交通工程核心公式与考点全面梳理

第四章道路交通流理论

4.1交通流特性

4.1.2持续流特性

1.总体特性

交通量Q、行车速度Ms、车流密度K是表征交通流特性的三个基本参数。

此三参数之间的基本关系为：

Q=Vs*K(4-1)

式中：Q一一平均流量(辆/h)；

一一空间平均车速(km/h);

K——平均密度(辆/km)。

能反应交通流特性的某些特性变量：

(1)极大流量就是Q-V曲线上的峰值。

(2)临界速度匕，即流量到达极大时的速度。

(3)最佳密度K,”，即流量到达极大时的密量。

⑷阻塞密度K,,车流密集到车辆无法移动(丫=0)时的密度。

(5)畅行速度匕.，车流密度趋于零，车辆可以畅行无阻时的平均速度。

2.数学描述

(1)速度与密度关系

格林希尔茨(Greenshields)提出了速度一密度线性关系模型：

K

v=v/l--)(4-2)

当交通密度很大时，可以采用格林柏(Grenberg)提出的对数模型：

K,

V=(4-3)

1\

式中：匕一一对应最大交通量时速度。

当密度很小时，可采用安德五德(Underwood)提出的指数模型：

K_

K

V=VfeM(4一4)

式中：心一为最大交通量时的速度。

(2)流量与密度的关系

Q=KVf(\-^-)(4-5)

(3)流量与速度的关系

V2

Q=KJ(V---)(4-6)

Vf

综上所述，按格林希尔茨的速度一密度模型、流量一密度模型、速度一流量模型可以看U,

2.、匕和K,”是划分交通与否拥挤的重要特性值。当QWQ,“、K>Km.时,，则交通

属于拥挤；当K<Ktn.VN匕时，则交通属于不拥挤。

4.1.2间断流特性

在一列稳定移动的车队中观测获得的不变的车头间距被称为饱和车头间距〃，假设车辆进

入交叉耗时为/?,那么一种车道上进入交叉的车辆数可以按式(4—7)计算：

3600f

Sc=------4—7)

h

式中：S——饱和交通量比率(单车道每小时车辆数)；

h——饱和车头时距⑸。

然而，信号交叉口的交通流总会受到周期性的阻隔。当交通流开始移动时，前几辆车耗

时均不小于将前几辆的超时加在一起，称为启动损失时间：

L=»i(4—8)

i

式中：/1-----启动损失时间(s)；

<——第i辆车的超时。

4.2概率记录模型

4.2.1离散型分布

1.泊松分布

(1)基本公式

P叱叫U2,…(4-9)

k!1%

式中：P(k)一一在计数间隔/内抵达k辆车或Z个人的概率;

X一一单位时间间隔的平均抵达率(辆/S或人/S);

z一一每个计数间隔持续的时间⑸或距离(m)；

e一一自然对数的底，取值为2.71828。

若令〃7=力为在计数间隔，内平均抵达的车辆(人)数，则式(4—9)可写成为:

(⑼5

P(幻=(4—10)

k\

抵达数不不小于k辆车(人)的概率：

皂ni'e~n,

p«k)吃味-(4-11)

i=QI・

抵达数不不小于等于々的概丞：

P(d)上午(4-12)

/=01•

抵达数不小于〃的概率：

P(M)=1-P(­)=1-力华二(4-13)

i=01•

抵达数不小于等于攵的概率：

44mie~m

(4—14)

i=o〃

抵达数至少是工但不超过)，的概率:

P(E”)江印(4-15)

用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算:

£kjfjZ勺，;

观测的总车辆数

7=1____=j=i

m=(4-16)

总计间隔数"N

J-i

式中：g——观测数据分组数;

fJ一一计算间隔/内抵达号辆车(人)这一事件发生的次(频)数:

k)一—计数间隔/内的抵达数或各组的中值；

N一一观测的总计间隔数。

(2)递推公式

P(0)=U

p(k+l)=—P(k)(4—17)

Ar+I

⑶应用条件

车流密度不大，车辆互相影响微弱，无外界干扰的随机车流

条件：其中：

1.V

(4-18)

2.二项分布

⑴基本公式

W)=C*(—/(1--%=。,12/(4-19)

nn

式中：P(k)一一在计数间隔t内抵达k辆车或k个人的概率；

Z一一平均抵达率(辆/S或人/S);

i一一每个计数间隔持续的时间(S)或距离(m)；

〃一一正整数；

C*二加

n依(〃-幻！

一般记〃=力/〃，则二项分布可写成：

P(k)=C：p“"p)…,&=0,1,2,…,〃(4-20)

式中〃、〃称为分布参数。

抵达数少于攵的概率：

P(〈幻=£；CA(1-P)”T(4-21)

1=0

抵达数不小于k的概率:

仪>%)=1-ZG；P'。-P)j(4-22)

；=0

对于二项分布，其均值M=〃〃，力差D=np(l-p),M>D“因此，当用二项分布拟合观

测数时，根据参数〃、〃与方差和均值的关系式，用样本的均值〃?、方差片替代M、D，p、

〃可按下列关系式估算：

p=(m-S2)/m(4-23)

n=m/p=m2/(m-S2)(取整数)(4—24)

(2)递推公式

*0)=(1-

P(k+\)=^—^—P(k)

(4-25)

I7k+1\-p')

⑶应用条件

车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布抵合很好。

3.负二项分布

⑴基本公式

汽幻=黑/"(3，U2,,(4-26)

式中：P、4为负二项分布参数。0V.V1,/为正整数。

在计数间隔/内，抵达数不小于k的概率：

P(M)=I'湍/。-力

(4-27)

1=0

由概率论可知，对于负二项分布，其均值〃=/(1-同/〃，方差O=/(l-p)/〃2,M<D。

因此，当用负二项分布拟合观测数据时，运用〃、夕与均值、方差的关系式，用样本的均值?、

方差S?替代M、D,〃、4可由下列关系式估算：

p=m/S2,p=m2/(m-S2)(取整数)(4-28)

⑵递推公式

P

a

P(k)=£±£_!(i-p)P(k-\)(4-29)

K

⑶应用条件

当抵达的车流波动性很大或以一定的计算间隔观测抵达的车辆数(人数)其间隔长度一直延

续到高峰期间与非高峰期间两个时段时，所得数据也许具有较大的方差。

4.离散型分布拟合优度检查一一N检查

(1)/检杳的基本原理及措施

①建立原假设

②选择合适的记录量：=t^-H(4-30)

H叫j-\印

③确定记录量的临界值：

®鉴定记录检查成果：当/4区时假设成立

⑵注意事项

>总频数〃要足够大；

>分组数g25,且要持续；

>F?5(即各组段的理论频数不不不小于5),否则要与相邻组归并；

>DF

■DF=g-\(对第一类"0)(4—31)

•DF=g-q-\(对第二类"0)(4-32)

(注：g为合并后的组数值)

4.2.2持续型分布

1.负指数分布

⑴基本公式

若车辆抵达服从泊松分布，则车头时距就是负指数分布。

由式(4-9)可知，计数间隔t内没有车辆抵达仗=0)的概率为：

-勿

P(0)=e

上式表明，在详细的时间间隔/内，如无车辆抵达，则上次车抵达和下次车抵达之间，车头时

距至少有/秒，换句话说，P(0)也是车头时距等于或不小于1秒的概率，于是得：

p[h>t)=e~A,(4—33)

而车头时距不不小于/的概率则为：

p(h<f)="e"(4—34)

若。表达每小时的交通量，则兄=。/3600(辆/s),式(4一33)可以写成：

/?(/?>r)=e-(?r'v,no(4—35)

式中Q/3600是抵达车辆数的概率分布的平均值。若令M为负指数分布的均值，则应有:

M=l/2=3600/(2(4-36)

负指数分布的方差为：

卜小

(4-37)

用样本的均值加、方差52替代M、D,即可算出负指数分布的参数力。

此外，也可以用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数为

产“)=—p(h</)=—[1-P(h>r)]=(4-38)

atdt

于是：

P(h>t)=P(t)dt=[=e~A,(4—39)

P(h<t)=J；P⑺力=£2力=1(4—40)

(2)合用条件

负指数分布合用于车辆抵达是随机的、有充足超车机会的单列车流和密度不大的多列车

流的状况。一般认为当每小时每车道的不间断车流量等于或不不小于500辆，用负指数分布

描述车头时距是符合实际的。

2.移位负指数分布

⑴基本公式

移位负指数分布的分布函数：

p(h>t)=e-^-r)t>T(4—41)

t>T(4—42)

（2）合用条件

移位负指数分布合用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车

头时距分布。

3.爱尔朗分布

⑴基本公式

/-1"加

P（/2>0=y（W—（4-43）

M1!

当/=0时，负指数分布；当/=8时，均一车头时距。

（2）合用条件

通用于畅行车流和拥挤车流的多种车流条件。

4.3排队论模型

1.基本概念

2.系统

（1）在系统中没有顾客的概率

2(0)=1一2(4—44)

（2）在系统中有〃个顾客的概率

(4—45)

（3）系统中的平均顾客数

%=上一(4—46)

1一夕

（4）系统中顾客数的方差

(4—47)

(1-P)2

（5）平均排队长度

-p~——

q----=-n-p(4—48)

（6）非零平均排队长度

-1

(4—49)

（7）排队系统中平均消耗时间

—In

（1=-------=—(4—50)

〃-24

（8）排队中的平均等待时间

-A

K'=--------------=2,(4-51)

2."/M/N系统

（1）系统中没有顾客的概率为

]

P(0)=

£NN!~(TPR^N)

(2)系统中有k个顾客的概率为

---•P(0)k<N

k\

尸（幻=〈(4-52)

Pk

・P(0)k>N

N!Nf

(3)系统中的平均顾客数为

(4-53)

N!N(l-p//V)2

(4)平均排队长度

q=n-p(4—54)

(5)系统中的平均消耗时间为

(4-55)

(6)排队中的平均等待时间为

(4-56)

注：例/例/N系统优于N个M/M/l系统

4.4跟驰模型

4.1.1线性跟驰模型

丫皿(l+T曰[⑴一小)]+，(4—57)

式中：X“⑴一一在，时刻，第〃号车(引导车)的位置；

Xa+1(t)一一在/时刻，第〃+1号车(跟随车)的位置；

A一一反应敏捷度系数(Vs)；

L一一在阻塞状况下的车头间距。

将上式微分得到：

匕“(t+T)=2[Xn(t)-尤”(t)](4-58)

式中：Xrt+I(t+T)——在延迟T时间后，第〃+1号车的加速度；

X“⑴一一在/时刻，第〃号车的速度；

X“+《)一一在/时刻，第〃+1号车的速度。

4.1.2非线性跟驰模型

尼”)=以言行区⑴』⑴](4-59)

式中：a一—比例常数。

a=V=-V.

if

忖2

4.1.3跟驰模型的一般公式

箭表(4-60)

式中：a,X3Q+T)为敏捷度;相，/为常数。

[X„(t)-X^(t)]

4.5流体模拟理论

4.5.1车流持续性方程

根据质量守恒定律：

流入量流出量二数量上的变化

即：[7—(^+dq)\dt=[k-(k-dk)]dx

化简得到—dqdt=dkdx

dkdq..//i

—+—=0(4—61)

dtdx

又由于(l—kv

于是%型=。(4-62)

dtdx

用流体力学的理论建立交通流的运动方程：

dkdv

—=一(4-63)

dtdt

4.5.2乍流中的波

(K-%)卬=(%-%)制

即（丫-%的=（%-%）自

(V^-Vk)

22(4—64)

由夕］=左M，勺2=k2V2得:

3锣(4-65)

当名〉生,4＜七时，％为负值，表明波的方向与原车沆的方向相反。此时，在瓶颈过

渡段内的车辆即被迫后涌，开始排队，出现拥塞。有时几也许为正值，这表明此时不致发生

排队现象，或者是已经有的排队将开始消散。

第四章课后习题

(1)2,=%K,”=T%qK'=gx82xgxl05=2152.5辆/h

4—2

(2)V=-V,=-x82=41Wh

2/2

4—5由题意知，车头时距服从指数分布：

A=-^-=-^i/s

(1)

36003

_5

P(fN5s)=e»=e《=O.I89

(2)车头时距,25s所出现的次数:

F(r>5.y)=P(r>55)2=0.189x1200^227

(3)车头时距，N5s车头间隔的平均值:

“y、3600y

h(t>5s)=-------«165

F(t>5s)

4—9

(1)按单路排队QMIM/3)

4=1500辆/〃=上辆/