2026年高考数学第一轮专题复习：圆锥曲线综合 含答案

/高考数学一轮复习圆锥曲线综合一．选择题（共8小题）1．（2025•泰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），点P（x，y）是平面内的一个动点，若以PF为直径的圆与圆D：x2+y2＝1相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线l分别与直线y=3x，y=−3x相交，交点为A．[3，23]C．[2，23] 2．（2025春•资中县校级期中）已知四边形ABCD满足|AB→+AD→|=|AB→−AD→|，且|AB→|=|AD→|=2．设平面内有一点P满足AP→=λA．322 B．522 C．3．（2025•望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且|AP|=210A．55π B．255π 4．（2025•张家口二模）在锐角三角形PMN中，|MN|＝2，PQ⊥MN，垂足为Q，2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2，则点P的轨迹为（）A．长轴长为2，离心率为12的椭圆的一部分B．长轴长为22，离心率为22C．实轴长为2，离心率为3的双曲线的一部分 D．实轴长为22，离心率为65．（2025春•雁塔区校级期中）设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以坐标原点O为圆心、|OF2|为半径的圆与E的渐近线在第一象限的交点为M，直线MFA．2 B．10+12 C．2+6．（2025春•普陀区校级期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（）①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题7．（2025春•普陀区校级期中）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”是P′(yx2+y2，−xx①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②圆心在坐标原点O的单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称．A．② B．③ C．①② D．②③8．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C1：x2=2py(p＞0)的焦点为F，双曲线C2：y2a2−xA．y=±14x B．y=±3二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点(32，32)，点P（x0，y0）（A．当x0=2时，yB．x0的取值范围是(0，3C．直线x+y＝3是曲线的一条切线 D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1（多选）10．（2025•天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（）A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为2 B．满足|MP|=6的点PC．存在点P满足∠APM＝90° D．存在点P满足PA+PM＝4（多选）11．（2025•揭阳模拟）已知曲线C：|x|+|y|=1一条不过原点的动直线l与xA．曲线C有4条对称轴 B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π C．当|AB|=22时，线段AB中点的轨迹与曲线CD．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切（多选）12．（2025•永州三模）已知平面内动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与到定直线l：y＝4的距离之和等于6，其轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A．若y≤4，则点P的轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线的一部分 B．P点横坐标的取值范围是[−43C．若过点F的直线与曲线C的y≥4部分图象和y＜4部分图象分别交于A，D，则AF＝2DF D．对给定的点T（﹣2，t）（t∈R），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为5三．填空题（共4小题）13．（2025•日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−23，0)，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD14．（2025春•宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为．①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．15．（2024秋•延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点F(①曲线C关于x轴对称；②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．其中，所有正确结论的序号是．16．（2025•通州区模拟）已知点P（x，y）是曲线C：x2+y2＝1+|xy|上任意一点，有以下四个结论：①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1；③点P到坐标原点距离的最大值为2；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4．其中正确结论的序号是．四．解答题（共4小题）17．（2025•汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为−1（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．①求直线l的方程；②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．18．（2025•江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ→=32PQ（1）求曲线C的方程；（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．19．（2025•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2=1（a＞0），离心率为233，点P是C1（1）求C1的方程；（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．20．（2025春•云岩区校级期中）若双曲线C：x2（1）求双曲线C的方程；（2）设过焦点F的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点（不重合），①求直线l的倾斜角的取值范围；②在x轴上是否存在定点M，使得直线MA和MB的斜率之积为常数，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

高考数学一轮复习圆锥曲线综合答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•泰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），点P（x，y）是平面内的一个动点，若以PF为直径的圆与圆D：x2+y2＝1相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线l分别与直线y=3x，y=−3x相交，交点为A．[3，23]C．[2，23] 【考点】轨迹方程．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹方程，再设出点M，N的坐标，并表示出点Q，将三角形面积表示为λ的函数，借助对勾函数的性质求出范围．解：由题，如图，依题意，以PF为直径的圆的圆心为(x+22，y2)由两圆相切，得(x+22设M(m，由MQ→=λ而点Q在x2−y整理得mn=(1+λ)24λ则∠MON△MON的面积S△对勾函数f(λ)=则2=f因此3≤SΔMON≤故选：D．【点评】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．2．（2025春•资中县校级期中）已知四边形ABCD满足|AB→+AD→|=|AB→−AD→|，且|AB→|=|AD→|=2．设平面内有一点P满足AP→=λA．322 B．522 C．【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；定义法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．【正确答案】B【分析】根据数量积的运算律得到AB→⋅AD→=0，即可得到平行四边形ABCD为正方形，建立平面直角坐标系，求出P点的轨迹方程，即可求出E、F的坐标，再作E关于x轴对称的点为E′，作F解：因为|AB→+AD→|＝|AB→−AD→|，所以AB→所以AB→•AD→=0，所以AB→⊥AD→所以平行四边形ABCD为正方形，建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），B（2，0），D（0，2），所以AB→=（2，0），设P（x，y），则AP→=（x，因为AP→=λAB→+（5所以AP→所以x=2λy=52−2令x＝2，可得y=12，所以E（2，令y＝2，可得x=12，所以F（作E关于x轴对称的点为E′（2，−12），作F关于y轴对称的点为F′（则|E所以|EG→|+|GH→|+|HF→|=|所以|EG→|+|故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了点的轨迹方程应用问题，是中档题．3．（2025•望城区校级一模）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且|AP|=210A．55π B．255π 【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】D【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出r，最后按照圆的周长求得即可．解：由于|AP|=210如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，AN⊥PN，设|PN|＝r，|MN|＝d，在△ANP和△MNP中使用勾股定理有(25解得r=255d故选：D．【点评】本题主要考查点的轨迹的判断，考查计算能力，属于中档题．4．（2025•张家口二模）在锐角三角形PMN中，|MN|＝2，PQ⊥MN，垂足为Q，2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2，则点P的轨迹为（）A．长轴长为2，离心率为12的椭圆的一部分B．长轴长为22，离心率为22C．实轴长为2，离心率为3的双曲线的一部分 D．实轴长为22，离心率为6【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】D【分析】建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，结合题意即可求解动点P的轨迹方程．解：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨令M（﹣1，0），N（1，0），设P（x，y），则Q（x，0），因为△PMN是锐角三角形，所以x∈（﹣1，1），则|QM|＝1+x，|QN|＝1﹣x，|PQ|＝|y|，因为2|QM|•|QN|＝|MN|2﹣|PQ|2，所以2（1+x）（1﹣x）＝4﹣y2，即2﹣2x2＝4﹣y2，整理得y22−且双曲线的实轴长为22，离心率为1+2故点P的轨迹为实轴长为22，离心率为6故选：D．【点评】本题考查了求解动点的轨迹方程，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．5．（2025春•雁塔区校级期中）设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以坐标原点O为圆心、|OF2|为半径的圆与E的渐近线在第一象限的交点为M，直线MFA．2 B．10+12 C．2+【考点】圆与圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．【正确答案】B【分析】易得M（a，b），再由MN→=2NF1→，得到解：如图所示：设E的焦距为2c，M（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由题知|OM|＝c，又点M在E的渐近线y=bax上，所以y0=b因为|MN|＝2|NF1|，所以MN→设N（x，y），则x−a=2(−又点N在E上，所以(a−2c)29a2−b得4c2﹣4ac﹣9a2＝0，则4(c所以E的离心率ca故选：B．【点评】本题考查双曲线的综合应用，属于中档题．6．（2025春•普陀区校级期中）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|•|QM|＝1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（）①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】B【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有1x解：对于①，不妨设椭圆方程为x2a2+y则椭圆上一点P到M距离为|PM当m＞a时，对称轴x=m1−b2a2＞a，可得|PM|∈总存在m使得（m﹣a）（m+a）＝1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无穷大，|PM|∈[m，+∞），故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误．故选：B．【点评】本题考查曲线与方程的关系，关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点M距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可，属于中档题．7．（2025春•普陀区校级期中）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”是P′(yx2+y2，−xx①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②圆心在坐标原点O的单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称．A．② B．③ C．①② D．②③【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】D【分析】利用“伴随点”的定义可判断①；在圆x2+y2＝1上任取一点A（x，y），推导出其“伴随点”A仍在该圆上，可判断②；在曲线C上取两点A（x，y）、B（x，﹣y），推导出这两点的“伴随点”在曲线C上，可判断③．解：对于①，取点A（x，y），若点A不是原点，则A′（yx2+设点A′的“伴随点”为M（m，n），则m=n=即点A′的伴随点为M（﹣x，﹣y），①错；对于②，在圆x2+y2＝1上任取一点A（x，y），则点A的伴随点为A′（yx2+y2，−xx因为y2+（﹣x）2＝1，即点A′在圆x2+y2＝1上，所以圆心在坐标原点O的单位圆的“伴随点曲线”是它自身，②对；对于③，在曲线C上取两点A（x，y）、B（x，﹣y），这两点关于x轴对称，点A的“伴随点”为A′（yx2+y2，−点A′、B′都在“伴随曲线”C′上，且点A′、B′关于y轴对称，故曲线C′关于y轴对称，③对．故选：D．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．8．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C1：x2=2py(p＞0)的焦点为F，双曲线C2：y2a2−xA．y=±14x B．y=±3【考点】圆锥曲线的综合；求双曲线的渐近线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】C【分析】求解p与a的关系，设出B的坐标，结合已知条件，求解B的坐标，代入双曲线方程，求解a，b的关系，得到双曲线的渐近线方程．解：抛物线C1：x2=2py(p＞0)的焦点为F（0，p与抛物线C1交于A，B两点，若△AOB为等腰直角三角形，其中O为坐标原点，可设B（m，m），B的坐标代入抛物线方程，可得m＝2p，所以B（2p，2p）代入双曲线方程，可得4p2aab=154，所以双曲线的渐近线方程为：故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，双曲线的渐近线方程的求法，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•聊城二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：x3+y3＝3axy（a＞0），其中a是参数．已知某笛卡尔叶形线过点(32，32)，点P（x0，y0）（A．当x0=2时，yB．x0的取值范围是(0，3C．直线x+y＝3是曲线的一条切线 D．若x+y＝t是曲线的渐近线，则t＝﹣1【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】BCD【分析】由笛卡尔叶形线过点(32，32)，得曲线方程为x3+y3＝3xy，设y0的最大值为m＞0，则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，构造函数f（x）＝x3﹣3mx+同理即可判断B；若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，联立方程组即可判断C；根据极限思想即可判断D．解：由笛卡尔叶形线过点(32，32所以x3+y3＝3xy，对于A，设y0的最大值为m＞0，则曲线与y＝m在第一象限只有一个交点，联立得x3+m3＝3xm，设f（x）＝x3﹣3mx+m3，x＞0，令f'（x）＝3x2﹣3m＝0，解得x＝m12当x∈（0，m12）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，m1当x∈（m12，+∞）时，f'（x）＞0，则f（y）在（m12，+∞）单调递增，又f（0）＝m所以必满足f（m32即f（m12）＝m32−3m•m12+m3＝﹣2m32+m3＝m32所以y0的最大值为223，此时x0＝m12=（223对于B，设x0的最大值为t＞0，则曲线与x＝t在第一象限只有一个交点，联立得t3+y3＝3ty，与A同理得，t=223=34，所以对于C，若直线x+y＝3是曲线的一条切线，则x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，联立得x3+（3﹣x）3＝3x（3﹣x），整理得4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2＝0，所以方程有2个相等的实数根，所以x+y＝3与曲线在第一象限只有一个交点，故C正确；对于D，因为曲线过（0，0），所以x＝0不是曲线渐近线，设曲线的渐近线为y＝mx+b（m≠0），代入曲线方程得（m3+1）x3+（3m2b﹣3m）x2+（3b2m﹣3b）x+b3＝0，同时除以x3≠0得，(m当x→∞时，1x，1则上式为（3b+3）1x+（3m﹣3b）1x2+1x3=当x→∞，1x→0，1x所以曲线的渐近线为y＝﹣x﹣1，即x+y＝﹣1，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．（多选）10．（2025•天河区模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点（包括边界），则（）A．满足MP∥平面BDA1的点P的轨迹长度为2 B．满足|MP|=6的点PC．存在点P满足∠APM＝90° D．存在点P满足PA+PM＝4【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；向量法；立体几何；逻辑思维．【正确答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定、点的轨迹方程、向量垂直的数量积表示以及最短距离问题对各选项逐一分析．解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），M（2，2，1），设P（x，y，2），其中0≤x≤2，0≤y≤2，对于A，BD→=（﹣2，2，0），BA1→=（﹣2，0，2），易知平面BDA1的法向量n→=（1，1，1），若MP∥平面BDA1，则MP→•n→=故点P轨迹为连接C1D1和B1C1的中点的线段，长度为12+1对于B，|MP|=6时，（x﹣2）2+（y则点M轨迹是底面A1B1C1D1上以为C1圆心，以5为半径的圆弧，圆心角为90°，故P的轨迹长度为52π＞对于C，AP→=（x，y，2），令AP→•MP→=0，得x（x即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0，解得x＝1，y＝1，故存在点P（1，1，2）满足∠APM＝90°，C正确；对于D，点M关于平面A1B1C1D1的对称点M'（2，2，3），则PA+PM≥AM'=17因为4＜17，所以不存在点P满足PA+PM＝4，故D故选：AC．【点评】本题主要考查线面平行的判定、动点的轨迹问题、向量垂直的判定以及最短距离问题，属于中档题．（多选）11．（2025•揭阳模拟）已知曲线C：|x|+|y|=1一条不过原点的动直线l与xA．曲线C有4条对称轴 B．曲线C形成封闭图形的面积大于4﹣π C．当|AB|=22时，线段AB中点的轨迹与曲线CD．当|OA|+|OB|＝1时，直线l与曲线C相切【考点】曲线与方程；轨迹方程．【专题】计算题；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】选项A：通过分析方程|x|+|y|=1的对称性，判断对称轴数量．选项B：计算曲线在第一象限的积分面积，再乘以4，与4﹣π解：选项A：曲线C关于x轴、y轴、直线y＝x和y＝﹣x对称．将x替换为﹣x或y替换为﹣y，方程不变；交换x和y的位置，方程形式不变．因此，曲线C有4条对称轴，选项A正确；选项B：计算曲线C的面积．在第一象限内，方程为x+y=1积分计算第一象限面积：01总面积为四倍第一象限面积，即23≈0.6667，由于4﹣π≈0.8584，显然23选项C：当|AB|=22时，线段该圆与曲线C在点（±0.25，±0.25）处相切．在第一象限点（0.25，0.25），曲线C的切线斜率为﹣1，与圆在此点的切线斜率相同，选项C正确．选项D：当|OA|+|OB|＝1时，直线方程为xa+yb=1无论a和b的符号如何，直线与曲线C均相切．例如，当a＝b＝0.5时，直线x+y＝0.5在点（0.25，0.25）处与曲线相切，选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．（多选）12．（2025•永州三模）已知平面内动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与到定直线l：y＝4的距离之和等于6，其轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A．若y≤4，则点P的轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线的一部分 B．P点横坐标的取值范围是[−43C．若过点F的直线与曲线C的y≥4部分图象和y＜4部分图象分别交于A，D，则AF＝2DF D．对给定的点T（﹣2，t）（t∈R），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为5【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据已知确定动点P（x，y）满足的方程为x2+(y−2)2+|y−4|=6整理可得轨迹为曲线C：x2＝48﹣4y﹣12|y﹣4|，根据曲线C分析，当y≤4时，即可判断A；讨论y≤4，y＞4时，确定x2的范围，从而可得P点横坐标的取值范围，即可判断B；确定曲线C的端点，从而得直线MF，NF的斜率，设直线AD的方程为y＝kx+2，从而得k的范围，从而联立直线与曲线C，得A，D的横坐标，从而确定AF，DF关系，即可判断C；确定直线x＝﹣2与曲线C的交点E，G的坐标，分别讨论t≥23解：由于平面内动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与到定直线l：y＝4的距离之和等于6，则|PF|+|y﹣4|＝6，所以x2整理得轨迹为曲线C：x2＝48﹣4y﹣12|y﹣4|；对于A，若y≤4，则轨迹为曲线C化简得x2＝8y，0≤y≤4，则点P的轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线的一部分，故A正确；对于B，若y≤4，则曲线C为x2＝8y≥0，可得0≤y≤4，则x2∈[0，32]，若y＞4，则轨迹为曲线C化简得x2＝96﹣16y≥0，可得4＜y≤6，x2∈[0，32），综上，x2∈[0，32]，解得−42所以P点横坐标的取值范围是[−42，42对于C，由选项B，可得曲线C的图象如图所示，设曲线的左右端点为M(−42，4)，N所以kFN=4−2设直线AD的方程为y＝kx+2，则kFM≤k≤kFN，即−2联立y=解得x=联立y=解得x=当0≤k≤24时，则所以xA＝﹣2xD，故|AF|＝2|DF|，当−24≤所以xA＝﹣2xD，故|AF|＝2|DF|，综上，|AF|＝2|DF|恒成立，故C正确；对于D，设直线x＝﹣2与曲线C的交点为E，G，当x＝﹣2时，代入曲线C中可得y=12或y=23当t≥|PF|+|PT|≥|FT|≥|EF|，则m（t）=(|PF当t≤|PF|+|PT|≥|FT|≥|GF|，则m（t）=(|PF当12因为|EF|＞|GF|，则|PF|+|PT|＞|GF|，所以m(综上，m（t）的最小值为52故选：ACD．【点评】本题主要考查动点轨迹方程以及抛物线与直线的综合，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•日照二模）已知⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−23，0)，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】8．【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定S△BCD最大值．解：因为⊙O：x2+y2＝16与x轴相交于C，D两点，点A(−2又以AB为直径的圆与⊙O内切，所以作出示意图如下：设以AB为直径的圆的圆心为E，F(2因为两圆内切，所以|OE又OE为△ABF的中位线，所以|OE所以12所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，2a＝8⇒a＝4，c=2显然当B为椭圆短轴顶点即（0，±2）时，S△BCD的面积最大，最大值为12故8．【点评】本题考查圆的几何性质及应用，属中档题．14．（2025春•宝山区期中）曲线C为到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为③④．①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为64的矩形范围内．【考点】轨迹方程．【专题】动点型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【正确答案】③④．【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论．解：设P（x，y），则(x对于①，原点（0，0）代入方程，得2×2≠16，所以曲线C一定不经过原点，故①错误；对于②，以﹣y代替y，可得(x以﹣x代替x，可得(−x即曲线C关于x、y轴对称，故②错误；对于③，显然P、M、N三点不共线，设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ，则ab＝16，由余弦定理得cosθ=当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ为锐角，所以sinθ=则△MPN的面积为S△对于④，16=(可得﹣16≤x2﹣4≤16，得x2≤20，解得−25由③知S△MPN=12曲线C在一个面积为45故③④．【点评】本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．（2024秋•延庆区期末）已知曲线C：4y2﹣x|x|＝4，点F(①曲线C关于x轴对称；②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2；③曲线C上任意点P满足|PF|≥2；④曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个．其中，所有正确结论的序号是①②④．【考点】曲线与方程；命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】见试题解答内容【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到F(解：对于①：因为点（x，y），（x，﹣y）均在C上，所以曲线C关于x轴对称，故①正确；对于②：当x≤0，x2+4y2＝4，此时曲线是焦点为(5当x≥0时，曲线C的方程可化为y2对应的曲线为以(0，5)，(0，−5所以封闭图形面积大于△ABD的面积，因为△ABD面积为12所以曲线C与y轴围成的封闭图形的面积大于2，故②正确；对于③：当x≤0时，曲线的方程可化为x2此时|PF当x＝0时，|PF|min＝2，当x＞0时，y2此时|PF当x=43综上所述，曲线C上任意点P满足|PF对于④：方程可化为（x﹣m）2﹣4y2＝0，代入4y2﹣x|x|＝4中，可得（x﹣m）2﹣x|x|＝4，当x＞0时，2mx＝m2﹣4，当m＝0时，该方程无解，当m≠0时，解得x=当m＞2或﹣2＜m＜0时，解得x=当0＜m＜2或m＜﹣2时，解得x=当m＝±2时，x=所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4有一个正根，当0＜m＜2或m＜﹣2时，方程（x﹣m）2﹣x|x|＝4没有正根，所以当m＞2或﹣2＜m＜0时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有两个交点，当0≤m≤2或m≤﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x＞0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0没有交点，当x≤0时，（x﹣m）2﹣x|x|＝4可化为2x2﹣2mx+m2﹣4＝0，即(x当m=22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为当m=−22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为当|m|＞22时，方程2x2﹣2mx+当m＝2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝2（舍去）或x＝0，当m＝﹣2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的根为x＝﹣2或x＝0，当2＜m＜22时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为x当﹣2＜m＜2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0两个根为x3=m当−22＜m＜−2时，方程2x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根为所以当m＜−22或m＞2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣当−22＜m＜−2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2当﹣2＜m≤2或m=−22时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣当m＝﹣2时，曲线4y2﹣x|x|＝4（x≤0）与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0有三个交点，综上所述，曲线C与曲线（x﹣2y﹣m）（x+2y﹣m）＝0，（m∈R）的交点个数可以是0个、2个、3个、4个，故④正确．故①②④．【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理、分类讨论、数形结合和运算能力，属于难题．16．（2025•通州区模拟）已知点P（x，y）是曲线C：x2+y2＝1+|xy|上任意一点，有以下四个结论：①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1；③点P到坐标原点距离的最大值为2；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4．其中正确结论的序号是①③④．【考点】曲线与方程．【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】①③④．【分析】选项①，用（﹣x，﹣y）代替（x，y）验证；选项②，根据题中条件，得出x2+y2的范围，即可判断②；选项③，由x2+y2≥2|xy|⇒|xy|≤1，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，再列举来判断③；选项④，根据题意，可分析x∈（0，1），y＞0时的情况，确定第一象限部分图象应在y＝1，x＝1与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1，根据对称性，即可判定④．解：将（﹣x，﹣y）代入（﹣x）2+（﹣y）2＝1+|（﹣x）（﹣y）|，整理得x2+y2＝1+|xy|，所以是中心对称图形，将y替换为﹣y，方程变为x2+（﹣y）2＝1+|x（﹣y）|，即x2+y2＝1+|xy|，与原方程一致，故关于x轴对称；同理，关于y轴对称，故①正确；结论②：﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，反例：当x＝0.5时，代入方程解得|y|≈1.151＞1，因此y的取值范围可能超过1，结论②错误；点P到原点的距离平方为x2+y2＝1+|xy|≥2|xy|⇒|xy|≤1，可知当x＝y＝1时，|xy|取得最大值1，距离为2，因此结论③正确．故③正确；令x∈（0，1），y＞0可得y2﹣xy+x2﹣1＝0，令f（y）＝y2﹣xy+x2﹣1，因为Δ＝4﹣3x2＞0所以函数有两个零点，又因为f（0）＜0，f（1）＝x2﹣x＜0所以两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线C上当x∈（0，1）时y＞1，同理当y∈（0，1）时x＞1，即第一象限部分图象应在y＝1，x＝1与坐标轴围成的正方形外部，所以第一象限内的面积应大于1；由图象的对称性可得，曲线C所围成的区域的面积应大于4，故④正确．故选：①③④．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•汕头二模）已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于AB、AD的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．设y轴分别交AB、DC于点E、F，点P为平面上的动点，且直线PE、PF的斜率的积为−1（1）证明点P不在矩形ABCD的外部；（2）现将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线l的斜率为k．①求直线l的方程；②重新展平矩形ABCD，当折痕的长最大时，求折痕被点P的轨迹所截得的弦长．【考点】轨迹方程．【专题】数形结合；分类讨论；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）证明详见解析；（2）①y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；②160+483【分析】（1）根据所建直角坐标系以及直线PE、PF的斜率的积为−14，可求出点P轨迹方程，根据方程中x、（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1），分k＝0和k≠0进行讨论，k≠0时，利用A与G关于折痕所在的直线对称，可得点G坐标，以及线段AG中点坐标，可求出折痕所在的直线方程；②同样分k＝0和k≠0进行讨论，其中k≠0时又分为：（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交三种情形，比较后得出折痕最长时所在直线方程，再求出其与（1）中点P轨迹交出的弦长．解：（1）设P（x，y），由题设知E（0，﹣1）、F（0，1），从而y−1x⋅所以点P的轨迹为椭圆（去掉上下顶点），其范围是﹣2≤x≤2，﹣1＜y＜1，故点P不可能在矩形外部；（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为G（t，1）（﹣2≤t≤2），若k≠0，由A与G关于折痕所在的直线对称，有kAG•k＝﹣1，即2t所以G（﹣2k﹣2，1）（﹣2≤k＜0），AG中点坐标为（﹣k﹣2，0），从而折痕所在的直线方程y＝k[x﹣（﹣k﹣2）]，即y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k＜0）；若k＝0，则折痕所在直线方程为y＝0，也符合上述方程；故折痕所在的直线方程y＝kx+k（k+2）（﹣2≤k≤0）；②当k＝0时，折痕的长为4；当k≠0时，（i）若折痕所在的直线分别与边AD、BC相交，则交点坐标为N（﹣2，k2），M（2，k2+4k），此时，−2+3＜k（ii）若折痕所在的直线分别与边AD、AB相交，则交点坐标为N（﹣2，k2），M(−此时，−1≤k≤−2+3f′(令f'（k）＝0得k=−k∈[﹣1，−22）时，f'（k）＜0，f（k）递增，k∈[−22，﹣2+3）时，f'（k所以f(（iii）若折痕所在的直线分别与边CD、AB相交，则交点坐标为N(−k2此时，﹣2≤k＜﹣1，MN综上所述，当且仅当k=−2+3时，即折痕长的最大值为64(2−3由y=kx+k(k+2)x24+y2=1，得（1+4k2）x2+8所以x1+x故弦长d=1+【点评】本题主要考查轨迹方程、直线方程以及求直线与椭圆相交所得弦长，属于较难题．18．（2025•江西模拟）在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2＝4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ→=32PQ（1）求曲线C的方程；（2）过点N（3，0）的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）x24+【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），借助MQ→=32PQ（2）依题意，知道直线AB不垂直于y轴，设其方程为x＝my+3，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得S△AOB=解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则x02+y02=4，过P作x轴的垂线，垂足为因为MQ→=3则y=32y0x=整理得x2所以曲线C的方程为x2（2）依题意知道，直线AB不垂直于y轴，则设其方程为x＝my+3，由消去x，得x=并整理得（3m2+4）y2+18my+15＝0，Δ＝182m2﹣60（3m2+4）＝48（3m2﹣5）＞0，解得m2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y则S△令t=3m2−5当且仅当t=9t所以△AOB面积的最大值为3．【点评】本题考查椭圆、圆的方程的应用，属于中档题．19．（2025•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2=1（a＞0），离心率为233，点P是C1（1）求C1的方程；（2）过点P作C1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；（3）PC，PD是C2的两条切线，C，D是切点，求△PCD面积的最小值．【考点】圆锥曲线的综合；抛物线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）x2（2）证明过程见解析；（3）166【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；（2）设出直线AP的方