人教版七年级下册数学期末解答题复习试卷(含答案)

人教版七年级下册数学期末解答题复习试卷（含答案）

一、解答题

1.学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（71取3）

2.如图，用两个边长为106的小正方形拼成一个大的正方形.

⑴求大正方形的边长？

⑵若沿此大正方形边的方向出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3:2,且面

积为480cm2?

3.如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5x5的网格格点上.

（1）请求出图中阴影部分（正方形）的面积和边长

（2）若边长的整数部分为“，小数部分为〃，求/+〃一J万的值.

4.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

5.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究.

（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2,面积为30,请求出该长方

形纸片的长和宽；

（2）小葵在长方形内画出边长为b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条

边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50,阴影部分两个

长方形的周长之和为30,由此她判断大正方形的面枳为100,间小葵的判断正确吗？请说

明理由.

二、解答题

6.已知八8〃CD.

（1）如图1,E为48,CD之间一点，连接8£,DE,得到N8ED.求证：ZBED=

Z8+N。：

（2）如图，连接ZD,BC,8F平分/48C,DF平分NAOC,且8F,OF所在的直线交于点

F.

①如图2,当点8在点A的左侧时，若NA8c=50。，Z.4DC=60°,求NBF。的度数.

②如图3,当点8在点八的右侧时，设N48C=a,Z4DC=p,请你求出N8F。的度

数.（用含有a,B的式子表示）

图1图2图3

7.已知：直线4811CD,直线MN分别交48、CD于点£、F,作射线EG平分N8EF交CD

十G,过点F作FHJLMA/交EG十H.

（1）当点H在线段EG上时，如图1

①当/BEG=36时，则/HFG=_.

②猜想并证明：ZBEG与/HFG之间的数量关系.

（2）当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：N8EG与

NHFG之间的数量关系.

8.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

河水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射出的光束自AW顺时针旋转至AN便立即回转，灯

8射出的光束自8尸顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A射出的

光束转动的速度是废/秒，灯3射出的光束转动的速度是秒，且满足

心一明+（〃+。-4）2=0.假定这一带水域两岸河堤是平行的，即尸Q//MN,且

NBAN=45°.

()BliI)

QP

附—：--------------------NV—--------N

图1"图2

(1)求“、/?的值；

(2)如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作SJ_AC交尸Q于点O,若/88=20°,求"AC"的度数；

(3)若灯3射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达B。

之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

9.直线4811c。，点P为平面内一点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线48,CD之间，当N8AP=60。，NDCP=20。时，求N2PC的度

数；

(2)如图②，点P在直线48,CD之间，/8AP与NOCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，点P在直线C。下方，当N8AK=wN8AP,NDCK=wNOCP时，写出

JJ

NAKC与NAPC之间的数最关系，并说明理由.

图①图②图③

10.如图，已知AB//CD,CN是NBCE的平分线.

(1)若CM平分N8CZ),求ZMOV的度数；

(2)若CM在NBC。的内部，旦CMJ.CN于C,求证：CM平分NRCD；

(3)在(2)的条件下，过点6作/炉J.B。，分别交CM、CN于点P、Q,NPBQ绕着

4点旋转，但与CM、C7V始终有交点，问：N8PC+NBQC的值是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求其变化范围.

三、解答题

11.［感知］如图①，ABUCD,/4EP=40°,ZPFD=130°,求NE/平的度数.

---------------------b

需用图

小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程.

解：（1）如图①，过点P作pW//A8.

=/=40°（）,

/.AB//CD,

PMH（平行于同一条直线的两直线平行），

（两直线平行，同旁内角互补），

ZPFD=130°,

Z2=180°-130°=50°,

/.Zl+Z2=40°+50°=90°,B|JZEPF=90°.

［探究］如图②，AB/ICD^AEP=50°,ZPFC=120°,求/日小'的度数；

［应用］（1）如图③，在［探究］的条件下，NPE4的平分线和/P”•的平分线交于点G,则

NG的度数是3

（2）已知直线〃//），点A,8在直线。上，点C,。在直线b上（点C在点。的左侧），

连接ADBC,若比:平分ZABC,OE平分且HE,。石所在的直线交于点E.设

ZABC=a,ZADC=^a^/3）,请直接写出N8E。的度数（用含劣尸的式子表示）.

12.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸与安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯4射线自AA7顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线

自3。顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是

秒，灯8转动的速度是泊秒，且a、b满足卜-44+（。+人-5）2=0.假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即PQ〃MV,且N8AN=60。

图1图2

（1）求a、b的值：

（2）若灯8射线先转动45秒，灯4射线才开始转动，当灯8射线第一次到达6。时运动

停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转前，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作

CD上AC交PQ于点D,则在转动过程中，㈤。与NAC。的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

13.已知：如图1,AR/iCD,点E,F分别为4?,上一点.

EE

A------------------BA------------------B

（1）在AB,之间有一点"（点M不在线段E/上），连接ME,MF,探究

ZAEM,ZEMF,NMW之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

（2）如图2,在AB,CD之两点M,N,连接ME,MN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,/EMN,AMNF,NNFC存在的数量关系（不需证明）.

14.如图.已如AMII8N,N4=64。.点P是射线AM上一动点（与点力不重合），BC.

分别交射线4M于点C,D.

（1）①N48N的度数是:②；AMWBN,：.ZACB=Z.

（2）求NCBD的度数；

（3）当点P运动时，N4P8与N4DB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写

出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；

（4）当点P运动到使N4CB=N八8。时,NABC的度数是

15.如图1,AB//CD,在AB、。。内有一条折线£7小.

（1）求证：ZAEP+NCFP=NEPF；

（2）在图2中，画4EP的平分线与NO0的平分线，两条角平分线交于点Q,请你补全

图形，试探索NEQ/7与NEP/之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，已知NBEQ和N。。均为钝角，点G在直线AB、C力之间，且满

足NBEG=、NBEP,ZDFG='NDFP,（其中〃为常数且〃>1）,直接写出NEG/与

nn

N日平的数量关系.

四、解答题

16.如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为0、A、R两点同时从点0出发，点A沿直

线m向左运动，点B沿直线n向上运动.

⑴若NBAO和NABO的平分线相交于点Q,在点A,B的运动过程中，/AQB的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由.

⑵若AP是NBAO的邻补角的平分线，BP是NABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点

P，AQ的延长线交PB的延长线于点C,在点A,B的运动过程中，/「和/（：的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出NP和NC的度数；若发生变化，请说明理由.

17.操作示例：如图1,在△48C中，4。为8c边上的中线，的面积记为Si,ADC

的面积记为S.贝l|S=%.

解决问题：在图2中，点。、E分别是边八8、8c的中点，若A8DE的面积为2,则四边形

ADEC的面积为.

拓展延伸：

（1）如图3,在△48C中，点。在边8c上，且8D=2CO,△ABD的面积记为5i，△4DC的

面积记为S2.则Si与S2之间的数量关系为.

（2）如图4,在△ABC中，点。、E分别在边八8、AC上，连接BE、C。交于点0,且

B0=2E0,C0=D0,若△BOC的面积为3,则四边形AOOE的面积为.

18.直线M/V与直线PQ垂直相交于。，点4在射线0P上运动，点8在射线0M上运

动,4、8不与点。重合，如图1,已知AC、8c分别是N8AP和NA8M角的平分线，

（1）点48在运动的过程中，/ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

（2）如图2,将△48C沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则N阳。=.

如图3,将AABC沿直线八B折叠，若点C落在直线MN上，则NA80=

（3）如图4,延长84至G,已知N8A0、NO4G的角平分线与N80Q的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F,则NE4F=_；在AAEF中，如果有一个角是另一个角的不倍，求NA80

的度数.

19.在..A8C中，Nft4c=100%ZABC=ZACB,点。在直线BC上运动（不与点8、C重

合），点E在射线AC上运动，且NAZ汨=NAED,设/D4C=〃。.

ZCDE=°；

（2）如图②，当点。运动到点3的左侧时，其他条件不变，请猜想NEM）和NCDE的数

量关系，并说明理由；

（3）当点。运动到点。的右侧时，其他条件不变，0。和NC/M还满足（2）中的数量

关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

20.如图，△A8C和有公共顶点4AACB=ZAED=90\N847=45°,ZDAE=30°.

（1）若DE//AB,则NEAC=；

（2）如图1,过47上一点。作OG_LAC,分别交AB、AD.于点G、H、F.

①若八。=2,SAAGH=4,S^AHF=1,求线段OF的长；

②如图2,NAF。的平分线和NAOF的平分线交于点NFH。的平分线和NOG8的平分

线交于点N,NN+NM的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理

由.

【参考答案】

一、解答题

1.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方版的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：

设建成正方形时的边长为x米，

由题意得:x2=81,

解得：x=±9,

•••x>0,

x=9,

正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米，

由题意得：上户=81.

,/r>Q.

圆的周长=2;rxJ；7k6百，

*/5<V27<6,

30<6>/27<36,

」•建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

2.（1）大正方形的边长是；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是

（2）设长方形纸

解析：（1）大正方形的边长是10而；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是1。而

（2）设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm,

则3x・2x=480,

解得：x=W

因为3屈>10面，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸

片的长宽之比为2：3,且面积为480cm2.

【点睛】

木题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式.

3.（1）S=13,边长为；（2）6

【详解】

分析：（1）、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面

积，从而得出正方形的边长；（2）、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得

出答案.

解析：（1）S=13,边长为JB；（2）6

【详解】

分析：（1）、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出

正方形的边长；（2）、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案.

详解：解：（1）S=25-12=13,边长为

⑵a=3,b=vT3-3原式=9+43306.

点睛：本题主要考杳的就是无理数的估算，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就

是根据正方形的面积得出边长.

4.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

a2=400

又a>0

a=20

又要裁出的长方形面积为300cm2

一.若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为:3004-20=15（cm）

可以以正方形一i力为长方形的长.在其邻功上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

（2）•.•长方形纸片的长宽之比为3：2

」•设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

1.6x2=300

/.x2=50

又「x>0

••.x=5x/2

•••长方形纸片的长为150

又•「（15>/2）2=450>202

即：15a>20

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

5.（1）长为，宽为；（2）正确,理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方

程

解析：（1）长为36,宽为26；（2）正确，理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方

程组求出a即可得到大正方形的面积.

【详解】

解：（1）设长为3x,宽为2x,

则：3x・2x=30,

AX=75（负值舍去），

3x=3石，2x=2不，

答：这个长方形纸片的长为36,宽为2逐：

（2）正确.理由如下:

2［（a+力-50

根据题意得:

4"2（a-b）=30

4=10

解得:

b=5

大正方形的面积为1O2=IOO.

【点睛】

本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元

方程转化为一元方程是解题的关键.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）55°；（3）

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图2,过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角

平分线的定义即可求的度数；

②如图

解析：（）见解析：（。；。—+

12）55（3）18022

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可：

（2）①如图2,过点“作FE///W,当点4在点A的左侧时，根据NAHC=50。，

ZADC=60。，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求ZBFD的度数；

②如图3,过点尸作所当点“在点A的右侧时，44C=a,ZADC=fl,根据

平行线的性质及角平分线的定义即可求出NBFD的度数.

【详解】

解：（1）如图1,过点E作用V/A4,

AB

C----------------------------'D

图1

则有〃£户一々，

-AB//CD,

..EF//CD,

：.^FED=ZD,

ZBED=NBEF+"ED=ZB+皿

(2)①如图2,过点/作"E//A8,

有ABFE=/FBA.

,AB//CD,

:.EF//CD.

:"EFD=NFDC.

NBFE+AEFD=AFBA+NFDC.

即4BFD=/FBA+ZFDC,

.•4户平分/ABC,。歹平分/ADC,

Q

/.ZFBA=-ZABC=25tZFDC=-ZADC30°,

22

ZBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：N4F。的度数为55。；

②如图3,过点尸作正〃/W,

有N8FE+NFRA=180°.

；./BFE=18#-/FBA,

AB!/CD,

..EF//CD.

4EFD=/FDC.

:./BFE+/EFD=18（y>-/FBA+/FDC.

即ZBFD=180O-ZFBA+ZFDC,

•.•8/平分N43C,。/平分/4DC,

Z.FBA=—ZABC=—a,Z.FDC=—Z.ADC=­Z?,

2222

:.Z«FD=180°-ZF/?4+ZFDC=180°-ia+^.

答：N8FD的度数为1800-ga+gQ.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

7.（1）①18°；@2ZBEG+ZHFG=90°,证明见解析；（2）2ZBEG-

ZHFG=90。证明见解析部

【分析】

（1）①证明2NBEG+NHFG=90。，可得结论.②利用平行线的性质证明即

可.

解析：（1）①18。；②2/8EG+N山石=90°,证明见解析；（2）2/8EG-NHFG=90°证明见

解析部

【分析】

（1）①证明2/8EG+/HFG=90°,可得结论.②利用平行线的性质证明即可.

（2）如图2中，结论：2乙BEG-NHFG=90°.利用平行线的性质证明即可.

【详解】

解：（1）①•••£6平分NBEF,

ZBEG=4FEG,

1/FHA.EF,

/.ZEFH=90°,

•「A8IICD,

：.ZBEF+NEFG=180°,

2Z8£G+900+NHFG=18C°,

/.2ZBEG+ZHFG=90°,

1/ZBEG=36°,

ZHFG=18°.

故答案为：18。.

②结论：2ZBEG+ZHFG=90°.

理由：:EG平分N8EF,

Z8EG=NFEG,

,/FHLEF,

ZEFH=90°,

•「A8IICD,

：.ZBEF+NEFG=180°,

2Z8EG+90°+NHFG=18C°,

2ZBEG+NHFG=90°.

(2)如图2中，结论：2/8EG2HFG=90。.

理由：:EG平分N8EF,

ZBEG=4FEG,

,/FH±EF,

：.ZEFH=90°,

,/ABWCD,

：.Z8EF+NEFG=180°,

2Z8FG+900-ZHFG=180>,

2ZBEGYHFG=9Q°.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

8.(1),；(2)30。；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出

t的值，进而求出的度数；

(3)根据灯B的

解析：(1)a=3,b=l；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子|a-3Z>|+(a+〃—4)'=0即可；

(2)根据尸Q〃MN,用含t的式子表示出N8C4,根据(2)中给出的条件得出方程式

ZBCD=90°-ZBC4=90c-[180°-(2r)°]=(2t)°-90°=20°,求出t的值，进而求出NBAC

的度数；

(3)根据灯8的要求，t<150,在这个时间段内八可以转3次，分情况讨论.

【详解】

解：（1）•.|。-3〃|+（。+4）2=0.

又「。一3勿20,（。+〃-4）220.

ci=3,Z?=1；

（2）设A灯转动时间为f秒，

如图，作CE//PQ,而PQ//MN、

PQ//CE//MN,

ZACE=ZCAN=180°-3r°,NBCE=NCBD=1。,

ABCA=/CBD+ZCAN=/°+180°-(37)°=180°-(2/)°,

.46=90。，

:"BCD=90°-/BCA=90°-[180°一⑵)。]=⑵)。-90°=20。,

/./=55

ZCW=180°-(3/)°,

/.NBAC=45o-[180o-(3/)o]=(3/)o-135o=165o-135o=30°

(3)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行.

依题意得0</<150

①当0<f<60时，

两河岸平行，所以N2=Z3=（3?）°

两光线平行,所以N2=4=30+尸

所以，ZI=Z3

即：3f=30+G

解得f=15；

②当60VY120时，

B

2

两光束平行，所以N2=/3=(30+。。

两河岸平行，所以N1+N2=18O。

Zl=3r-180°

所以，3/-180+30+，=180,

解得£=82.5；

③当120</<150时，图大概如①所示

3-360=1+30,

解得£=195)150(不合题意)

综上所述，当7=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出

方程是解题的关键.

9.(1)80°；(2)ZAKC=ZAPC,理由见解析；(3)NAKC=NAPC,理由

见解析

【分析】

(1)先过P作PEEAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,ZCPE=

ZDCP,再根据N

解析：(1)80°；(2)APC,理由见解析；(3)N4KC=：N4PC,理由见解

23

析

【分析】

(1)先过P作PEII48,艰据平行线的性质即可得到NAP£=N84P,/CPE=NDCP,再根

据NAPC-^APE+ZCPE-上BAP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEIIAB,根据KEII4811CD,可得/AKE=£BAK,ZCKE=NDCK,进而得至lj

ZAKC=4AKE+NCKE=NBAK+Z.DCK,同理可得，Z4PC=NBAP+NDCP,再根据角平分线

的定义，得出NBAK+NDCK=/NOCP=g(ZBAP+Z.DCP)=ZAPC,进而得

至I]/AKC=；NAPC；

(3)过K作KEII48,根据KEIIA8IICD,可得NBAK=£AKE,ZDCK=ZCKE,进而得至lj

AAKC=ABAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=ABAP-ZDCP,再根据已知得出NMK-

2929

ZDCK=-ZBAP--ZDCP=-ZAPC,进而得到/BAK-ZDCK=一ZAPC.

3333

【详解】

(1)如图1,过P作PEI"B,

,/ABWCD,

：.PEWABWCD,

:.NAPE=NBAP,ZCPE=ZDCP,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+ZOCP=600+20°=80°；

(2)£AKC=^APC.

理由：如图2,过K作KEIIAB,

4811CD,

KEWABWCD,

：.ZAKE=ZBAK,ZCKE=NDCK,

/.ZAKC=Z.AKE+Z.CKE=NBAK+/DCK,

过P作PFIIAB,

同埋可得，ZAPC=Z.BAP+/DCP,

•「NBAP与NDCP的角平分线相交于点K,

NBAK+NDCK=±4BAP+WNDCP=g(ZBAP+Z.DCP)APC,

2222

ZAKC=^ZAPC；

2

(3)ZAKC=-Z.APC

3

理由:如图3,过K作KEII48,

,•■74011CD,

：.KE\lABWCD,

NBAK=/AKE,ZDCK=£CKE,

/.ZAKC=4AKE-ZCKE=NBAK-ZDCK,

过P作PFWAB,

同理可得，ZAPC=Z.BAP-ZDCP,

22

ZBAK=-ZBAP,ZDCK=-ZDCP,

33

/.Z.BAK-Z.DCK=-ABAP--ZDCP=-(ZBAP-DCP)=-4APC,

3333

2

ZAKC=-Z.APC.

3

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

10.（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°

【分析】

（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；

（3）,过，分别作，，根据

解析：(1)90。；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

(2)根据垂直的定义及密补角的定义、角平分线的定义即可得解；

(3)ZBPC+ZBQC=\^°,过。，P分别作QG//A8,PH//AB,根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【详解】

解(1)•.CN,CM分别平分和/ACO,

/.BCN=i/BCE,NBCM=-/BCD,

22

N8CE+N8CD=l80°,

:.NMCN=NBCN+NBCM=-ZBCE+-NBCD=-(ZBCE+NBCD)=90°；

222

(2)•:CM1CN,

/MCN=90°,即NBCN+NBCM=90°,

2NBCN+"BCM=180°,

CN是NBCE的平分线，

:.NBCE=2/BCN,

.-.ZA?C£+2ZBGW=180°,

又•/NBCE+/BCD=180%

:.^BCD=2ZBCM,

乂CM在N5CO的内部，

二.CM平分N8CO；

(3)如图，不发生变化，N8PC+NBQC=180。，过。./＞分别作QG//A8,PH//AB,

则有纵//AB//。“〃C。，

;"BQG=ZABQ,ZCQG=ZECQ,NBPH=/FBP,/CPH=/DCP,

vBPA.BQ,CPlCQt

NPBQ=NPCQ=90。,

­.ZABQ4-^PBQ+FBP=180°,/ECQ+N-CQ+NOC2=180。，

z.ZABQ+AFBP+^ECQ+ADCP=180°,

NBPC+/BQC=/BPH+ZCPH+NBQG+ZCQG

=4ABQ+NFBP+NECQ+ZDCP=180°,

/.4BPC+4BQC=180°不变.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.［感知］见解析；［探究］70。；［应用］(1)35；(2)或

【分析】

［感知］过点P作PMIIAB,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,

Z2+ZPFD=180°,求出N2的度数，结合N1可得结果；

解析：［感知］见解析：［探知70。：［应用］(1)35：(2)区中或与巴

【分析】

［感知］过点P作PMIM8,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,Z2+ZPFD=180°,求出N2

的度数，结合/I可得结果；

［探究］过点P作PMIM8,根据48118,PMWCD,进而根据平行线的性质即可求NEPF的

度数；

［应用］(1)如图③所示，在［探究］的条件下，根据NP&的平分线和NPFC的平分线交于

点G,可得NG的度数；

(2)画出图形，分点八在点8左侧和点4在点B右侧，两种情况，分别求解.

【详解】

解：［感知］如图①，过点P作PMII48,

.•.Nl=N4£P=40。(两直线平行,内错角相等)

•「A8IICD,

二.PMIICD(平行于同一条直线的两直线平行)，

/.Z2+ZPFD=180°(两直线平行,同旁内角互补)，

ZPFD=130°(已知),

Z2=180°-130°=50°,

Z1+Z2=40°+50°=90°,BPzEPF=90°；

［探究］如图②，过点P作PMII48,

图②

ZMPE=ZAEP=50°,

,/ABWCD,

「.PMIICD,

ZPFC=ZMPF=120°,

：.ZEPF=NMPF-Z.MPE=120o-50o=70°；

［应用］（1）如图③所示，

EG是NPEA的平分线，FG是NPFC的平分线,

过点G作GMIM8,

AZMGES4EG=25。（两直线平行，内错角相等）

V4611CD（已知），

AGMWCD（平行于同一条直线的两直线平行），

・..NGFC=NMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

ZG=NMGF-NMG£=60e-25o=35°.

故答案为：35.

（2）当点4在点8左侧时，

如图,故点£作EFIIA8,则EFIICD,

ZABE=Z.BEF,ZCD£=ZDEF,

•••BE平分ZABC,DE平分/ADC,内C=a、公DC=p,

11

ZABE=Z.BEF=-a,ZCDE=ZDEF=-off,

22

a+B

ZBEDS3EF+NDEF=———；

2

当点4在点8右侧时，

如图，故点E作EFIM8,贝ijEFIICO,

/.ZDEF=4CDE,ZABG=Z.BEF,

.•的平分ZA8C,OE'F分/ADC,^ABC=a,ZADC=0,

ZDEF=ACDE=-/3,ZA8G=NBEF=-a,

22

p-a

ZBEDSDEF-4BEF=--：

2

综上：N8ED的度数为『或勺■.

22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的定义，解决本题的关键是

熟练运用平行线的性质.

12.（1）,；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数表示，即可判断.

【详解】

解析：（1）a=4,〃=1：（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，3N3AC=4N8C。

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可.

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

（3）由参数/表示NBA。，NBC。即可判断.

【详解】

解：（1）,一44+（。+。-5）2=0,

a-4h=0

a+力-5=0'

.*.（7=4,b=l；

（2）设A灯转动，秒，两灯的光束互相平行，

①当0v/<45时，

4/=（45+z）xI,

解得1=15；

②当45V/V90时，

4r-180=180-（r+45）,

解得f=63；

③当90</<135时，

4r-360=/+45,

解得f=135,（不合题意）

综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为/秒，

vZC4^=180°-47,

/.ABAC=60°-（1800-4r）=4r-l20°,

又PQ//MNf

:.£RCA=4W+NOW=r+180°-4,=180。一小，

而ZACD=90。，

/.Z/?CD=90°-Z/?C4=90°-（1800-3/）=3/-90°,

NE4C:NAC/）=4:3,

即3/BAC=4/BCD.

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

13.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.NAEM+ZE

解析：（1）见解析：（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABHCD,

/.MPIICD.

Z4=Z3.

,/MPIIAB,

/.Z1=Z2.

ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

CD

§1

证明：过点M作MQIIAB.

,/ABIICD,

/.MQIICD.

/.ZCFM+Z1=180°；

,/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

/.NEMN+ZMNFNAEM/NFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180°.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZCMN=Z1+Z2,ZMN「=N3+Z4,

/.ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

图2

【点睛】

本题考杳了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

14.(1)①②；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行

线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；

(2)由角平分线的

解析：(1)①116。，②CBN：(2)58°；(3)不变，ZAPB:ZADB=2A,理由见解析;

(4)29°.

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，

两直线平行，内错角相等可直接写出：

(2)由角平分线的定义可以证明NCBD=g/ABN,即可求出结果；

(3)不变，ZAPB：ZADB=2：1,证NAPB=/PBN,ZPBN=2ZDBN,即可推出结论;

(4)可先证明NABC=NDBN,由(1)ZABN=116°,可推出NCBD=58。，所以

ZABC+ZDBN=58°,则可求出NABC的度数.

【详解】

解：(1)AM//BN,ZA=64\

/.ZABN=1800-ZA=116°,

故答案为：116。；

②•「AM〃BN,

/.ZACB=ZCBN,

故答案为：CBN；

(2),/AM//BN,

ZABN+ZA=180°,

/.ZABN=1800-64"=116°,

/.ZABP+ZPBN=116°,

•」BC平分NABP,BD平分NPBN,

/.ZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

2ZCBP+2ZDBP=116°,

ZCBD=ZCBP+ZDBP=58°；

(3)不变，

ZAPB：ZADB=2：1,

AM//BN,

/.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN,

1/BD平分NPBN,

ZPBN=2NDBN,

/.ZAPB：ZADB=2：1：

(4),/AM//BN,

ZACB=ZCBN,

当NACB=ZABD时，

则有/CBN=ZABD,

ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN

ZABC=ZDBN,

由（1）ZABN=116°,

ZCBD=58°,

/.ZABC+ZDBN=58°,

/.ZABC=29°,

故答案为：29。.

【点睛】

本题考杳了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能

灵活运用角平分线的定义等.

15.（1）见解析：（2）；见解析；（3）

【分析】

（1）过点作，根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；

（3）由（2）结论可得：.

【详解】

（1）证明：如图1,过

解析：（1）见解析；（2）NEPF+2NEQF=360。；见解析；（3）

ZEPF+nZEGF=360°

【分析】

（1）过点?作PG//48,根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：NEPF=ZAEP+NCFP,NEQ/7=N8EQ+NOFQ,再根据角平

分线性质可得=NBEQ+ZDFQ=1（360°-ZEPF）；

（3）由（2）结论可得：ZEGF=ZBEG+ZDFG=-（ZBEP+ZDFP）=-（360°-ZEPF）.

【详解】

（1）证明：如图1，过点尸作PG//A8,

•「AB//CD,

/.PGHCD,

AZA£P=ZbZCFP=Z2,

又•「Z1+Z2=ZEPF,

/.ZAEP+NCFP=/EPF；

图1

(2)如图2,

ftl(1)可得：NEPF=ZAEP+/CFP,NEQF=NBEQ+NDFQ,

■「ZBEP的平分线与NOFP的平分线相交于点Q,

NEQF=/BEQ+ZDFQ=g(NBEP+NDFP)

△[360。-(ZAEP+ZCFP)]=-(360°-/EPF),

22

ZEPF+2ZEQF=360°；

(3)由(2)可得：/EPF=ZAEP+CFP,/EGF=/BEG+/DFG,

/BEG=L/BEP,NDFG’NDFP,

nn

/EGF=NBEG+NDFG=L(NBEPtNDFP)

n

=-[360°-(ZAEP+ZCFP)]=-(360°-/EPF),

nn

ZEPF+HZEGF=360°；

【点睛】

考核知识点：平行线性质和判定的综合运用.熟练运用平行线性质和判定是关键.

四、