'+∠EB'B＝180°，∴∠HEB＝∠EBB'＝∠EB'B＝60°，∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBB'＝30°，∴tan∠故答案为：33（2）延长BA，B'E，交于点M，设B'E与CD交于点N，∵在正方形ABCD中，AB∥DC，∴△NFH∽△MBH，FNMB∴设FN＝a，MB＝12a，∵由（1）有∠ABC＝90°，∠BB'E＝60°，∠ABE＝30°，∴∠M＝180°﹣∠ABC﹣∠BB'E＝30°＝∠ABE，∴EM＝EB，∵在正方形ABCD中，DA⊥AB，∴AB=∴在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝6a，设DE＝DF＝x，则AE＝AD﹣DE＝6a﹣x，DN＝FN+DF＝a+x，NC＝CD﹣DN＝6a﹣（a+x）＝5a﹣x，∵点B与点B'关于EG对称，∴EG⊥BB'，BB'＝2BG，∵在正方形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形AEGB是矩形，∴BG＝AE＝6a﹣x，∴BB'＝2BG＝2（6a﹣x）＝12a﹣2x，∴CB'＝BB'﹣BC＝（12a﹣2x）﹣6a＝6a﹣2x，∵AD∥BC，∴△DEN∽△CB'N，∴DEDN=CB解得x1＝2a，x2＝﹣3a（不合题意，舍去），∴CB'＝6a﹣2x＝6a﹣4a＝2a，∴CB′故答案为：137.如图，正方形ABCD，点E在AB上，点F在BC上，连接DE和AF交于点L，连接EF，若AF⊥DE，FL＝7，四边形EFCD的面积是65，则DL的长为9．【解答】解：连接DF和CE交于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD．∴∠BAF+∠DAF＝90°．∵AL⊥ED，∴∠ALD＝90°．∴∠DAF+∠ADE＝90°．∴∠BAF＝∠ADE．在△ADE≌△BAF中，∠ADE∴△ADE≌△BAF（ASA）．∴AE＝BF．∵AB＝BC，∴BE＝CF．在△BEC和△CFD中，CD=∴△BEC≌△CFD（SAS）．∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF．∴∠FGC＝∠GDC+∠GCD＝∠GCF+∠GCD＝∠DCF＝90°．∴DF⊥EC．∵S四边形EFCD＝S△EDF+S△DFC，∴12∴12∴DF2＝130．∴DL=故答案为：9．8.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，M，N分别是AB，CD的中点，当点F落在MN上时，点G恰好在ED上．记正方形AEFG的面积为m，正方形ABCD的面积为n，则mn=2−【解答】解：连接AF，DF，过点G作直线PQ⊥AD于点P，交MN于点Q，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，点M，N是AB，CD的中点，∴AB＝AD＝CD，DN＝AM，AD＝2DN，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴MN∥CD，∵PQ⊥AD，∴PQ⊥MN，∴∠GPA＝∠FQG＝∠DAB＝90°，∴四边形AMQP和四边形PDNQ都是矩形，∴DN＝PQ，NQ＝DP，∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝GF，∠AGF＝90°，DE是AF的垂直平分线，∴FD＝AD，∵∠GAP+∠AGP＝90°，∠FGQ＝∠AGP＝90°，∴∠GAP＝∠FGQ，在△GAP和△FGQ中，∠GPA∴△GAP≌△FGQ（AAS），∴设PG＝QF＝a，AP＝GQ＝b，则a＞0，b＞0，∴PQ＝DN＝a+b，∴FD＝AD＝2DN＝2a+2b，NQ＝DP＝AD﹣AP＝2a+2b﹣b＝2a+b，∴NF＝NQ+QF＝2a+b+a＝3a+b，在Rt△FDN中，由勾股定理得：FD2＝DN2+NF2，∴（2a+2b）2＝（a+b）2+（3a+b）2，整理得：b2＝3a2，∵a＞0，b＞0，∴b=3∴AD＝2a+2b=2a正方形ABCD的面积n＝AD2=(2a在Rt△AGP中，由勾股定理得：AG2＝PG2+AP2＝a2+b2＝4a2，∴正方形AEFG的面积m＝AG2＝4a2，∴mn故答案为：2−39.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O点，CE平分∠BCA交BD于点E，DH⊥CE，交AC于点G，交BC于点H．（1）求cos∠BCA的值．（2）求证：△DOG∽△DCH．（3）求证：BHOE【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=12∠∴cos∠BCA=2（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠BDC＝∠OCB＝45°，∴∠DOG＝90°，∵DH⊥CE，∴∠CFG＝90°，∴∠DOG＝∠CFG，∵∠DGO＝∠CGF，∴∠ODG＝∠OCE，∵CE平分∠BCA交BD于点E，∴∠OCE=12∠∴∠ODG＝∠OCE＝22.5°，∴∠CDH＝∠CDO﹣∠ODG＝22.5°，∴∠ODG＝∠CDH，∵∠DOG＝∠DCH＝90°，∴△DOG∽△DCH；（3）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，在△DOG与△COE中，∠ODG∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE＝OG；过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M，∵CE平分∠BCO，DH⊥CE，∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°，在△CFG与△CFH中，∠GCF∴△CFG≌△CFH（ASA），∴∠CGF＝∠CHF，∵BM∥AC，∴∠M＝∠CGF，∵∠CHF＝∠BHM，∴∠BHM＝∠M，∴BM＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，∵BM∥AC，∴DG＝MG，∴OG=12BM∴OE=12∴BHOE10.已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）求证：∠ABE＝∠CBF；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：EHBE②设BD的中点为点O，如果BH＝1，求BGGF【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，∵DE＝DF，∴AE＝CF，在△ABE与△CBF中，AB=∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（HL），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴EHET∴EHBE②如图3，∵BD的中点为点O，∴OB＝OD，∵BD＝4，BH＝1，∴DHBH延长EG交BC于Q，作ER⊥BC于R，作BE的垂直平分线，交AB于T，∴BT＝ET，设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝22−a由上可知：BE＝EQ，∴RQ＝BR＝AE＝a，∵AD∥BC，∴△DEH∽△BQH，∴DEBQ∴22∴a=2∴设AT＝x，则ET＝BT＝22−x在Rt△AET中，由勾股定理得，（22−x）2﹣x2＝（227∴x=48∴tan∠AET=AT∴cos∠AET=7∵∠ATE＝2∠ABE＝∠ABE+∠CBT，∴∠AET＝∠EBG∴cos∠EBG=BG∴BGBF∴BGFG11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE＝DF，过F点作AE的垂线交AB于H．（1）求证：AE＝HF．（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明．【解答】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：∴∠FKH＝∠FKA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，∴∠FKA＝∠BAD＝∠D＝90°，∠B＝∠FKH＝90°，∴四边形ADFK是矩形，∴AD＝FK，DF＝AK，∴AB＝FK，∵FH⊥AE，∠FKH＝90°，∴∠BAE+∠AHF＝90°，∠KFH+∠AHF＝90°，∴∠BAE＝∠KFH，在△BAE和△KFH中，∠B∴△BAE≌△KFH（ASA），∴AE＝HF；（2）解：AH与BE之间的数量关系是，AH＝2BE，证明如下：∵△BAE≌△KFH，∴BE＝KH，又∵BE＝DF，DF＝AK，∴AK＝BE，∴AH＝AK+KH＝BE+BE＝2BE．12.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF．（2）连结AF，若点E是BC的中点，求tan∠AFG的值．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴△BAE≌△CBF（SAS）．（2）解：在正方形ABCD中，设AB＝AD＝CD＝BC＝2m，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝m，∴AE=∵△ABE≌△BCF，BE＝CF＝m，∴∠BAE＝∠CBF，DF＝2m﹣m＝m，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，AF=∴∠AGB＝90°＝∠AGF，∴AG=∴GF=∴tan∠13.综合与实践【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足AE＝CF，连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H．【初步分析】（1）线段EG与BF的数量关系为EG＝BF，位置关系为EG⊥BF；【深入分析】（2）如图②，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由；（3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与EG交于点N，AD＝3，求CG的长．【解答】解：（1）EG＝BF，EG⊥BF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CB，又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF．由旋转的性质，得BE＝EG，∴EG＝BF，∴∠EBG＝∠EGB．又∵∠ABE+∠EBG＝∠ABC＝90°，∴∠CBF+∠EGB＝90°，∴∠BHG＝90°，即EG⊥BF．故答案为：EG＝BF，EG⊥BF；（2）四边形BEMF为菱形，理由如下：由旋转的性质，得EG＝EM，∠GEM＝90°，又∵EG＝BF，∠BHE＝90°，∴EM