人教版中学七年级数学下册期末解答题测试试卷(含答案)

人教版中学七年级数学下册期末解答题测试试卷（含答案）

一、解答题

I.动手试一试，如图I,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图

2的虚线AR8C将它剪开后，重新拼成一个大正方形48co.

（1）基础巩固：拼成的大正方形ABC。的面积为,边长A。为；

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点8与数轴上的T重

合.以点8为圆心，8C边为半径画圆弧，交数轴于点E,则点E表示的数是；

（3）变式拓展：

①如图4,给定5x5的方格纸（每个小正方形边长为1）,你能从中剪出一个面积为13的

正方形吗？若能，请在图中画出示意图：

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.

图4备用图

2.（1）如图，分别把两个边长为ka的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一

个大正方形，则大正方形的边长为cm,

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2/rc〃广，设圆的周长为6川，正方形的周长

为。正，则。4（填"="或或""号）；

（3）如图，若正方形的面积为400a/,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为300a7的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2,他能裁出吗？请说明理由？

3.如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形.

⑴求大正方形的边长？

⑵若沿此大正方形边的方向出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3:2,且面

枳为480cm2?

4.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工科上裁剪出一块18平方分米的长方

形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格？（参考数

据：72=1.414,73=1.732,逐=2.236）

5.如图用两个边长为屈cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸

片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3:2,且面积为

30cm2?请说明理由.

二、解答题

6.已知，4811点C在48上方，连接8C、CD.

（1）如图1,求证：N8CD+NCDE=NA8C；

（2）如图2,过点C作CFJ_8c交E。的延长线于点F,探究NA8c和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接G8并延长至点，,

若BH平分/ABC,求NBGD-ZCGF的值.

H

cc

7.已知，AE//BD,NA=N。.

（1）如图1,求证：ABVCD；

（2）如图2,作N/ME的平分线交。。于点尸，点G为48上一点，连接AG,若/。柘的

平分线交线段AG于点〃，连接AC,SZACE=^BAC+Z13GM,过点H作％W_La/交

AG的延长线于点M,且3NE—5NAF〃=18。，求/石4/+NGM〃的度数.

（1）若N1的度数为“，试求N2的度数（用含。的代数式表示）：

（2）如图②，再将纸片沿G"对折，使得C。落在C'。'的位置.

①若EF//C'G,N1的度数为“，试求Z3的度数（用含〃的代数式表示）；

②若4/J_CG,N3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

9.已知：如图（1）直线48、CD被直线MN所载，Z1=Z2.

②如图3,BF平分NDBC交DM于点、F,BE平分ZABD交DM于点、E.若

ZFCB+/NCF=180°,NBFC=3NDBE,求/EBC的度数.

12.综合与探究(问题情境)

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

(1)如图1,EFIIMN,点48分别为直线EF、MN上的一点，点户为平行线间一点，请

直接写出N%F、NP8N和NAP8之间的数量关系；

(问题迁移)

(2)如图2,射线与射线OA/交于点。，直线mll〃，直线m分别交OM,。可于点

4、D，直线〃分别交。M、ON于点8、C,点P在射线0M上运动.

①当点P在小B(不与4、8重合)两点之间运动时，设/AOP=/a,ZBCP=£|3.则

NCPD，Na,/B之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段48上运动时(点P与点48、。三点都不重合)，请你画出满足条件

的所有图形并直接写出NCP。，Za,N0之间的数量关系.

(1)［问题提出］如图②,AB//CE,/88=73°,则：Z8=_.

(2)［类比探究］在图①中，探究N8AD、/8和N8C。之间有怎样的数量关系？并川?彳了

线跑性原说明理由.

(3)［拓展延伸］如图③，在射线8C上取一点0,过。点作直线MN使MN//4?,8E平分

NA8C交4。于E点，OF平分NBON交AD于F点、,OG//BE交AD于G点,当C点沿着射

线4。方向运动时，NFOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这

个不变的值.

14.如图，AC//BD,8c平分NA8D,设N4C"为。，点E是射线8C上的一个动点.

A

a

,

B02

(1)若。=30。时，且N84E=NC4E,求NC4石的度数；

(2)若点E运动到［上方，且满足NAAE=100。，ZBAE:ZCAE=5:\,求。的值；

(3)若N8AE:NC4E=/K〃>1),求NC4E的度数(用含〃和。的代数式表示).

15.已知：A/7C和同一平面内的点。.

(1)如图1,点。在8c边上，过力作OE〃明交AC于E,DF//CA交AB于F.根据题

意、,在图1中补全图形，请写出NEZW与NB4C的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,点。在8C的延长线上，DF//CA,/EDF=/BAC.请判断。石与胡的位

置关系，并说明理由.

(3)如图3,点。是,ABC外部的一个动点.过。作£)E〃B4交直线AC于E,DFHCA交

直线于广，直接写出/ED/与N班C的数量关系，并在图3中补全图形.

四、解答题

16.如图，在二A8C中，A。是高，AE是角平分线，NB=20。，ZC=60°.

(1)求NC4Q、N4EC和NE4O的度数.

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当NB=30。，NC=60°,则

ZE4/)=°.

当/8=50°,NC=60。时，则㈤£>=°,

当N8=60。，NC=60°时，则ZE4£>=

当NB=70。，NC=60°时，则ZE4D=

(3)若D"和/C的度数改为用字母。和夕来表示，你能找到NE4。与a和4之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

17.如图所示，已知射线圆//04,48〃0。,/。=/048=100.点£、F在射线CB上，且

满足NR>4=Z4O4,0E平分NCO/

(1)求N成用的度数；

(2)若平行移动AB,那么NO3CNOR?的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规

律.若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NQEC=NO班？若存在，求出其度

数.若不存在，请说明理由.

18.如图，△48C和有公共顶点A,NACB=N4。=90°,ZBAC=4S°fZDAE=30°.

(1)若DE//AB,则NEAC=；

(2)如图1,过47上一点。作0G_L4C,分别交AB、AD.AE于点G、H、F.

①若八。=2,SAAGH=4,S^AHF=1,求线段OF的长；

②如图2,NAF。的平分线和/AOF的平分线交于点M./FH。的平分线和N0G8的平分

线交于点MNN+NM的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理

由.

ZM4O=I16。，NOBH=144。.

(1)ZAOB=_°；

(2)如图2,点C、D是4JAO、NG8O角平分线上的两点，且/CD8=35。，求NAC。的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结£4、FB,/三是射线以上的一点，若NM4£=

nZOAE,NHBF=MOBF,且4阳=60。，求〃伊J值.

M-------J------------NM---------------------卜

o(

[G---------p------H

G\HGD\一a

图1图2图3

20.问题情境：如图1,ABHCD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求NAPC度数.

小明的思路是：如图2,过P作PEIIAB,通过平行线性质，可得NAPC=500+60°=110°.

问题迁移：

（1）如图3,ADIIBC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Za,ZBCP=ZZCPD./a、/。之间有何数量关系？请说明理由；

⑵在⑴的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请

你直接写出NCPD、Na、NB间的数量关系.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）10,；（2）；：3）见解析：（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大王方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实

解析：（1）10,M；：2）V10-1;（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大王方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；

（3）以2x3的长方形的对角线为边长即可网出图形；

（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形.

【详解】

解：（1）图1中有10个小正方形，

..・面积为10，边长AD为所；

（2）,•,BC=M，点B表示的数为-1,

BE=V10,

.，点E表示的数为Jid-l；

（3）①如图所示:

图4

②;正方形面积为13,

边长为历，

如图，点E表示面积为13的正方形边长.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特

点画出正方形是解此题的关键.

2.（1）;（2）；（3）不能裁剪出，详见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求

得圆和正方形

解析：（1）（2）＜：（3）不能裁剪出，详见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：（1）二•小正方形的边长为1cm,

小正方形的面积为1cm2,

/.两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

大正方形的边长为0cm,

（2）,/7rr2=2），

r=>/2，

6刈=2乃「=2不。,

设正方形的边长为a

=/=2汗,

a=427r，

C正=4。=4>/^,

.q二2m二4=MQ

-C正_4声_2_4

故答案为：V;

（3）解:不能裁剪出，理由如下：

长方形纸片的长和宽之比为3:2,

设长方形纸片的长为3r宽为2x,

则3x2r=300,

整理得：X2=50,

（3x）2=9/=9x50=45（）,

450>400,

（3x）2>202,

3x>20,

••.长方形纸片的长大于正方形的边长，

不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

3.（1）大正方形的边长是；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是

（2）设长方形纸

解析：（1）大正方形的边长是10而；（2）不能

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

（1）大正方形的边长是ID而

（2）设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm,

则3x・2x=480,

解得：X=5/80

因为3厢>10#，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸

片的长宽之比为2：3,且面积为480cm2.

【点睛】

本题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式.

4.（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的边K是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出后的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x・2x=18,求出x=g,再求出

长方形的长和宽和5比较即可得出答案.

试题解析：（1）正方形的面积是25平方分米，

正方形工料的边长是5分米；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，

则3x*2x=18,

x2=3,

xi=>/3»X2=->/3（舍去），

3x=373>5,2x=2y/3<5,

即这块正方形工料不合格.

5.不能截得长宽之比为，且面积为cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2,计算长方

形的长与宽进行验证即可.

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸

解析：不能截得长宽之比为3:2,且面积为30cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2,计算长方形的长与宽

进行验证即可.

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸片的面积为（加）2+（炳）2=36（cm2）,

所以大正方形的边长为6cm,

设截出的长方形的长为3bcm,宽为2bcm,

则6b2=30,

所以（取正值），

所以3b=3石=A>病，

所以不能截得长宽之比为3：2,且面积为30cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键.

二、解答题

6.（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据

平行线的性质可得，由此即可得证；

（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质

解析：（1）证明见解析；（2）乙ABC—N产=90。；（3）45°.

【分析】

（1）过点。作。/〃人笈，先根据平行线的性质可得乙46C+N3Cb=180。，再根据平行公

理推论可得CFPOE,然后根据平行线的性质可得NCOE+N8b+N8CD=180。，由此即

可得证；

（2）过点。作CG〃A8,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

Z4BC+Z^CG=180°,NF+/BCG+/BCF=180。,从而可得〃SC-NF=/BCF,再

根据垂直的定义可得NHb=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GMAB,延长AG至点N,先根据平行线的性质可得NAB”=/MG月，

4MGN=4DFG,从而可得ZMGH-/MGN=ZABH—NDFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMGH-NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

/BGD-NCGF=4MGH-/MGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点（7作3〃/W,

B,

ED

;.ZABC+NBCF=180。,

ABDE,

CFPDE,

:"CDE+/DCF=T80°,即ZCDE+Z.BCF+ZBCD=1S0°,

ZCDE+ZBCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

..ZBCD+ZCDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃48,

.\ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

ZF+ZFCG=180°,即ZF+/BCG+ZBCF=180°,

/.ZF+4BCG+ZBCF=ZABC+/BCG,

;.ZABC-/F=/BCF,

vCFXBC,

/.NBCF=90。,

.•.ZABC-NF=90°；

(3)如图，过点G作GM|AB,延长阳至点N,

D

:.乙\BH=4MGH,

YABDE,

GMDE,

:.ZMGN=ZDFG,

•.•8〃平分NABC,FN平6乙CFD,

NABH=-NABC,NDFG=-NCFD,

22

由(2)可知，/ABC—NC产。=90。，

/./MGH-/MGN=NABH-NDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

"BGD=NMGH+AMGD

又

NCGF=NDGN=NMGN+/MGD'

/BGD—NCGF=NMGH-/MGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

7.(1)见解析；⑵

【分析】

(1)根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即

可得证；

(2)过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：(1)见解析；(2)72°

【分析】

(1)根据平行线的性质得出4+4=180%再根据等量代换可得/8+/。=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至。，过点M作MN〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=/BG"=NO2,再根据平角的含义得出/反尸=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出/8"F=NC/77,NCE4=/E4B；设

NB48=a,Na77=/,根据角的和差可得出44瓦;=244切，结合已知条件

3/4EC_5NA尸”=180。可求得NAFH=lg。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

(1)证明：-AEHBD

.•.ZA+ZB=180°

vZA=ZD

...N4+NO=18()0

/.AH//CD；

(2)过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点乂作MN〃八8

AB//CD

ZQCA=ZCAB,/BGM=/DFG,ZCFH=ABHF,^CFA=FAG

ZACE=/BAC+/BGM

/ECQ+ZQCA=ZI3AC+/BGM

NECQ=NBGM=NDFG

ZECQ+ECD=180°,4DFG+CFG=180。

4ECF=4CFG

AB//CD

：.ABHEP

ZPEA=NE4&NPEC=NECF

•/ZAEC=APEC-乙PEA

ZAEC=NECF-/EAB

:./ECF=ZAEC+ZEAB

4F平分4AE

Z.EAF=^FAB=-^EAB

2

YFH平分/CFG

/.ZCFH=/HFG=-ZCFG

2

QCD//AB

：.ZBHF=ZCFH,ZCFA=/FAB

"FAB=a、/CFH=。

•<-ZAFH=ZCFH-ZCFA=4CFH-ZFAB

:.4AFH=B-a,4BHF=4CFH=0

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+邛

乙ECF十2ZAffl=NE+2乙BHF

:.ZAEC=2ZAFH

­.3ZAEC-5ZAF/7=18O°

:.ZAFH=\S°

•;FH1HM

ZFHM=90°

/GHM=90。-0

♦.­NCFM+/NMF=180°

NHMB=ZHMN=90—

Z£4F=ZMB

ZEAF=ZCFA=NCFH-ZAFH=/7-18°

/.ZE4F+ZGMH=/7-18o+90o-/7=72°

/.ZEAF+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

8.（1）；（2）①；②

【分析】

⑴由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的定义

求解即可；

⑵①由（1）知，，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质及平角的定义

解析：（1）90。-3。：（2）①45。+；。；（2）50°

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=N8/C=。，由折叠的性质可知，Z2=ZBFE,再根据平角的

定义求解即可：

（2）①由（1）知，ZBFE=90°-^a,根据平行线的性质得到NBFE=NCGB=90。一34,

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由（1）知，ZBFE=ZEF^=90°-1zi,由夕/_LC'G可知：

ZB-FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

N8/C+NEGC'=N1+140°—2N1=90。，即可求解.

【详解】

解：（1）如图，由题意可知A'E//8/,

Nl=N4=a,

,/AD//BC,

ZA-Z.B'FC=a,

（2）①由题（1）可知N/E=90°-ga,

•/EF/CG,

NBFE=/C'GB=90°--«,

2

再由折叠可知：

N3+NHGC=180°-NCGB=180。一（90°-。=90。+!口，

②由8/"LC'G可知：Zfi'FC+ZFGC'=90o,

由(1)知/8庄二90。一」/1,

2

/.ZBTC=180°-2ZBFE=180°-2^90°一；Nl)=N1,

又Z3的度数比N1的度数大20。，

Z3=Zl+20°,

AFGC=180°-2N3=180o-2(ZI+20°)=i40°-2Zl,

/.ZBFC+4FGC'=Zl+140°-2Z1=9O°,

/.ZI=50°.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等"、

“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键.

9.(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得AB〃CD；

(2)如图2中，NPEQ+2NPFQ=36O。.作EH〃AB.理由平行线

解析：(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得48〃CO；

(2)如图2中，NPEQ+2NPFQ=360。.作EH〃48.理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,则/EQF=NFQ〃=5y,想办法沟建

方程即可解决问题；

【详解】

(1)如图1中，

,/Z2=Z3,Z1=Z2,

N1=Z3,

/.AB//CD.

(2)结论：如图2中，NPEQ+2NPFQ=360°.

理由：作E〃〃48.

•/AB//CD,EH//AB,

/.EH//CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

Z2+Z3=Z1+Z4,

/.ZPEQ=Z1+Z4,

同法可证：ZPFQ=N8PF+NFQD,

Z8P£=2NBPF,Z£QD=2ZFQD,Z1+Z8P£=180°,Z4+ZEQD=180°,

...Z1+Z4+ZEQO+NBP£=2xl80°,

即NPEQ+2(NFQD+ZBPF)=360°,

/.ZPEQ+2NPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.N£PQ=z,则NEQF=NFQ〃=5y,

.V

B

C/oHD

N（3）

,/EQ//PH,

/.NEQC—NPHQ—x,

x+10y=180°,

•「AB//CD,

：.ZBPH=NPHQ=x,

,.1PF平分NBPE,

：.ZEPQ+ZFPQ=NFPH+Z.BPH,

ZFPH=y+z-x,

/PQ平分NEPH,

Z=y+y+z-x,

x=2y,

/.12y=180°,

「♦y=15°,

.,.x=30°,

ZPHQ=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助线是解

题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，ZBED=ZD-ZB；当点E

在AC的延长线上时，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

【分析】

（1）如图1中，过点E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）见解析；（2）当点E在C4的延长线上时，N8EDNO-N8；当点E在的

延长线上时，ZBED=ZBET-Z.DET=^8-ZD；（3）业ill

2n

【分析】

（1）如图1中，过点E作E7II4B.利用平行线的性质解决问题.

（2）分两种情形：如图2；中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点£在AC的

延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可.

（3）利用（1）中结论，可得NBMD=NABM+NCDM,ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,由此解决问

题即可.

【详解】

解：（1）证明：如图1中，过点£作£加演.由平移可得ABIICD,

BD

AECI

图1

A8II£丁，A8IICD,

/.ETWCDWAB,

Z8=NBET,Z丁ED=ND,

/.ZBED=NBET"DET=8+ND.

(2)如图2-1中，当点£在6的延长线上时，过点E作ETIIAB.

・T-^7*

EAC1

图2-1

A8IIET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,NTED=ND,

ZBED=/DET-4BET=ND-ZB.

如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点£作E7IIAB.

AC1

图2-2

ABWET,ABWCD,

/.ETWCDWAB,

ZB=ZBET,ZTfD=ZD,

ZBED=Z.BET-4DET=Z.B-ZD.

(3)如图，设N48E=N£8M=x,ZCDE=Z.EDM=y,

h

A\E/C

F

图2

ABWCD,

：.N8/WD=ZA8/V7+NCDM.

m=2x+2y,

x+y=m,

,/ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,ZABE:nNEBF,ZCDE=nZ.EDF.

ern-\n-\“一1/、”I1

ZBFD=---x+----y=---（x+y）=---=-------乙.

nnnn22n

【点睛】

本题属于•几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是

学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

11.（1）NA+N090、（2）①见解析；②105°

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作

BGII

解析：（1）N八+NC-90。；（2）①见解析：@105°

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点8作8GII0M,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点8作8GII

根据角平分线的定义，得出N2BF=/GBF,再设/08E=a,ZABF=6,根据

NCBF+NBFC+NBCF=180°.可得2a+6+3a+3cr+6=180°,根据八8_L8C,可得6+6+2a=90°,最

后解方程组即可得到NABE=15°,进而得出NEBC=ZA8E+N48c=15。+90。=105。.

【详解】

解：（1）如图1,AA/7与8c的交点记作点O,

,/AMWCN,

：.ZC=ZA0B,

•/AB±BC,

/.Z4+Z408=90°,

ZA+ZC=90°：

(2)①如图2,过点8作8GliDM,

BD±AM,

：.DB±BG,

：.Z08G=90°,

ZABD+Z.48G=90°,

,/AB±BC,

：.ZC8G+N486=90°,

ZABD=Z.CBG,

■：AMWCN,BGWDM,

BG//CN,

Zc-zCBG,

ZABD=^C；

②如图3,过点8作8GIIOM,

­/8FDBC,8£平分NA8。，

ZDBF=Z.CBF,ZDBE=Z.ABE,

由（2）知N48D=NCBG,

/.ZABF"GBF,

设/DBE=a,ZABF=6,

贝ijNABE-a,NABD-2a-ZCBG,

ZG8F=NAFB=6,

Z8FC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

•/ZAFC+NNCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

ZFCB=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由/CBF+Z8FC+N8CF=180°得：

2a+6+3a+3a+6=180°,

.1AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15\

NA8E=15°,

/.Z£BC=NABE+AABC=150+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角

的余角(补角)相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相

关联.解题时注意方程思想的运用.

12.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性

质得NPAF+ZAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+N4P8=360°；(2)®ZCPD=Za+Z/?,见解析；

②乙CPD=乙0—乙a或乙CPD=—乙0

【分析】

(1)作PGIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得/%F

+zAPC=18Q0,ZP8A/+NCPB=130°,即有N勿F+NPBN+NAPB=360°；

(2)①过P作PEIM。交0/V于E,根据平行线的性质，可得到N£PD=Na,

NC尸石=//，于是NCPO=Na+N£；

②分两种情况：当P在0B之间时；当P在。4的延长线上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：(1)N%F+NPBA/+NaP8=360°,理由如下：

作PCIIEF,如图1,

图1

PCIIEF,EFWMN.

PCIIMN,

：.ZgF+NAPC=180°,ZPBN+NCPB=180°,

：.ZPAF4-ZAPC+Z.PBN+NCPB=360°f

ZPAF+ZPBN+zAPB=360°；

(2)①NCTO=Na+4?,

m

n

M，

A

图2

理由如下：如答图，过P作PEII月。交ON于E,

,/ADW8C,

/.PEWBC,

；./EPD=/a,/CPE=",

：./CPD=Na+N0

②当P在。8之间时，ZCPD=Z«-Z/7,理由如下:

如备用图1,过P作PEIIAD交ON于E,

40IIBC,

/.PEIIBC,

NEPD=Na,ZCPE=//,

ZCPD=Za-Z/?；

当P在0A的延长线上时，ZCPD=Z^-Za,理由如下:

如备用图2,过P作PEIIA。交ON于£,

•••ADWBC,

/.PEWBC,

/EPD=Na,/CPE=4,

ZCPD=Z/7-Za；

综上所述，ZCPD,Za,/B之间的数量关系是NC9=N4—Na或NCPD=Na-N/.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.难点

是分类讨论作平行辅助线.

13.(1)；(2),见解析；(3)不变，

【分析】

（1）根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度

数；

（2）过点作II,类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；

（3）运用

解析：（1）23。；（2）/BCD=ZA+NB,见解析；（3）不变，NFOG=25。

【分析】

（1）根据平行线的性质求出NA=/DCE=50。，再求出/8CE的度数，利用内错角相等可

求出角的度数；

（2）过点。作CEIIAB,类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；

（3）运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出NFOG的度数，可得结

论.

【详解】

（1）因为CEIIAB,

所以ZA=NOCE=50。，4B=/BCE

因为NBCD=73°,

所以/BCE=/BCD-/DCE=23°,

故答案为：23°

（2）/BCD=ZA+/B,

如图②，过点C作CEIIAB,

则NA=NDCE,NB=/BCE.

因为/BCD=NDCE+NBCE,

所以/BCD=ZBAD+ZB,

（3）不变,

设=

因为应:平分/ABC,

所以NCBE="BE=x.

由（2）的结论可知N8CO=N8A£）+NA8C,且NB4O=50°,

则：ZBCD=500+2x.

因为MVIIAD,

所以NBON=/BCD=50c+2x,

因为。尸平分/56W,

所以4cOF=/NOF=>NBON=250+x.

2

因为OGIIBE,

所以NCOG=NCBE=x,

所以Z.FOG=NCOF-NCOG=250+x-x=25。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相

等，通过等品代换等方法得出角之间的关系.

14.(1)60°；(2)50°；(3)或

【分析】

(1)根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，应用

三角形内角和计算的度数，由己知条件，可计算出的度数；

(2)根据题意画出图形，先

解析：(1)60°；(2)50°；(3)闻°或竺怨巴

1〃+1

【分析】

(1)根据平行线的性质可得NC8。的度数，再根据角平分线的性质可得4比:的度数，应

用三角形内角和计算々AC的度数，由己知条件N84E=NC4E,可计算出NC4E的度数；

(2)根据题意画出图形，先根据石=5:1可计算出NC4E的度数，由

N劭《=100。可计算出N&1C的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出

NC8D的度数，即可得出结论；

(3)根据题意可分两种情况，①若点E运动到'上方，根据平行线的性质由。可计算出

NC8D的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出㈤。的度数，再

5AE"CAE=〃,NBAE=NBAC+NCAE,列出等量关系求解即可等处结论；②若点£运

动到4下方，根据平行线的性质由々可计算出NC5D的度数，再根据角平分线的性质和平

行线的性质，计算出々AC的度数，再=N84石=NBAC-NC4E列出等量

关系求解即可等处结论.

【详解】

解：⑴・・a=30。，AC//BD,

ZCBD=30°,

•/8c平分乙430,

ZABE=ZCBD=^f,

「.NfiAC=18(r-ZA8E-a=180°-30°-30°=120°,

又ZBAE=ZCAE,

：.ZC4£=-ZBAC=-xl20o=60o；

22

(2)根据题意画图，如图1所示，

­,ZE4E=100°,ZfiAE:ZC4E=5:l,

.-.ZG4E=20o,

/.NBAC=z^AE-ZCAE=100°-20°=80°,

vACZ/BD,

ZAB。=180°—NfiAC=100’，

又.8C平分NAB。，

二ZCBD=-ZABD="!"x[00。=50°,

22

a=ZCfiD=50°；

ah

图1

(3)①如图2所示，

-AC//I3D,

:.4CBD=ZACB=a,

•・•8c平分ZA8D,

:.ZABD=2NCBD=2a,

NA4c=1800-NABD=18(T-2a,

又.^BAE:ZCAE=nf

:.(ZBAC+ZCAE):ZCAE=n,

(180°-2a+ZC4£):ZCAE=n,

解得/6£=180°-2;

/?-1

图2

②如图3所示，

-AC//BD,

:2CBD=ZACB=a,

8C平分ZA8Q,

/.ZARD=2/CBD=2a,

NBAC=180°-ZAI3D=180>—2a,

又ZBAE.ZCAE=nt

:.(ZBAC-ZCAE):ZCAE=n,

(l8()o-2a-ZC4E):ZC4E=/?.

解得/6£=18°°一2。.

H+l

图3

综上ZCAE的度数为18°°~2q或18°°~2a.

z?-lw+1

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等.两直线平行，

同旁内角互补.两直线平行，内错角相等.合理应用平行线的性质是解决本题的关键.

15.（1）图见解析，：理由见解析；（2）,理由见解析；（3）图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，NEDF=/BAC,理由见解析；（2）DE//BA,理由见解析；

（3）图见解析，NEDF=NBAC或NEDF+NBAC=180。.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得

/EDF=NBFD、NBFD=NBAC,由此即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得N3AC=N/3O。，再根据等量代换可得

NEDF=NBOD,然后根据平行线的判定即可得；

（3）先根据点D的位置而出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对

顶角相等即可得.

【详解】

（1）由题意，补全图形如下：

/EDF=/BAC,理由如下：

•/DE//BA,

:.NEDF=NBFD,

DF//CA,

:"BFD=/BAC,

ZEDF=ZBAC；

(2)DEUBA,理由如下：

如图，延长BA交DF于点0,

\DF//CA,

:"AC=/BOD,

・.•NEDF=NBAC,

:"EDF=/BOD,

DE//BA；

（3）由题意，有以下两种情况：

①如图3-1,/EDF=/BAC,理由如下:

DEUBA,

/.ZE+ZE4F=180°,

DF//CA,

ZE+ZEDF=180°,

：.ZEAF=ZEDF,

由对顶角相等得：Z/MC=NW,

:"EDF=/BAC；

②如图32ZEDF4-ZA4C=180°,理由如下:

­.DEUBA,

ZEDF+ZF=180°,

DF//CA,

ZBAC=ZF,

.../EDF+NBAC=180°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是解题

关键.

四、解答题

16.(1)30°,70°,20°；(2)15°,5°,0°,5°；(3)当时，；当时，.

【分析】

(1)先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得

出和的度数，进而可求和的度数；

解析：(1)30。,70。，20°；(2)15°,5。，0°,5°；(3)当a</时，

ZEAZ)=-(/7-a)；当a>/时，^EAD=-(a-p}.

22

【分析】

(1)先利用三角形内角和定理求出/班C的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出

NE4C和NOAC的度数，进而可求N4EC和NE4力的度数；

(2)先利用三角形内角和定理求出的C的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出

NE4C和ND4C的度数，则前三问利用N£4O=N£4C-ND4C即可得出答案，第4问利

用ZEAD=ZDAC-ZEAC即可得出答案；

(3)按照(2)的方法，将相应的数换成字母即可得出答案.

【详解】

(1)NB=20。,ZC=60°,

/.ZBAC=180°-ZB-ZC=100°.

•/A£平分的C,

ZEAC=-ZBAC=50°.

2

人/5是高，

/.ZADC=ZWE=90°,

ZCAD=90°-ZC=30°,

ZEAD=ZEAC-ZCAD=20°,

ZAEC=90°-ZEAD=70°.

(2)当N8=30。，NC=600时，

vZB=30°,ZC=60°,

/班C=1800-N8-NC=90°.

AE平分㈤C,

ZEAC=-ZBAC=45°.

2

A。是高，

:.ZADC=90°,

ZC4D=90°-ZC=30°,

/.ZEAD=ZEAC-ZCAD=15°；

当4=50°,NC=60°时，

•••4=50°,ZC=60°,

ZE4C=180o-Z£?-ZC=70°.

A£平分可。，

/.ZEAC=-ZBAC=35°.

2

A。是高，

.\ZADC=90°,

/.ZC4D=90°-ZC=30°,

/./LEAD=Z.EAC-ZCAD=