数列的综合问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/数列的综合问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．的最大值为2．已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（

）A．2025 B．2023 C．2021 D．20133．函数的图象犹如两条飘逸的绸带，因而被称为飘带函数．若在数列中，，且，记的前项积为，数列的前项和为，其中，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，则的最小值为（

）A．20 B．21 C．100 D．1016．在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（

）A． B． C． D．7．已知数列的首项为，若的前n项积，则（

）A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项二、多选题8．某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则（

）A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为9．对于给定数列，如果存在常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”．下列说法正确的有（

）A．若，则数列是“数列”B．若，则数列是“数列”C．若数列是“数列”，则数列是“数列”D．若数列满足为常数，则数列前2024项的和为10．过圆内一点有条弦的长度成等差数列，数列的首项等于过点的最短弦的长度，等于过点的最长弦的长度，若公差，则的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．611．自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．若，则三、填空题12．已知正项等比数列的前n项和为，且，若恒成立，则m的一个可能取值为．13．等差数列公差为2，等比数列的首项为1，公比为2，若集合的元素个数恰有2个，则等差数列的首项的取值范围是．14．记为数列的前n项和，且，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为．15．已知数列中，（为自然对数的底数），当其前项和最小时，．16．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.如果设次传球后球在甲手中的概率为，则；.四、解答题17．已知函数在上有定义，，且满足对任意有，在数列中，．(1)求证：在上为奇函数．(2)求的解析式．(3)是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．18．已知数列中，，，(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，证明.19．已知．(1)求的通项公式；(2)令，为的前项之积，求证：．

答案题号12345678910答案DDABDCBADACCD题号11答案BCD1．D【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故，故公比，A错误，，故B错误，可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确，故选：D2．D【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案.【详解】由，可得，且，所以，根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为，故选：D．3．A【分析】由题意可得，，从而得，利用裂项相消得，再由的单调性，即可求得的最小值，即可得答案.【详解】，且．，易知也满足上式，为递增数列，当时，．故选：A．4．B【分析】本题通过分析函数的对称性，结合恰好有一个零点推出数列的递推关系，进而求出．【详解】函数，其中与的图象均关于直线对称，故的图象关于直线对称，因为时恰有一个零点，所以该零点为，即，将代入，结合，可得，，进一步可转化为，，由此可知，数列是以为首项，公比的等比数列，所以，，当时，，即．故选：B．5．D【分析】结合基本不等式和对勾函数的单调性确定的最小值后可得结论．【详解】，当且仅当时取等号，由对勾函数性质知时，是关于的单调增函数，所以，，依此类推，，所以的最小值是，故选：D．6．C【分析】由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案.【详解】由题意在递增数列中，，，则，故，则或，结合题意取；又，则或，结合题意取；同理，则或，结合题意取，同理，则或，结合题意取，同理，则或，结合题意取，同理可得，，，故前9项和的最小值，可得，故选：C7．B【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解.【详解】因为，所以，所以，则．又，所以是首项为3，公差为1的等差数列，所以，故，所以是递增数列，故有最小项，无最大项．故选:B8．AD【分析】根据递推关系可得，，即可结合选项求解ABC,利用累加法即可求解D.【详解】由题意可得，第2代中杂合子Aa出现的概率为，第3代中杂合子Aa出现的概率为，…，故第n代中杂合子Aa出现的概率，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，A正确；，B错误；由题意可得，第1代中杂合子Aa自交后在第2代中出现纯合子AA的概率为，所以第2代中出现纯合子AA的概率为，第2代中杂合子Aa自交后在第3代中出现纯合子AA的概率为，所以第3代中出现纯合子AA的概率为，…，故第n代中纯合子AA出现的概率，，不是等差数列，C错误；，D正确．故选：AD9．AC【分析】由“数列”的定义代入计算，即可判断ABC，由分组求和以及等比数列的求和公式代入计算，即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，由“数列”的定义知，数列是“数列”，故A正确；对于B，因为，所以，所以数列是“数列”，故B错误；对于C，因为数列是“”，所以存在常数使得对于任意都成立，显然对于任意都成立，所以对于任意都成立，数列是“数列”，故C正确；对于D，因为，所以，所以数列前2024项的和为，故D错误．故选：AC．10．CD【分析】将圆的方程化为标准方程的形式，其中为圆心坐标，为半径.通过配方可得圆的标准方程，从而确定圆心和半径.过圆内一点的最短弦是与圆心和该点连线垂直的弦，最长弦是直径.根据圆的性质求出和.再根据等差数列的通项公式，结合公差的范围求出的取值范围，进而确定可能的值.【详解】圆的方程可化为.所以圆心，半径.过点的最短弦是与垂直的弦，因为，，所以.根据勾股定理，.过点的最长弦为直径，所以.由等差数列通项公式，可得，即.因为，所以，，.故的值可能是5或6.故选：CD.11．BCD【分析】由题意（）从而可得，即，，可求得即可对A判断；由，依次两两结合相加可得可对B判断；由，，依次两两结合相加可得可对C判断；由题意可得，再将的各项依次展开，即可对D判断.【详解】A：，，，A错误.B：，B正确.C：，C正确.D：，，即，，，D正确.故选：BCD.12．6（答案不唯一）【分析】设等比数列的公比为，根据已知并应用等比数列通项公式求基本量，得，，问题化为恒成立求参数.【详解】设等比数列的公比为，由，得，，即，，两式相除得（负值舍去），则，所以，，由，得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，故m的一个可能取值为6.故6（答案不唯一）13．【分析】由题意先求，由得，令，计算，根据题意即可求解.【详解】由题意有，由，所以，令，所以，当时，，所以，所以，故答案为.14．【分析】记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为，分析可知，然后利用等比数列通项公式求得，即可求解.【详解】记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为，分析可知，当为奇数时，若，则仍然为奇数，当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，即，即，又，，所以数列为等比数列，所以，即，故．故15．5或6【分析】根据已知分析数列中，当时，且，根据前项和的概念即可求解.【详解】因为，所以当时，且当时，，所以数列中，当时，且，因为，所以最小时，或6.故或.16．【分析】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，利用全概率公式列式，再借助数列递推公式求通项判断作答.【详解】记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，，，则，于是得，即，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此，，即，所以n次传球后球在甲手中的概率是..故①；②.17．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）利用赋值法结合奇函数定义求解；（2）令，再利用奇偶性求得，利用等比数列的通项公式求通项；（3）由等比数列求和公式求得，从而问题转化为恒成立，即可求解.【详解】（1）当时，；令，得，即，对任意的，故在上为奇函数．（2）由满足，得．由在上为奇函数，得；由，得，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所有．（3），假设存在自然数，使得对于任意，有成立，即恒成立，则，解得．故的最小值为16．18．(1)证明见解析，；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，据此可完成证明及得到通项公式；（2）由（1）结合做差法可完成证