解三角形实际应用问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/解三角形实际应用问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（

）A． B． C． D．2．如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（

）A． B． C． D．103．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，4．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（

）

A． B． C． D．6．如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（

）的值.A．和 B．和 C．和 D．三者7．贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（

）A． B．C． D．二、多选题8．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象关于直线对称C．S的最大值为 D．S的最大值为三、填空题9．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则该弧田的面积为.10．海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为海里．11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为m．(结果精确到1m)12．如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则．13．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为米．（，答案保留整数）14．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角．（结果用角度制表示，精确到）四、解答题15．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.(1)求建造中的建筑物已经到达的高度；(2)求的值.16．丁香湖公园附近内有一块三角形绿地，其中，，．绿地内种植有一呈扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，圆弧与相切于点．(1)求扇形花卉景观的面积；(2)政府计划2020年整治公园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形，其中，并种植两块面积相等的扇形花卉景观，两扇形的边都落在平行四边形的边上，圆弧都与相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形绿地占地面积的最小值．17．一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．

(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）18．如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：，，，19．利用多波束测深可以进行海洋测绘．如图为探测船沿着固定测线利用探测器进行单测线测绘的示意图．其中海底坡面可视为与海底平面成角的光滑平面，探测器可探测平面与测线垂直．探测船在海平面内沿着与海底坡面平行的测线行驶，且探测过程中以竖直线为角平分线向下探测形成开角，可探测海底坡面内线段长为L．已知探测船到海底坡面的竖直距离为h，假设海底坡面足够长，且L始终存在．(1)当时，求L的长度；(2)求L关于h，与的表达式；(3)保持h不变，证明：当不变时，L随的增大而增大；当不变时，L随的增大而增大．

答案题号12345678答案CCBBADAAC1．C【分析】利用正弦定理可求的值.【详解】如图，，，∴．又，∴，根据勾股定理．在中，根据正弦定理可知，即，解得，故选：C．2．C【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离.【详解】由题设，，则，而，所以，则，由，，则，而，又，所以，则，由.故选：C3．B【分析】由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可.【详解】记，，，，，，，，，，，，．对于A选项：已知，在中，由，可确定；同理，在中，即可确定，在中，由，可确定；在中，已知，由余弦定理可解三角形知，再在中，由勾股定理，可确定；再由直角梯形，结合勾股定理可得，即可确定，故A正确；对于C选项：已知，在中，由，可确定；同理，在中，可确定；在中，由及余弦定理，可确定，故C正确;对于D选项：已知，在中，由及余弦定理，可确定；在中，由，可确定；同理，在中，即可确定，由直角梯形，结合勾股定理可得，①即可确定，故D正确；对于B选项：已知，同C，D选项，可确定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②联立①②，得解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，例如:若，得解得或故B错误．故选：B.4．B【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.【详解】设，则可得，由，可得B是AC的中点，所以，而，则，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以该建筑的高度米.故选：B.5．A【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，则，在中，由余弦定理得.故选：A

6．D【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值.【详解】在中，由正弦定理有：，所以，在中，由正弦定理有：，所以，因为，所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值.故选：D7．A【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解.【详解】由题意可得，，，则在中，，即，在中，，由正弦定理得，即，所以.故选：A.8．AC【分析】设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据定义域求解B，再结合基本不等式可判断CD．【详解】设三角形的斜边长为，则①，所以，其中,对于A，当时，由①式得，，所以，故A正确；对于B，因为，故不关于对称，故B错误；对于CD，，因为，当且仅当时，等号成立，又由①可得，，所以，因为为锐角，所以，所以,，所以,，所以,，所以,，所以，即，故C正确，D错误．故选：AC．关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式.9．【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】法一：如图，过作，垂足为，已知，，则，依题意，等腰底边，高，则的面积为，因为，即的面积为.而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为.法二：已知，，由三角形面积公式可得的面积为，以下过程同法一.故10．【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意，，所以，在中，由正弦定理，即，所以，在中，，所以.故．11．【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可.【详解】解：作交于E，由题意可得如图：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故475.12．/【分析】由三角形外角性质结合已知条件首先求出，再在中运用正弦定理求出的长度，进一步在中运用正弦定理求出，最终结合三角形外角性质以及诱导公式即可求解.【详解】由题意，，所以有，一方面在中运用正弦定理得，即，另一方面由以及，得，又，所以;又在中运用正弦定理得，即，所以；注意到，所以有.故13．31【分析】根据给定条件，再结合直角三角形边角关系求解即得.【详解】如图，，，，，设，则，，，∴，∴，则．故31.14．【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.【详解】如图，在处，，在处满足，（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），故设，则，由勾股定理，，解得，于是故15．(1)(2)【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，所以，又，是的中点，在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，又，所以，整理得到，解得，所以.（2）在中，由正弦定理知①，在中，由正弦定理知②，由（1）知，由②①得到.16．(1)；(2)．【分析】（1）根据余弦定理得到，利用等面积法得到扇形的半径，然后得到扇形花卉景观的面接；（2）假设，，利用余弦定理得到，然后表示出，使用基本等式计算可得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理，有，所以，设扇形花卉景观的半径为，由，得，所以扇形花卉景观的面积为．（2）设，，则由余弦定理得，所以，因为，所以，即，当且仅当时，取最小值为256．代入可得，平行四边形面积的最小值为．17．(1)1950km(2)0.64．【分析】（1）设人造卫星在时位于C点，得到，在中，由余弦定理求得的长，即可求解；（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，利用正弦定理求得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在时位于C点，其中，则，在中，，，，由余弦定理得，解得，因此，在时，人造卫星与跟踪站相距约．（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，由正弦定理得，故，即，因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为．

18．(1)，(2)FO为37．4m【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，进而求得MO，进而求得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN；法二：利用，，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN；（2）设，，，进而可得，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值．【详解】（1）法一：，，∴．在中，由正弦定理得，，又，∴．∴，∴．（m）．∴．∵，∴，．法二：，，∴，即，∴，∴．m．∴．∵，∴，．（2）设，，，∴，当且仅当，即时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大．19．(1)150米(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据题