2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十六）直线与圆、圆与圆的位置关系 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（五十六）直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆(x+1)2+(y-2)2=4与直线3x+4y+5=0的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.不确定2.已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r的值为()A.3 B.4 C.5 D.63.(2025·菏泽模拟)设圆C：(x-3)2+y2=r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆的半径r的值为()A.2 B.4 C.3 D.34.(2025·宿州模拟)已知A(2，0)，P为圆O：x2+y2=1上的动点，且动点Q满足：OP=OA+OQ，记点Q的轨迹为E，则()A.E为一条直线B.E为椭圆C.E为与圆O相交的圆D.E为与圆O相切的圆5.(2025·楚雄模拟)设点P(x0，0)，若在圆C：x2+(y-2)2=3上存在M，N两点，使得四边形CMPN为正方形，则x0=()A.±1 B.±2C.±2 D.±26.[多选]已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4，a∈R，则下列说法正确的是()A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1B.若圆O与圆C相切，则a=±22C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则-22<a<22D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为27.(2025·泰安模拟)[多选]已知直线l：kx-y-2k+3=0，圆C：x2-2x+y2-8y+13=0，则下列说法正确的是()A.圆心C的坐标为(1，4)B.直线l与圆C始终有两个交点C.当k=2时，直线l与圆C相交于M，N两点，则△CMN的面积为3D.点C到直线l的距离最大时，k=18.[多选]若两定点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=2|MB|，则下列说法正确的是()A.点M的轨迹所围成区域的面积为32πB.△ABM面积的最大值为82C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为52D.若圆C：(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M，则r的取值范围为29.(2025·台州一模)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey=0，其中D<0，若圆C上仅有一个点到直线x+3y-2=0的距离为1，则ED的值为；圆C的半径取值可能为(请写出一个可能的半径取值).10.(2025·珠海一模)已知点A(-1，0)，B(0，3)，点P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为.

11.已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，过点P(3，2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠ACB的正切值为.

12.(2025·榆林模拟)已知圆C：(x+5)2+(y-12)2=4和两点A(0，b)，B(0，-b)(b>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则b的取值范围为.

13.(2025·常州模拟)已知圆O：x2+y2=r2(r>0)，直线l：kx-y-4k=0，当k=33时，直线l与圆O(1)求圆O的方程；(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得PM·PN=0，求实数k的取值范围.14.(2025·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|=3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN+kBN为定值.15.已知圆M：x2+(y-4)2=4，P是直线l：x-2y=0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标.(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点?若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

（解析）精练（五十六）直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆(x+1)2+(y-2)2=4与直线3x+4y+5=0的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.不确定解析：选B由题意知，圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1，2)，半径r=2，则圆心到直线3x+4y+5=0的距离d=|−3+8+5|32+42=2=r，所以直线3x+4y+5=0与圆(x2.已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r的值为()A.3 B.4 C.5 D.6解析：选C如图，连接OA，OB，由圆心为原点，则圆心到直线的距离d=81+3=4，又|AB|=6，所以|AB|=2r2−d2=6⇒3.(2025·菏泽模拟)设圆C：(x-3)2+y2=r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆的半径r的值为()A.2 B.4 C.3 D.3解析：选D圆心(3，0)到直线4x-3y-2=0的距离d=|4×3−2|42+(−3)24.(2025·宿州模拟)已知A(2，0)，P为圆O：x2+y2=1上的动点，且动点Q满足：OP=OA+OQ，记点Q的轨迹为E，则()A.E为一条直线B.E为椭圆C.E为与圆O相交的圆D.E为与圆O相切的圆解析：选D设点Q的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，由OP=OA+OQ，得OQ=OP-OA，则(x，y)=(x0，y0)-(2，0)=(x0-2，y0)，所以x=x0−2，y=y0，即x0=x+2，y0=y，把P(x+2，y)代入圆O：x2+y2=1，则点Q5.(2025·楚雄模拟)设点P(x0，0)，若在圆C：x2+(y-2)2=3上存在M，N两点，使得四边形CMPN为正方形，则x0=()A.±1 B.±2C.±2 D.±2解析：选C要使得四边形CMPN为正方形，结合圆的对称性可得，满足PM，PN与圆C相切，且∠MPN=π2，|CM|=|CN|=3，所以|CP|=6，所以x02+4=6，解得x06.[多选]已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4，a∈R，则下列说法正确的是()A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1B.若圆O与圆C相切，则a=±22C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则-22<a<22D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2解析：选AD根据题意，可得圆O：x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a，1)，半径R=2.对于A，因为两圆的圆心距d=|OC|=a2+1≥1，所以A正确；对于B，当两圆内切时，圆心距d=|OC|=R-r=1，即a2+1=1，解得a=0.当两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+r=3，即a2+1=3，解得a=±22.综上所述，若两圆相切，则a=0或a=±22，故B不正确；对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=|OC|∈(R-r，R+r)，即a2+1∈(1，3)，可得1<a2+1<3，解得-22<a<22且a≠0，故C不正确；对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：7.(2025·泰安模拟)[多选]已知直线l：kx-y-2k+3=0，圆C：x2-2x+y2-8y+13=0，则下列说法正确的是()A.圆心C的坐标为(1，4)B.直线l与圆C始终有两个交点C.当k=2时，直线l与圆C相交于M，N两点，则△CMN的面积为3D.点C到直线l的距离最大时，k=1解析：选ABDx2-2x+y2-8y+13=0可化为(x-1)2+(y-4)2=4，所以圆心C(1，4)，半径R=2，所以A正确；由kx-y-2k+3=0，得k(x-2)+(3-y)=0，则直线kx-y-2k+3=0过定点(2，3)，因为(2-1)2+(3-4)2=2<4，所以点(2，3)在圆C内，所以直线kx-y-2k+3=0与圆C始终有两个交点，所以B正确；设圆心C到直线2x-y-1=0的距离为d，则d=|2−4−1|4+1=35=355，弦长|MN|=2R2−d2=24−95=2555，所以面积S=12|MN|d=12×2555×38.[多选]若两定点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=2|MB|，则下列说法正确的是()A.点M的轨迹所围成区域的面积为32πB.△ABM面积的最大值为82C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为52D.若圆C：(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M，则r的取值范围为2解析：选ABD如图，设M(x，y)，由|MA|=2|MB|得，|MA|2=2|MB|2，∴(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2]，整理可得(x-6)2+y2=32，∴点M的轨迹是以点S(6，0)为圆心，42为半径的圆.对于A，点M轨迹围成的区域面积为π×(42)2=32π，A正确；对于B，∵|AB|=4，∴若△ABM取得最大值，则点M到直线AB的距离最大，即到x轴的距离最大，∵点M到直线AB的距离的最大值为42，∴△ABM面积的最大值为12×4×42=82，B正确；对于C，∵圆心S(6，0)到直线x-y+4=0的距离d=|6−0+4|12+(−1)2=52，∴点M到直线x-y+4=0距离的最大值为d+42=52+42=92，C错误；对于D，由题意知点M的轨迹与圆C有公共点，即两圆有公共点，∵圆C的圆心为(-1，1)，半径为r，∴两圆的圆心距为(6+1)2+(0−1)2=52，∴|r-42|≤529.(2025·台州一模)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey=0，其中D<0，若圆C上仅有一个点到直线x+3y-2=0的距离为1，则ED的值为；圆C的半径取值可能为(请写出一个可能的半径取值).解析：根据题意，与直线x+3y-2=0的距离为1的点都在直线x+3y=0和x+3y-4=0上，又圆C：x2+y2+Dx+Ey=0过原点且原点到直线x+3y-2=0的距离为1，则C−D2，−E2在直线y=3x上，且圆C与直线x+3y=0相切，所以ED=3，又因为圆C与直线x+答案：312(满足0<r10.(2025·珠海一模)已知点A(-1，0)，B(0，3)，点P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为.

解析：由题意得A(-1，0)，B(0，3)，则|AB|=(−1)2+32=10，直线AB的方程为y=3x+3，圆(x-3)2+y2=1的圆心C(3，0)，半径r=1，点C到直线AB：3x-y+3=0的距离d=1232+(−1)2=6105，因此点P到直线AB距离的最小值为d-r=6答案：6-1011.已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，过点P(3，2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠ACB的正切值为.

解析：法一由题可得，圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1，1)，半径r=1.易知切线PA，PB的斜率都存在，设切线的方程为y-2=k(x-3)，即kx-y-3k+2=0，∴圆心C到切线的距离d=k−1−3k+2|1+k2=|2k−1|1+k2=1，解得k=0或k=43，如图，设点B在点A下方，则tan法二由题可得，圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1，1)，半径r=1.易知直线y=2是圆C的一条切线，不妨设切点为A，则tan∠ACP=2.又tan∠BCP=tan∠ACP，∴tan∠ACB=2tan∠ACP1−tan2∠答案：-412.(2025·榆林模拟)已知圆C：(x+5)2+(y-12)2=4和两点A(0，b)，B(0，-b)(b>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则b的取值范围为.

解析：因为圆C上存在点P，使得∠APB=90°，所以以AB为直径的圆与圆C有交点，又以AB为直径的圆的圆心为O(0，0)，半径为b，圆C的圆心为C(-5，12)，半径为2，所以|OC|-2≤b≤|OC|+2，即13-2≤b≤13+2，即11≤b≤15.答案：[11，15]13.(2025·常州模拟)已知圆O：x2+y2=r2(r>0)，直线l：kx-y-4k=0，当k=33时，直线l与圆O(1)求圆O的方程；(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得PM·PN=0，求实数k的取值范围.解：(1)当k=33时，圆心O到直线l的距离为−43所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)圆心O到直线l的距离d=|−4①当直线l与圆O有公共点，即d=|−4k1+k2≤r=2，解得-33≤k≤33，若点P与点M②当直线l与圆O无公共点，即d=|−4k1+k2>r=2，解得k<-3由PM·PN=0，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，则圆Q的方程为(x−x又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径r2=1，圆O的半径r1=2，则1=r1-r2≤|OQ|=x02+y02≤r1+r2=3，只需点O到直线所以-377≤k<-33或33<综上，实数k的取值范围为−314.(2025·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|=3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN+kBN为定值.解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，则圆C的半径为m，又|MN|=3，所以m2=4+322=254，解得m=52