北师大版必修11.2利用二分法求方程的近似解教案

北师大版必修11.2利用二分法求方程的近似解教案教学内容分析本节课主要教学内容为北师大版必修11.2“利用二分法求方程的近似解”，包括二分法的概念、基本步骤（确定初始区间、计算区间中点、判断零点所在区间、迭代缩小区间）及实际应用（如求方程x²-2=0的近似解）。教学内容与学生已学的函数零点存在性定理（必修1）直接关联，二分法是该定理的实践应用，通过不断缩小零点所在区间逼近近似解，体现函数与方程的思想及算法初步意识。核心素养目标分析二、核心素养目标分析本节课通过二分法求方程近似解，发展学生的逻辑推理素养，引导学生理解区间缩小的逻辑步骤；强化数学运算素养，提升计算中点、判断区间端点的运算能力；渗透数学建模思想，将方程求解问题转化为算法模型；结合函数零点存在性定理，深化数学抽象素养，体会函数与方程的联系。通过实际应用（如求方程x²-2=0的近似解），培养数据分析与问题解决能力，体会算法思想在数学中的应用价值。教学难点与重点三、教学难点与重点1.教学重点，①二分法的概念及基本步骤（确定初始区间、计算中点、判断零点所在区间、迭代缩小区间）；②二分法与函数零点存在性定理的内在联系，理解定理为二分法提供理论支撑。2.教学难点，①准确判断零点所在区间，特别是函数在区间端点值的符号分析；②迭代过程中近似解精度的控制，理解“足够精确”的含义及终止条件；③将实际问题转化为用二分法求解方程的模型，体会算法思想的应用。教学方法与手段四、教学方法与手段教学方法：①讲授法，讲解二分法的概念、步骤及与函数零点存在性定理的联系；②讨论法，组织学生讨论如何确定初始区间及判断零点所在区间；③实验法，引导学生动手计算迭代过程，体会逼近思想。教学手段：①多媒体动画演示二分法迭代过程，直观展示区间缩小；②几何画板展示函数图像与零点位置，强化数形结合；③实物投影展示学生计算结果，及时反馈纠错。教学过程设计五、教学过程设计

**导入环节（5分钟）**

教师创设情境：“同学们，我们之前用零点存在性定理判断出函数f(x)=x²-2在区间(1,2)内有零点，但如何找到具体的近似值呢？比如√2≈1.414，我们能否一步步逼近它？”学生思考后，教师引出课题：“今天我们就学习一种精确求方程近似解的方法——二分法。”

**讲授新课（20分钟）**

1.**回顾旧知（2分钟）**

教师提问：“零点存在性定理的条件是什么？”学生回答：“函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0。”教师板书定理内容，强调“连续”和“异号”是关键。

2.**概念引入（3分钟）**

教师定义：“二分法就是通过不断将含零点的区间一分为二，逐步缩小零点所在范围，得到近似解的方法。”结合数轴动画演示区间缩小过程，学生观察“区间长度每次减半”的规律。

3.**步骤详解（10分钟）**

教师以f(x)=x²-2在(1,2)的求解为例，分步讲解：

①确定初始区间：f(1)=-1<0，f(2)=2>0，区间为(1,2)；

②计算中点：x₁=(1+2)/2=1.5，f(1.5)=0.25>0；

③判断新区间：f(1)<0，f(1.5)>0，零点在(1,1.5)；

④迭代：x₂=(1+1.5)/2=1.25，f(1.25)=-0.4375<0，零点在(1.25,1.5)。

师生互动：教师提问“中点值如何计算？”“新区间如何确定？”，学生口答，教师板书每步结果。

4.**示例应用（5分钟）**

分组任务：“用二分法求f(x)=x³-x-1在(1,2)的近似解，迭代2次。”小组合作计算，展示过程：f(1)=-1<0，f(2)=5>0，x₁=1.5，f(1.5)=0.875>0，新区间(1,1.5)；x₂=1.25，f(1.25)=-0.2969<0，新区间(1.25,1.5)。教师点评“计算准确，区间判断正确”。

**巩固练习（15分钟）**

1.**基础练习（5分钟）**

独立完成：“用二分法求x²-3=0在(1,2)的近似解，迭代1次。”学生板演：f(1)=-2<0，f(2)=1>0，x₁=1.5，f(1.5)=-0.75<0，新区间(1.5,2)。教师巡视，纠错“中点计算错误”问题。

2.**拓展讨论（7分钟）**

小组问题：“若要求精度为0.1，迭代f(x)=x²-2在(1,2)的零点，至少需要几次迭代？”学生讨论：初始区间长度1，每次减半，设n次后长度1/2ⁿ<0.1，解得n≥4。教师追问“为什么区间长度能代表精度？”，学生回答“零点在区间内，区间越小，近似值越精确”。

3.**实际应用（3分钟）**

教师举例：“用二分法估算方程lgx=x-2的解，区间(2,3)。”学生快速判断f(2)=-0.3010<0，f(3)=0.4771>0，确定初始区间，体会方程求解的实际意义。

**课堂小结（3分钟）**

学生总结：“二分法的步骤是‘定区间、算中点、判区间、再迭代’，关键是区间端点值异号和逐步缩小范围。”教师补充：“二分法体现了算法思想，是数学与计算机的结合。”

**板书设计**

标题：1.2利用二分法求方程的近似解

1.步骤：①定区间②算中点③判区间④再迭代

2.示例：f(x)=x²-2，(1,2)→(1,1.5)→(1.25,1.5)

3.关键：连续、异号、精度控制

总用时：5+20+15+3=43分钟教师随笔Xx教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学史资源：介绍古代数学中“盈不足术”与二分法的思想渊源，如《九章算术》中通过“两次假设”逼近真值的方法，体现中西方数学算法思想的异同；对比古希腊阿基米德用“穷竭法”求圆周率的迭代思想，强化学生对算法迭代性的历史认知。

（2）方法拓展资源：介绍二分法的变体方法，如黄金分割法（0.618法）在优化问题中的应用，对比其与二分法在收敛速度上的差异；简要提及牛顿迭代法的基本原理，说明其通过切线逼近零点的高效性，为后续选修课程埋下伏笔。

（3）应用拓展资源：列举二分法在物理中的实际应用，如通过测量电阻两端电压和电流值，利用欧姆定律方程R=U/I求解未知电阻；在工程中，通过二分法优化机械零件的尺寸参数，使误差控制在允许范围内。

（4）计算机科学资源：说明二分法在算法设计中的基础地位，如数据库查询中的“分治思想”、二分查找算法的实现原理，结合具体案例（如有序数组查找）展示数学与计算机的深度融合。

（5）综合例题资源：提供含参方程的二分法求解例题（如f(x)=x²+ax-1在(0,1)内零点的参数范围问题）；设计多根方程的区间划分问题（如f(x)=x³-3x+1在(-2,2)内的三个零点求解），提升学生复杂情境下的分析能力。

2.拓展建议：

（1）动手实践建议：引导学生使用Excel表格实现二分法迭代过程，通过公式计算中点值、函数值及区间长度，直观感受“区间长度趋近于0”的逼近过程；鼓励学有余力的学生尝试用Python编写二分法程序，输入初始区间和精度要求，输出近似解及迭代次数，培养算法思维。

（2）跨学科探究建议：结合物理中的“单摆周期公式T=2π√(l/g)”，设计实验测量周期T和摆长l，通过变形方程g=4π²l/T²，利用二分法求解重力加速度g的近似值，体会数学在实验数据处理中的应用。

（3）深度阅读建议：推荐阅读《数学中的美》中“算法的智慧”章节，了解二分法在现代科技（如GPS定位、数据压缩）中的作用；查阅《九章算术》“盈不足术”的现代解读，撰写小论文对比古今算法思想。

（4）问题解决建议：挑战“用二分法求方程e^x+x-3=0的近似解（精度0.01）”，要求学生自主确定初始区间（通过函数值符号分析），记录每次迭代的中点值和区间长度，总结“如何快速达到精度要求”的规律。

（5）反思总结建议：组织小组讨论“二分法、图像法、公式法求解方程的优缺点”，列表对比适用场景（如高次方程、超越方程、简单方程），形成“方程求解方法选择策略”的思维导图，提升优化意识。教师随笔教学评价1.课堂评价：通过提问“二分法的终止条件是什么”“如何判断新区间是否包含零点”等核心问题，检测学生对步骤逻辑的掌握；观察学生分组练习中区间计算、符号判断的准确性，及时纠正中点计算错误或区间划分偏差；课堂小测设计“用二分法求x³-2=0在(1,2)的近似解（迭代2次）”，评估学生对迭代过程的实际应用能力。

2.作业评价：批改分层作业，基础题要求独立完成“用二分法求x²-3=0在(1,2)的近似解（精度0.1）”，重点检查区间端点值符号分析及迭代次数计算；拓展题布置“设计二分法求解lgx=x-2的初始区间”，点评学生能否结合函数图像确定有效区间；对编程实践作业（如Excel实现迭代）给予过程性评价，强调算法步骤与数学逻辑的一致性，鼓励创新解法并标注典型错误供全班反思。教学反思与改进八、教学反思与改进

这节课讲完二分法后，我让学生用课堂练习本独立完成“求x²-3=0在(1,2)的近似解”时，发现不少学生算到中点1.5后，直接写答案1.5，没继续判断f(1.5)的符号。看来学生对“迭代”的理解还停留在机械计算，没真正抓住“每次迭代后区间缩小”的核心逻辑。下次得在分组练习时强调：算出中点后必须重新检查区间端点值符号，不能跳步。

还有个小问题，讲精度控制时举了“区间长度小于0.1停止”的例子，但学生问“为什么是0.1不是0.01”，我临时用“生活精度需求”解释得不够清晰。下次备课要提前准备不同精度的对比案例，比如工程零件加工可能要求0.001，而日常估算0.1就够了，让学生体会精度选择的实际意义。

作业批改时发现，拓展题“设计lgx=x-2的初始区间”里，有学生直接写(2,3)，没验证f(2)和f(3)的符号。看来学生对“连续函数”和“异号条件”的关联还不够熟练。下次新课导入时，可以加个快速判断题：“f(x)=1/x在(0,1)能用二分法吗？为什么？”强化定理前提条件的理解。

最后，课堂小结时学生总结“二分法就是不断折半找零点”，虽然没错，但没体现算法的“有限步终止”特性。下次要引导学生对比“无限逼近”和“有限次迭代”的区别，用具体例子说明计算机如何实现“达到精度即停止”，为后续编程埋下伏笔。课后拓展1.拓展内容：

（1）数学史阅读：《九章算术》“盈不足术”章节，了解古代数学家如何通过“两次假设”逼近方程解，对比其与二分法的异同，体会算法思想的传承。

（2）方法对比资料：搜集牛顿迭代法的基本原理，分析其与二分法在收敛速度、适用条件上的差异，结合课本中二分法的局限性（如需连续函数、初始区间异号），理解不同方程求解方法的选择逻辑。

（3）实际应用案例：查阅工程领域中“机械零件尺寸误差控制”的实例，思考如何用二分法将零件实际尺寸与设计尺寸的误差控制在0.001mm内，体会数学在精度控制中的应用价值。

（4）跨学科素材：物理实验中“用单摆测重力加速度”的数据处理过程，记录周期T与摆长l的测量值，通过方程g=4π²l/T²，尝试用二分法求解g的近似值，验证课本中“方程近似解”的实际意义。

2.拓展要求：

（1）完成一份“二分法迭代过程记录表”，以课本例题f(x)=x²-2为例，手动计算5次迭代，记录每次的中点值、区间长度及函数值符号，观察“区间长度减半”的规律，体会精度控制的数学本质。

（2）分组探究“用二分法求解超越方程e^x+x-3=0”，要求自主确定初始区间（通过函数图像或试值法），设计迭代终止条件（如精度0.01），形成小组报告，说明区间选择依据及迭代次数与精度的关系。

（3）撰写100字短文“我眼中的二分法”，结合课堂所学与拓展阅读，阐述对“算法思想”的理解，突出“逐步逼近”“有限步终止”的核心特征，培养数学表达能力。

（4）学有余力的学生可尝试用Python编写二分法程序，输入初始区间[a,b]和精度ε，输出近似解及迭代次数，对比手动计算与程序运行的结果差异，感受算法的高效性。板书设计①核心概念

二分法定义：通过不断将含零点的区间一分为二，逐步缩小零点所在范围，得到方程近似解的方法。关键词：区间平分、逐步逼近、近似解。

②步骤详解

1.确定初始区间：函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0；

2.计算中点：x₁=(a+b)/2；