人教版七年级数学上册专题11数字类规律探索（解析版）

专题11数字类规律探索

I.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（小〃?）表示第〃排，从左到右笫机个

数,如（4,2）表示9,则表示2021的有序数对是（）

1……第一排

32.•…・第二排

456……第三排

10987……第四排

A.(63,5)B.(63,59)C.(64,5)D.(64,60)

【答案】D

【分析】根据图中的数字，探究发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2021

在第多少排，然后即可写出表示2021的有序数对，本题得以解决.

【详解】解：由图可知，

第一排1个数，

第二排2个数，数字从大到小排列，

第三排3个数，数字从小到大排列，

第四排4个数，数字从大到小排列，

・・・,

则前〃排的数字共有^个数，

•.•当〃二64时，中，2=2080,

2

・••第64排第1个数为2080,此排数字从2080由大到小排列，

V2080-2021+l=60,

・••表示2021的有序数对是（64,60）,

故选：D.

【点睛】本题考杳数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，探究发现数字的变化特点.写出表

示2021的有序数对.

2.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和,

例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第2行左边的I开始按“锯齿形”排列

的箭头所指的数依次构成一个数列:。/=1,42=2.43=3,%=3,45=6,46=4,47=10,公=5…，

则的值为()

1—►21

13—►31

/

146—►41

/

151010-►51

A.1326B.1327

C.1328D.1329

【答案】A

【分析】将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算.

【详解】解：将所给数列分为两个新数列，

第1个数列由。/=1,43=3,45=6,47=10...组成,

*.*£7;=1,03=3=1+2,675=6=1+2+3,47=10=1+2+3+4,

•••499是新数列第50项，。9尸1+2+3+…+50=1275；

第2个数列由42=2,办=3,“6=4,痣=5...组成，

*/a2=2,。产3,46=4,&=5,

是新数列第50项，4/3=51,

:.aw+aio(F=1275+51=1326,

故选A.

【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关

键.

3.a不为1的有理数，我们把「一称为。的差倒数.如：2的差倒数是」=-1,-1的差倒数是

不=；.己知4=-1，生是4的差倒数，①是生的差倒数，即是小的差倒数，…，依此类推,

贝I」々2022=()

A.—B.—C.4D.——

343

【答案】C

【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2022

除以3,根据余数的情况确定出与H2022相同的数即可得解.

【详解】

•••每3个数为一周期循环，

V2022-？3=674,

/.a2022=aj=4,

故选：C.

【点睛】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其

中的规律，并应用发现的规律解决问题.

4.观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,3]=3,32=9,

33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,根据上述算式中的规律，2243”的末位

数字是（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】D

【分析】通过观察发现：2”的个位数字是2,4,8,6四个一循环，所以根据21+4=5-1,得出2?1

的个位数字与7的个位数字相同；以3为底的事的末位数字是3,9,7,I依次循环的.1%4=2...3

即可知3”的个位数字，从而得到221+3”的末位数字.

【详解】解:由题意可知，2=2,2?=4,23=8,24=16,2:32,26=64,27=128»28=256,

即末位数字是每4个算式是一个周期，

末位分别为2,4,8,6,

21+4=5...1,

了.21的末位数字与21的末位数字相同，为2；

由题意可知，31=3,32=9,3:27,34=81,3§=243,3^=729,37=2187...

以3为底的塞的末位数字是3,9,7,1依次循环的，

11+4=2...3,

所以3"的个位数字是7,

所以2*3”的个位数字是9,

故选：D.

【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此

题的关键.

5.世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（）

1

।2

22

11

363

2x11

.

4124

112

11-1

1

520一

310-1

11-2±05-

16

630610-11

-60-

2X一

_1_310^

74210514042

A.-L

9（］

【答案】c

【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第I个数，下一行的第2和第3

个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数.

【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是第9行

O

的第一个数是第10行的第一个数是~

再按照上面的规律，可得:

第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：

第9行的第2个数等于第8行的第I个数减去第9行的第1个数，即：

第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：士-』;=工,

5672252

第10行的第2个数等于第9吁的第1个数减去第10行的第1数，即：1卡二点，

第10行的第3个数等「第9夕亍的第2个数减去第10行的第2个数，即：H工

7290360

_1____1I

则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即:

252-360-840

故选：C.

【点睛】本题主要考察学生无规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律.

6.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1,1,

2,3,5,8,13,21,34,…实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契

数列中的第〃个数记为册,则1+%+%+%+%+~+«2021与斐波那契数列中的第个数相同.

【答案】2022

【分析】由「斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列1+4+。5+〃7+为+~+。曲中的1可记作

a2,这样1+。3=。+%=。4，。4+%="6，…，依次化简，结论可得.

【详解】解：•••斐波那契数列中4=%=1，

»•1=%，

1++4$+%^---^2021

=%+%+/+%+%+…+/021

=&+%+%+%+…+&J2I

二仆+为+4+…+生⑷

=%+a)+…+々2021

=4。+…+〃2。21

=“2020+生021

~a2022

故答案为：2022.

【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键.

7.如图，A点的初始位置位于数轴上表示I的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单

位长度至4点，第2次从6点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长

度至D点,第4次从。点向布移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点£在数轴上所表示

的数为,这样第次移动到的点到原点的距离为2020.

DBACE

[I111111111111.

-2-10123

【答案】71346

【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解.

【详解】解：第I次点A向左移动3个单位长度至点以则B表示的数，I-3=-2；

第2次从点8向右移动6个单位长度至点C,则。表示的数为-2+6=4；

第3次从点C向左移动9个单位长度至点O,则力表示的数为49=5；

第4次从点B向右移动12个单位长度至点E,则E表示的数为-5+12=7：

由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+l）,

当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：竿，

।4039

当移动次数为奇数时，-Q（3〃+1）=-2020,〃=二一（舍去），

当移动次数为偶数时，即卢=2020,“=1346.

故答案为:7,1346.

【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键.

8.观察下列一组数:2,…，它们按一定规律排列，第n个数记为勺，且满足一十—=—.则

2

7analt+2%

【分析】由题意推导可得加=2即可求解.

3（〃-1）+1

2122

【详解】解：由题意可得：ai=2=—,«2=—=-,a3=—,

I?

同理可求46=1=77，L

816

2

/.an=--------------,

3（〃一1）+1

.21

..02022=----=-----，

60643032

故答案为：薮盛•

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.

9.把正偶数从小到大按如下规律排列：

第一组：2,4；

第二组：6,8,10,12

第三组:14,16,18,20,22,24

第四组：26,28,30,32,34,36,38,40

现用(i,j)表示正偶数〃是第i组第/个数(从左到右数)，如A/产(2,3),

420=(3,4),若A2022=(〃，b),贝I」a=.b=.

【答案】3219

【分析】由题意知：第〃组中偶数的个数为2〃个，知第〃组最后一个偶数为

2x2x(l+2+3…+〃)=2〃(〃+1),计算〃=31时即第31组最后一个偶数为1984,继而得到答案.

【详解】由题意知：第〃组中偶数的个数为2〃个，知第〃组最后一个偶数为

2x2x(1+2+3…+〃)=2〃(〃+1),

_1QQ4

•・•第31组最后一个偶数为2x31x32=1984,而二^一=19,

・・・4o22=(32,19),

故填：32,19.

【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含〃的代数式表示规

律由此解决问题是解题的关键.

10.已知整数。八az»as,…满足下列条件：ai=O,az=|«/+1|>ay=|az+2|,44=|田+3|…依次类推,

则42020的值为•

【答案】-1010

【分析】先求出前6个值，从而得出%=-k”」+2〃-l|=-〃，据此可得答案.

【详解】解：由题意得：“尸0,

«2=-|«/+1|=-1,

rtj=-|fl2+2|=-1,

。4=-旧+3|=-2,

«5=-k/^+4|=-2,

«6=-|«5+5|=-3,

\%,二-|*+2〃-1|=-

所以a2020的值为-1010.

故答案为：-1010.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，从而得出

生“=-|«2zr-l+2"1|=-/7的规律.

三、解答题(共。分)

H.将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

—►—58—►—9A—►B•••

111111

6—►-710—►…C—►D

(1)在A处的数是正数还是负数？

(2)负数排在A、B、C.。中的什么位置？

(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应于4、B、C、。中的什么位置？

【答案】(1)正数

(2)8和。的位置

(3)负数，。的位置.

【分析】(1)根据人是向上的头的上方对应的数解答；

(2)根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；

(3)根据4个数为一个循环组依次循环，用2023除以4,根据余数的情况确定所对应的位置即可.

(1)

A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；

(2)

观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是止数，向上箭头的下方是负数，上方是止数，

所以，8和。的位置是负数；

(3)

V20234-4=505……3,

・•・第2023个数排在。的位置，是负数.

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应

的数的正负情况考虑求解是解题的关键.

12.观察；下列算式；

①32-4x12=5,

②52—4x22=9,

③72—4x32=13,…

尝试：请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；

发现：请你把这个规律用含字母的式子表示出来；

应用：计算40412—4x202()2=.

【答案】尝试：第④个算式：92-4X42=17,第⑤个算式:“2—4x52=21：发现：

(2〃+l)2-4x〃2=4〃+l；应用：8081

【分析】尝试：根据①@©的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式;

发现：将发现的规律，由特殊到一般，用含字母的式子表示出来，得出结论；

应用：根据规律进行计算即可求解.

【详解】解：尝试：第④个算式：92-4X42=17,

第⑤个算式：112—4x5?=21,

发现：(2〃+1)~-4x〃？=4〃+1,

应用：40412-4x20202

=4x2020+1

=8081,

故答案为：8081.

【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键.

13.观察下列式子中的运算规律：

13x17=1x2x100+21

23x27=2x3x100+21

33x37=3x4x100+21

(1)观察规律，写出第11个等式；

(2)设〃(〃21)表示自然数，请根据这个规律把第〃个等式表示出来，并利用所学知识来验证这个等

式成立.

【答案】(1)113x117-11x12x100+21

(2)(10//+3)(10/i+7)=n5+1)xlOO+21；验证见解析

【分析】(1)根据已知条件得出用含〃的式子表示运算规律，再写出第11个等式即可；

(2)由(1)得出(10〃+3)(10/?+7)=100〃(〃+1)+21；把式子左右两边进行运算对比即可.

(1)

解：V13x17=1x2x1004-21=lx(1+1)x100+21；

23x27=2x3x100+21=2x(2+1)x100+21；

33x37=3x4x100+21=3x(3+1)xlOO+21；

，第〃个式子为：(10/1+3)(10/7+7)=n(7i+l)xlOO+21,

工第11个等式为：(10x11+3)x(10x11+7)=llx(H+l)xlOO+21,

即113x117=11x12x100+21.

(2)

根据解析(I)可知，用含〃的式子表示运算规律的式子为：

(10«+3)(10n+7)=n(n+1)xlOO+21,

(10/2+3)(10n+7)

=100n2+70/2+30n+21

=100/+10^+21,

n(〃+l)x100+21=100w2+100/?+21,

・•・左边=右边，

故原等式成立.

【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是根据所给的等式

得出规律.

14.观察下列等式的规律，解答下列问题：

=­x

⑴第5个等式为%=,第〃个等式为勺=(用含〃的式子表示,〃为正整数);

⑵设S|=6-%,S2=a.-a4,S3=a5-a6,§2021=""MMl-"4042，求S]+2+/+$4++另⑼的

I72122

【答案】（1）彳*（工+£）,—x（—+----）

2562nn+\

小4042

⑵

【分析】(1)根据题意，找出规律即可作答；

(2)将£、SCS3、S4⑼分别表示出来即可进行计算.

(1)根据题意得，。5=<'(：+当、a”=1x(2+2),故答案为：+,^(―+—^―)；

2562nn+\2562nn+\

=-x(2-----)=1------=-----.

2404340434043

【点睛】本题主要考查了找出式子的变化规律，仔细读题找出其中的规律是解题的关键.

15.正整数按照如图规律排列，请问

/第一排

23第二排

456第三排

7891。第西非

1112H1415第五片

第"排

①18这个数排在第排，第个位置，100这个数排在第排，第个位置.

②7这个数在第4排第1个，可以记作(4,1),则50这个数可以记作()，那么一个数可以记作

(10,3),则这个数为.

③请问第〃排的最后一个数字是第〃排的第二个数字是(请用含n的

式子表示).

【答案】①6,3,14,9;②(10,5),48;③二或也上11),以空/或土(〃+1)+？)

2222

【详解】试题分析：①由表可知，第6排第1个数是16,故第3个数是18：由第13行的最后一个

为91,故100在第14行，第14行第1个数是92.所以100是第9个数；

②根据1+2+3+...+『吗也知，第n-1排最后一个数是当工，第n排最后一个数是驾2.易知

第9排最后一个数是45,第10排的第一个数是46,故50这个数可记作(10,5),则(10,3)表

示的数是48；

③先计算出笫n仃前面共有二=个数，然后得到第n行的第二个数字和最后一个数字.

试题解析：①6,3,14,9；

②（10,5）,48

③•・•第n行前面共有l+2+3+・・・+n-k智4，

，第n行的最后一个数字为#+1+d1=坐»,第n行的第二个数字为：呷1+2=心竺1

2222

16.如图，在数轴上，点人向右移动1个单位到点以点B向右移动（〃+1）（〃为正整数）个单位

得到点C,点A、B、C分别表示有理数〃、b、c.

ABCD

---------------1-----------------------------------

⑴当〃=1时，4、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数.

①数轴上原点的位置可能在（）

A.在点A左侧或在A、4两点之间

B.在点C右侧或在A、3两点之间

C.在点A左侧或在8、。两点之间

D.在点C右侧或在8、。两点之间

②若4、b、C中两个数的和等于第三个数，求。的值.

（2）将点C向右移动5+2）个胆位得到点。，点。表示有理数4若a、b、c、"四个数的积为正数，

且这四个数的和与其中的两个数的和相等，〃为整数.若〃分别取I,2,3,…，80时，对应的〃

的值分别为外,%，%，…，的），求％+%+%+…+%）的值.

【答案】⑴①B：②°=-4

（2）-1720

【分析】（1）①杷〃=1代入即可得出A8=l,BC=2,再根据〃、b、c三个数的乘积为正数即可选择

出答案；②分三种情形构建方程即可解决问题.

（2）依据题意得，b=a+1,c=b+n+1=a+n+2,d=c+n+2=a+2n+4.根据。、b、c、d四个数的积为正

数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，即可得出用含〃的式子表示。，由。为整数，分两

种情况讨论：当n为奇数时;当n为偶数时，得出4/=-2,42=-2,々3=-3,4尸-3,…，。=T1,%=-41,

从而得出4+生+%+…+%=T720.

(1)

①B

把〃=1代入即可得出AB=\,BC=2,

••力、氏c三个数的乘积为负数,

・•・从而可得出在在点C右侧或在小B两点之间;选B.

②/?=a+l,c=a+3

当。+。+1=。+3时，a=2（不满足三个数积为负，舍去）

当a+〃+3=〃+l时，a=-2（不满足三个数积为负，舍去）

当。+1+。+3=。时，a=-4

综上，a=-4.

（2）

依据题意得，b=a+\,c=b+n+\=a+n+2,d=c+n+2=a+2n+4

:八b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，

•••〃、〃为负，c、d为正.（排除四个数同正或同负情况）

，4+c=0或〃+c=0.【排除a+Z?=O,c+d=0,b+d=0（。变分数），a+d=O（。变原点）四

种情况】

n+2fn+3

..〃=---—或a=———；

22

〈a为整数，〃为正整数，

・•・当〃为奇数时，。=一等，

当"为偶数时，。=-4.

2

/.«1=-2,a2=-2,。3=-3,a4=-3,a79=-41,=-41,

q+%+%+…+。80=-1720.

【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数''和"形”结合起来，二者互相补充，

相辅相成，杷很多物杂的问题转化为简单的问颍，在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

17.为美化市容，某广场要在人行雨道上用10x20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出

的一些备选图案如图所示.

图I图2图3

［观察思考］图1次砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块：白砖有12块；以此类推.

⑴［规律总结］图4灰砖有块，白砖有块；图〃灰砖有块时，白砖有块;

（2）［问题解决］是否存在白砖数恰好比灰豉数少I的情形，请通过计算说明你的理由.

【答案】（1）16,20；4〃+4

（2）存在，见解析

【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，

通过图1到图4的数字规律得出图〃白砖和灰砖的数量：

（2）假设存在图〃白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解

证