2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练26三角恒等变换 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练26三角恒等变换基础达标练1.sin15°+cos15°=()A.62 B.64 C.242.已知2tanθ-tanθ+π4=7,则tanθ=A.-2 B.-1 C.1 D.23.若cosα=-45,α是第三象限角,则1+tanα2A.-12 B.12 C.2 D.4.已知cosθ=-725,θ∈(-π,0),则sinθ2+cosθ2=A.125 B.±15 C.15 5.若cosπ3-2x=-78,则sinA.14 B.78 C.±146.(2024·河北邢台模拟)已知tanα+π4=34,则cos2π4-α=()A.725 B.925 C.16257.(多选)(2024·安徽合肥模拟)下列计算结果正确的是()A.cos(-15°)=6B.sin15°sin30°sin75°=1C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-1D.2sin18°cos36°=18.已知α∈0,π2,sin2α=12,则sinα+π4=.

9.(13分)已知sin2α=-12sinα,α∈π(1)求tan2α;(2)求cosπ4能力提升练10.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,发现了黄金分割,其比值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°.若m2+n=4,则mn2cos2A.8 B.4 C.2 D.111.已知tan2α=-22,且满足π4<α<π2,则2cosA.2 B.-2C.-3+22 D.3-2212.(多选)(2024·重庆模拟)已知cos(α+β)=-55,cos2α=-513,其中α,β为锐角,则以下结论正确的是(A.sin2α=12B.cos(α-β)=19C.cosαcosβ=8D.tanαtanβ=1113.(多选)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6,则(A.tanα=tanαB.tanα=-3C.tanα+πD.cos214.(2024·重庆九龙坡模拟)计算:2cos20°-cos40°sin40°=15.(15分)已知f(x)=sin2x-π3+23sinx-π4cosx+3π4.(1)求fπ3(2)若锐角α满足f(α)=33,求sin2α的值素养拔高练16.(15分)由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx=4cos3x-3cosx.可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.(1)请尝试求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;(2)利用结论cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.(提示:3×18°=90°-2×18°)答案：1.Asin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=62.2.D2tanθ-tanθ+π4=2tanθ-解得tanθ=2.3.A∵α是第三象限角,cosα=-45,∴sinα=-3∴1+tanα4.D因为θ∈(-π,0),所以θ2所以sinθ2=-1-cosθ2=-45,cosθ2=1+cos5.C因为cosπ3-2x=cos2π6-x=2cos2π6-x-1=-78,所以cosπ6-x=±14,sinx+π3=cosπ2-x+π3=cosπ6-x=±14.6.B∵tanα+π4=34,∴7.BD对于A,cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°=6+对于B,sin15°sin30°sin75°=sin15°·sin30°cos15°=12sin15°cos15°=14sin30°=对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12对于D,2sin18°cos36°=2cos72°·cos36°=2×sin144°2sin72°8.32因为1-2sin2α+π4=cos2α+π2=-sin2α,所以sin2α+π4=34.因为α∈0,π2,所以α+π4∈π4,3π4,所以sinα+π9.解(1)因为sin2α=-12sinα,所以2sinαcosα=-12sinα,α∈π2,π,所以cosα=-14,故sinα=1-cos(2)由(1)知cosα=-14,sinα=154,所以cos2α=2cos2α-1=2×-142-1=-78,sin2α=2sinα·cosα=-158,所以cosπ4-2α=10.C由题设n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,mn2cos11.C2cos2α2-1=cosα,2sinπ4+α=sinα+cosα,因此2cos2α2-sinα-12sinπ4+α=cos12.AC因为cos2α=-513,α为锐角,所以sin2α=1-cos22α=1213,故A正确;因为cos(α+β)=-55,α,β为锐角,所以sin(α+β)=255,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-513×-55+1213×255=29565,故B错误;cosαcosβ=12[cos(α+β)13.BCDsinαsinπ3-α=sinαsinπ2−α+π6=sinαcosα+π6=3cosαsinα+π6,所以tanα=3tanα+π6,所以A错误;又tanα=3×tanα+tanπ14.32cos30°cos10°+2sin30°sin10°-cos30°cos10°+sin30°sin10°sin40°15.解(1)f(x)=sin2x-π3+23sinx-π4cosx+3π4=sin2x-π3-23sinx-π4cosπ-x+3π4=sin2x-π3-23sinx-π4·cosx-π4=sin2x-π3-3sin2x-π2=sin2xcosπ3-cos2xsinπ3+3cos2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,故fπ3=sin2×π3+π3=0.(2)∵α∈0,π2,∴2α+π3∈π3,又f(α)=33,∴0<sin2α+π3=33∴2α+π3∈2π3,π∴cos2α+π3=-1-(33)

∴sin2α=sin2α+π3-π3=sin2α+π3·cosπ3-cos2α+π3·sinπ3=33×12--16.解(1)cos4x=cos(2·2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4