专题17圆锥曲线的定义、方程与性质2026年高考数学第二轮专题复习练 含答案

/2026高考数学第二轮专题专题突破练17圆锥曲线的定义、方程与性质必备知识夯实练1.(2025湖北黄冈二模)设abc≠0,“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2025安徽淮北二模)若抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:x2m+y23=1(A.2 B.23 C.4 D.83.(2025江苏苏州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上、下顶点分别为B2,B1,点D在线段B1F上,且|B1D|=2|DF|.若ODA.13 B.C.22 D.4.(2025浙江台州二模)已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,且|AB|=|BF1|,cos∠ABFA.203 B.21C.263 5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A,若∠FA.x216−y24=C.x24-y2=1 D.x2-y6.(多选题)(2025山东泰安二模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为A.若a=2,b=3,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为3B.若点P在双曲线C上,则直线PF1与PF2的斜率之积为bC.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P,且|PO|=|PF2|,则双曲线C的离心率e=3+1D.若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A,B两点,∠AF1O=π3,则双曲线C的渐近线方程为y=±237.(多选题)(2025安徽黄山二模)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,点A(8,8)在抛物线上,过点F作直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列说法正确的是()A.|MN|的最小值为4B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切C.当MF=2FN时,则|MN|=9D.OM·ON8.(2022全国甲,文15)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=29.(2025江西宜春一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上且位于第一象限,过点P作直线垂直于C的准线,垂足为A,若直线AF的倾斜角为2π3,则|PF|=10.(2025湖北宜昌二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|BF2|,关键能力提升练11.(2025河北秦皇岛二模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),过点A且斜率为k的直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,与C交于第一象限的一点B.若A.[3,3+22]B.[3,3+43]C.[3+22,7+43]D.[3+43,7+43]12.(多选题)(2025陕西西安二模)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为A.若C的渐近线的斜率为±12,则C的离心率为B.若C的渐近线方程为y=±33x,且点(2,33)在C上,则C.过点F2的直线与C的右支相交于A,B两点,若|AB|=4a,∠F1AB=90°,则C的离心率为10D.若C的左、右顶点分别为M,N,且P是C上异于M,N的一点,则直线PM,PN的斜率之积为b13.(2025山东菏泽模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥F1Q,S核心素养创新练14.(多选题)(2025浙江杭州二模)设曲线C:x24-y|y|=1,直线y=ax+b与曲线C的交点的可能个数的集合记为D(a,b),则(A.D(a,b)={0,1,2,3}B.D(a,2)={0,1,2}C.D(a,-3a)={0,1,2}D.若D(a,b)={3},则|a|>12且b<

答案：1.A解析若曲线ax2+by2=c为椭圆,则该椭圆的标准方程为x2ca+y2c因为椭圆中分母须大于0,所以ca>0且cb>0,又因为abc≠0,那么ac>0且bc>当ac>0时,比如a=b=1,c=1,此时曲线方程为x2+y2=1,它表示的是圆不是椭圆,必要性不成立.所以“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件.故选A.2.C解析在抛物线y2=4x中,焦点坐标为(1,0).所以椭圆的焦点在x轴上,且c=1(c为椭圆的半焦距).在椭圆中,m=a2=3+1=4,又因为a>0,所以a=2.则椭圆的长轴长为2a=2×2=4.故选C.3.B解析由题可得,点B2(0,b),A(a,0),F(c,0),∴B2A=(a,∵|B1D|=2|DF|,则点D为线段B1F靠近点F的三等分点,故D(23c,-13b),OD=(23c,-13b),B2A由OD∥AB2得23ca=-4.B解析由双曲线定义得,|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,|F1F2|=2c.设|BF1|=|AB|=m,则|BF2|=m-2a,由图,|AF2|=|AB|-|BF2|=2a,|AF1|=4a,在△ABF1中,由余弦定理得cos∠ABF1=m2解得m=3a,∴|BF2|=m-2a=a.在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F2BF1=cos∠ABF1=9a∴7a2=3c2,故离心率e=ca=5.D解析抛物线y2=45x的准线方程为x=-5,则c=5,则F1(-5,0),F2(5,0),不妨设点A为第二象限内的点,联立y=-b即点A(-c,bca)因为AF1⊥F1F2,且∠F1F2A=π4则△F1F2A为等腰直角三角形,且|AF1|=|F1F2|,即bca=2c,可得ba=2,所以b因此双曲线的标准方程为x2-y24=1.6.ACD解析由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离为b,故A正确;当点P为双曲线顶点时,直线PF1与PF2的斜率之积为0,故B错误;由题意点P在圆x2+y2=c2上,又|PO|=|PF2|,所以xP=c2,代入圆的方程,可得yP=3c2,将点P(c2即b2a2=3+所以e=ca=直线l的方程为x=c,与渐近线y=±bax相交于A(c,bca),B(c,-所以F1A=(2c,bca),F1O=(c,0),即cosπ3=F1A·F1O|故选ACD.7.BCD解析由题得,82=2p×8,解得p=4,则C:y2=8x,F(2,0),由题可设直线MN:x=ty+2,联立抛物线方程得y2-8ty-16=0,显然Δ>0,所以y1+y2=8t,y1y2=-16,则|MN|=1+t2·(y1+由抛物线的定义知|MN|=x1+x2+4,而线段MN的中点横坐标为x1所以线段MN的中点与直线x=-2的距离为x1+x2所以以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切,B正确;若MF=2FN,且y1>0>y2,则y1=2|y2|,而y1y2=-16,所以y1=42,y2=-22,则y1+y2=8t=22⇒t=2所以x1+x2=t(y1+y2)+4=24×22+4=5,则|MN|=x1+x2+4由OM·ON=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-故选BCD.8.2(答案不唯一,只要1<e≤5解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需0<ba≤2即可.由0<ba≤2,得0<c29.4解析因为抛物线C:y2=4x的焦点为F,所以F(1,0),由题意可得∠APF=∠PFx,∠APF+∠AFP+∠FAP=π,所以∠FAP=π-∠AFx=π-2π3又由抛物线定义得|PA|=|PF|,所以△PAF为等边三角形,设准线与x轴交于点F',在Rt△AFF'中,∠FAF'=30°,所以|AF|=2|FF'|=4,所以|PF|=|AF|=4.10.33解析由已知可设|F2则|AF2|=2x,|BF1|=|AB|=3x,由椭圆的定义有|BF1|+|BF2|=2a=4x,故x=a∴|AF2|=a=|AF1|,|BF1|=|AB|=3a2,故点A在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=a在△AOF2中,设∠OAF2=θ,故cos∠F1AB=cos2θ=1-2sin2θ=13,得sin2θ=1故e=ca=|O11.A解析依题意,点A(-a,0),直线l的方程为y=k(x+a),圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为(c,0),半径为c-a,由直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,得|k(令双曲线离心率为e,又33≤k≤1,则因此1+2e-1=1+1k2∈[2,2],即2-1所以C的离心率的取值范围是[3,3+22].故选A.12.ACD解析对于A,由C的渐近线的斜率为±12,则b所以C的离心率为1+b对于B,由C的渐近线方程为y=±33x,设C:x23-y2=k又点(2,33)在C上,所以43−13=1=k,即C:所以a=3,故B错误;对于C,由过点F2的直线与C的右支相交于A,B两点,不妨设|AF2|=m,|BF2|=n,若|AB|=4a,∠F1AB=90°,则|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,在Rt△AF1B中,由勾股定理得(2a+m)2+(m+n)2=(2a+n)2,结合m+n=4a,解得m=a,n=3a,故|AF1|=3a,|AF2|=a,在Rt△AF1F2中,由勾股定理得(2c)2=(3a)2+a2,即4c2=10a2,所以e=ca对于D,设P(x0,y0)(x0≠±a),则x02a2−y又M(-a,0),N(a,0),所以kPM·kPN=y0x故选ACD.13.53解析由S△QF1F2=2S△PF1F2,可得|QF2|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-2m,由PQ⊥F1Q,则|PF1|2=|PQ|2+|QF1|2,即(2a-m)2=9m2+在Rt△QF1F2中,有|F1F2|2=|QF1|14.ACD解析当y≥0时有C:x24-y2=1,且渐近线为y=±x2,当y<0时有C:x24图1曲线上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线关于y轴对称,根据对称性,只需讨论a≥0的情况.若a=0,当b<-1时,直线y=ax+b与曲线无交点;当b=-1时,直线y=ax+b与曲线有1个交点;当b>-1时,直线y=ax+b与曲线有2个交点;当0<a≤12,b<-图2由图知,以直线y=ax+b与椭圆部分相切为界,此时有1个交点;此时a不变,b→-1,直线与曲线有2个交点;b→-∞,直线与曲线无交点,所以当0<a≤12,当b≥-1时,∀a∈(0,12),直线y=ax+b当a>12,如图3,分别以直线y=ax+b图3直线在双曲线部分相切线上方时,直线与曲线恒有1个交点;直线与双曲线部分相切时,直线与曲线恒有2个交点;直线在椭圆相切线下方时,直线与曲线无交点;直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有1个交点;直线在两条相切线之间时,直线与曲线有3个交点.综上,D(a,b)={0,1,2,3},A正确;对于直线y=ax+2恒过点(0,2),随a的变化与曲线位置,如图4.图40≤a<12时直线与曲线恒有2个交点;a≥所以y=ax+2与曲线的交点个数可能有1,2两种可能,即D(a,2)={1,2},B错误;对于y=a(x-3),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行