数列与不等式高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/数列与不等式高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知等差数列满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知等比数列的公比为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（

）A．存在唯一的公比，使得B．存在，使得恒成立C．若，当时，恒成立D．当时，恒成立7．已知数列满足，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．是递增数列二、多选题8．已知数列满足，，且，则（

）A． B．C．当时， D．9．（多选）已知数列的前n项和为，设，数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（

）A． B．是等差数列C．为偶数 D．11．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（

）A．或 B．或C．若，则 D．若，则12．设数列满足，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为．14．对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为．四、解答题15．已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，满足，，其中为非零常数.(1)若数列为等差数列（ⅰ）求；（ⅱ）记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数t的取值范围；(2)若，求数列的通项公式及.16．如图所示，，是抛物线上的一系列点，其中，，记直线、的斜率分别为，，.(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)记的面积为，求；(3)若，，.求证.注：中，若，，则面积.17．已知数列，若，且．(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．18．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式．(2)记，证明：．(3)记（），证明：．19．已知是等差数列，．(1)求的通项公式和．(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

答案题号12345678910答案CBAAADBACDBDABD题号1112答案ACABD1．C【分析】由已知可推得，根据方程有解得，即可得范围.【详解】若数列公差为，，即，所以，由题，关于的一元二次方程有解，则，解得或，故的取值范围为.故选：C2．B【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.【详解】由数列是递增的，则对恒成立，即，整理可得，对恒成立，因函数在时单调递增，则得.故选：B3．A【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，分析出成立的充要条件，进而判断即可.【详解】根据题意，成立时，有，结合，得，即，①当时，可得，所以，即；②当时，为偶数时，，可得，所以，为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立，综上所述，成立的充要条件是，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．A【分析】由题意设，，求出，构造函数，求导判断其单调性，可得值域．【详解】由实数构成公差为的等差数列，所以设，则，所以，构造函数，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在单调递增，所以的最小值为，当时，，当从负方向趋近于时，，所以，所以或，所以的取值范围为．故选：A．5．A【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可.【详解】数列是单调递增数列，可知当，时，单调递增，即或，解得；当时，单调递增恒成立，且，即；解得，所以若数列是单调递增数列，则，故选：A.6．D【分析】对于A，列出方程组求出判断；对于B，根据题意可知存在，使得即可判断；对于C，求得，易得即可判断；对于D，根据题意，时，可证得，即，得到，再利用即可判断.【详解】对于A，由题得，解得不符合题意，故A错误；对于B，，又，则，当时，即，解得，又，所以存在，使得，故B错误；对于C，，则，，时，，则，故C错误；对于D，，，，又，所以当时，，即时，，又，，则，所以，即，故D正确；故选：D.7．B【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C.【详解】因为，所以,两式相减得，则，则，所以，A说法错误；，，而，故B说法正确；设，记，则故，即在上恒成立，所以，故C错误；，所以，故不是递增数列，D说法错误；故选：B8．ACD【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.【分析】对于B，由，得，即，整理得，当时，，满足上式，因此，B错误；对于A，，即，又，解得，A正确；对于C，当时，，又，因此，即，C正确；对于D，由，得，又，，因此，令函数，求导得，函数在上单调递增，，即，因此，即，D正确.故选：ACD关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列满足，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.9．BD【分析】先由题设结合依次求出、、，由基本不等式即可计算判断A；由数列单调性即可计算判断B；构造函数，并利用导数工具研究该函数性质得到即可分析计算判断C；先由C得到则，接着构造函数并利用导数工具研究函数性质得到即可判断D.【详解】因为的前n项和为，所以当时，当时，，满足，故，则，，对于A，，当且仅当时，等号成立，A错误；对于B，因为，均单调递增，所以，B正确；对于C，设，则，所以在上单调递减，故，故，故，故，C错误；对于D，由C选项的分析可知，则，设，则，故在上单调递增，故，即，故，故，D正确．故选：BD10．ABD【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断.【详解】根据题意，当时，，累加得，，易知也满足，所以，，故A正确；，故B正确；为奇数，故C错误；，，，，即，故D正确；故选：ABD.11．AC【分析】根据等比数列通项公式计算得出通项，再分类讨论应用通项公式及求和公式计算求解判断各个选项.【详解】等比数列中，，，设为数列的公比．所以，所以或.当时，；当时，，所以A选项正确，B选项错误；若，则，则，C选项正确；若，则当，则，D选项错误；故选：AC.12．ABD【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D.【详解】对于A，，因为，根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确；对于B，，所以，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，累乘可得：，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，数列的前项和为，所以，故D正确.故选：ABD.关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得.13．【分析】根据递增数列的定义列不等式组求解即得.【详解】因为，且为递增数列，所以，即，解得，故14．【分析】先求数列的通项公式，再分析数列的单调性，求其最小值即可.【详解】根据题意，令，则，所以数列为等比数列，且，公比，所以.对数列，由.随着的增大，的值越来越大.且当时，；当时，.所以数列的最小值为.由对于任意的恒成立，则的最大值为.故15．(1)（ⅰ）；（ⅱ）(2)，【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解（ⅰ），利用裂项求和化简，进而分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值，即可求解（ⅱ），（2）根据的关系作差可得数列的奇偶项均为等差数列，进而可求解通项，利用等差数列求和公式结合分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，而，解得，当时，，解得（ⅰ）由数列为等差数列，得，则，解得，则，，公差为2，.（ⅱ）记则则对恒成立，即对恒成立，因在上单调递增，故时，取到最小值，所以的取值范围是.（2）当时，有，，两式相减，整理得，而，故得，当时，，解得，故数列的奇数项是首项，公差为3的等差数列，；数列的偶数项是首项，公差为3的等差数列，，时，数列的通项公式是；当为偶数时，，当为奇数时，，时，数列的前项和为.16．(1)证明见解析；(2)(3)证明见详解【分析】（1）由已知可得,由累加法可得的通项公式;（2）利用（1）的结论求得,可求;（3）放缩法可得,可证结论.【详解】（1），同理,由，得，又,所以，则是首项为,公比为的等比数列,所以,（2）由(1)可得令，则，同理可得所以，即（3）由(2)可得,，由，可得，则所以关键点点睛：第三问关键点在于利用放缩法可得进而可求证.17．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据得到是首项为2，公比为2的等比数列，据此即可得到数列的通项公式；（2）根据与（1）求出，进而求出，求出，要使不等式对任意正整数n恒成立，即求出最大值，解出不等式组即可.【详解】（1），，又，是首项为2，公比为2的等比数列，，；（2），且结合（1）得，，，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即，由题意可得，解得，只需，解得，综上所述，实数a的取值范围是．18．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据与关系即可求得答案；（2）由（1）求出，将放缩，和再求和得证；（3）由，从第3项开始放缩求和，得证.【详解】（1）由，可得．当时，，解得，当时，，整理得（），∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列，∴.（2）∵，∴．又，∴．结论得证.（3）由题意知，，得证.19．(1)，；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，取，当时，，取，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算