【江苏专用 真题汇编】平面向量及其应用考前专题特训2025年高考数学 含答案

/【江苏省各地区真题汇编】平面向量及其应用考前专题特训2025年高考数学一．选择题（共8小题）1．（2025春•东海县期中）已知向量a→=(k，2)，b→A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（2025春•东海县期中）已知平面向量a→，b→满足|a→|=|b→A．π6 B．π3 C．π23．（2025春•东海县期中）在△ABC中，M是BC中点，AM＝1，AB→⋅ACA．2 B．3 C．2 D．44．（2020秋•江阴市校级月考）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b、则“a＝b”是“abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2025春•宜兴市期中）已知向量a→=（﹣1，1），b→=（1，3），若a→⊥（aA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（2024秋•灌南县期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=22，A．(0，22) B．(22，4) 7．（2025春•东海县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，AF与DE交于点N，AN→=xAB→A．15 B．25 C．358．（2025春•东海县期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，3sinC+cosC=2，N是边BC上一点，且满足BN＝AC，M是A．22 B．33−32 C．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•东海县期中）已知向量a→=(−1，1)，A．|aB．(aC．a→与b→的夹角为D．a→在b（多选）10．（2025春•沭阳县校级期中）点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的是（）A．若MA→+MB→+MCB．若AB→⋅AC→C．若AM→=1D．若△ABC为边长为2的正三角形，点M在线段BC上运动，则AM（多选）11．（2025春•沭阳县校级期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2A．△ABC的最长边长为14 B．△ABC的三个内角满足A+C．△ABC的三条高的和为83D．△ABC的中线CD的长为19三．填空题（共3小题）12．（2025春•无锡校级月考）已知平面向量a→、b→满足|a→|=|13．（2025春•东海县期中）在△ABC中，∠A=π3，∠A的平分线交线段BC于点D，BD＝2DC，AD＝3，则14．（2024秋•灌南县期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中DF→=2FA→，则S△DEFS△ABC的值为四．解答题（共5小题）15．（2025春•玉溪校级期中）已知向量a→（1）若向量c→与a→−3（2）若向量c→与b→的夹角为锐角，求实数16．（2025春•东海县期中）如图，已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，以BC为一边作等边△BCD，A，D位于边BC两侧，连结AD．（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求证：tanA＝3tanB；（2）若b＝4，c＝2，求：（i）AD→（ii）△ACD面积的最大值．17．（2024秋•灌南县期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC2（1）求B；（2）若a＝2，c＝5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求△ABD的面积．18．（2025春•句容市校级期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinA（1）求sinA；（2）若△ABC的面积为163①已知E为BC的中点，且b+c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；②求内角A的角平分线AD长的最大值．19．（2025春•沭阳县校级期中）对任意两个非零向量m→，n→，定义新运算：m→⊕n（1）若非零向量a→，b→满足|a（2）若向量a→=(t，4)，b（3）已知非零向量a→，b→满足|a→|=k|b→|（k是正整数），向量

【江苏省各地区真题试卷汇编】平面向量及其应用考前专题特训-2025年高考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABDCBDCB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCDACABD一．选择题（共8小题）1．（2025春•东海县期中）已知向量a→=(k，2)，b→A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2解：向量b→=(1，−1)，a→⊥b所以k＝2．故选：A．2．（2025春•东海县期中）已知平面向量a→，b→满足|a→|=|b→A．π6 B．π3 C．π2解：由题知，|a→−2因为|a所以5−4a→⋅因为a→则cosa→，b→则a→，b→的夹角为故选：B．3．（2025春•东海县期中）在△ABC中，M是BC中点，AM＝1，AB→⋅ACA．2 B．3 C．2 D．4解：因为M是BC中点，所以MB→且AB→=AM可得AB→•AC→=（AM→+已知AM→=1，又因为AB→•AC→=−因为M是BC中点，所以BC＝2|MB→|，而MB→2所以BC＝2×2＝4．故选：D．4．（2020秋•江阴市校级月考）在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b、则“a＝b”是“abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解：在△ABC中，若a＝b，则A＝B，则cosA＝cosB，则ab故“a＝b”是“ab在△ABC中，若ab=cosAcosB，则acosB＝由正弦定理得：sinAcosB＝sinBcosA，即sin（A﹣B）＝0，故A＝B，则a＝b，故“a＝b”是“ab故选：C．5．（2025春•宜兴市期中）已知向量a→=（﹣1，1），b→=（1，3），若a→⊥（aA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：若a→⊥（a→+则a→向量a→=（﹣1，1），则2+2λ＝0，解得λ＝﹣1．故选：B．6．（2024秋•灌南县期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=22，A．(0，22) B．(22，4) 解：在△ABC中，a=22，B=即b＜22b故选：D．7．（2025春•东海县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，AF与DE交于点N，AN→=xAB→A．15 B．25 C．35解：在平行四边形ABCD中，因为E，F分别为AB，BC中点，则AF→因为AN→∥AF→，则AN→=λ故2λ+λ2则x=25故选：C．8．（2025春•东海县期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，3sinC+cosC=2，N是边BC上一点，且满足BN＝AC，M是A．22 B．33−32 C．解：由3sinC+cosC又C+π6∈(π在△ABC中，由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝9，如图可知，CN=在△MNC中，由余弦定理，MN由a2+b2﹣ab＝9，可得(a设a−b2不妨取x∈[0，2π），由图可知a≥又sinx＞0，cosx＞0，进而解得x∈(0，由a=3cosx+3MN=9co=9co当x=π4则MN故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•东海县期中）已知向量a→=(−1，1)，A．|aB．(aC．a→与b→的夹角为D．a→在b解：b→=(2，0)，则|b→|=22+0向量a→=(−1，1)，则a→+b→=(1，1)，则(根据夹角公式，cos〈a→，b→〉=a→⋅ba→在b→上的投影向量为a→故选：BCD．（多选）10．（2025春•沭阳县校级期中）点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的是（）A．若MA→+MB→+MCB．若AB→⋅AC→C．若AM→=1D．若△ABC为边长为2的正三角形，点M在线段BC上运动，则AM解：对于A，如图，取AB的中点D，连接MD，则MA→因为MA→+MB→+MC→取BC的中点E，连接ME，同理可得M在中线AE上，所以M为△ABC的重心，故A正确；对于B，由AB→⋅AC→＞0因为A∈（0，π），则角A为锐角，但是其它角不一定为锐角，所以△ABC不一定为锐角三角形，故B错误；对于C，因为AM→=1所以2(AM→−所以M为BC上靠近C的三等分点，即BM=如图，设A到BC边的距离为h，则S△ABMS对于D，若M为BC的中点，则AM→所以AM=1=1=12×(4+2×2×2×故选：AC．（多选）11．（2025春•沭阳县校级期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2A．△ABC的最长边长为14 B．△ABC的三个内角满足A+C．△ABC的三条高的和为83D．△ABC的中线CD的长为19解：因为sinA：sinB：sinC＝3：5：7＝a：b：c＝3：5：7，设a＝3m，b＝5m，c＝7m，因为△ABC的面积153，S所以14解得m＝2，所以a＝6，b＝10，c＝14，对于A，因为a＝6，b＝10，c＝14，A正确，对于B，由余弦定理得cosC=因为C∈（0，π），所以C=2π3，所以A+B=对于C，因为△ABC的面积153，且a＝6，b＝10，c所以△ABC的三条高的和为3036+对于D，因为CD为△ABC的中线，所以CD→所以CD=1所以|CD|=19，D故选：ABD．三．填空题（共3小题）12．（2025春•无锡校级月考）已知平面向量a→、b→满足|a→|=|b→解：因为平面向量a→、b所以a→所以a→2=−2所以|b设a→与b→−则cosα=又因为α∈[0，π]，所以α=故5π13．（2025春•东海县期中）在△ABC中，∠A=π3，∠A的平分线交线段BC于点D，BD＝2DC，AD＝3，则BC＝解：因为∠A=π3，∠A的平分线交线段BC于点D，所以S△设AB＝2x，AC＝x，因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD，所以12即3x2=由余弦定理得：BC2＝4x2+x2﹣2•2x•x•cos60°＝3x2，所以BC=故9214．（2024秋•灌南县期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中DF→=2FA→，则S△DEFS△ABC的值为413；设解：设AF＝1，由DF→=2FA→，得在△ABD中，BD＝AF＝1，∠ADB＝180°﹣60°＝120°，所以AB=AD2因为正△ABC与正△DEF相似，所以S△DEFS△ABC=由题意，得AD→=AB→+BD→结合−DE→=EF→+FD→，可得即AD→=AB将AF→=13AD结合AD→=λAB→+μAC→，可得λ=故413；12四．解答题（共5小题）15．（2025春•玉溪校级期中）已知向量a→（1）若向量c→与a→−3（2）若向量c→与b→的夹角为锐角，求实数解：（1）根据题意，因为a→=(1，1)，b而c→若向量c→与a→−3b→共线，则有﹣2（k（2）根据题意，若向量c→与b→的夹角为锐角，则b→由b→⋅c若c→∥b→，则有k+2＝2（k+1），解可得k＝0，此时c→综合可得，k的取值范围为（−516．（2025春•东海县期中）如图，已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，以BC为一边作等边△BCD，A，D位于边BC两侧，连结AD．（1）若2（asinA﹣bsinB）＝csinC．求证：tanA＝3tanB；（2）若b＝4，c＝2，求：（i）AD→（ii）△ACD面积的最大值．（1）证明：因为2（asinA﹣bsinB）＝csinC，由正弦定理可得2a2﹣2b2＝c2，则cosB=所以4acosB＝3c，由正弦定理：4sinAcosB＝3sinC，在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB＝3cosAsinB，即证得tanA＝3tanB；（2）解：（i）AD→又cosB=所以AD→（ii）由BC＝CD＝BD＝a，AC＝b＝4，AB＝c＝2，若E是BC的中点，以E为原点，EB→，ED→为如下图示，所以B(a2，0)，C(−a2，0)，D(0，32所以(x+a所以S=1而2＜a＜6，若t＝a2﹣20∈（﹣16，16），令f(若m=3t所以m2可得（m+n）2＝（m3•3+n×1）由柯西不等式可（m3•3+n×1）2≤（m2所以m+n=3t2所以f(即a2=20+83时△ACD的最大值为18（32+203）所以△ACD面积的最大值4(1+317．（2024秋•灌南县期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC2（1）求B；（2）若a＝2，c＝5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求△ABD的面积．解：（1）由cosC2a+c=12b，得2bcosC＝2a+c，结合正弦定理得2sin在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以2sinBcosC＝2（sinBcosC+cosBsinC）+sinC，整理得sinC（2cosB+1）＝0，因为△ABC中，sinC≠0，所以2cosB+1＝0，cosB=−12，结合B∈（0，π），可得B（2）根据∠ABC=2π3且BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠由S△ABC＝S△ABD+S△BCD，得12AB•BCsin2π3=12AB•BDsinπ即12×5×2×32所以S△ABD=118．（2025春•句容市校级期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinA（1）求sinA；（2）若△ABC的面积为163①已知E为BC的中点，且b+