人教版七年级数学下册举一反三专题116期末复习之填空压轴题十大题型总结(学生版+解析)(七年级下册)

专题11.6期末复习之填空压轴题十大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【逑型।平行线中的动点问题】..................................................................1

【题型2平行线中的旋转、平移问题1....................................................................................................2

【题型3实数中的新定义问题】.................................................................3

【题型4实数中的最值问题】...................................................................4

【题型5平面直角坐标系中的面积问题】.........................................................5

【题型6平面直角坐标系中的规律探究】.........................................................6

【题型7二元一次方程组中的数字问题】.........................................................8

【题型8二元一次方程中的方案设计】...........................................................9

【题型9一元一次不等式组中的最值问题】......................................................9

【题型10方程与不等式的综合探究】.............................................................9

【题型1平行线中的动点问题】

【例1】（2024七年级•河南新乡•期末）已知直线48||CD,E为两直线间一定点，WCE=23°,若点F为平

面内一动点，且满足〃8尸=51。.连接BF,EF,则匕“E的平分线与乙CE9的平分线所在宜线所夹的锐角

为.

【变式1-1］（2024七年级•浙江•期末）如图，AC//BD,8C平分41BD,设为。，点E是射线8c上

的一个动点，^Z.BAE-LCAE=52,则N&4E的度数为.（用含a的代数式表示）.

【变式1-2］（2024七年级•湖北武汉•期末）如图，4811c0,点E,5在直线48上（F在E的左侧），点G在

直线CD上，EH1HG,垂足为H,P为线段EH上的一动点，连接GP,GF,4FG”与/BFG的角平分线交于点

Q，且点Q在直线力B,之间的区域，下列结论：

@LBEH+乙DGH=90°；

@LCGH+2/.FQG=270°；

③若ZPG"=3乙DGH,则3ZBEH+乙EPG=360°；

④若乙PGH=n^DGH,+-^^.PGD=90°,其中n为正整数.

上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）.

【变式1-3］（2024七年级•河南新乡•期末）如图，直线4BIICD,点E,尸分别在直线48,CD二，点P为直

线与CD间一动点，连接EP,FP,且NEPF=120。，〃EP的平分线与NPK的平分线交于点Q,则5QF

的度数为.

A--------£--------------B

CD

F

【题型2平行线中的旋转、平移问题】

【例2】（2024七年级•福建龙岩・期末）如图，在SA8C中，班AC=45。，MC8是锐角，将M8C沿着射线8C

方向平移得到（3DE/（平移后点A，B,。的对应点分别是点。，E,F）,连接CZ）,若在整个平移过程中，

MC。和EJCDE的度数之间存在2倍关系，则0ACO=.

【变式2-1］（2024七年级•广东肇庆•期末）如图，在AABC中，BC=6,将"C以每秒2cm的速度沿BC所在

直线向右平移，所得图形对应为ADEF,设平移时间为t秒，若要使BE=2CE成立，则t的值为（）

BEC

【变式2-2](2024七年级・浙江宁波・期末)两块不同的三角板按如图1所示摆放，4c边重合，^BAC=

45。/力4c=30°.接着如图2保持三角极力BC不动，将三角板/CD绕着点。按顺时针以每秒10。的速度旋转

90。后停止.在此旋转过程中，当旋转时间£=秒时，三用板有一条边与三角板力8c的一条边恰

好平行.

【变式2-3](2024七年级•浙江宁波・期末)如图，直线GUIIMN,一副三角板按如图1摆放，其中“05二

^ACB=90°,ZE=45。，^BAC=30°.保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点。以每秒2。的速度顺时

针旋转，如图2,设旋转时间为t秒，且04t4180,则经过秒边BC与三角板的一条直角边(边DE,

OF)平行.

M

FDPFDP-N

图I图2

【题型3实数中的新定义问题】

【例3】(2024七年级・重庆渝中•期末)学习完《三角形》章节，某数学小组小花同学给出如下定义：对任

意的一个三位数九，如果几满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于余下数

位上的数字，那么我们就把该数称为“稳定数”.把“稳定数、的十位数字作个位，百位数字作十位得到的两

位数，再加上九的个位数字的和记作F(TI),把“稳定数''九的十位数字作十位，百位数字作个位得到的两位数,

再加上几的个位数字的和记作Q(n).

例如：675,是一个"稳定数"，由定义得尸(675)=67+5=72,Q(675)=76卜5=81.若一个"稔定数"s=

3t+2),N(2£,t-2)的切比雪夫距离为3,则1=.

【题型5平面直角坐标系中的面积问题】

【例5】(2024七年级・北京海淀•期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-5,4),8(-1,2),将线

段平移，得到线段C。(点A的对应点为点C,点8的对应点为点。)，线段48上任一点(％y)在平移后的

对应点为(％+s,y-£),其中sN。，t>0.

(1)若点C与点B恰好重合，则s=,t=；

(2)若s+t=6,且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s=,t=.

【变式5-1](2024七年级•天津滨海新•期末)如图，在平面直角坐标系中，点4,8的坐标分别为(-1,0),

(3,0).现将线段48向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段48的对应线段CD,连接AC,BD.若

在丁轴上存在一点P,连接P4PB,且△243的面枳是△力OC面枳的2倍，则满足条件的所有点P的坐

【变式5-2](2024七年级•北京通州•期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点AQ,0),8(£+2,0),M(3,4).以

点M为圆心，1为半径画圆.点P是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为,.

【变式5-3](2024七年级•湖北随州•期末)如图，长方形048c在平面直角坐标系中，其中4(4,0),C(0,3),

点E是8c的中点，动点「从0点出发，以每秒1cm的速度沿。-4-8-E运动，最终到达点£若点P运动

的时间为％秒，那么当工=2秒时，aOPE的面积等于cm2；当△OPE的面积等于5cm2时，P点坐标

【题型6平面直角坐标系中的规律探究】

【例6】(2024七年级•辽宁抚顺期末)如图，点4在工轴正半轴及)，轴正半轴上运动，点A从原点出发，

依次跳动至点4(0,1)、力2(1，。)、似2,0)、4(0,2)、力5(。，3)、4(3,0)、&(4,0)、&(0,4),……，按此规律,

【变式6-1](2024七年级•福建龙岩・期末)如图，在平面直角坐标系中，点A从4(-4,0)依次跳动到

力2(—4,1),%3(—3,1)，4(—3,0),%(―2,0),力6(-2,3)»/(一l,3)»4(-1,0)>4式-1,—3)>

4o(0,-3),41(0,0),…，按此规律，则点力2022的坐标是

【变式6-2](2024七年级•湖北武汉•期末)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“1〃

方向排列，如(1，0),(2,0),(2,1),(3,2),(3.1),(3,0),(4,0)......,根据这个

规律探索可得第2020个点的坐标是

•(14)

•(4.3)・(5.3)

•(3.2)>(4.2)>(5,2)

O(1.0)(2.0)(3.0)(4.0)(5.0)

【变式6-3](2024七年级•北京朝阳•期末)如图，在平面直角坐标系上有个点P(l,0),点P第1次向上跳动1

个单位至点Pi(Ll)，紧接着第2次向右跳动2个单位至点第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动

3个单位，第5次乂向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…依此规律跳动下去，P4的坐标是，

点P第8次跳动至％的坐标为；则点P第256次跳动至P2E6的坐标是.

【题型7二元一次方程组中的数字问题】

【例7】(2024七年级•重庆沙坪坝♦期末)如果一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0,且干

位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称M为“等差数"，将MT•位上的数字与十位上的数

字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M',记。(时)=富，若谢为等差数，

且D(荷可)=-27,则数砺为；若D(M)为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的

最小“等差数〃M是.

【变式7-1](2024七年级•重庆・期末)一个四位正整数N,各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千

位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9,则称N为〃凤鸣数”，此时，规定K(N)=5

例如，2475中，2+7=4+5=9,2475是"凤鸣数”，K(2475)=鬻=25：又如，2375中，3+5H9,

237s不是"凤鸣数"，

(1)K(5841)=；

(2)对于一个“凤鸣数〃N,且N为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一

个新的“凤鸣数若3K(N)+2((")是9的倍数，且N的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有"凤

鸣数"N为.

【变式7-2](2024七年级•重庆总县•期末)对于千位数字是八百位数字是从十位数字是c、个位数字是

d的四位正整数M,若a+c=b+d=ll,则称这个四位正整数M为“平衡数〃，并记/'(M)=言，G(M)=

10a+b-(10c+d).例如：对于四位正整数2497,02+9=4+7=11,(32497是"平衡数"，且/(2497)=

号=[,G(2497)=24-97=-73.若四位正整数M是一个"平衡数"，且满足Q＜匕，/(M)=-1,G(M)是

7的整数倍，则时=.

【变式7-3](2024七年级•重庆沙坪坝•期末)一个四位数M的千位为a,百位为b,十位为1,个位为c(c丰0),

满足c=alb,将M的个位数字c放到千位数字，之前产上新四位数M例如：M=2315,则/V=5231.记

F（M）=W3则r（2517）=；若F（M）为6的倍数，则满足条件的所有M中，F（M）的最大值是.

【题型8二元一次方程中的方案设计】

【例8】（2024七年级•福建莆田•期末）某社区出资100元全部用于采购A,B,C三种图书，4种每本6元,

8种每本5元,C种每本4元，其中4种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有种.

【变式8-1］（2024七年级•云南昆明•期末）为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小

组进行小组互助，若七年级某班级共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有种.

【变式8-2］（2024七年级•黑龙江齐齐哈尔•期末）小红买了80分、120分的两种邮票，共花掉16元钱（两

种邮票都买），则购买方案共有种.

【变式8・3】（2024七年级,重庆•期末）某商场在11月中旬对甲、乙、丙三种型号的电视机进行促销.其中，

甲型号电视机直接按成本价1280元的基础上获利25%定价；乙型号电视机在原销售价2199元的基础上先

让利199元，再按八五折优惠；丙型号电视机直接在原销售价2399元上减499元；活动结束后，三种型号

电视机总销售额为20600元，若在此次促销活动中，甲、乙、丙三种型号的电视机至少卖出其中两种型号，

则三种型号的电视机共有种销售方案.

【题型9一元一次不等式组中的最值问题】

［例9］（2024七年级,江苏南通•期末）已知非负数a,b,c满足条件Q+b=5,c=a—3,设S=a+2b+3c

的最大值为机，最小值为〃，则2加+几的值是.

【变式9-1］（2024七年级•江苏宿迁•期末）若a、b、c、d是正整数，且a+b=22,a+c=26,a+d=28,

则a+b+c+d的最小值为.

【变式9-2］（2024七年级•湖北黄石•期末）已知实数a,b,满足14a+bW4,0Sai工1且a-2b有

最大值，则8a+2021b的值是.

【变式9-3］（2024七年级•湖南长沙•期末）已知非负实数八y、z满足”=等=?，记M="+2y+3z.则

M的最大值减去最小值的差为.

【题型10方程与不等式的综合探究;】

【例10】（2024七年级•湖北武汉•期末）已知关于x、y的方程组,下列四个结论：①当a=1

时，方程组的解是卮:；②无论a为何值，方程组的解都是关于达），的二元一次方程％+y=Q+2的解;

③方程组的解x与y可以同为负数；④若方程组的解x与y都为正数，且3%+2y+z=0,则z的取值范

围为一9Vz<-3.其中正确的是.（填写序号）

【变式10-1］（2024七年级•安徽安庆・期末）关于％的方程k2x=3（〃-2）的解为非负数，且关于x的不等

x—2（x—1）<3

式组2k+x、有解，则符合条件的整数A的值的和为.

【变式10-2】（2024七年级•湖南邵阳•期末）已知关于％,y的方程组墨:的解x,y都为正数，满

足不等式|a|+|4-a|V6成立的整数a的值为（写一个即可）.

【变式10-3]（2024七年级•福建泉州•期末）已知x,y同时满足％+3y=4-m,x-5y=3m,若y>1-a,

3x-5>a,且x只能取两个整数，则a的取值范围是—.

专题11.6期末复习之填空压轴题十大题型总结

【人教版】

，题型梳理

【题型।平行线中的动点问题】..................................................................1

【题型2平行线中的旋转、平移问题】............................................................2

【题型3实数中的新定义问题】.................................................................3

【题型4实数中的最值问题】...................................................................4

【题型5平面直角坐标系中的面积问题】.........................................................5

【题型6平面直角坐标系中的规律探究】.........................................................6

【题型7二元一次方程组中的数字问题】.........................................................8

【题型8二元一次方程中的方案设计】...........................................................9

【题型9一元一次不等式组中的最值问题】.......................................................9

【题型10方程与不等式的综合探究】.............................................................9

，举一反三

【题型1平行线中的动点问题】

【例1】（2024七年级•河南新乡•期末）已知直线48||CD,E为两直线间一定点，乙DCE=23。,若点尸为平

面内一动点，旦满足448/=51。，连接BF,EF,则乙8/£的平分线与々CE尸的平分线所在直线所夹的锐角

为.

【答案】14。或37。

【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意比分两种情况进行讨论，一种是点尸在力8下

方，一种是点尸在AB上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定

义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键.

【优尖升•详解】解：当点尸在下方时，

过点尸作川I"氏过点工作/IB,如图1所示:

B________A

设/GEK=a,

EL4B||CD,

BAB||Hl||JK||CD,

团匕DCE=23°,乙ABF=51%

^KEC=Z.DCE=23°,乙BFH=乙ABF=51°,

团4GEC=乙GEK+乙KEC=a+23°,

团EG平分“EF,

0z(7EC=Z.GEF=a+23°,

13N/EK=乙FEG+乙GEK=23+2a,

E)NBFE=乙BFH+乙HFE=23°+2a+51°=74°+2a,

(3GF平分N85E,

国46产E=乙EFT=1乙BFE=1(74。+2a)=370+a,

回rE=180°-乙EFT=180°-(37°+a)=143°-a,

^EGF=180°-{Z-GFE+zFFGi=180°-(a+23°+143°-a)=14°；

②当点尸在48上方时，过点E作MN||48,如图2所示：

设/PEN=/7,

0ZDCF=23°,^ABF=51°,

㈤4BIICD,

回/B||MN||CD,

回乙CEN=Z.DCE=23°,

团4PEC=乙PEN+乙CEN=/7+23°,

团GE平分乙C",

[ZU『EP=zPEC=0+23。，

（3NGEF=180°-Z-FEP=180°-（£+23°）=157°一£,

^/.FKA=乙FEN=Z-FEP+乙PEN=夕+23°+£=23°+2。，

^Z.FKA=Z.ABF+乙BFE,

田上BFE=/-FKA-乙ABF=23°+2/?-51°=2/7-28°,

团GF平分48FE,

^GFE书乙BFE=1（2^-28°）=/7-14°,

0ZFGF=180°-（乙GEF+zGFF）=180°-（157°一夕+£—14°）=37°,

综上所示：ZBFE的平分线与aEF的平分线所在直线所夹的锐角为14。或37。，

故答案为:14°或37°.

【变式1-1]（2024七年级•浙江•期末）如图，AC//BD,BC平分4力8。，设N/C8为。，点E是射线上

的一个动点，若4&4E/C4E=5：2,则“4E的度数为.（用含a的代数式表示）.

【答案】120。一2a或理士

37

【分析】根据题意可分两种情况，①若点E运动到。上方，根据平行线的性质由a可计算出乙。8。的度数，

再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出NB4C的度数，再由48AE2&4E=乙BAE=LBAC+

^CAE,列出等量关系求解即可得出结论；②若点E运动到匕下方，根据平行线的性质由a可计算出4C80的

度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出NB4C的度数，再由NB4EZC4E=|,乙8命=Z.BAC-

乙U4E列出等量关系求解即可得出结论.

【优尖升-详解】解:如图，若点E运动到1上方,

E

图2

-AC//BD,

Z.CBD=Z-ACB=a,

•••BC平分乙4B0,

:.Z.ABD=2/.CBD=2a,

Z.BAC=180°-乙ABD=180°-2a,

乂•.^BAEt^CAE=^,

:・QBAC+£.CAEY.LCAE=

(180°-2a+4CAE):/.CAE=1,

解得=185°-2g=120°--ax

——13

图3

•：AC”BD,

Z.CBD=Z.ACB=a,

•••BC平分〃BD,

:.Z.ABD=2/.CBD=2a,

Z.BAC=180°-乙ABD=180°-2a,

乂••・

/-BAE-.Z.CAE=-2,

(LBAC-Z-CAEy.Z.CAE=|,

(180°-2a-Z-CAEy.Z.CAE=支

解得乙CAE=竺鼻生=随士.

2+17

综上4C4E的度数为］200_ga或^

故答案为：120。—3。或若华.

【点睛】本题主要考杳平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等.两直线平行，同旁内

角互补.两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键.

【变式1-2］（2024七年级•湖北武汉•期末）如I图，ABWCD,点E,F在直线48上（尸在E的左侧），点G在

直线CD上，EHA.HG,垂足为H,P为线段EH上的一动点，连接GP,GF,与NBFG的角平分线交于点

Q，且点Q在直线4B,CO之间的区域，下列结论：

①乙BEH+Z.DGH=90°；

②乙CGH+2乙FQG=270°：

③若乙PG〃=3乙DGII,则3乙十4EPG=360°；

④若乙PGH=n^DGH,则/BE"+4PG。=90。，其中n为正整数.

上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）.

【答案】①③④

【分析】过点H作HLII48,利用平行线的性质可得4BEH+乙DGH=4EHL+（GHL=乙EHG=90°,即可

判断①；根据角平分的定义可得“rG二""。，乙QGF=三乙FGH,再根据三角形内角和定理“QG=

180。一4QFG-NQGF,根据NCGH=180。一NOG”，利用平行线的性质即可判断②;设ZDG"=X。，则

^PGH=3ZDGH=3X%利用①的结论即可判断③，向上可判断④.

【优尖升•详解】解：如图，过点H作HLIM氏

CGD

•••AB\\CD,AB\\HLt

ACDUIL,

:.乙EHL=LHEB,乙GHL=LHGD,

•••EH1HG,

:•乙EHG=90°,

Z.BEH+Z.DGH=乙EHL+乙GHL=乙EHG=90°,故①正确；

•••/%”与NB"的角平分线交于点Q,

Z.QFG=^BFG,Z-QGF=；cFGH,

:.Z.FQG=180°-4QFG-乙QGF,

根据①中的结论，可得ZFQG=^BFQ+乙QGD,

••••••4CGH+24FQG=180°-乙HGD+2(180°-4QFG-乙QGF),

=180°-Z.HGD+360°-2QFG-2QGF,

=540°-QHGD+Z-BFG+乙FGD)

•••4BIICO,

:.Z.BFG=乙FGC,

:.LHGD+乙BFG+Z.FGD=Z.HGD+乙FGC+Z.FGD=180°,

:.Z.CGH+2乙FQG=540°-180°=360°,故②错误；

设/OGH=x。，则4PGH=3乙DGH=3%°,

Z.PGD=4x°,

根据①中结论可得NBEH=90°-乙DGH=90°-x°,:.乙EPG=乙BEH+乙PGD=90°-x°+4x°=90°4-

3x°

3cBEH+乙EPG=270°-3x°+90°+3x°=360°,故③正确；

设/OGH=x°,则4PG，=ncDGH=nxQ,

Z.PGD=(n+l)x°,

；.x0=工乙PGD=ZJJGH,

n+1

根据①中结论可得N8EH+LDGH=4BEH+W4PGO=90°,故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【变式1-3］（2024七年级•河南新乡•期末）如图，直线/8IIC0,点E,产分别在直线AB,CD二，点、P为直

线＜8与CD间一动点，连接EP,FP,且乙“F=120。，44?尸的平分线与"FC的平分线交于点Q,则4EQF

的度数为.

A------£-----------B

【答案】60。或120。

【分析】

分两种情况讨论，当点P,Q在EF同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可.

【优尖升•详解】

解：分两种情况讨论：

①如图1，过点P，Q分别作PHIIAB,QGWAB,

vABWCD,

QGWPHWABWCD.

Z.AEP=ZEPW,乙PFC=LHPF.

Z.AEP+Z.CFP=乙EPH+Z,FPH=乙EPF=120°.

•••/4EP的平分线与“尸。的平分线交于点Q,

AZ.AEQ=^Z.AEP,Z.CFQ=：4尸产C.

Z.AEQ+LQFC=^Z.AEP+乙PFC)=60°,

vQGWABWCD,

同理可得NEQF=Z-AEQ+Z-QFC=60°；

②如图2,过点P,Q分别作PHIIAB,QGI如B,

•:ABWCD,

QG\\PH\\AB\\CD.

・••LAEP+乙EPH=180°,Z,HPF+乙CFP=180°.

•:乙EPH+乙HPF=乙EPF=120°,

Z.AEP+LCFP=180°+180°-120°=240°.

•••/AEP的平分线与iP/C的平分线交于点Q,

:./.AEQ=^Z-AEP,Z.CFQ=

Z.AEQ4-乙QFC=^ZLAEP+乙PFC)=120°.

•••QGWABWCD,同①可得，EQF=乙AEQ+LQFC=120°.

图1图2

综上所述，4EQF的度数为60°或120°.

故答案为：60。或120。

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，利用

分类讨论的思想求解问题.

【题型2平行线中的旋转、平移问题】

【例2】（2024七年级•福建龙岩・期末）如图，在MBC中，团BAC=45。，0ACB是锐角，将财BC沿着射线8C

方问平移得到mOE尸（平移后点A,B,C的对应点分别是点。，E,F）,连接CD,若在整个平移过程中，

0ACD和I3COE的度数之间存在2倍关系，则贴CQ=.

【答案】15。或30。或90。

【分析】根据的平移过程，分为了点£在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到ABIIDE,

根据平行线的性质得到财CD和EICDE和（3B4c之间的等量关系，列出方程求解即可.

【优尖升・详解】第一种情况：如图，当点E在上时，过点C作CGIIAB,

ADG

BECF

龈〃“由0A8C平移得到，

团48IIDE,

(3CGII4R,ABWDE,

团CGIIOE,

①当财。£>=2团COE时，

团设团CDE=x,则加。。=2工，

00ACG=05AC=45%0DCG=0CDE=v,

00ACD=a4CG+0DCG,

02A+A=45°,解得：X=15°,

雕L4C7)=2.r=3O°,

②当团CQE=2(MCO时，

回设ElCOE=x,则财。。二会，

00ACG=(3BAC=45%WCG=^\CDE=x,

回阴CO=a4CG用OCG,

团2上+1=45°,解得：x=30°,

的4CD=}=15°,

2

第二种情况：当点E在斯8C外时，过点C作CGIIA8

00DEF由同48。平移得至I],

^AB\\DE,

^CGWAB,ABWDE,

回CGII0E,

①当财CZ）=2回CDE时，

设BCQE=x,则囿4。。=2工，

0a4CG=0fi/4C=45o,13DCG=0CDE=v,

团财CO=MCG+E）OCG,

02A=V+45°,解得：x=45°,

00ZCD=2v=9O°,

②当团CQE=2财CO时，由图可知，团C。氏财CD,故不存在这种情况，

综上：MCO=15。或30。或90。.

【点睛】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平

行内错角相等是解题的关键.

【变式2-1］（2024七年级•广东肇庆•期末）如图，在AABC中，BC=6,将ABC以每秒2cm的速度沿BC所在

直线向右平移，所得图形对应为ADEF,设平移时间为t秒，若要使BE=2CE成立，贝代的值为（）

A.6B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据平移的性质，结合图形，可得AD=BE,再根据AD=BE=2CE,可得方程，解方程即可求解.

【优尖升・详解】解：根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，

则AD=BE,

设AD=2tcm,则CE=tcm,依题意有

2t+t=6,

解得t=2.

故选C.

【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离.注意结

合图形解题的思想.

【变式2-2］（2024七年级•浙江宁波・期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合：4B4C=

45。,/ZMC=30°.接着如图2保持三角板48c不动，将三角板绕着点。按顺时针以每秒10。的速度旋转

90。后停止.在此旋转过程中，当旋转时间£=秒时，三凭板ACD'有一条边与三角板48c的一条边恰

【答案】4.5或3或7.5

【分析】分三种情况，根据平行线的性质求解即可.

【优尖升-详解】解：分三种情况：

①当4Clh4BB寸，如图：

•••£A'CA=LBAC=45°,

:.10t=45,

t=4.5.

②当AD'IIAC时，

:.Z.A'CA=LA!=30°,

:.10t=30,

At=3.

③当4。'||48时，过C作CDIIAB,

则CDIIABIW。',

=Z.ACD,LA'=Z.A'CD,

Z.A'CA=^ACD+乙ACD=±A+Z.Ar=75°,

••-101=75,

t=7.5.

综上所述，当旋转时间£=4.5或3或7.5秒时，三角板4CD'有一条边与三角板力BC的一条边恰好平行.

故答案为：4.5或3或7.5.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【变式2-3］（2024七年级•浙江宁波•期末）如图，直线GA/IIMN,一副三角板按如图1摆放，其中4EDF=

44cB=90。，ZE=45%/-BAG=30°.保持三角板ABC不动，现将三角板0E/绕点。以每秒2。的速度顺时

针旋转，如图2,设旋转时间为t秒，且03亡3180,则经过秒边8C与三角板的一条宜角边（边。E,

DF）平行.

【答案】15或60或105或150

【分析】延长8c交MN于P点，可求48PN=60。，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置DE||8C或0?||8。

时，。所旋转的度数，即可求解.

【优尖升-详解】解：如图，延长BC交MN于P点，

•••乙EDF=Z.ACB=90°,Z-BAC=30°,

二/.ABC=60°,

•••GHWMN,

Z.BPN=60°,

当/EWP=々BPN=60°时，O&IIBC,

,此时。旋转的度数为乙EDE1=30。,

t=y=15(s)；

②如图

当/&DP=4BPN=60。时，DF\IBC,

:.iEDFi=30°,

,此时。旋转的度数为乙EDEi=120°,

=60(s)；

③如图

G

^LQDP=Z-BPN=/JEJIKC,

:.Z.EDQ=30°,

二此时D旋转的度数为180。+30°=210°,

"=券=105(§；

④如图

当/QOP=48PN=60。时，DF^BC,

ALEDQ=30°,

此时。旋转的度数为270。+30°=300°,

"=券=150(4

综上所述：15或60或105或150.

【点睛】本题考资了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键.

【题型3实数中的新定义问题】

【例3】（2024七年级•重庆渝中•期末）学习完《三角形》章节，某数学小组小花同学给出如下定义：对任

意的一个三位数n,如果九满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于余下数

位上的数字，那么我们就把该数称为“稳定数".把"稳定数'力的十位数字作个位，百位数字作十位得到的两

位数，再加上几的个位数字的和记作FQ），把"稳定数、的十位数字作十位，百位数字作个位得到的两位数,

再加上九的个位数字的和记作Q（九）.

例如：675,是一个“稳定数〃，由定义得F（675）=67t5=72,Q（675）=76t5=81.若一个“稳定数〃s=

100a+101b+30(1<a<5,1<b<4,a,匕为整数)，当5/(s)+2Q(s)能被11整除时.，则满足条件

的“稳定数"s的值为—.

【答案】432或534

【分析】由s=100a+101b+30,可找出F(s)及Q(s),进而可得出5尸(s)+2Q(s)=52a+59b+75,结

合5F(s)+2Q(s)能被11整除,可得出8a+4b-2能被11整除,分别代入b=1,2,3,4,找出满足题意的

a值，再将其代入s=100Q+1016+30中，即可求出结论.

【优尖升-详解】解：0s=100a+101b+30=100Ca+b)+3x10+b,

0F(s)=lO(a+b)+3+b=10Q+lib+3,Q(s)=3x10+(G+d)+b=a+2d+30,

05F(s)+2Q(s)=5(10a+lib+3)+2(a+2b+30)=52a+59b+75.

团5"s)+2Q(s)能被11整除，

回52a+59b+75能被11整除，

即52a+59b+75二(44a+55b十77)十(8a+4b—2)能被11整除，44a十55b十77能被11整除，

团8a+4b-2能被11整除.

01<a<5,l<b<4,Q/为整数，

0当b=l时，不存在符合题意的a值；

当匕=2时，a=2,此时s=100a+101b+30=100x2+101x2+30=432；

当七二3时，不存在符合题意的Q值；

当E=4时，Q=1,此时s=100a+101b+30=100x1+101x4+30=534.

团满足条件的“稳定数〃s的值为432或534.

故答案为：432或534.

【点睛】本题考查了数的整除性，根据各数之间的关系，找出符合题意得a,b的值是解题的关键.

【变式3-1](2024七年级•四川南充•期末)对于实数x,y,定义一种运算“x”如下，]勺=办一力2,已知2x3

=20,4x(-3)=6,那么(一2"何尸=；

【答案】工3。

【优尖升-详解】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，即可确定出原式的值.

【优尖升-详解】根据题中的新定义得：

(2a-9b=10

I4Q-9b=6

fa=-2

解时=J，

I9

所以，(-2)x(V27)2=(-2)a-b[(V27)2]2

=(-2)x(-2)-(-^)x[(V27)2]2

=130

故答案为130

【点睛】本题考核知识点：实数运算.解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出a,b

的值，再次应用规则，求出式子的值.

【变式3-2](2024七年级•浙江杭州•期末)定义新运算

若a@b=n(n是常数)，则(a+l)@b=n+1,a@(b+1)=n-2.若1@1=2则1@2=,

2@2=,2020@2020=.

【答案】01-2017

【分析】首先要理解新定义运算符号的含义，然后严格按着新的运算规则操作，将新定义运算转化为常见

的数学运算，求解即可.

【优尖升-详解】1@2=1@1-2=2-2=0；2@2=1@2=0+1=1；

2020@1=2019@1+1=2018©1+2=...

=1@1+2019=2021

2020@2020=2020@2019-2=2020@2018-4=

...=2020@1-4038=-2017

【点睛】本题考查r新定义运算，解题的关键是理解新定义运笄符号的含义，然后严格按着新的运算规则

操作即可.

【变式3-3](2024七年级•湖南株洲•期末)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了

自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我

们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数〃.定义：对于自然数

n,在计算n+(n+l)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是"纯数",因为

计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数〃，因为计算23+24+25时，个位产生了进位.那么，

小于100的自然数中，"纯数"的个数为个.

【答案】12

【分析]根据题意，连续的三个自然数各位数字是0,1，2,其他位的数字为0,1,2,3时不会产生进位,

然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数.

【优尖升-详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2,一共3个，

当这个数是两位自然数时，十位数字是1,2,3,个位数是0,1,2,一共9个，

团小于100的自然数中，”纯数〃共有12个.

故答案是:12.

【点睛】本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯

数”.

【题型4平面直角坐标系中的新定义问题】

【例4】(2024七年级•湖北武汉•期末)在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点4氏C的"矩面积",

给出如下定义："水平底”a指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高7指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面

积"S=ah.例如：4(1,2),8(-3,1),C(2,-2)则"水平底"a=5,"铅垂高7=4,“矩面积〃S=ah=

20.若0(1,2),E(-2,1),广(0,()三点的"矩面积”为18,贝八的值为.

【答案】-4或7

【分析】先求出"水平底'’为3,再根据“矩面积”的定义求出"铅垂直"为6,再讨论当点尸在点D下方时，当点尸

在点D上方时，建立方程求解即可.

【优尖升•详解】解：由题意知，D、E、尸三点的“矩面积'’的"水平底〃。=1一(-2)=3,

•：D、E、尸三点的“矩面积"S=aA=18,

D、E、尸三点的“铅垂直”1=18+3=6,

当点F在点。下方时，2-£=6,

解得t=-4.

当点尸在点。上方时，£-1=6

解得:£=7,

故答案为：一4或7.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，止确理解题意是解题的关键.

【变式4-1](2024七年级•湖北荆州•期末)在平面直角坐标系中，对于任意三点A,B,C的〃矩面积〃，给

出如卜•定义："水平底任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面

积"S=ah.例如,三点坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(1,-2),则“水平底〃a=4,“铅垂高〃h=6,“矩

面积"S=ah=24.若D(2,2),E(-2,-1),F(3,m)三点的“矩面积”为20,则m的值为.

【答案】-2或3

【分析】根据矩面积的定义表示出水平底〃a和铅垂高“h,利用分类讨论时其铅垂高“h进行讨论，从而列出

关于m的方程，解出方程即可求解.

【优尖升-详解】0D(2,2),E(-2,-1),F(3,m)

团"水平底"a=3-(-2)=5

“铅垂高"h=3或|l+m|或|2-m|

①当h=3时，三点的“矩面积'5=5x3=15020,不合题意；

②当h=|l+m|时，三点的“矩面积'S=5x|l+m|=20,

解得：m=3或m=-5(舍去)；

③当h=|2・m|时,三点的“矩面积"S=5x|2・m|=20,

解得：m=-2或m=6(舍去)；

综上：m=3或-2

故答案为：3或-2

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题.

【变式4-2](2024七年级•安徽期末)定义：平面内的直线。与。相交于点0,对于该平面内任意一点M,

点必到直线上"的距离分别为b,则称有序非负实数对(a,协是点M的“距离坐标〃根据上述定义，“距离

坐标”为(2,1)的点的个数是.

【答案】4

【分析】首先根据题中定义，可得，“距离坐标”为(2,1)的点是到I1的距离为2,到12的距离为1的点：然后

根据到h的距离为2的点是两条平行直线，到12的距离为1的点也是两条平行直线，发现所求的点是以上

两组直线的交点，一共有4个.

【优尖升-详解】解：如图，至明的距禽为2的点在两条平行直线％,〃上，

到，2的距离为1的点在两条平行直线卜，〃上.

因为两组直线的交点一共有4个，

即A,B,C,D,所以“距离坐标”为(2,1)的点有4个.

【点睛】此题主要考查了点的坐标，解答此题的关键是对“距离坐标〃的含义的理解和掌握.

【变式4-3](2024七年级•湖北武汉