【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 函数的单调性与最大（小）值 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（八）函数的单调性与最大（小）值1.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是()A.y=1x B.y=C.y=x2 D.y=log12.函数f(x)=2x+sinπ2x在[0，1]上的取值范围为A.[1，2] B.[1，3]C.[2，3] D.[2，4]3.若函数f(x)=2x−a+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是A.[1，+∞) B.(1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]4.[多选]关于函数f(x)=−x2+2A.f(x)的单调递增区间是[-1，1]B.f(x)的单调递减区间是[1，+∞)C.f(x)的最大值为2D.f(x)没有最小值5.已知函数f(x)=x2−2ax+a，xA.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[1，+∞)6.若函数f(x)=1x2+1，记a=f−12，b=f(3-0.5)，c=A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a7.(2025·龙岩期末)已知函数f(x)=−1x+2，x<c，x2A.−1，−14 C.[-1，0) D.−1，−8.(2024·黄山三模)已知函数f(x)=log2(x+x2+1)，则对任意实数a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的m<n<0，都有(m-n)·[f(m)-f(n)]<0，且f(-2)=0，则不等式f(x+1)−A.[-3，-1]∪[0，1]B.[-2，2]C.(-∞，-3)∪(-2，0)∪(2，+∞)D.[-3，-1]∪(0，1]10.函数y=x-x(x≥0)的最大值为.

11.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则f(x)的单调递增区间为；若x∈[-2，1]，则f(x)的最小值为.

12.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为.

13.已知f(x)=xx−a(x(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求a的取值范围.14.(2025·日照模拟)已知f(x)定义在[-1，1]上且f(-x)=-f(x)，f(1)=1，当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f((1)试判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明该结论；(2)设13<x≤1，求证：f(x)<3x(3)若f(1-x2)+f(2-x)<0，求x的取值范围.15.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数g(x)=x+1x(2)若函数f(x)=2x-1在定义域[m，n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；(3)已知函数h(x)=(x-a)2a≥43在定义域43，4上为“依赖函数”，若存在实数x∈43，4，使得对任意的t∈R，不等式h(x)≥-t2+(s

（解析）精练（八）函数的单调性与最大（小）值1.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是()A.y=1x B.y=C.y=x2 D.y=log1解析：选Cy=1x在(0，+∞)上单调递减，故A错误；y=12x在R上单调递减，故B错误；y=x2在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，故C正确；y=lo2.函数f(x)=2x+sinπ2x在[0，1]上的取值范围为A.[1，2] B.[1，3]C.[2，3] D.[2，4]解析：选B易知函数f(x)=2x+sinπ2x在[0，1]上单调递增，且f(0)=1，f(1)=3，所以f(3.若函数f(x)=2x−a+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是A.[1，+∞) B.(1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]解析：选B因为函数f(x)=2x−a+3在−∞，a上单调递减，在a，+∞上单调递增，所以当函数f(x4.[多选]关于函数f(x)=−x2+2A.f(x)的单调递增区间是[-1，1]B.f(x)的单调递减区间是[1，+∞)C.f(x)的最大值为2D.f(x)没有最小值解析：选AC要使函数有意义，有-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3，可知B错误；当x=-1或x=3时，-x2+2x+3=0，此时函数有最小值0，可知D错误；令y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，根据复合函数的单调性可知A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max=f(1)=2，从而C正确.5.已知函数f(x)=x2−2ax+a，xA.(-∞，0] B.[-1，0]C.[-1，1] D.[1，+∞)解析：选D显然y=1ex-ln(x+1)在x∈[0，+∞)上单调递减，要使f(x)=x2−2ax+a6.若函数f(x)=1x2+1，记a=f−12，b=f(3-0.5)，c=A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a解析：选B注意到f(x)的定义域为全体实数，且f(-x)=1(−x)2+1=f(x)，所以f(x)是R上的偶函数，从而a=f−12=f12，c=flog512=f(log52).因为y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=1x2+1在(0，+∞)上单调递减，而0<log52<log557.(2025·龙岩期末)已知函数f(x)=−1x+2，x<c，x2A.−1，−14 C.[-1，0) D.−1，−解析：选A对于函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2，当x=3时，y=6，当x=1时，y=2，而-1x≠0，即有-1x+2≠2，依题意可得c≤1，又c2-2c+3≤6，解得-1≤c≤3，所以-1≤c≤1.当0≤c≤1时，函数f(x)在(-∞，0)上的取值集合为(2，+∞)，不符合题意，当-1≤c<0时，函数f(x)=-1x+2在(-∞，c)上单调递增，则2<-1x+2<-1c+2，所以−1c+2≤6，−1≤8.(2024·黄山三模)已知函数f(x)=log2(x+x2+1)，则对任意实数a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选Cf(x)的定义域为R，且在R上是增函数，因为f(-x)=log2(-x+(−x)2+1)=log2(-x+x2+1)，f(x)+f(-x)=log2(x+x2+1)+log2(-x+x2+1)=log2[(x+x2+1)×(-x+x2+1)]=log21=0，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以由a+b≤0得a≤-b，所以f(a)≤f(-b)=-f(b)，所以f(a)+f(b)≤0，反之，由f(a)+f(b)≤0得f(a)≤-f(b)=f(-b)，所以a≤-b，a+9.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的m<n<0，都有(m-n)·[f(m)-f(n)]<0，且f(-2)=0，则不等式f(x+1)−A.[-3，-1]∪[0，1]B.[-2，2]C.(-∞，-3)∪(-2，0)∪(2，+∞)D.[-3，-1]∪(0，1]解析：选D对任意的m<n<0，都有(m-n)·[f(m)-f(n)]<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(-2)=-f(2)=0，f(0)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，则可画出f(x+1)的简图，如图所示，所以f(x+1)−则f(x+1)≥0，x>0即x≤−3或−1<x或x=-1，解得x∈[-3，-1]∪(0，1]，故选D.10.函数y=x-x(x≥0)的最大值为.

解析：令t=x，则t≥0，所以y=t-t2=-t−122+14，当t=12，即x=1答案：111.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则f(x)的单调递增区间为；若x∈[-2，1]，则f(x)的最小值为.

解析：函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=x|x|-2x=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数.当x≥0时，f(x)=-x2+2x，由二次函数性质得函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减.由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)的单调递增区间为[-1，1].同样根据奇函数的对称性可得函数f(x)在[-2，-1]上单调递减.所以在[-2，1]上f(x)的最小值为f(-1)=1×1+2×(-1)=-1.答案：[-1，1]-112.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为.

解析：由已知条件可得f(x)+f(-2)=f(-2x)，又f(3)=1，∴不等式f(x)+f(-2)>1可化为f(-2x)>f(3).∵f(x)是定义在R上的增函数，∴-2x>3，解得x<-32∴不等式的解集为xx答案：x13.已知f(x)=xx−a(x(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求a的取值范围.解：(1)证明：设x1<x2<-2，则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)上单调递增.(2)f(x)=xx−a=x当a>0时，f(x)在(-∞，a)，(a，+∞)上单调递减，又f(x)在(1，+∞)上单调递减，∴0<a≤1，故实数a的取值范围是(0，1].14.(2025·日照模拟)已知f(x)定义在[-1，1]上且f(-x)=-f(x)，f(1)=1，当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f((1)试判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明该结论；(2)设13<x≤1，求证：f(x)<3x(3)若f(1-x2)+f(2-x)<0，求x的取值范围.解：(1)f(x)在[-1，1]上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[-1，1]，且x1<x2，则-x2∈[-1，1]，又f(-x)=-f(x)，于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(−x由已知f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)>0，x1-x2<0，则f(x1)-f(x2)<0，即(2)证明：由(1)得f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=1，则f(x)≤f(1)=1，又13<x≤1，则3x>1，综上，f(x)<3x(3)由f(1-x2)+f(2-x)<0，得f(1-x2)<-f(2-x).又f(-x)=-f(x)，则f(1-x2)<f(x-2).由(1)知f(x)在[-1，1]上是增函数，∴−1≤1−x2≤1，−1≤2−x≤1，1−x2即x的取值范围是−1+1315.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数g(x)=x+1x(2)若函数f(x)=2x-1在定义域[m，n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；(3)已知函数h(x)=(x-a)2a≥43在定义域43，4上为“依赖函数”，若存在实数x∈43，4，使得对任意的t∈R，不等式h(x)≥-t2+(s解：(1)g(x)=x+1x当x>0时，x+1x≥2x·1x=2，当且仅当x=当x<0时x+1x=-(−x)+1−x≤-2(−x所以g(x)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，所以存在x1=1，g(x1)=2，则g(x2)=12无解，故g(x)=x+1(2)因为f(x)=2x-1在[m，n](m>0)上单调递增，故f(m)f(n)=1，即2m-1·2n-1=2m+n-2=1，解得m+n=2，由n>m>0，故n=2-m>m>0，解得0<m<1，从而mn=m(2-m).又函数y=x(2-x)=-(x-1)2+1在(0，1)上单调递增，所以0<m(2-m)<1，即mn