初中数学九年级下册：二次函数y=a(xh)²与y=a(xh)²+k的图像与性质教案

初中数学九年级下册：二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像与性质教案

一、教学理念与指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的数学核心素养，特别是抽象能力、几何直观、推理能力和应用意识。设计摒弃传统的“告知-验证”式教学模式，转向“情境-探究-建构-迁移”的深度教学路径。

核心指导思想体现为以下三点：

1.整体性建构：将y=a(x-h)²

与y=a(x-h)²+k

置于二次函数知识体系的整体脉络中。引导学生理解它们是从标准式y=ax²

经平移变换而来，又是通向一般式y=ax²+bx+c

的桥梁，帮助学生构建清晰、连贯、可生长的知识网络。

2.过程性探究：强调知识的生成过程。通过设计递进式的探究任务，让学生亲身经历“观察具体图像→猜想变换规律→操作验证→归纳抽象性质→符号表达”的完整数学化过程，从而将形式化的数学结论转化为个人化的数学理解。

3.数形结合与思想渗透：深度融合代数关系与几何直观。利用动态几何软件，使抽象的平移变换可视化、动态化、连续化，深刻揭示参数h

，k

的几何意义。同时，在探究中渗透从特殊到一般、化归、函数与方程等基本数学思想，提升思维品质。

二、教学背景与学情分析

1.学科位置：本节课位于“函数”主题下的“二次函数”单元。承接第一课时y=ax²

的图像与性质及y=ax²+k

、y=a(x-h)²

的初步感知，是本单元从简单特殊形式向一般形式过渡的关键节点，也是理解二次函数图像所有平移变换的基石。

2.知识关联：向前关联一次函数、反比例函数的平移，巩固函数图像变换的共性认知；向后为学习y=ax²+bx+c

的配方法及顶点式埋下伏笔，并为后续解二次方程、不等式提供图像工具。

3.学情研判：

1.4.认知基础：九年级学生已熟练掌握y=ax²

的图像与性质，对a

决定开口方向和大小有清晰认识。初步学习了y=ax²+k

的上下平移，但对y=a(x-h)²

的左右平移认知可能存在机械记忆倾向（如“左加右减”），对其本质理解不深。

2.5.能力与障碍：学生具备一定的描点作图能力和图像观察能力，但从具体数值归纳到抽象符号规律的能力、自主设计探究方案的能力以及用数学语言精准描述变换过程的能力仍有待提升。主要障碍在于：1)难以将(x-h)

中的h

与点的横坐标变化建立本质联系；2)对复合平移(h,k)

的综合作用感到困惑。

3.6.心理特征：该阶段学生抽象逻辑思维进入快速发展期，不满足于结论记忆，渴望了解“为什么”。他们乐于尝试信息技术工具，但对深度思考可能缺乏持久力。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

【知识与技能】

1.能准确画出二次函数y=a(x-h)²

与y=a(x-h)²+k

的图像，并能举例说明。

2.理解参数h

和k

对二次函数图像的平移作用，能完整表述图像由y=ax²

平移到y=a(x-h)²+k

的过程。

3.能归纳并说出y=a(x-h)²

与y=a(x-h)²+k

的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性等核心性质。

【过程与方法】

1.经历通过列表、描点、连线到利用平移规律作图的思维跃升过程，体会“化未知为已知”的化归思想。

2.在动态几何软件的辅助下，通过小组合作探究，经历“操作观察→提出猜想→多例验证→归纳结论”的数学探究全过程，发展合情推理与演绎推理能力。

3.学会从“形”的变换与“数”的对应两个角度综合分析函数，深化数形结合思想。

【情感、态度与价值观】

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和好奇心。

2.感受数学的严谨性与简洁美（如一个顶点坐标(h,k)

统摄多项性质）。

3.通过实际情境问题，体会二次函数模型的应用价值，初步形成用数学眼光观察世界的意识。

【核心素养聚焦】

1.抽象能力：从具体函数的图像平移实例中，抽象出h

，k

影响函数图像位置的一般规律。

2.几何直观：利用图像直观感知、理解和分析平移变换，并借助直观进行推理。

3.推理能力：在探究性质的过程中进行合情推理，并用数学语言逻辑清晰地表述结论。

4.应用意识：能识别现实情境中可被顶点式模型刻画的问题，并尝试求解。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.二次函数y=a(x-h)²+k

的图像平移规律。

2.3.二次函数y=a(x-h)²+k

的性质（顶点、对称轴、最值、增减性）。

4.教学难点：

1.5.理解平移规律的实质：对y=a(x-h)²

中“左加右减”的深刻理解，即图像上每一点的横坐标都发生了±h

的变化。

2.6.综合平移的灵活应用：将y=ax²

的图像经过两次（或复合一次）平移得到y=a(x-h)²+k

的图像，并能在解题中逆向运用。

3.7.性质的自主归纳与表达：脱离具体数值，基于参数a,h,k

对函数性质进行符号化、一般化的归纳与表述。

五、教学资源与工具

1.信息技术：交互式电子白板、Geogebra动态几何软件（预置y=ax²

，并设计可滑动调节a,h,k

参数的界面）。

2.学习材料：导学案（内含探究任务单、分层练习）、坐标纸、小组汇报展示板。

3.情境素材：一段反映抛物线型建筑（如拱桥、投篮轨迹）的视频或图片，其中蕴含可被不同顶点式描述的抛物线。

六、教学过程实施

第一环节：创设情境，温故引新（预计时间：8分钟）

【活动设计】

1.情境唤醒：播放一段短视频，展示不同拱桥的抛物线轮廓。提问：“我们能用已学的二次函数知识描述这些轮廓吗？比如，最简单的y=ax²

？”

2.知识回顾：在白板上快速呈现y=x²

，y=2x²

，y=-x²

的图像。通过提问引导学生回顾：a

如何影响图像？开口方向、大小由谁决定？顶点和对称轴是什么？

3.认知冲突：在y=x²

的图像上叠加一个与之开口大小相同但顶点在(2,1)处的拱桥轮廓线。提问：“这座新‘拱桥’对应的函数，还是y=x²

吗？它与我们熟悉的y=x²

有怎样的关系？我们能否利用旧知识来研究这个新函数？”

4.揭示课题：明确告知学生，本节课将学习一类形式更一般、但也更有规律的二次函数，它能完美描述这类平移后的抛物线。自然引出对y=a(x-h)²

与y=a(x-h)²+k

的探究。

【设计意图】从真实世界中的数学问题出发，激发兴趣。回顾y=ax²

，既巩固旧知，又将其确立为本章学习的“基准函数”。制造认知冲突，让学生明确学习目标——研究图像平移后的函数，体会学习的必要性和方向性。

第二环节：合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究任务一：聚焦y=a(x-h)²

——左右平移的奥秘

【活动设计】

1.特殊入手：小组合作，在同一坐标系中，用描点法画出y=x²

，y=(x-2)²

，y=(x+1)²

的图像。（导学案上提供列表指导，强调选取关键点如顶点、对称轴两侧的点）。

2.观察发现：引导学生观察并小组讨论：

1.3.这三个图像的形状、开口大小和方向有何关系？

2.4.它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？

3.5.猜想：y=(x-2)²

的图像可以看作由y=x²

的图像如何移动得到？y=(x+1)²

呢？

6.操作验证：教师利用Geogebra，动态演示y=x²

在改变h

值（从0到2，从0到-1）时，图像的实时平移过程。让学生观察图像上每一个点的运动轨迹。

7.本质追问：

1.8.“为什么(x-2)

反而导致图像向右移动？”引导学生从点的坐标变化思考：对于函数值相等的点，y=x²

上的点(X,Y)

，在y=(x-2)²

上对应的点是(X+2,Y)

。因此，整个图像上所有点都向右移动了2个单位。

2.9.“h

的符号与平移方向的关系是？”让学生尝试用语言描述（h>0

时，右移h

个单位；h<0

时，左移|h|

个单位）。

3.10.对比记忆口诀：“左加右减”（在自变量x

上），并强调这是操作口诀，其本质是横坐标的加减。

11.初步归纳：学生尝试归纳y=a(x-h)²

（a≠0

）的性质：顶点为(h,0)

，对称轴为直线x=h

。a

决定开口方向和大小。

探究任务二：整合y=a(x-h)²+k

——复合平移与完整性质

【活动设计】

1.类比猜想：提问：“基于刚才的发现，你认为y=(x-2)²+1

的图像与y=x²

有何关系？与y=(x-2)²

又有何关系？”学生可能猜出“先右移2，再上移1”或“直接平移到点(2,1)”。

2.验证与拓展：

1.3.快速描点验证y=(x-2)²+1

的顶点确实是(2,1)。

2.4.使用Geogebra，固定a=1

，h=2

，然后连续变化k

值，观察图像的上下平移；再固定k=1

，变化h

值，观察图像的左右平移。最后同时连续变化h

和k

，展示图像如何平移到平面内任意一点(h,k)。

3.5.改变a

的值（正、负），重复上述演示，强调a

决定形状，(h,k)

决定位置。

6.性质大归纳（小组竞赛形式）：各小组基于对y=a(x-h)²+k

的观察与理解，合作完成一份关于其性质的“研究公报”，要求从以下几个方面用精炼的数学语言描述：

1.7.开口方向

2.8.顶点坐标

3.9.对称轴

4.10.最值（最大值或最小值）

5.11.增减性（以对称轴x=h

为界）

教师巡视指导，重点关注学生对增减性语言的规范性（“当x<h

时，y随x增大而减小；当x>h

时…”）。

12.小组展示与精讲：选取两个小组展示“公报”，其他小组补充、质疑。教师最终进行精讲，形成权威板书（如下）。

【设计意图】本环节是教学的核心。通过两个递进的探究任务，将难点分解。从动手画图到软件验证，从具体到抽象，从单一平移到复合平移，符合认知规律。动态演示将抽象的平移变得直观、连续，有助于突破“左加右减”的理解难点。小组归纳性质的竞赛活动，将知识内化的过程交给学生，促进深度思考和交流。

第三环节：剖析提炼，深化理解（预计时间：10分钟）

【活动设计】

1.“顶点式”的命名与意义：教师指出，y=a(x-h)²+k

这种形式，因为直接包含了顶点坐标(h,k)

，所以被称为二次函数的顶点式。它是描述二次函数特征最简洁的形式之一。

2.数形对应关系精析：

1.3.a

的使命：决定抛物线的“形状”（开口方向与大小）——图形的固有属性。

2.4.(h,k)

的使命：决定抛物线的“位置”（顶点坐标）——图形在坐标系中的状态。

3.5.性质统摄：顶点(h,k)

是性质的核心。对称轴x=h

过顶点；最值k

在顶点处取得；增减性围绕x=h

变化。

6.思想方法升华：

1.7.化归思想：研究复杂的、未知的y=a(x-h)²+k

，我们将其化归为熟悉的y=ax²

，通过平移来研究。这是数学中解决问题的重要策略。

2.8.数形结合：一个简洁的代数式(x-h)²

对应着明确的几何操作（左右平移），一个常数k

对应着上下平移。代数与几何在此完美统一。

9.快速辨析练习：口答下列函数的开口方向、顶点坐标和对称轴：

1.10.y=3(x-5)²+2

2.11.y=-(x+4)²

3.12.y=0.5x²-3

（注意与y=0.5(x-0)²-3

的等价转化）

4.13.y=2-(x-1)²

（需要先化为标准顶点式y=-(x-1)²+2

）

【设计意图】本环节旨在将探究获得的感性认识与零散结论进行理论提升和结构化梳理。阐明“顶点式”的价值，深入剖析三个参数的分工，将具体知识上升到数学思想方法层面，帮助学生形成更高的观点。快速练习用于即时巩固和辨析易错点。

第四环节：分层应用，巩固迁移（预计时间：10分钟）

【活动设计】（练习分为A、B两层，学生可根据情况选择完成）

1.A层（基础巩固）：

1.2.作图题：不通过繁琐的列表描点，直接利用平移规律，画出y=-2(x+3)²-1

的图像，并标出顶点和对称轴。

2.3.填空题：抛物线y=4(x-1)²+7

是由y=4x²

向____平移____个单位，再向____平移____个单位得到；其顶点坐标是____，当x=时，y有最____值，是。

3.4.应用题（简单建模）：一个小球被平抛出去，其运动轨迹近似为h=-5(t-2)²+20

（h

为高度，t

为时间）。问小球能达到的最大高度是多少？此时是抛出后第几秒？

5.B层（能力拓展）：

1.6.逆向思维：已知二次函数图像的顶点是(-2,3)，且形状与y=0.5x²

相同，求这个函数的顶点式。

2.7.综合应用：抛物线y=a(x-h)²+k

的顶点在直线y=2x

上，且经过点(1,3)和(3,11)，求该抛物线的解析式。

3.8.开放联想：请举出一个现实生活中可以用y=a(x-h)²+k

模型描述的实例，并解释其中a,h,k

可能代表的实际意义。

【设计意图】分层练习尊重学生差异，让所有学生都能获得成功的体验。A层紧扣教学目标，强化平移规律和性质的应用。B层题目涉及逆向思维、待定系数法综合运用以及数学建模，挑战学生的思维深度和灵活性，为学有余力的学生提供发展空间。

第五环节：反思总结，结构升华（预计时间：7分钟）

【活动设计】

1.学生自主总结：以思维导图的形式，引导学生从“知识”、“方法”、“思想”、“疑问”四个维度进行课堂小结。可以提问：“今天你学到了哪些新的数学对象（知识）？我们是怎样研究它们的（方法）？研究过程中用到了哪些重要的思想？还有什么困惑？”

2.教师结构化板书：呈现完整的知识结构图，将本节课内容与前后知识串联。

二次函数家族（基于图像变换）

y=ax²(基准)→[沿x轴平移|h|个单位]→y=a(x-h)²

↓

[沿y轴平移|k|个单位]

↓

y=a(x-h)²+k（顶点式）

↓

（未来学习：配方法）

↓

y=ax²+bx+c（一般式）

3.预告与激励：指出顶点式为我们解决许多实际问题提供了便利。下节课，我们将学习如何将任意一个一般式y=ax²+bx+c

通过“配方法”转化为顶点式，从而掌握研究所有二次函数的通用钥匙。

【设计意图】反思总结是知识内化、系统化的重要步骤。学生自主总结促进元认知发展。教师的结构化板书将零散知识点编织成网，明确其在知识体系中的坐标，体现了教学的整体性。课后预告激发持续学习的兴趣。

七