高三数学（文）一轮复习课堂达标53古典概型

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(五十三)[A基础巩固练]1．(2018·兰州模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．则向量p与q共线的概率为()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)[解析]由题意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的个数＝6×6＝36.若p∥q，则6m－3n＝0，得到n＝2m.满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本事件．因此向量p与q共线的概率为P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).[答案]D2．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)[解析]设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24种情况，则发生的概率为P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故选A.[答案]A3．(2017·课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10)B.eqB.q\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)[解析]如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25种情况，满足条件的有10种所以所求概率为eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).[答案]D4．(2018·哈尔滨模拟)设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.eq\f(1,2)B.eqB.q\f(5,8)C.eq\f(11,16)D.eq\f(3,4)[解析]已知f′(x)＝3x2＋a>0，所以f(x)在R上递增，若f(x)在[1,2]上有零点，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1＋a－b≤0，,f2＝8＋2a－b≥0，))经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，故所求概率为eq\f(11,16).[答案]C5．在平面直角坐标系xOy中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，则点M位于第二象限的概率为()A.eq\f(1,6)B.eqB.\f(1,3)C．1－eq\f(π,12) D．1－eq\f(π,6)[解析]画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P＝eq\f(1,6).[答案]A6．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k≥－eq\f(1,2)的概率为()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,4)[解析]记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知a，b的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的斜率k＝－eq\f(b,a)≥－eq\f(1,2)，知eq\f(b,a)≤eq\f(1,2)，那么满足题意的a，b可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).[答案]D7．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为______．[解析]依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).[答案]eq\f(7,12)8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为______．[解析]因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其为实数，须n2－m2，即m＝n.由已知得，事件的总数为36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求概率为P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)9．(2018·宣武模拟)曲线C的方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝__________.[解析]试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，由m>n，有(2,1)，(3,1)，…(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).[答案]eq\f(5,12)10．(2018·太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：重量段[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]件数5m12n规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件．(1)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26，求m的值．(2)从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率．[解](1)由题意可得n＝0.26×50＝13，则m＝50－5－12－13＝20.(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型”为事件A，记这5件零件分别为a，b，c，d，e，其中甲型为a，b.从这5件零件中任选2件，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．其中恰有1件为甲型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).即从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型的概率为eq\f(3,5).[B能力提升练]1．(2018·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)，与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的概率为()A.eq\f(5,18)B.eqB.q\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)[解析]法一：依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).法二：依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n＜m的向量a＝(m，n)有eq\f(36－6,2)＝15(个)，所以所求概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).[答案]B2．(2018·江南十校联考)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足自由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为()A.eq\f(3,32)B.eqB.q\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)[解析]∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，∴映射f：M→N有43＝64种，∵由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4种选择，f(2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12种，∴所求概率为eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).[答案]C3．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是____，他属于不超过2个小组的概率是____．[解析]“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝eq\f(11＋10＋7＋8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(3,5).“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－eq\f(8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq\f(13,15).[答案]eq\f(3,5)；eq\f(13,15)4．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为______．[解析]从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所以可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事件概率计算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).[答案]eq\f(5,6)5．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．[解析](1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2.))③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3.))④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝4.))由①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝eq\f(3,16).[C尖子生专练](2018·郑州市第二次质量预测)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果