2026年高考数学一轮专题训练：空间向量及其运算1 含答案

/空间向量及其运算一．选择题（共8小题）1．（2025春•姜堰区期中）已知向量a→=(x，4，−2)，b→A．xy＝﹣8 B．xy＝﹣2 C．xy＝2 D．xy＝82．（2024秋•雁江区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝AB＝CC1＝1，E是线段AB的中点，在△A1BC内有一动点P（包括边界），则|PA|+|PE|的最小值是（）A．332 B．2333 C．333．（2025春•盐城期中）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且PO→=1A．512 B．712 C．344．（2024秋•三门峡期末）平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．10 B．85 C．61 D．705．（2024秋•雅安期末）已知空间向量a→=(1，1，1)，b→=(0，m，2)，c→=(1，0，0)，若A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．（2025春•兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→7．（2025•闵行区二模）设n为正整数，空间中n个单位向量构成集合An={a1→，a2→，⋯，an→}，若存在实数A．−12 B．12 C．−8．（2024秋•海南州期末）已知向量OM→=(2，1，2)，ON→=(−2，1，1)，OP→=(8，6，λ)，若O，A．12 B．223 C．449 二．多选题（共4小题）9．（2025春•碑林区校级期中）以下说法正确的有（）A．若平面向量a→，b→，c→两两夹角相等，且|a→|=1，B．已知向量a→=（1，2），b→=（2，2），则向量a→C．已知点O是△ABC内的一点，若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△ABC，S△BOC分别表示△ABC，△D．已知点O是△ABC内的一点，若OA→⋅(AB→|10．（2025春•南京期中）已知点A（3，﹣1，﹣1），B（5，4，﹣3），则（）A．|AB→|B．线段AB的中点坐标为(4，3C．点B到x轴的距离为5 D．直线AB的一个方向向量为(−1，11．（2024秋•资阳校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3A．AO→=12C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B1BCC112．（2024秋•朝阳校级期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P为空间内一动点，若BP→A．若λ＝μ，则点P的轨迹为线段BC1 B．若μ＝1﹣λ，则点P的轨迹为线段B1C C．存在λ，μ∈（0，1），使得AP⊥平面BCC1B1 D．存在λ，μ∈（0，1），使得AP∥平面A1B1C1三．填空题（共4小题）13．（2025春•盐城期中）已知直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线14．（2025•徐汇区二模）在空间直角坐标系中，向量a→=(−m，6，3)，b→=(2，n，1)，若a15．（2025春•兴化市校级月考）已知点B（1，0，0），C′（1，1，1），D′（0，1，1），若点E的坐标为（﹣2，1，m），且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为．16．（2024秋•普陀区校级期末）在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN→=λDA→+μDB→+νBC→（λ、μ四．解答题（共4小题）17．（2025春•沭阳县期中）已知a→（1）求(a（2）当(ka→18．（2025春•沭阳县期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，（1）用a→，b→，c→（2）若P为棱C1D1的中点，求|MP（3）是否存在点P，使AP⊥A1N，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．19．（2025春•江苏校级期中）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1=22，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，设AB→（1）用a→，b→，c→表示AC1（2）求AC1的长；（3）求异面直线BD1与AC所成角的余弦值．20．（2024秋•厦门校级期中）如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB=4，AD=（1）将MN→用a（2）当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值？求此时MN与AE夹角的余弦值．

空间向量及其运算答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•姜堰区期中）已知向量a→=(x，4，−2)，b→A．xy＝﹣8 B．xy＝﹣2 C．xy＝2 D．xy＝8【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】A【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．解：向量a→=(x，4，−2)，b→所以x−2=4故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（2024秋•雁江区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝AB＝CC1＝1，E是线段AB的中点，在△A1BC内有一动点P（包括边界），则|PA|+|PE|的最小值是（）A．332 B．2333 C．33【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】首先由题意建立空间直角坐标系C﹣xyz，设A关于平面A1BC的对称点为A′（x，y，z），z＞0，求出A′A1→、AA′→和平面A1BC的法向量n→=(x1，y1，z1)，进而利用A与A′到平面A1BC的距离相等得|﹣x+y+z|＝1①，再由AA′→∥n解：由题意可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，0，0），A（1，0，0），E(1，所以CB→设A关于平面A1BC的对称点为A′（x，y，z），z＞0，则A′A1设平面A1BC的法向量n→=(x令x1＝1，则y1＝﹣1，z1＝﹣1，所以n→所以A与A′到平面A1BC的距离d=|AA1→⋅又AA′→∥n→，所以x﹣1＝﹣y所以由z＞0可得x=13所以|PA当且仅当A′，P，E三点共线时取等号，所以|PA|+|PE|的最小值为336故选：C．【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系，平面的法向量，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2025春•盐城期中）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且PO→=1A．512 B．712 C．34【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】B【分析】首先利用共面向量基本定理求出λ的值，进一步利用向量的数量积求出结果．解：正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且PO→所以12+λ所以PO=13×|=1故选：B．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（2024秋•三门峡期末）平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．10 B．85 C．61 D．70【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】由AC′解：如图，由题知，AB→AB→⋅ADAD→∵AC′∴AC=16+9+25+2×0+2×10+2×15∴|AC′→|=85故选：B．【点评】本题主要考查利用向量求长度，属于中档题．5．（2024秋•雅安期末）已知空间向量a→=(1，1，1)，b→=(0，m，2)，c→=(1，0，0)，若A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】直接利用向量的共面的充要条件和向量的坐标运算求出结果．解：空间向量a→=(1，1，1)，b→=(0，m，2)，c→则a→=λb→+μc→，整理得：（1，1，1）＝λ（0，m故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量共面的充要条件，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2025春•兴化市校级月考）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AD1→ B．AC1→【考点】空间向量及其线性运算；平面向量的加法．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】A【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示：故AB→故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．7．（2025•闵行区二模）设n为正整数，空间中n个单位向量构成集合An={a1→，a2→，⋯，an→}，若存在实数A．−12 B．12 C．−【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】根据给定条件可得集合An中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出n的最大值，进而求出t值．解：令集合An={a→1，a→2，⋯，a→由向量ai→(i∈N∗，i≤n)由a→i∈An，a→j∈An由t=a→1⋅a→2=a→由t=a→4⋅a→2=而点A1，A3，A4不共线，于是点A1，A2，A3，A4不共面，点A1，A2，A3，A4为球O内接正四面体的4个顶点，若n≥5，不妨取n＝5，同理得OA5⊥A1A3，OA5⊥A4A3，OA5⊥平面A1A3A4，又OA5⊥A2A3，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点A2∈平面A1A3A4，与点A1，A2，A3，A4不共面矛盾，因此nmax＝4，设正四面体A1A2A3A4的棱长为m，则正△A1A2A3的外接圆半径为32正四面体的高为m2球心到平面A1A2A3的距离为63因此(63m所以t=故选：C．【点评】本题考查空间向量数量积的性质及运算，属中档题．8．（2024秋•海南州期末）已知向量OM→=(2，1，2)，ON→=(−2，1，1)，OP→=(8，6，λ)，若O，A．12 B．223 C．449 【考点】空间向量的投影向量与投影；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】根据O，M，N，P四点共面，可得OM→，ON→，OP→解：由题意可知，存在唯一实数对（x，y），使得OP→即（8，6，λ）＝x（2，1，2）+y（﹣2，1，1），所以8=2x−2y所以OP→向量OP→在OM→上的投影向量的模即为向量OP→所以向量OP→在OM→上的投影向量的模为故选：D．【点评】本题主要考查空间向量的投影，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．（2025春•碑林区校级期中）以下说法正确的有（）A．若平面向量a→，b→，c→两两夹角相等，且|a→|=1，B．已知向量a→=（1，2），b→=（2，2），则向量a→C．已知点O是△ABC内的一点，若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△ABC，S△BOC分别表示△ABC，△D．已知点O是△ABC内的一点，若OA→⋅(AB→|【考点】空间向量的数量积运算；平面向量的投影向量．【专题】计算题；整体思想；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】ABC【分析】选项A：利用向量模长公式，结合两两夹角相等的条件（120°），计算向量和的模长．选项B：应用投影向量公式，计算向量a→在b→方向上的投影坐标．选项C：通过向量线性组合关系，结合面积比例公式，推导面积比．选项解：选项A：平面向量a→，bb→与a→夹角120°，c→选项B：向量a→=(1，2)在b→选项C：已知点O在△ABC内，满足2OA→+整理得：2A这表明点O是点A、B、C的加权平均，权重分别为2、1、3，设△ABC的面积为S△ABC，△BOC的面积为S△BOC，假设A（0，0），B（b，0），C（c，d），则点O的坐标为：O(S△而△ABC的面积为：S△因此，面积比为：S△ABCS△BOC=12bd选项D：因为OA=OC已知条件表明OA垂直于角A的平分线，OB垂直于角B的平分线，OC垂直于角C的平分线，因此点O是三角形ABC的旁心，而不是垂心故错误．故选：ABC．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．10．（2025春•南京期中）已知点A（3，﹣1，﹣1），B（5，4，﹣3），则（）A．|AB→|B．线段AB的中点坐标为(4，3C．点B到x轴的距离为5 D．直线AB的一个方向向量为(−1，【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ABC【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模的运算以及向量的方向向量求出结果．解：已知点A（3，﹣1，﹣1），B（5，4，﹣3），所以AB→对于A：|AB→|=对于B：由已知条件得：线段AB的中点坐标为（4，32，﹣2），故B对于C：点B到x轴的距离d=42+(−3对于D：直线AB的一个方向向量为AB→|AB故选：ABC．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的方向向量，点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11．（2024秋•资阳校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3A．AO→=12C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B1BCC1【考点】空间向量的数量积运算；平面与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】ABD【分析】利用空间向量的线性运算，逐步把AO→用基向量表示出来即可判断A；对于B，C，D，则可以选择AB→=a→，AC→=b→，AA1→=c→为平面的一组基，分别用a→，b→，c→表示出相关向量，再运用向量数量积的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断B，解：对于A，因AO→=AB对于B，不妨设AB→=a→，AC→则依题意：|由A可得，AO→则|AO→|2=对于C，因BC→=b故C错误；对于D，如图取BC的中点E，连接AE，则AE→因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AE→⋅BB1→因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面B1BCC1，所以AE⊥平面B1BCC1，又AE⊂平面ABC，故平面ABC⊥平面B1BCC1，即D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题．12．（2024秋•朝阳校级期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P为空间内一动点，若BP→A．若λ＝μ，则点P的轨迹为线段BC1 B．若μ＝1﹣λ，则点P的轨迹为线段B1C C．存在λ，μ∈（0，1），使得AP⊥平面BCC1B1 D．存在λ，μ∈（0，1），使得AP∥平面A1B1C1【考点】空间向量及其线性运算．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【正确答案】AB【分析】由共面向量定理可得点P在侧面BCC1B1内（含边界），利用共线向量判断AB；借助向量数量积判断CD．解：因为在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P为空间内一动点，若BP→所以由共面向量定理可得点P在侧面BCC1B1内（含边界），对于A选项，因为在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P为空间内一动点，若BP→若λ＝μ，则BP→所以点P的轨迹为线段BC1，所以A选项正确；对于B选项，由μ＝1﹣λ，得BP→所以BP→所以B1P→所以点P的轨迹为线段B1C，所以B选项正确；对于C选项，因为AP→=AB→+BP→所以直线AP与直线BB1不垂直，所以C选项错误；对于D，因为平面A1B1C1的法向量为BB1→，估计选项C分析知AP所以不存在λ，μ∈（0，1），使得AP∥平面A1B1C1，所以D选项错误．故选：AB．【点评】本题考查向量与立体几何的综合应用，属中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•盐城期中）已知直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线l上的投影向量坐标为【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（0，−2【分析】直接利用向量的投影向量的定义和向量的线性运算求出结果．解：直线l的方向向量为b→=(0，−1，1)，则向量a→=(1，2，3)在直线l上的投影向量坐标为故（0，−2【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2025•徐汇区二模）在空间直角坐标系中，向量a→=(−m，6，3)，b→=(2，n，1)，若a【考点】空间向量的共线与共面；空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】﹣4．【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．解：向量a→=(−m，6，3)，b→=(2，n，1)，若a→∥b→故﹣4．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．15．（2025春•兴化市校级月考）已知点B（1，0，0），C′（1，1，1），D′（0，1，1），若点E的坐标为（﹣2，1，m），且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为1．【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】1．【分析】利用空间共面向量定理求解即可．解：∵B（1，0，0），C′（1，1，1），D′（0，1，1），E（﹣2，1，m），∴BC′→=(0，1，1)，BD∵B，C′，D′，E四点共面，故根据空间向量基本定理可知存在实数x，y，使得BC′则有−x−3y故1．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．16．（2024秋•普陀区校级期末）在正四面体ABCD中，点N是△ABC的中心，若DN→=λDA→+μDB→+νBC→（λ、μ、v【考点】空间向量及其线性运算．【专题】数形结合；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】43【分析】依题意设OA＝a，OB＝b，OC＝c，利用勾股定理即可得到a＝b＝c，设该正四面体的棱长为2，求出点的坐标，结合DN→解：因为在正四面体ABCD中，AB＝BC＝CA，所以正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在以O为端点且两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由OA，OB，OC两两垂直及勾股定理得：a2+b2＝b2+c2＝c2+a2，所以a＝b＝c，即OA＝OB＝OC，所以O﹣ABC是正三棱锥，设该正四面体的棱长为2，则a＝b＝c＝1，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以：A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），又因为点N是△ABC的中心，且△ABC为正三角形，所以N=(所以DN→因为DN→所以(−23，−23，−23)=λ(0，−1，−1)+μ(−1，0，−1)+即−23=−所以λ+μ+ν=2故43【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•沭阳县期中）已知a→（1）求(a（2）当(ka→【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）2；（2）﹣1．【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解；（2）由平行得到(k解：（1）由于a→a→−b所以(a（2）因为a→当(ka→−b→即（3k﹣2，2k﹣1，﹣k﹣2）＝（5λ，3λ，λ），所以3k−2=5λ所以实数k的值为﹣1．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．18．（2025春•沭阳县期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，（1）用a→，b→，c→（2）若P为棱C1D1的中点，求|MP（3）是否存在点P，使AP⊥A1N，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数乘及线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）A1（2）31；（3）存在，P为C1D1的中点．【分析】（1）根据向量线性运算计算即可；（2）根据向量线性运算计算得MP→（3）设D1P→解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，棱长都为2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，设AA1→=a→，AB→=b→，AD则A1（2）若P为棱C1D1的中点，所以|MP（3）设D1P→则AP→=a所以(a即−a