2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练36数列中的综合问题 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练36数列中的综合问题1.(15分)(2024·江苏常州期末)已知数列{an}为等差数列,{bn}为公比为3的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=3b1;(2)若集合M={k|bk=am+a1,1≤m≤100},求集合M中的元素个数.2.(15分)(2024·河北秦皇岛期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且2S1,S3,S2成等差数列,a4+a5=332(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1(2n-1)(1-2log2an),证明:数列{bn3.(15分)(2024·江西萍乡期中)已知在正项数列{an}(n∈N*)中,a2=3,前n项和为Sn,且.请在①②中任选一个条件填在题目横线上,再作答:①an+12-2an+1=an2+2an,②n(an+1)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1(an+1)2,数列{bn}的前n项和为Tn4.(17分)定义在区间D上的函数f(x)满足:若对任意x1,x2∈D,且x1>x2,都有f(x1)-f(x2(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”,求a的取值范围.(2)①证明:g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”;②设n∈N*,证明:ln(2n+1)>1+12+13+

答案：1.(1)证明设数列{an}的公差为d,则a解得d(2)解由(1)知b1=a13=d6,所以d=2a1,所以bk=am+a1,即a13×3k-1=a1+因为a1≠0,所以2m=3k-2,因为m∈N*,所以2m是偶数,所以k无正整数解,故集合M中的元素个数为0.2.(1)解设等比数列{an}的公比为q,由2S1,S3,S2成等差数列知,2S3=2S1+S2,即2(a1+a2+a3)=2a1+(a1+a2),所以2a3+a2-a1=0,有2q2+q-1=0,即q=12或-1①当q=-1时,a4+a5=a4-a4=0≠3②当q=12时,a4+a5=18a1+116a1=3a116=332,得a1=(2)证明由(1)知1-2log2an=1-2log212n=1+2所以bn=1(2所以数列{bn}的前n项和Tn=12(1-13+13−15+…+由12n+1>0,可得T3.(1)解若选①:由an+12-2an+1=an2+2an,得(an+12−an2)即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为数列{an}(n∈N*)为正项数列,所以an+1-an=2,{an}是公差为2的等差数列,由a2=3,得an=a2+(n-2)×2=2n-1.若选②:n(an+1)=2Sn,当n≥2时,(n-1)(an-1+1)=2Sn-1,两式作差得(n-2)an-(n-1)an-1+1=0,则(n-1)an+1-nan+1=0,两式作差得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0(n≥2),即an+1+an-1=2an,所以数列{an}为等差数列,当n=1时,a1+1=2S1=2a1,解得a1=1,公差d=a2-a1=3-1=2,则an=2n-1.(2)证明由(1)知,bn=1(又因为14所以Tn=b1+b2+b3+…+bn<12(1-13+13−15+…+124.(1)解由题意可知任意x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,f(x1解得a>2因为x1+x2∈(2,+∞),所以a≥12,即a的取值范围为[12,(2)证明①设x1,x2∈(0,+∞),则g令t=x1x2,且t∈(1,+∞),h(t)=lnt-2(t-1)则h'(t)=1t−4(t+1)2=(t-1)2t(即g(所以g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”.②由①可知,当x∈(1,+∞)时,lnx令x1=2n+1,x2=2n-1,n∈N*,则ln(2n即l