人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析教学设计1：章末复习课

章末复习课

知识网络

最小二

经脸回

归方程

成

对

数

据

分类

变量

教学突破

一、变量的相关性

1.变量的相关关系与样本相关系数是学习一元线性回归模型的前提和基础，前者可借助散

点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻化了两个变量的相关程度.

2.在学习该部分知识时，体会直观想象和数学运算的素养.

例1.某商品销售量y（件）与销售价格M元/件）负相关，则其回归方程可能是（）

A.y=-I0.r+200

B.J=I0A-4-200

C?=_10.L200

DJ=IOx—200

K答案》C

K解析X因为K3-2U+DU一（3-2幻=-2,

所以），的值平均减少2个单位.

反思感悟变量相关性的判断的两种方法

（1）散点图法：直观形象.

（2）公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.如点在一条直线上，|八

=1，且当，=1时，正相关；r=—1时，负相关.

跟踪训练I.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系

的是（）

A.①③B.①④

C.②③D.①②

K答案》B

K解析》对•于两个变显的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，

所以两个变量具有线性相关关系的图是①和④.故选B.

二、一元线性回归模型及其应用

1.该知识点是具有线性相关关系的两变量的一种拟合应用，目的是借助函数的思想对实际

问题做出预测和分析.

2.主要培养数学建模和数据分析的素养.

例2.经分析预测，美国通用汽车等10家大公司的销售总额为什=1,2，…，10,单位：百万

美元)与利润y(i=l,2,…，10,单位：百万美元)的近似线性关系为工=0.026入+%经

1010

统计Ex.=623090.Zy.=29300.

i*l*ix1*

(1)求4；

(2)若通用汽车公司的销售总额为=126974(百万美元)，残差二=一387,估计通用汽车

的利润；

(3)福特公司的销售总额为96933百万美元，利润为3835,比较通用汽车与福特公司利

润的解释变量对于预报变量变化的贡献率说明了什么？(以上K答案》精确到个位)

1010

m(l)d?Xx.=623090,Zv.=29300,

解：*

得样本中心点为(62309,2930),

所以2=2930-0.026x62309=1310.

⑵由(I)知f=0.026x+l310,

当即=126974时,

=0.026x126974+1310M61I,

所以V=fi+：=4611+(-387)=4224,

估计通用汽车的利润为4224百万美元.

⑶由(1)(2)可得通用汽车利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为此，

则用=1—5心)2=1—梵"=91.1%.

(yi—y)

设福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为用,

由f=0.026x+l310得

：2=0.026x96933+1310^3830,

2

,11,(3835—3830)25

则取=1一(3835—293。)尸】一而狞。弼9=99.99%.

由Mv明加，用£=0.026入I1310作为解释变量与预报变量的关系，预报通用汽车的效果没

有预报福特公司的效果好，或者说预报通用汽车的精确度低于预报福特公司的精确度.

反思感悟解决回归分析问题的一般步骤

⑴画散点图.根据已知数据画出散点图.

⑵判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相

关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出经验回归方程.

(3)回归分析.画残差图或计算进行残差分析.

(4)实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题.

跟踪训练2.如果美国10家工业公司提供了以下数据：

销售总额3利润M/百

公司

百万美元万美元

通用汽车1269744224

福特969333835

埃克森866563510

IBM634383758

通用电气552643939

美孚509761809

菲利普・莫利斯390692946

克莱斯勒36156359

杜邦352092480

德士古324162413

(1)作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；

⑵建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；

(3)计算上，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由.

解：(I)将销售总额作为横轴X，利润作为纵轴)，，根据表中数据绘制散点图如图.

4

4500

3000

3500

2000

2500

1000

1500

000

5000

销传总版汀万龙元

由于散点图中的样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关

关系.

(2)由最小二乘法的计算公式,得知1334.5,短0.026,

则线性I可归方程为;=0.0264+1334.5.

其残差值计算结果见下表：

销售总额12697496933866566343855264

利润42243835351037583939

残差-411.824-19.758-77.556774.1121167.636

销售总额5097639069361563520932416

利润1809294635924802413

残差-850.876595.706-1915.556230.066235.684

(3)对于(2)中所建立的线性I可归方程，RJ0.457,说明在线性回归模型中销售总额只能解释

利润变化的46%,所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系.

三、非线性经验回归方程

1.在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合

样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化.

2.体现数学建模的优劣，提升数据分析的素养.

例3.一只红铃虫的产卵数)，和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表中，试建立)，关于

工的回归方程.

温度x/℃21232527293235

产卵数w个711212466115325

解.：根据收集的数据，作散点图:

350

202224262830323436

油奶C

由散点图知，样本点分布在某条指数函数曲线周围，

故该回归方程为y=ciec2A,两边取对数得lny=c,2x+lnn，

Z=lnyAAAAA

作变换彳（C2=b，Inc\=a）,得z=Ar+m

r=r

且变化后所得样本数据表为

X21232s27293235

Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

经计算得Z关于x的线性同归方程为?=0.27〃-3.849,

所以），关于x的回归方程为£=e°E「3.849即触击小皿.

反思感悟非线性经验回归方程的求解策略

⑴本例中，y与x不是线性相关关系，但通过用二正”转换为w与），的线性相关关系，从

而可利用线性回归分析间接讨论y与犬的相关关系.

⑵可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点图拟合得最好的函数模

型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.

跟踪训练3.要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年

级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩⑴和高中一年级期末数学考试成绩

⑺（如表）:

编号1234567891()

X63674588817152995876

Y65785282928973985675

（1）画出散点图；

（2）计算入学数学成绩⑴与高一期末数学考试成绩（丫）的相关系数；

⑶对变量x与y进行相关性检验，如果工与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；

（4）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩.

解：（1）画出入学成绩3与高一期末考试成绩（X）两组变量的散点图，如图，从散点图看，这

两组变量具有线性相关关系.

一

102zXZ一\8

(X人(7=

*\--7K-

1v.八94

一7

-

1OE/x22

fX-X)二4774

\iz，

=0556

-

1OEz\22

=(y-y7二

v*••

因此求得相关系数为

^(x.-x)(y.-y)

r=丁_D.839786.

(3)查表求得相关系数临界值双)5(10—2)=0.632.

因wO.839786>r0,05,

这说明数学入学成绩与高一期末成绩之间存在线性相关关系.

设回归直线方程为：=味+源，在两组变量具有显著的线性相关关系情况下，短0.76556：号

7-^7=22.4108.

因此所求的回归直线方程是（=22.4108+0.76556工

（4）若某学生入学数学成绩为80分，代入上式可求得标84分，即这个学生高一期末数学成绩

预测值为84分.

四、独立性检验

1.主要考查根据样本制作2x2列联表，由2x2列联表计算三，查表分析并判断相关性结论

的可信程度.

2.通过计算三值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养.

例4.数学教师STC对他所任教的高二两个班进行一次数学考试（满分100分），从两个班学生

考试成绩中，都随机抽取了15名学生的数学成绩的茎叶图如下，

甲班乙班

2154

8656568

9311070469

9854812489

3905

⑴从茎叶图能否判断乙班的成绩好于甲班的成绩；

⑵若记成绩在区间K80,100）为优秀，小于80为不优秀，你有多少把握判断乙班的成绩比

甲班的成绩优良.

解：⑴甲班成绩集中在“茎7”，乙班的成绩集中在“茎8”，从茎叶图可判断乙班的成绩好于

甲班的成绩.

（2）根据茎叶图列出2x2列联表

优秀不优秀总计

甲班51015

乙班7815

总计121830

2

”人小川230x(5x8-7x10)5ri5

K2的观测值k=-]5X]5X「X18---=9=0.556>0,455,且出=歹0.556<0.708,

又P(K2>0.455)=0.50,P(^2>0.708)=0.40,

故仅有50%至60%的把握认为乙班的成绩比甲班的成绩优良.

反思感悟独立.性检验问题的求解策略

⑴等高堆积条形图法：依据题目信息画出等高堆积条形图，依据频率差异来粗略地判断两

个变量的相关性.

（2）通过公式肃Ms+a先计算再与临界值表作比较，最后得出结论.

跟踪训练4.有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成

绩后，得到如下的列联表：

班级与成绩列联表

优秀不优秀总计

甲班103545

乙班73845

总计177390

请画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关系；根据列联表的独立性

检蛤,能否在犯错谡的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？

解：列联表的等高条形图如图.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系

匚Z）优秀

匚二）不优秀

假设成绩与班级没有关系，

则有a=10,/?=35,c=7,"=38,a+/?=45,c+d=45,〃+c=17,b+d=13,〃=90,

代入心公式，得心的观测值2=如铝膏济票”0.653.

由于辰0.653V6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为成绩与班级有关系.

当堂检测

1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、8两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法

分别求得相关系数，•与残差的平方和〃?如卜.表：

\

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

R答案XD

K解析U相关系数，•越接近于1和残差平方和，〃越小，两变量A、B的线性相关性越强，

故选D.

2.某大学数学系学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别

不同的大学生是否爱好游冰运动，得到如下的列联表：

男女总计

爱好402060

不爱好20305。

总计6050110

由K21a+b)(b+d)算得K?的观测值

11Ox(40x30—20x20)：

k=60x50x60x50~7-8,

附表：

P（心滋））0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过（）.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别无关”

K答案Hc

R解析U因为K%7.8>6635,但7.8V10.828,故在犯借误的概率不超过1%的前提下认为

“爱好游泳运动与性别有关”，故选C.

3.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组

数据yi）,（X2，/），（/3，”），（X4，M，（工5，）,5）.根据收集到的数据可知内+也+处+以

+玲=150,由最小二乘法求得回归直线方程为y=0.67x+54.9,则》1+），2+）?+以+）丐的值为

K答案》375

K解析II由题意，得X=^（X14-X24-4-X44-A-5）=30,且回归直线f=0.67x+54.9恒过点（x,

7),贝I」7=0.67X30+54.9=75,所以9+户+)，3+)4+)，5=5歹=375.

4.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁.为了考察某种

埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表:

感染未感染总计

服用10405()

未服用203050

总计3070100

附表：

2

P(K>k0)0.1()0.05().025

kc2.7063.R4I5.024

参照附表，在犯错误的概率不超过________（填百分比）的前提下，认为“小鼠是否被感染与

服用疫苗有关”.

K答案』5%

I（v）x（10x2（）—70x40）2

R解析H片的观测值仁力徐岩二）。4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超

过5%的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”.

5.某中学对高二甲、乙两个同类班级进行了“加强，语文阅读理解，训练对提高，数学应用题，

得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教

学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，

试验