大学文科数学（13-16章共16章）270

第13章数理统计基础13.1总体和样本13.2统计量及其分布

13.1总体和样本

13.1.1总体

总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体.总体中的每一个研究对象称为个体．例如：研究某钢厂生产的一批钢筋的质量，则这批钢筋就是一个总体，其中每一根钢筋是个体；对某一地区农民家庭的经济情况进行调查，该地区的全体农户是总体，每一农户是个体；为了治理某一江水的污染问题，以500毫升的水为单位进行各种化验，这一条江的江水是总体，每500毫升的水是个体．

总体所含个体的数量称为总体容量．当总体容量有限时，称为有限总体；否则，称为无限总体．显然，上述例子中前两个总体都是有限总体，后一个则是无限总体．在实际研究中，人们所关心的并不是总体中的每个个体本身，而是它们的某一项数量指标，以及这项数量指标取值的分布情况．如在上述例子中，主要是考察每根钢筋的抗拉强度、每个农民家庭一年的收入、每500毫升的水中磷酸盐的浓度，以及每个数值在所有可能的数值中所占的比率．因此，我们把总体也可以看做由所考察的某一项数量指标所有可能取的值组成的集合，记做X.集合X中的数值可能有重复，每一个数值表示一个个体，且不相等的数值在X中所占的比率可能不同．总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布．13.1.2样本

样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体.样本中的每个个体又称为样品．一个样本中所含样品的个数称为样本容量．抽取样本的过程称为抽样.抽取样本的方式称为抽样方法．应当指出，样本是具有二重性的．一方面，抽样前样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定的数值．在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看做随机变量.总体X的一个容量为n的样本,通常用n个随机变量X1,X2,…,Xn来表示,记做(X1,X2,…,Xn)，这是一个n维随机变量.进行一次具体的抽样之后得到n个确定的数值，记为(x1,x2,…,xn),称之为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观测值，简称样本值.

定义13.1.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，若X1,X2,…,Xn相互独立，且每个样品Xi(i=1,2,…,n)都与总体X

有相同的概率分布，则称(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个简单随机样本，简称样本．若总体X具有分布函数F（x），则样本(X1,X2,…,Xn)的

联合分布函数为

F*(x1,x2,…,xn)＝F（x1）F（x2）…F（xn）(13.1.1)

如果总体X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=xi}=

p(xi)，i=1，2，…，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合概率分

布为

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=p(x1)p(x2)…p(xn)

(13.1.2)其中x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的任一个可能的观测值；若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合密度函数为

f*(x1,x2,…,xn)=f（x1）f（x2）…f（xn）(13.1.3)

13.1.3频率直方图

（1）将样本值适当分组：先从样本值中找出最小值m和最大值M，即

m=min{x1,x2,…,xn}，

M=max{x1,x2,…,xn}

取a略小于m，b略大于M，则区间［a，b］是包含样本值的区间．再将区间［a，b］等分为一个小区间，分点记为a=t0<t1<…<tl=b，且每个分点ti的值应比样本值多取一位小数．（2）确定频数和频率：设第i个小区间(ti－1,ti］中样本值的个数称为频数fi；频数除以样本容量n，则相应的频率为vi=fi／n（1≤i≤l）；把第1组至第i组的频数、频率累加，称为第i组的累计频率．（3）作频率直方图：在每个小区间(ti－1,

ti］上，以小

区间为底、yi为高作矩形，矩形面积即为vi，由l个矩形构成的图形就叫做频率直方图．频率直方图近似总体密度函数

f(x)的图形，且样本容量n愈大，近似程度愈好．

例13.1.1

某厂生产圆钉的长度L是一个连续型随机变量，从中抽取100个测量其长度后得数据如下：（单位为mm）解因数据中的最小值m=147.0，最大值M=165.8，取a=145.95,b=165.95．将区间［145.95，165.95］10等分，每个小区间的长h=2．这样，将100个数据分为10组，每组数据的频数fi和频率vi及yi值如表13.1.1所示．在每个小区间上以对应的yi值为高作矩形，即得试验数据的频率直方图（见图13.1.1）．从直观上看，直方图的上边近似于正态密度曲线．图13.1.113.2统计量及其分布

定义13.2.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，且g(X1,X2,…,Xn)是(X1,X2,…,Xn)的一个函数．若g(X1,X2,…,Xn)中不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量．

(1)样本均值:（13.2.1）

(2)样本方差:（13.2.2）(3)样本标准差:（13.2.3）(4)样本k阶原点矩:（13.2.4）(5)样本k阶中心矩:（13.2.5）

1．χ2分布

设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的标准正态随机变量，则它们的平方和

χ2=X21+X22+…+X2n

(13.2.6)

称做自由度为n的χ2变量，其概率分布称做自由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2(n)．f(x)的图形如图13.2.1所示．图13.2.1由χ2分布的定义容易证明：若X~χ2(n),Y~χ2(m),

且X与Y相互独立，则

X+Y~χ2(n+m)

即两个独立的χ2变量和仍为χ2变量，且和的自由度等于两

个χ2变量的自由度之和，称之为χ2的可加性．

2．t分布

设X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X和Y相互独立，则称做自由度为n的t变量，其概率分布称做自由度为n的t分布，记为t~t(n)．f(x)的图形如图13.2.2所示．图13.2.2

3．F分布

设X~χ2(n1),Y~χ2(n2)，且X与Y相互独立，则

称做自由度为(n1,n2)的F变量，其概率分布称做自由度为

(n1,n2)的F分布，记为F~F(n1,n2)．其中n1和n2分别称做

F(n1,n2)分布的第一自由度和第二自由度．f(x)的图形如图13.2.3所示．(13.2.8)图13.2.3定义13.2.2设X是一连续型随机变量，其密度函数为f(x)．对于给定的正数α（0<α<1），称满足的点xα为X的上侧α分位点．

X的上侧α分位点xα的几何意义：对于给定的正数α（0<α<1），在x轴上必存在一点xα，使得在点xα右侧X的密度曲线y=f(x)与x轴所围成的图形面积等于α（见图13.2.4）．图13.2.4

例13.2.1

查表求u0.05、u0.995和χ20.1(25)．

解对于u0.05，α=0.05，1－α=0.95，从附表2中查

Φ（z）取0.95所对应的z点为1.645，即得u0.05=1.645．

对于u0.995，α=0.995>0.5,查表得u0.005=2.575，所以u0.995=

－2.575．

对于α=0.1，n=25，从附表4可查得χ20.1(25)=34.382．

例13.2.2

查表求t0.01(10)和t0.95(30)的值．

解对于t0.01(10)，从附表3可查得t0.01(10)=2.764．对于t0.95(30)，从附表3可查得t0.05(30)=1.697，则t0.95(30)=－1.697.

F分布的上侧α分位点记为Fα(n1,n2)．附表5详细列出了α=0.001到α=0.10的上侧分点．对于α=0.90到α=0.999的情况，可由关系式(13.2.9)确定Fα(n1,n2)．

例13.2.3

查表求F0.95(12,9)．

解先从附表5查得F0.05(9,12)=2.80,再由式(13.2.9)可得当总体的分布已知时，统计量的分布理论上是可以确定的，然而要求出其分布的具体表示形式（如分布函数、密度函数、分布律）,一般来说是困难的．

定理13.2.1

设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，E(X)=μ，D(X)=σ2，则，定理13.2.2设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X是样本均值，则～

定理13.2.3

设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，则

定理13.2.4

设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，则(13.2.10)定理13.2.5

设(X1,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…,Yn)分别是来自正态总体N(μ1,σ21)与N(μ2,σ22)的样本，且二者相互独立．再设X

与Y

分别是这两个样本的样本均值，S21与S22分别是这两个样本的样本方差，则

(1)当σ21=σ22=σ2时，(13.2.11)其中，

(2)第14章统计推断14.1点估计14.2区间估计

14.3假设检验

14.1点估计

14.1.1点估计

定义14.1.1

设X为总体，若E|X|k<+∞，则称E(Xk)为总体X的k阶原点矩．又若E|X－E(X)|k<+∞，则称E［X－E(X)］k为总体X的k阶中心矩．

例14.1.1

设总体X的期望E(X)=μ与方差D(X)=σ2均存在但未知，(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本．试求μ与σ2的矩估计．

解这里虽未给出总体X的分布，却并不妨碍问题的解决，因为我们已经知道按矩估计法，建立矩方程组可解得故μ与σ2的矩估计量为由此可见，不论总体服从何种分布，其期望和方差的矩估计量总是样本均值X

和样本2阶中心矩B2.

例14.1.2

设总体X的密度函数为其中α>－1为未知参数．若(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，试求α的矩估计量．解由于总体X的分布中仅含一个未知参数，且总体均

值为根据矩估计法，以样本均值作为总体均值的估计量，建立矩方程由此可得α的矩估计量为14.1.2估计量的评价标准

定义14.1.3

设与是θ的两个无偏估计量，若对固定的样本容量n，有

例14.1.4

设总体X的期望μ和方差σ2存在，且(X1,X2,X3)为X的一个样本，试证明下列统计量:都是μ的无偏估计量，并指出其中哪一个最有效．证因为比较知

14.2区间估计

14.2.1区间估计

定义14.2.1

设总体X的分布中含有未知参数θ，

且(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本．若对事先给定的α(0<α<1)，存在两个统计量θ

和θ

，使得14.2.2单个正态总体均值与方差的区间估计

1．均值μ的置信区间

当σ2已知时，μ的置信度为1－α的置信区间为

(14.2.1)当σ2未知时，区间(14.2.1)中含有未知参数σ，不能再用它来估计未知参数μ．这时，又考虑到S2是σ2的无偏估计量，由式（13.2.11）知t(n－1)且此分布与μ无关，故对给定的1－α，存在tα／2(n－1)（见图14.2.1），使得由上式中的绝对值不等式解出μ后即得μ的1－α置信区间为简记为(14.2.2)(14.2.3)图14.2.1例14.2.1为了确定某一金属材料的熔点，反复试验

5次，其结果为（单位为℃）：

12501265126012451275

试以95%的置信度估计熔点的真值所在的范围．解若用θ表示熔点的真值，X表示试验值，则通常认为X是服从正态分布的随机变量，且E(X)=θ．现在，我们的问题是，在正态总体方差未知的条件下，确定总体均值θ的置信区间．由题设知，n=5,α=0.05，于是由t分布表(附表3)可查得=2.7764而由所给的试验数据可算得故θ的置信度为0.95的置信区间是即认为这一金属材料熔点的真值在（1244.2，1273.8）内的可信程度为95%．

2.方差σ2的置信区间

由式（13.2.10）可知且此分布与σ2无关．即由此得σ2的置信度为1－α的置信区间为（14.2.4）标准差σ的置信度为1－α的置信区间为图14.2.2（14.2.5）

例14.2.2

从一批冷抽铜丝中任取10根进行折断力试验，获得数据如下（单位为克）：

578572570568572570570

596584572

设这批冷抽铜丝的折断力近似服从正态分布，求总体方差σ2与标准差σ的置信度为0.9的置信区间．

解由题意知，n=10，α=0.1．经查表(附录4)得算得样本方差为于是由上述结果知，方差σ2的置信度为0.90的置信区间为（40.29，204.99）

14.3假设检验

14.3.1假设检验的基本思想和有关概念

例14.3.1

有一大批产品，须经检验合格后才能出厂，按标准其次品率不得超过4%．今从这批产品中任意抽查10件，发现有3件次品，问这批产品能否出厂？解直观上看，这批产品似乎不能出厂，但理论依据何在？现以p表示这批产品的次品率，按标准，若p≤0.04，则这批产品可以出厂；若p>0.04，则这批产品不能出厂．我们的问题就是要根据“10件产品中有3件次品”这一抽样结果来

判断p≤0.04还是p>0.04．为此，我们先提出两个相互对立的假设

H0：p≤0.04；

H1：p>0.04然后分析在假设H0成立的前提下会出现什么样的后果．注意到，在假设H0成立的前提下，出现“10件产品中有

3件次品”这一抽样结果的概率<0.01其概率小于0.01，即“10件产品中有3件次品”这一抽样结果

平均在100次抽样中难得出现1次，也就是说，这是一小概

率事件．而今这一小概率事件在一次抽样中竟然发生了，这是不合理的.产生这种不合理现象的原因就在于事先作了假

设H0．因此，应该拒绝(否定)假设H0，接受其对立假设H1，

即认为这批产品的次品率p>0.04，故按标准这批产品不能

出厂．14.3.2单个正态总体均值的双侧检验

1．σ2已知

在原假设H0成立的前提下，X~N(μ0,σ2)，由定理

13.2.2知(14.3.1)对于给定显著性水平α及样本容量n，由附表2可查得

uα／2，使(14.3.2)进行一次具体的抽样，并算出样本均值的观测值x，若(14.3.3)则小概率事件发生了，应拒绝原假设H0，即认为总体均值

μ与常数μ0有显著差异；若(14.3.4)则接受原假设H0，即认为总体均值μ与常数μ0无显著差异．

2.σ2未知

在原假设H0成立的前提下，X~N(μ0,σ2)，由定理

13.2.4知(14.3.5)对于给定的显著性水平α及样本容量n，由附表3可查得tα／2(n－1)，使

例14.3.2

某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数

据知，云母片的厚度服从正态分布，厚度均值μ0=0.130mm.

现从某天生产的云母片中随机抽取10片，测量其厚度，算得样本均值x=0.146mm，样本标准差s=0.014mm．问这天生产的云母片的平均厚度与以往有无显著差异？取显著性水平α=0.05．解以X表示这天生产的云母片的厚度总体，以μ和σ2分别表示其均值和方差，按题意，X~N(μ,σ2)，μ和σ2均未知，问题就是要在显著性水平α=0.05下检验假设

H0：μ=μ0=0.130

由于μ和σ2均未知，现用t检验法来检验，取检验统计量为对于α=0.05，n=10，由附表3可查得已知x=0.146，s=0.014，于是统计量t的观测值为显然

14.3.3单个正态总体方差的双侧检验设总体X~N(μ,σ2)，μ和σ2未知，(X1,X2,…,Xn)是X的一个样本，要求检验假设

H0：σ2=σ20σ20为已知常数，取显著性水平为α．在原假设H0成立的前提下，X~N(μ,σ20)，由定理

13.2.3知(14.3.9)对于给定的显著性水平α及样本容量n，由附表4可查得与(14.3.10)进行一次具体的抽样，并算出样本方差S2的观测值s2，若(14.3.11)或(14.3.12)则小概率事件发生了，应拒绝原假设H0，即认为总体方差σ2与常数σ20有显著差异；若(14.3.13)

例14.3.3

某电池厂生产一种碱性电池，其寿命长期以来服从方差σ20=5000(h2)的正态分布．今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变．为判断这一看法是否合乎实际，现从这批电池中随机抽取26只，测出其寿命的样本方差为s2=8500(h2)．问根据这一数据能否断定这批电池的寿命的波动性较以前有显著变化?取显著性水平α=0.02．解以X表示这批电池的寿命总体，以μ与σ2分别表示总体均值与总体方差.按题意，X~N(μ,σ2)，μ与σ2均未知，问题就是要在显著性水平α=0.02下，检验假设

H0：σ2=σ20=5000

现用χ2检验法来检验，取检验统计量为对于α=0.02，n=26，由附表4可查得而检验统计量χ2的观测值为比较得第15章MATLAB数学实验15.1

MATLAB入门15.2一元函数实验1一元函数的图形（基础实验）实验2极限与连续、导数（基础实验）实验3函数积分（基础实验）

实验4导数的应用

15.3线性代数15.1MATLAB数学实验

1.MATLAB简介

MATLAB是由MATrix和LABoratory两个词的前三个字母组合而成的,它是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件,被誉为“巨人肩上的工具”.

由于使用MATLAB编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不像学习其他高级语言,如Basic、Fortran和C等那样难于掌握.用MATLAB编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题，所以MATLAB又被称为演算纸式的科学算法语言.在这个环境下，对所要求解的问题，用户只需简单地列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来.

MATLAB的含义是矩阵实验室，最初主要用于矩阵的存取，其基本元素是无需定义维数的矩阵.MATLAB自问世以来,就以数值计算著称.MATLAB进行数值计算的基本单位是复数数组（或称阵列），这使得MATLAB高度“向量化”.经过十几年的完善和扩充，MATLAB现已发展成为线性代数课程上使用的标准工具.由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其他高级语言所不能比拟的.

MATLAB中包括了被称做工具箱（TOOLBOX）的各类应用问题的求解工具.工具箱实际上是对MATLAB进行扩展应用的一系列MATLAB函数（称为M文件），它可用来求解各类学科的问题，包括信号处理、图像处理、控制、系统辨识、神经网络等.随着MATLAB版本的不断升级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也越来越广泛，成为涉及数值分析的各类工程师不可不用的工具.

2.MATLAB工作环境

运行MATLAB的可执行文件，自动创建MATLAB指令视窗（CommandWindow）.

初学者可在指令视窗键入:

<<demo或intro(入门演示)发现指令不知如何使用时，help命令将告诉我们使用方

法.例：

>>helpsin

SINSine.

SIN(X)isthesineoftheelementsofX.

Overloadedmethods

helpsym/sin.m

在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（>>）之后，并按Enter键即可.例如：

>>(10*19+2/4-34)/2*3

ans

=234.7500

MATLAB可以将计算结果以不同的精确度的数字格式显示，我们可以在指令视窗上的功能选单上的Options下选NumericalFormat，或者直接在指令视窗键入各个数字显示格式的指令.

>>formatshort(这是默认的)

MATLAB利用了↑、↓两个游标键可以将所执行过的指令来回重复使用.按下↑键，则前一次指令重新出现，之后再按Enter键，即再执行该指令.而↓键的功用则是往后执行指令.其他在键盘上的几个键，如→、←、Delete、Insert，其功能显而易见，试用即知，无须多加说明.有三种方法可以结束MATLAB:

(1)exit;

(2)quit;

(3)直接关闭MATLAB的指令视窗（CommandWindow）.

3.变量及其命名规则

MATLAB中有几个预先定义的变量，这些预定义的变量如表15.1.1所示.变量的命名规则如下：

(1)变量名区分大小写.

(2)变量名的第一个字符必须为英文字母，而且变量名最多不能超过31个字符.

(3)变量名可以包含下划线、数字，但不能为空格符、标点.

4.MATLAB赋值语句

MATLAB书写表达式的规则与“手写算式”差不多相同.

MATLAB的每条命令后，若为逗号或无标点符号，则显示命令的结果；若命令后为分号，则禁止显示结果.“%”后面所有文字为注释.如果一个指令过长,可以在结尾加上...（代表此行指令与下一行连续），例如:

?3*...

6

ans=18

5.MATLAB常用数学函数

1)三角函数和双曲函数

三角函数和双曲函数见表15.1.2.

2)指数对数函数

指数对数函数见表15.1.3.

3)复数函数

复数函数见表15.1.4.

4)取整函数和求余函数

取整函数和求余函数如表15.1.5.

5)矩阵变换函数

矩阵变换函数见表15.1.6.

6)其他函数

其他函数见表15.1.7.

6.MATLAB系统命令

MATLAB系统命令见表15.1.8.

7.MATLAB语言中的关系与逻辑运算

在执行关系及逻辑运算时，MATLAB将不为零的数值都视为真(True)，而为零的数值则视为假(False).运算的输出值将判断为真者以1表示,而判断为假者以0表示.参与关系或逻辑运算的比较是大小相同的数组或矩阵.

1)关系运算

关系运算指令见表15.1.9.

例如：

a=1:2:11;

b=2:1:7;

a>b

ans=

001111

a==b

ans=

010000

a>=b

ans=

011111

2)逻辑运算

逻辑运算指令见表15.1.10.例如：

(a<2)|(b>6)

ans=

100001

c=a+(a>3)|(b<6)

c=

111111

3)逻辑关系函数

逻辑关系函数指令见表15.1.11.例如：

isequal(a,b)

ans=0

isreal(a)

ans=1

isstudent

ans=0

8.矩阵及运算

1)数组

MATLAB的运算是以数组(array)及矩阵(matrix)方式在做运算的.

建立一个数组时，如果是要个别键入元素，须用中括号［］将元素置于其中.数组为一维元素所构成，而矩阵为多维元素所组成，例如:

>>x=［12345678］;%一维1×8数组

>>x=［12345678;4567891011］;%二维2×8矩阵，以“;”间隔各列的元素

>>x=［12345678;%二维2×8矩阵，各列的元素分两行键入

4567891011］;

>>x3)%x的第三个元素

ans=2

>>x(［125］)%x的第一、二、五个元素

ans=143

x(1:5)%x的前五个元素

ans=

14253

>>x(10:end)%x的十个元素开始往后的元素

ans=

869710811

>>x(10:-1:2)%x的第十个元素开始逆序排到第二个元素

为止

ans=

857463524

>>x(find(x>5))%x中大于5的元素

ans=

6

7

8

6

9

7

10

8

11

>>x(4)=100%给x的第四个元素重新赋值

x=

12345678

410067891011

>>x(3)=［］%删除第三个元素

x=

Columns1through12

14100364758697

Columns13through15

10811

>>x(16)=1%加入第十六个元素

x=

Columns1through12

14100364758697

Columns13through16

108111

2)建立数组

上面的方法只适用于元素不多的情况，但是当元素很多的时候，则须采用以下方式：

>>x=(0:0.02:1);%用冒号“:”表示起始值=0、增量值=0.02、终止值=1的矩阵

>>x=linspace(0,1,100);%利用linspace，以间隔起始值=0、终止值=1之间的元素数目

%=100

>>a=［］%空矩阵

a=

［］

>>zeros(2,2)%全为0的2×2矩阵

ans=

00

00

>>ones(3,3)%全为1的3×3矩阵

ans=

111

111

111

>>rand(2,4);%随机矩阵

>>a=1:7,b=1:0.2:5;%更直接的方式

>>c=［ba］;%可利用先前建立的数组a及数组b，组成新数组

>>a=1:1:10;

>>b=0.1:0.1:1;

>>a+b*I%复数数组

ans=

Columns1through4

1.0000+0.1000i2.0000+0.2000i3.0000+0.3000i4.0000+0.4000i

Columns5through8

5.0000+0.5000i6.0000+0.6000i7.0000+0.7000i8.0000+0.8000i

Columns9through10

9.0000+0.9000i10.0000+1.0000i

9.矩阵的运算

1)经典的算术运算符

经典的算术运算符见表15.1.12.例如：

>>A=1:1:10;

>>B=10:10:100;

>>A+B

ans=

112233445566778899110

>>A-B

ans=

-9-18-27-36-45-54-63-72-81-90

>>A.*B%注意这里A后加了个“.”

ans=

1040901602503604906408101000

>>X=A/B%矩阵左除XA=B

ans=

0.1

>>A＼B%矩阵右除，若X=A＼B,则AX=B

ans=

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

12345678910

>>A./B

ans=

Columns1through7

0.10000.1000

0.1000

0.1000

0.1000

0.10000.1000

Columns8through10

0.10000.1000

0.1000

>>A.＼B

ans=

10101010101010101010

>>A.^2

ans=

149162536496481100

2)矩阵转置运算

通过在矩阵变量后加“′”的方法来表示转置运算.

a=1:1:10;

b=0:10:90;

a′

ans=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

c=a+b*i;

c′%共轭转置

ans=

1.0000

2.0000-10.0000i

3.0000-20.0000i

4.0000-30.0000i

5.0000-40.0000i

6.0000-50.0000i

7.0000-60.0000i

8.0000-70.0000i

9.0000-80.0000i

10.0000-90.0000i

c.′%简单转置

ans=

1.0000

2.0000+10.0000i

3.0000+20.0000i

4.0000+30.0000i

5.0000+40.0000i

6.0000+50.0000i

7.0000+60.0000i

8.0000+70.0000i

9.0000+80.0000i

10.0000+90.0000i

15.2一元函数

实验1一元函数的图形(基础实验)

1.实验目的

学习MATLAB一元函数绘图命令,进一步理解函数概念.

2.实验内容

(1)学习MATLAB命令.

MATLAB绘图命令比较多，我们选编一些常用命令(见表15.2.1~表15.2.4)，并简单说明其作用.这些命令的调用格式，可参阅例题及使用帮助help查找.

linspace

创建数组命令，调用格式为

x=linspace(x1,x2,n)

创建了x1到x2之间有n个数据的数组.

(2)绘制函数图形举例.

例15.2.1

画出y=sinx的图形.

解输入命令：

closeall;

x=linspace(0,2*pi,100);%100个点的x坐标

y=sin(x);%对应的y坐标

plot(x,y);

运行结果如图15.2.1所示.图15.2.1

例15.2.2

画出y=2x和y=(1/2)x的图形.

解输入命令:

x=-4:0.1:4;

y1=2.^x;

y2=(1/2).^x;

plot(x,y1,x,y2);

axis(［-4,4,0,8］)

运行结果如图15.2.2所示.图15.2.2

例15.2.3

画出y=arctanx的图形.

解输入命令:

x=-20:0.1:20;y=atan(x);

plot(x,y,［-20,20］,［pi/2,pi/2］,［-20,20］,［-pi/2,-pi/2］)

grid

运行结果如图15.2.3所示.图15.2.3

3.实验任务

(1)画出常见基本初等函数的图形；

(2)画出y=arcsinx的图形；

(3)画出y=secx在［0，π］之间的图形.实验2极限与连续、导数（基础实验）

1.实验目的

(1)理解极限、连续、导数的概念.

(2)掌握用MATLAB软件求函数极限、连续、导数的

方法.

2.实验内容

(1)学习MATLAB命令.

命令1:极限.

函数:limit.

格式:

limit(F,x,a)%计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→a时

limit(F,a)%用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→a时

imit(F)%用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→0时

limit(F,x,a,′right′)或limit(F,x,a,′left′)%计算符号函数F的单侧极限：左极限

%x→a-或右极限x→a+命令2:导数（包括偏导数）.

函数:diff.

格式:

diff(S,′v′)、diff(S,sym(′v′))%对表达式S中指定的符号变量v计算S的1阶导数

diff(S)%对表达式S中的符号变量v计算S的1阶导数，其中v=findsym(S)

diff(S,n)%对表达式S中的符号变量v计算S的n阶导数，其中v=findsym(S)

diff(S,′v′,n)%对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数

(2)理解极限、连续、导数的概念.

例15.2.4

>>symsxathn;

>>L1=limit((cos(x)-1)/x)

>>L2=limit(1/x^2,x,0,′right′)

>>L3=limit(1/x,x,0,′left′)

>>L4=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)

>>v=［(1+a/x)^x,exp(-x)］;

>>L5=limit(v,x,inf,′left′)

>>L6=limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为

L1=

0

L2=

inf

L3=

-inf

L4=

1/x

L5=

［exp(a),0］

L6=

exp(6)例15.2.5

>>symsxyt

>>D1=diff(sin(x^2)*y^2,2)%计算

>>D2=diff(D1,y)

%计算

>>D3=diff(t^6,6)计算结果为

D1=

-4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2

D2=

-8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y

D3=

720实验3函数积分（基础实验）

1.实验目的

学会用MATLAB软件进行有关积分的基本运算.

2.实验内容

MATLAB关于积分的命令．

1)一元函数的数值积分

函数1:quad.

功能:数值定积分，自适应Simpleson积分法.

格式:

q=quad(fun,a,b)%近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为10-6.若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数函数2:trapz.

功能:梯形法数值积分.

格式:

T=trapz(Y)%用等距梯形法近似计算Y的积分.若Y是一向量，则trapz(Y)为Y的积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y的每一列的积分；若Y是一多维数组，则trapz(Y)沿着Y的第一个非单元集的方向进行计算

T=trapz(X,Y)%用梯形法计算Y在X点上的积分.若X为一列向量，Y为矩阵，且

%size(Y,1)=length(X)，则trapz(X,Y)通过Y的第一个非单元集的方向进行计算

2)二元函数重积分的数值计算

命令1:dblquad.

功能:矩形区域上的二重积分的数值计算.

格式:

q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)%调用函数quad在区域［xmin,xmax,ymin,

ymax］上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分.输入向量x，标量y，则f(x,y)必须返

%回一用于积分的向量

q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)%用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算命令2:quad2dggen.

功能:任意区域上二元函数的数值积分.

格式:

q=quad2dggen(fun,xlower,xupper,ymin,ymax)%在由［xlower,xupper,ymin,ymax］指定的区域上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分

q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol)%用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算命令3:符号函数的积分.

函数:int.

格式:

R=int(S,v)%对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分.注意，表达式R只是函数S的一个原函数，后面没有带任意常数C

R=int(S)%对符号表达式S中的符号变量v计算不定积分，其中v=findsym(S)

R=int(S,v,a,b)%对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积分

R=int(S,a,b)%对符号表达式s中的符号变量v计算从a到b的定积分，其中

%v=findsym(S)命令4:常微分方程的符号解.

函数:dsolve.

格式:

r=dsolve(′eq1,eq2,…′,′cond1,cond2,…′,′v′)例15.2.6

>>fun=inline(′′3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)′);

>>Q1=quad(fun,0,2)

>>Q2=quadl(fun,0,2)计算结果为

Q1=

3.7224

Q2=

3.7224

例15.2.7

计算单位圆域上的积分：

解先把二重积分转化为二次积分的形式：

>>f=inline(′exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)′,′x′,′y′);

>>xlower=inline(′-sqrt(1-y.^2)′,′y′);xupper=inline(′sqrt(1-y.^2)′,′y′);

>>Q=quad2dggen(fun,xlower,xupper,-1,1,1e-4)

计算结果为

Q=

0.5368603818例15.2.8

>>symsxztalpha

>>INT1=int(-2*x/(1+x^3)^2)

>>INT2=int(x/(1+z^2),z)

>>INT3=int(INT2,x)

>>INT4=int(x*log(1+x),0,1)

>>INT5=int(2*x,sin(t),1)

>>INT6=int(［exp(t),exp(alpha*t)］)计算结果为

INT1=

-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x^2-x+1)-

2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*…3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)

INT2=

x*atan(z)

INT3=

1/2*x^2*atan(z)

INT4=

1/4

INT5=

1-sin(t)^2

INT6=

［exp(t),1/alpha*exp(alpha*t)］实验4导数的应用

1.实验目的

(1)学习MATLAB自定义函数.

(2)加深理解洛必达法则、极值、最值、单调性.

2.实验内容

学习MATLAB自定义函数及求函数最小值命令.函数M文件的定义格式如下:

function输出参数=函数名(输入参数)

函数体

函数体一旦函数被定义，就必须将其存为M文件，以便今后可以随时调用.比如我们希望建立函数

f(x)=x2+2x+1，可以点选菜单Fill＼New＼M－fill打开MATLAB文本编辑器，输入:

functiony=f1(x)

y=x2+2*x+1;存为f1.m.调用该函数时，输入:

symsx;

y=f1(x)

得结果:y=x2+2*x+1.输入:

y1=f1(3)

结果:y1=16.

MATLAB求最小值命令fmin的调用格式如下:

fmin(′f1′,a,b)%给出f(x)在(a,b)上的最小值点

(1)自定义函数.

例15.2.9

解一元二次方程ax2+bx+c=0.

解我们希望当输入a、b、c的值时，计算机能给出方程的两个根.在文本编辑器中建立名为rootquad.m的文件.

function［x1,x2］=rootquad(a,b,c)

d=b*b-4*a*c;

x1=(-b+sqrt(d))/(2*a)

x2=(-b-sqrt(d))/(2*a)比如求方程2x2+3x-7=0的根，可用语句:

［r1,r2］=rootquad(2,3,-7)

得结果:

r1=1.2656

r2=-2.7656例15.2.10以lim(ax－bx)/x(x→0)为例验证洛必达法则.

解这是0/0型极限.

symsabx;

f=a^x-b^x;

g=x;

L=limit(f/g,x,0)

得结果:L=log(a)-log(b).

df=diff(f,x);dg=diff(g,x);L1=limit(df/dg,x,0)

得结果:L1=log(a)-log(b).从结果可以看出:L=L1.

(3)函数的单调性与极值.

例15.2.11

求函数f(x)=x3－6x2+9x+3的单调区间与极值.

解求可导函数的单调区间与极值，就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点.

利用MATLAB解决该问题，我们可以先求出导函数的零点，再画出函数图形,根据图形可以直观看出函数的单调区间与极值.输入命令:

f=x^3-6*x^2+9*x+3;

df=diff(f,x);

s=solve(df)

gridon得结果:ans=［1,3］，画出函数图形.

ezplot(f,［0,4］)

gridon

运行结果如图15.2.4所示.图15.2.4从图上看，f(x)的单调增区间为(-∞，1)、(3，+∞)，单调减区间是(1，3)，极大值f(1)=7，极小值f(3)=3.

我们可以建立一个名为monotone.m的M文件，用来求函数的单调区间.

disp(′输入函数(自变量为x)′)

symsx

f=input(′函数f(x)=′)

df=diff(f);

s=solve(df)

ezplot(f)

gridon要求函数y=x-ln(1+x)的单调区间与极值，可调用monotone.m,输入命令:

monotone

在MATLAB工作区出现以下提示:

输入函数(自变量为x)

函数f(x)=

在光标处输入:x-log(1+x)，可得结果s=0.

从图上看，f(x)的单调增区间为(0，+∞)，单调减区间是(-∞，0)，极小值f(0)=0.

4)函数的最值.

调用求函数最小值命令fmin时，可得出函数的最小值点.为求最小值，必须建立函数M文件.

例15.2.12

求函数f(x)=(x-3)2-1在区间(0，5)上的最小值.

解我们可以建立一个名为f.m的函数M文件.

functiony=f(x)

y=(x-3).^2-1;并且调用fmin

或fminbnd，即

x=fmin(′f′,0,5)

得:x=3，f(x)在最小值点处的值(函数最小值)是f(3)=－1.

求最大值时可用x=fmin(′-f(x)′,a,b).

3.