四川省内江市高2026届适应性训练试题（内江三模）数学+答案

高2026届适应性训练试题

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。

2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。

3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。

4.考试结束后，监考人员将答题卡收回。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设i为虚数单位，若z=(1+2i)i,则复数z的虚部为

A.1B.-1C.2D.-2

2.已知全集U为整数集合，若集合A={x∈Z1x²-2x>0},则CA

A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

3.已知双曲线E的一条渐近线方程为,则双曲线E的焦距为

A.4B.5C.9D.10

4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a₁=3,S₆=9S₃,则a₄=

A.16B.18C.24D.32

5.林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙.

团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量y(吨)与直播时长x(小时)之

间存在较强的线性相关关系.现抽取五场直播数据，根据下表样本数据：

X23456

y2468.511.5

得到的线性回归方程为Y=bX+a,则

A.a>0,b<0B.a<0,b<0

C.20b+5a=32D.4b+a=32

6.已知lg2=m,lg3=n,则log₁245=

ABD

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7.已知△ABC的外接圆圆心为0,且2AO=AB+AC,IAO1=IABI,则向量BA在向量BC上的投

影向量为

BD.

8.南宋数学家杨辉善于利用已知几何图形的面积、体积来计算离散量“垛积问题”.如图是3

个由正方体堆积而成三角垛，按此规律，在第n个三角垛中正方体的总个数为Sₙ=1+3+6

设每个三角垛中的每个正方体的棱长均为1,把若干个三角垛拼接成一个

直棱柱(可重复使用同一三角垛),该直棱柱底面积为,高为n+1,且n>1,则该直

棱柱的体积可表示为

A.3Sn

B.2Sn+Sn-1

C.2S元+(n-1)²①②③

D.3Sn-n²+2n-3

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符

合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=sinx+√3cosx,则

A.f(x)的最小正周期为2πB.若f(θ)=2,则tanθ=√3

C.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象关于点中心对称

10.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠DAB=∠DAA₁=∠BAA₁=60°,AB=AD=AA₁=3,则

A.A₁D⊥AC

B.BD1平面ACC₁A₁

C.BD₁=3√2

D.三棱锥A₁-ABD的外接球表面积

11.现有一枚正n面体形状的骰子(n≥4,n∈N*),各面编号依次A

为1、2、3、…、n.下列正确的是

A.若随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，则出现编号为1的概率为

B.若n=6,随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，现独立的先后掷骰子，记事件A为

“第一次出现的编号为偶数”,事件B为“两次出现的编号和为9”,则

C.若随机掷一次该骰子出现编号为1、2、3、…、n的概率依次成等差数列，且随机掷该骰子

出现编号为1的概率,则掷该骰子出现编号为n的概率也为

D.若n=12,随机掷一次该骰子出现编号为1、2、3、…、12的概率依次成等差数列，现独立

的先后掷骰子，两次得到的编号分别记为x和y,且事件“x+y=13”发生的概率为

则事件“x=y”发生的概率

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(x-2)⁵的展开式中，x²的系数为

13.一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切，则动圆圆心的轨

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大

模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在[15,

65]内),按照(15,25)、(25,35)、(35,45)、(45,55)、[55,65]进行分组，得到如图所示的频率

分布直方图.频率/组距

(1)求m的值；0.040

(2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，m

如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20

的样本，则年龄在(15,35)内的用户要抽取多少人?0.015

0.010

(3)估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数(各

0.005

组数据以该组区间的中点值作代表).

0152535455565年龄/岁

16.(本小题满分15分)

如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,F是EB的中点.

(1)求证：DF//平面ABC;

(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，求平面DEF与平面ABC所

成夹角的余弦值.

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17.(本小题满分15分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边是a,b,c.

(1)写出正弦定理并证明；

(2)如图，若∠ABC=90°,P是△ABC内一点，PA=2,PB=1,PC=√2,

,求△BCP的面积.

18.(本小题满分17分)

已知曲线T的方程为：y²=ax+blxl,a、b为常数，斜率为k的直线l过点A(0,1).

(1)若b=0,抛物线r上一点P(1,2),点F为焦点，求a的值及线段PF的长；

(2)若a=b=2,直线l与曲线r有三个不同的交点，求k的取值范围；

(3)若实数a、b满足：a+b=4且b>a>0,设直线l与曲线r有三个不同的交点(x;,y;),i=1,

2,3,的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=e-x“-(e-2)x-1,x∈(0,1),其中a为常数，e为自然对数的底数，

e≈2.718….

(1)当a=2时

①求函数在处的切线方程；

②证明：f(x)>0;

(2)若函数f(x)有零点，求a的取值范围并证明函数f(x)的零点是唯一的.

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高2026届适应性训练试题

数学答案及评分意见

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.A2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符

合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.AC10.BCD11.ACD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-8014.5

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)由频率分布直方图得所有矩形面积和为1

即10×(0.010+m+0.04+0.015+0.005)=1

解得m=0.034分

(2)年龄在(15,35)内的频率为(0.01+0.03)×10=0.4

则抽取的样本中该区间人数为20×0.4=8人…………8分

(3)设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为x

由频率分布直方图计算平均数

即x=20×0.1+30×0.3+40×0.4+50×0.15+60×0.05=37.5(岁)

故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为37.5岁……………13分

16.解：(1)证明：取AB的中点G,连接CG,FG2分

∵F是EB的中点，∴FG//EA,

∵EA和DC都垂直于平面ABC

∴EA//DC4分

∵EA=2DC

∴FG//DC,FG=DC

∴四边形CDFG为平行四边形，从而DF//CG5分

∵DFC平面ABC,CGC平面ABC

∴DF//平面ABC7分

(2)∵△ABC是正三角形且G是AB的中点

∴CG⊥AB

以GC为x轴，GB为y轴，GF为z轴建立如图所示的空间直角坐标系………………9分

F(0,0,1),D(√3,0,1),E(0,-1,2),则FD=(√3,0,0),FE=(0,-1,1)

设平面DEF的法向量n=(x,y,z)

则令y=1,得n=(0,1,1)………………12分

又平面ABC的法向量m=(0,0,1)13分

设平面DEF与平面ABC所成夹角为θ,则

高三数学答案第1页(共4页)

∴平面DEF与平面ABC所成夹角的余弦值…………………15分

17.解：(1)正弦定理为：

证明法1:见教材必修二第六章46页的向量法证明

证明法2:如图，设△ABC外接圆的直径为2R

①当△ABC为锐角三角形时，△ABC的外接圆圆心0在△ABC内部

连接CO并延长交圆于D,连接BD,则∠A=∠D

易知△BDC为直角三角形，则

所!,同

……5分

②当△ABC为钝角三角形时，△ABC的外接圆圆心0在△ABC外部

连接BO并延长交圆于D,连接CD,则∠A=∠D

同理易知△DBC为直角三角形，则

所!,同

当△ABC为直角三角形时，由锐角三角函数定义知

综上，任意△ABC外接圆的直径2R,都有…8分

(2)在△ABP中，由正弦定理得,则……………10分

于是由∠ABP为锐角知∠ABP=30°……11分

又因为∠ABC=90°,得∠CBP=60°……………………12分

在△CBP中，由余弦定理知CP²=BP²+BC²-2BP·BC·cos∠CBP

即2=1+BC²-BC,得…………………14分

……15分

18.解：(1)当b=0时，曲线r的方程为：y²=ax

由抛物线r上有一点P(1,2),知a=42分

则抛物线r为y²=4x,焦点F的坐标为(1,0)

由抛物线定义知PF=xp+1=2……………4分

(2)当a=b=2时，曲线T的方程为

曲线r由x轴负半轴及抛物线y²=4x构成，要使直线l:y=kx+1与曲线r有三个不同的

交点，必有k>06分

高三数学答案第2页(共4页)

由直线与x轴负半轴有一个交点知直线与抛物线y²=4x必有两个交点

联立,消去y得：(kx+1)²=4x=k²x²+(2k-4)x+1=0

则△=(2x-4)²-4k²=16-16k>0,得k<1

因此k的取值范围为(0,1)………………9分

(3)曲线T的方程为

由a+b=4且b>a>0,可得a∈(0,2)……………10分

因此a-b=2a-4∈(-4,0)

要使直线l:y=kx+1与曲线有三个交点，分以下两种情况讨论：

情况①:直线l与y²=4x相切，与y²=(2a-4)x相交于两点

此时k>011分

由(2)知，直线l与y²=4x相切时，k=1,不妨设切点横坐标为x₃

由x₃是方程x²-2x+1=0的根，即x₃=1

联立,消去y得：k²x²+(2k-2a+4)x+1=0

将k=1代入，得：x²+(6-2a)x+1=0,△=(6-2a)²-4=4(a-2)(a-4)>0

不妨设直线l与y²=(2a-4)x相交的两点的横坐标分别为x₁,x₂

由韦达定理：

则

由a∈(0,2),得2a-5∈(-5,-1)14分

情况②:直线l与y²=4x相交于两点，与y²=(2a-4)x相切

此时k<0

联立直线l与y²=(2a-4)x,得k²x²+(2k-2a+4)x+1=0

由相切知△=(2k-2a+4)²-4k²=(4-2a)²+4(4-2a)k=0

由4-2a≠0,得4-2a+4k=0,即

不妨设直线l与y²=(2a-4)x的切点的横坐标为x₁

由韦达定理知,故,因此

联立直线与y²=4x,

△=(a-6)²-(a-2)²=(2a-8)(-4)>0

设直线l与y²=4x相交的两点的横坐标分别为x₂、x₃

则

由a∈(0,2),得

综合①②两种情况，的取值范围为(-5,-1)U(4,5)…17分

19.解：(1)当a=2时，f(x)=eˣ-x²-(e-2)x-1,x∈(0,1)

高三数学答案第3页(共4页)

①因为f(x)=e-2x-(e-2)

所以函数在处的切线斜率为√e-e+1…………3分

知函数在处的切线方程………5分

②因为f(x)=e-x²-(e-2)x-1,所以f(x)=eˣ-2x-(e-2),"(x)=e-2

令""(x)=0,得x=1n2,

于是f(x)在(0,In2)单调递减，在(ln2,1)单调递增

由f(0)=3-e>0,f(1)=0,f(ln2)=4-21n2-e<0

知存在唯一零点x。使得f(x₀)=0

即f(x)在(0,x₀)单调递增，在(x₀,1)单调递减，

而f(O)=f(1)=0

所以f(x)>0在区间(0,1)内恒成立，得证………10分

(2)当a≥2时，f(x)=e-x-(e-2)x-1≥e-x²-(e-2)x-1

由②知f(x)>0,即此时f(x)无零点

当a≤1时，f(x)=e-x°-(e-2)x-1≤e-(e-1)x-1

令h(x)=eˣ-(e-1)x-1,h'(x)=eˣ-e+1

由h'(x)在(0,1)单调递增，且h'(x)=eˣ-e+1,h'(0)<0,h'(1)>0

所以存在唯一零点t使得h'(t)=0,则h(x)在(0,t)单调递减，(t,1)单调递增

而h(O)=h(1)=0,所以h(x)<0,知f(x)<0,即此时f(x)无零点………………13分

下证：当a∈(1,2)时，f(x)在区间(0,1)内有零点，并且零点是唯一的

f(x)=e