第二十一单元计数原理、概率-2026届高考数学一轮单元素养练 含答案

/第二十一单元计数原理、概率(120分钟150分)考情分析高考对接点计数原理和概率是高考必考点单元疑难点计数原理和概率的综合应用滚动知识点解析几何典型情境题1、7、13一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《九章算术》《数书九章》《周髀算经》《测圆海镜》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法种数为A.64 B.60 C.36 D.782.在(1+2x)5x的展开式中A.80 B.48 C.64 D.1203.若把2，4，4，9，4，8排成一排，要求有两个4相邻，且和另外一个4不相邻，则不同的排法种数为A.48 B.42 C.72 D.364.某校高一甲、乙等4名学生到3个社区参加公益活动，每个社区至少有1人，每名学生只能去一个社区，且甲、乙不在同一个社区，则不同的参加方法种数为A.42 B.24 C.36 D.305.设同一随机试验中的两个事件A，B满足P(A)=25，P(B)=45，P(A|B)=12，则P(A.38 B.58 C.35 6.已知M为圆C：(x-3)2+(y-2)2=2上任意一点，且A(4，0)，B(6，0)，则MA·MB的取值范围为A.[2，18] B.[1，17]C.[3，17] D.[2，16]7.某社区党支部6人组建了党史宣讲、红歌演唱、诗歌创作3个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法种数为A.54 B.30 C.42 D.488.如果数列{xn}的各项都不相同，其中xn∈{1，2，3，4，5}，n=1，2，3，4.记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}⊆{1，2，3，4，5}，事件B：存在k=1或2，使得xk+xk+2=2xk+1成立，且数列{xn}不是等差数列，则P(B|A)=A.15 B.14 C.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.若(x+a)5=p5x5+p4x4+p3x3+p2x2+p1x+p0，且a>0，p3-p4=15，则下列结论正确的有A.a=32 B.a=12或32 C.p3=452 D10.如图，某高速服务区停车场的某片区有排序为C至J的停车位(每个车位只停一辆车)共8个.现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，设事件A=“两辆黑色车停在同一列”，事件B=“两辆白色车停在同一列”，则下列结论正确的有CDEFGHIJA.P(A)=27 B.P(B)=C.P(AB)=135 D.P(B|A)=11.如图，已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)，M为x轴正半轴上一点，ON=12OM，过点M的直线交抛物线Γ于B，C两点，直线CN交抛物线Γ于另一点D，直线BN交抛物线Γ于另一点A，且点A(x1，y1)，C(x2，y2)在第一象限A.y2=2y1 B.x2=4x1 C.|AD|>12|BC| D.S△ADN=14S三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6，则3a1+32a2+…+36a6=.

13.在某大学的图书室里，有三个专业的六名大学生随机坐在一个圆桌边看书学习，这个圆桌正好有六个座位，每个专业有两名大学生，则同一专业的两名大学生恰好都坐在相邻位置的概率为.

14.如图，以∠ACB的顶点C为圆心作圆，交∠ACB的两边于A，B两点，取线段AB的三等分点O，D，以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，且∠BCE=13∠ACB，则双曲线H的离心率为；若∠ACB=π2，|AC|=32，CE交AB于点P，则|OP|=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)若一个五位数abcde满足a<b，b>c>d，d<e，且a>d，b>e(如37201，45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.(1)当五位数中没有数字相同时，求符合“正弦规律”的五位数的个数；(2)当五位数中有两个数字或三个数字相同时，求符合“正弦规律”的五位数的个数.16.(15分)我们平时常用的视力表叫作对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1，视力大于或等于5.0为正常视力，否则就是近视.某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩(按照各科占一定权重计算而得的满分为100分的综合成绩)，得到频率分布直方图如下.(1)估计该校近视学生的学习成绩的第85百分位数；(结果精确到0.1)(2)已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%(成绩≥85分视作优秀)，从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)17.(15分)已知离散型随机事件A，B发生的概率P(A)=0.6，P(B)=0.5，若P(A|B)=0.6，事件A，B，A+B分别表示A，B不发生和至少有一个发生.(1)求P(A|(A+B）的值；(2)求P((A+B)|(A+B）的值.18.(17分)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为13；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率.(2)记该同学第n(n∈N*)天选择米饭套餐的概率为Pn.(i)证明：数列Pn-12为等比数列.(ii)证明：当n≥2时，Pn<5919.(17分)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其离心率为33，F1，F2为椭圆的左、右焦点，过点F1作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，(1)求椭圆C的方程.(2)过点B作x轴的垂线交椭圆于点D.①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.②求△AOD面积的最大值.

答案1.B【解题分析】三人选择的书不全相同，不同的选法种数为43-4=60.2.A【解题分析】在(1+2x)5x的展开式中，x2项的系数为23×3.C【解题分析】不同的排法种数为A33·A44.D【解题分析】按甲、乙两人的参加情况分两类：①甲、乙均单独去一个社区，则剩下的2人一起去另一个社区，共有A33=②甲、乙两人中有1人和另外2人中的1人一起去一个社区，剩下的2人均单独去一个社区，共有C21C故不同的参加方法种数为6+24=30.5.A【解题分析】∵P(B)=1-P(B)=1-45=1P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)，∴P(A|B)=P(A)-P(A|6.B【解题分析】设线段AB的中点为N(5，0)，圆C的圆心为C(3，2)，半径r=2.∵MA·MB=(MN+NA)·(MN+NB)=(MN+NA)·(MN-NA)=|MN|2-|NA|2=|MN|2-1，且|NC|=(5-3)2+(0−2)∴|MN|∈[2，32]，∴|MN|2-1∈[1，17]，∴MA·MB∈[1，17].7.C【解题分析】将6人平均分成3个不同的小组，共有C62C42甲在红歌演唱小组，此时有C51C42乙在诗歌创作小组，此时有C51C42甲在红歌演唱小组且乙在诗歌创作小组，有A42=故共有90-30-30+12=42种组建方法.8.A【解题分析】事件A共有C54·A4对于事件B，其中含1，2，3的数列分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3，共3个，含3，2，1的数列，同理，也有3个，共6个；含3，4，5的数列和含5，4，3的数列与上述相同，也有6个；含2，3，4的数列有5，2，3，4和2，3，4，1，共2个；含4，3，2的数列，同理，也有2个；含1，3，5的数列有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4，共4个；含5，3，1的数列，同理，也有4个.∴事件B共有24个基本事件，∴P(B|A)=24120=19.ACD【解题分析】∵Tr+1=C5rx5-rar，r=0，1，2，3，4，令r=2，则T3=C52x3a2=10a2x3，即p3=10a令r=1，则T2=C51x4a1=5ax4，即p4=5∴10a2-5a=15，即2a2-a-3=0，解得a=32或a=-1(舍去)∴p3=452，p4=152，∴B项错误，A，C，10.BCD【解题分析】∵P(A)=2C41×A∵P(B)=P(A)=17，∴P(B)=1-P(B)=67，∵P(AB)=C42×A2∵P(B|A)=P(AB)P(11.ABD【解题分析】设N(n，0)，则M(2n，0)，设直线AB：x=my+n.由x=my+n,y2=2px,消去x并化简得y∵y1·yB=-2pn，同理可得y2·yB=-4pn，∴y2=2y1，∴A项正确；∵x2x1=y22y12=4，∴x同理可得y2·yD=-2pn，∴y1yBy2yD=1，∴yB2yD令k=kAD=2py1+yD，kBC=则|AD|=1k2+1·|y1-yD|，|BC|=4k2+1·∴|AD||BC|=1k2+1·|y1-∵S△ADNS△BCN=|AN|·|DN||CN|·|BN12.63【解题分析】令x=-1，得a0=1.令x=2，得26=1+3a1+32a2+…+36a6.∴3a1+32a2+…+36a6=63.13.2【解题分析】∵圆桌是环形排列，∴所有的情况种数是A666=A∵同一专业的两名大学生恰好都坐在相邻位置，∴首先将三个专业的两名大学生捆绑，形成新的三个元素，环形排列共有A333又∵同一专业的两名大学生可以排序，∴共有2A22·A22·∴同一专业的两名大学生恰好都坐在相邻位置的概率为P=16120=214.27-33【解题分析】∵|OA|=a，|OB|=c，∴c=2a，∴双曲线H的离心率为ca=2∵∠ACB=π2，且|AC|=|BC|=32，∴|AB|=18+18=6又∵∠BCE=13∠ACB，∴∠ACP=π3，∠BCP=∴S△ACPS△BCP=12|AC|·|CP|sin∠ACP1∵|AB|=|AP|+|BP|=(3+1)|BP|=6，解得|BP|=33-3，∴|OP|=|OB|-|BP|=7-33.15.【解题分析】(1)∵五位数abcde满足a<b，b>c>d，d<e，且a>d，b>e，∴五位数中，b最大，d最小.当五位数中没有数字相同时，选五个数，最大数赋值给b，最小数赋值给d，剩余三个全排列，这样的五位数共有C105×A33=(2)当五位数中有两个数字相同时，选四个数，最大数赋值给b，最小数赋值给d，剩余两个数赋值给ace，这样的五位数共有C104×C32×当五位数中有三个数字相同时，选三个数，最大数赋值给b，最小数赋值给d，剩余的一个数赋值给ace，这样的五位数共有C103=故符合“正弦规律”的五位数共有1260+120=1380个.13分16.【解题分析】(1)由频率分布直方图可知，成绩在90分以下的学生所占比例为7%+13%+20%+24%=64%，因此第85百分位数一定位于[90，100]内，由90+0.85−0.640.036≈95.8可以估计该校近视学生的学习成绩的第85百分位数为95.8.6分(2)设A=“该校近视的学生”，B=“该校成绩优秀的学生”，由频率分布直方图估计可得P(B|A)=0.0242+0.036×10=0.48，又P(A)=0.54，P(B)=0.36，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.15分17.【解题分析】(1)∵P(A)=0.6，∴P(A)=1-P(A)=1-0.6=0.4.又∵P(A|B)=0.6，P(B)=0.5，∴P(AB)=P(B)P(A|B)=0.3，∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.3=0.6.∵A+B表示事件A，B中至少有一个发生，∴A⊆(A+B)，∴P(A|(A+B）=P(A)P(A+(2)∵A+B表示事件A，B中至少有一个不发生，∴(A+B)∩(A+B)=AB+AB，∴P(A+B)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.6，∴P(AB)+P(AB)=0.3，∴P((A+B)|(A+B）=P(AB+AB)P(A+18.【解题分析】(1)设Ai=“第i(i=1，2)天选择米饭套餐”，则Ai=“第i天选择面食套餐”根据题意P(A1)=23，则P(A1)=13，P(A2|A1)=13，P(A2|A由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=23×13+13×2(2)(i)设An=“第n(n=1，2，…)天选择米饭套餐”，则Pn=P(An)，P(An)=1-Pn，P(An+1|An)=13，P(An+1|An)由全概率公式，得P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|An)=-13Pn即Pn+1=-13Pn+23，∴Pn+1-12=-13Pn-∵P1-12=16，∴数列Pn-12是以16为首项，-13为公比的等比数列(ii