人教版七年级数学下学期实数复习试题含解析

一、选择题

1.已知阳，吃，…，工刈9均为正数，且满足“=（4+毛+•,+工刈8）（巧+玉++工刈9），

%=（3+/+,+&H9）（W+W++X刈8），则“，N的大小关系是（）

A.M<NB.M>NC.M=ND.M>N

2.如图，数轴上点。表示的数可能是（）

-2-10123

A.6B.%C.VioD.y/5

3.设实数a,b,c,满足a>Z?>c（ac,VO）,且忖<问<|。|,则上一4+卜+4+上一4的最小值

为（）

A.、+；+dB.\b\c.a+bD.-c-a

4.数轴上48,C,。四点中，两点之间的距离最接近于“的是（）

ABCD

i1TlAI1.1.

-4-3-2-10123’

A.点C和点。B.点8和点CC.点A和点CD.点A和点B

5.下列说法中，错误的有（）

①符号相反的数与为相反数；

②当〃工0时，时>0：

③如果“>〃，那么">从；

④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；

⑤数轴上的点不都表示有理数.

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.若厉的整数部分为a,小数部分为b,则a-b的值为（）

A.6-V15B.Vl5-6C.8-V15D.V15-8

7.设n为正整数，且nV而Vn+1,则n的值为（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知0_2，2?_4，23=8,24=16,2s=32.......根据这一规律,2刈9的个位数字

是（）

A.2B.4C.8D.6

9.有一个数阵排列如下:

1247111622...

358121723

69131824

10141925

152026-

2127...

28-

则第20行从左至右第10个数为（）

A.425B.426C.427D.428

10.如图，数轴上。、4、8、C四点，若数轴上有一点点M所表示的数为“，且

W-5|=|〃.d，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（）

COB

A.在八点左侧B.在线段47上C.在线段OC上D.在线段。8上

二、填空题

11.请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：③Jf+23+33

④庐云K不，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值

713+23+33++263=__________•

12.对于这样的等式:若（x+1）5=aox5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+as，则-32a0+16ai-86+4-3-

204+05的值为.

13.对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这

-1+2+34

二1个数中最小的数.例如：M{—1.2,3}=-------------=-,min{-1.2,3}=-1,加果

JJ

M{3,2x+l,4x—l}=min{2,—x+3,5x},那么x=.

14.按-■定规律排列的一列数依次为：-2,5,-10,17,-26,L,按此规律排列下

去，这列数中第9个数及第〃个数（〃为正整数）分别是.

15.用“☆〃定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a+b=a+b+”L

例如：3+2+k3—2|=2

2

从-8,-7,6,5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,中任选两

个有理数做a,b（aob）的值，并计算a5irb,那么所有运算结果中的最大值是.

16.如图所示为一个按某种规律排列的数阵：

第1第1V2

第2行432瓜

第3行Q喜3<10Vnvi2

笫行而VR而4

4后vT«<19v20

根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是.

17.我们可以用符号f（a）表示代数式.当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）=

0.5a；如果a为奇数，/（a）=5a+l.例如：/（20）=10,/（5）=26.设ai=6,。2=/（。1），U=

犬。2）…;依此规律进行下去,得到一列数：01，02,03,为正整数），则2。1-6+03・

04+05-O6+...+O2013-02014+02015=♦

18.将1,垃,百，卡按如图方式排列.若规定（m,〃）表示第m排从左向右第"个

数，如（5,4）表示的数是及（即第5排从左向右第4个数），那么（2021,1011）所

表示的数是

第

第

第

763排

第

万

炉1-

-1

第4排

1万

1

765排

19.计算并观察下列算式的结果："”，，户+2-133.4+23+33+43，…，则

Vl3+234-33++100'="

20.已知行7与VT石互为相反数，则一的值是.

y

三、解答题

21.如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个

面积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

（1）图2中4B两点表示的数分别为,；

（2）请你参照上面的方法：

①把图3中5x1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图3中画出裁剪线，并在图

4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方

形边长都为1,拼接不重叠也无空隙）

图3图4

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数。以及。-3.(图

中标出必要线段的长)

^4~-3-2-1~~6123~V

2a-b(a>b)

22.对于有理数。、b,定义了一种新运算"※”为：。※力=12〃

a--b(a<b)

2

如：5汹=2x5-3=7,悌3=1——x3=-I.

3

(1)计算：①2※(-1)=:②(T)※(-3)=：

(2)若3※相=-l+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x=2,求阳的值；

⑶若An-f+叱-x+l,8=-丁+6/7+2,且整8=-3,求2/+2x的值.

23.我们已经学习了“乘方〃运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算.

定义：如果/=N(a>0,"LN>0),那么b叫做以。为底/V的对数，记作

log“N=b.

例如：因为5=125，所以Iogsl25=3；因为|产=⑵，所以log“121=2.

根据“对数”运算的定义，回答下列问题：

(1)填空：log66=,log；81=.

(2)如果log2(〃L2)=3,求m的值.

(3)对于"对数”运算，小明同学认为有〃logjWV=logaMlog“N(a>0,"1,M>0,N>

0)〃，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以

改正.

24.数学中有很多的可逆的推理.如果1也=〃，那么利用可逆推理，已知〃可求b的运

算，记为〃=/(〃),如l(f=100,

则2=/(100);1。4=10000,14=7(10000).

①根据定义，填空：/(10)=,/(1叫=.

②若有如下运算性质：A〃⑼=/(，〃).

根据运算性质填空，填空：若/(2)=0.3010,则/(4)=：7(5)=；

③下表中与数x对应的户R有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正.

X1.5356891227

/(X)3a-b+c2a-ba+c\+a-b-c3-3a-3c4a-2b3-b-2c'6a—3b

错误的式子是.;分别改为

25.观察下列各式「士衿…再抬…巨滴;…根据上面的等式所反

映的规律，

(2)计算：(1—SI]一/“一薪)

26.给定一个十进制下的自然数工，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每

一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二

数”，记为A/2(x).如(735)=111,M2(561)=101.对于，模二数"的加法规定如下:将两数末

位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定：0与0相加得0;0与1相加得革

与1相加得0,并向左边一位进I.如735661的“模二数〃111、101相加的运算过程如下图所示.

111

+101

1100

根据以上材料，解决下列问题：

⑴%(9653)的值为,%(58)+〃2(~53)的值为_

(2)如果两个自然数的和的“模二数〃与它们的“模二数〃的和相等，则称这两个数“模二相加不

变”.如(124)=l(X),M2(630)=010,0(124)+A72(630)=110,(124+630)=110,

所以M2(124+630)=%(124)+AZ?(630),即124与63()渤足“模二相加不变”.

①判断12,65,97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

②与23“模二相加不变"的两位数有个

27.数学中有很多的可逆的推理.如果10"=〃，那么利用可逆推理，已知〃可求b的运

算，记为b=f(〃)，如IO?=100，

则2=/(100);I04=10000,则4=/(10000).

①根据定义，填空：A1。)=，/”)=

②若有如卜运算性质:/(〃〃?)=./(，〃)+_/(〃)，/=/(«)-/(/«).

根据运算性质填空，填空：若/(2)=0.3010,则/(4)=:/(5)=

③下表中与数X对应的fCO有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正.

X1.5356891227

/(X)3a-b+c2a-ba+c\+a-b-c3-3a-3c4a-2b3-b-lc6a-3b

错误的式子是.:分别改为

28.先阅读材料，再解答问题：

我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力

题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥

妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：

(1)我们知道凯丽=10，初OOOOOO=100，那么，请你猜想：59319的立方根是

位数

(2)在自然数1到9这九个数字中，『=1,33=275=,73=，

93=.

猜想：59319的个位数宇是9,则59319的立方根的个位数字是.

(3)如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而3，=27,4,=64,由此可确定59319

的立方根的十位数字是,因此59319的立方根皓.

(4)现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗？

29.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

(1)^=1.414,7200^14.14,720000^141.4....

xAI55ao.1732,x/3®1.732,x/300«17.32,……

由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动

______位.

(2)已知厉=3.873,疝才1.225，贝U才_____：J515a______.

(3)5=1，V1000=10,，000000=100,…

小数点的变化规律是.

(4)已知师仁2.154,。之一0.2154,贝ij)'=.

30.规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2",(-3)

V(-3)V(-3)V(-3)等.类比有理数的乘方，我们把"2+2记作2③，读作“2的圈3次

方”,(-3)-T(-3)V(-3)V(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次力"，一般地，把

(a。。)记作a篮读作“a的圈n次方〃.

〃个a

(初步探究)

(1)直接写出计算结果：2③=_,(1)⑤:―；

(2)关于除方，下列说法错误的是—

A.任何非零数的圈2次方都等于1；

B.对于任何正整数n,1@1；

C.3④=4③；

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

(深入思考)

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理

数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

(1)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幕的形式.

(-3)@=_：5⑥=—：(多⑩:一.

(2)想•想：将个非零有理数a的圈n次方写成幕的形式等于—：

（3）算一算：④x（-2）⑤-（-1⑥+3?

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一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

设〃=内+9++勺018，夕=勺+%，+加8，然后求出M-N的值，再与0进行比较即可.

【详解】

解：根据题意，设〃=为+占++/018，"=/+&+鼻18，

p_q=X\,

...M=（与+玉++.4JiX+玉+…+a】9）=〃・（4+工沏9）=pq+p・59；

N=（5+M++鼻|9）（毛+$++/躇）=（〃+人g9）・4=%+47刘9；

:.M_N=pq+p.X2oi9_（pq+q.X2o]9）

=不刈9・（〃一乡）

=42019•X|>°；

：.M>N；

故选：B.

【点睛】

本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大

小.

2.D

解析：D

【分析】

先对四个选项中的无理数进行估算，再根据P点的位置即可得出结果.

【详解】

解：Vl<x/2<2,我=2,3<V10<4,2V逐V3,

根据点P在数轴上的位置可知：点P表示的数可能是v/5,

故选D.

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算，能够正确估算出无理数的范围是解决本题的关键.

3.C

解析：C

【分析】

根据acVO可知，a,c异号，再根据a>b>c,以及同〈网<14,即可确定a，-b,c在数

轴上的位置,而卜-°|+卜+团+卜-式表示X到0,-仇c三点的距离的和，根据数轴即可

确定.

【详解】

解：*/ac<0,

a,c异号，

a>b>c,

a>0,c<0,

XV\c\<\b\<\a\t

b>0,

/.a>b>O>c>-b

又二卜-0|+卜+6|+卜/表示*到0,-b,c三点的距离的和,

当x在c时，|x-a|+|x+b|+|x-c|最小，

最小值是a与-b之间的距离，即a+b

故选：C.

【点睛】

本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定。，-b,c之间的大小关

系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度.

4.A

解析：A

【分析】

先估算出遥的范围，结合数轴可得答案.

【详解】

解：•「4V6V9,

2<>/6<3,

「•两点之间的距离最接近于遥的是点C和点D.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键.

5.D

解析:D

【分析】

根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可.

【详解】

解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3,因此①不正确；

a#0,即a>0或aVO,也就是a是正数或负数，因此|a|>0,所以②正确；

例如」>-3,而(；)2<(-3)2,因此③不正确；

例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5V1,因此④不正确；

数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；

综上所述，错误的结论有：①③④，

故选：D.

【点睛】

本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提.

6.A

解析：A

【分析】

先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得.

【详解】

9<15<16,

:.炳<仄<屈，即3<岳<4,

a=3,〃=V15—3,

.1.«-/?=3-(>/15-3)=6-715,

故选：A.

【点睛】

本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关健.

7.D

解析：D

【分析】

首先得出闹〈而〈而，进而求出而的取值范围，即可得出n的值.

【详解】

解：:国〈屈〈咽,

8<765<9,

,/n<>/65<n+l,

n=8,

故选；D.

【点睛】

此题主要考查了估算无理数，得出朝〈病〈场1是解题关键.

8.C

解析：C

【分析】

通过观察2=2，22=4，2=8,24=16，，2$=32…知，他们的个位数是4个数一循

环,2,4,8,6,…因为2019+4=504...3,所以2刈的个位数字与2?的个位数字相同是

8.

【详解】

解：仔细观察2=2，2?=4，2,=8,2'=16,,25=32...；可以发现他们的个位数是4

个数一循环，2,4,8,6,...

,/2019+4=504...3,

.•・2刈9的个位数字与少的个位数字相同是8.

故答案是：8.

【点睛】

本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4

个数一循环，2,4,8,6,....

9.B

解析：B

【解析】

试题解析：寻找每行数之旬的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，

便知第20行第一个数为210,而每行的公差为等差数列，

则第20行第10个数为426,

故选B.

10.D

解析：D

【分析】

根据A、C、0、B四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案.

【详解】

:|m-5|表示点M与5表示的点B之间的距离，|m-c|表示点M与数c表示的点C之间的

距离，|m-5|=|m-c|,

/.MB=MC.

.•.点M在线段OB上.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键.

二、填空题

11.351

【分析】

先计算题十中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的

的值.

【详解】

=1

=3

=6

=10

发现规律：1+2+3+

1+2+3=351

故答案为:351

【点

解析:351

【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值.

【详解】

#=1

#+23=3

13+23+33=6

713+23+33+43=10

发现规律：Vl3+23+33+--+n3=1+2+3+-+n

.二#+23+33+..+26,=1+2+3+26=351

故答案为:351

【点睛】

本题考查找规律，解题关健是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行爱杂算式

的求解.

12.-1.

【分析】

根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可.

【详解】

解：(x+1)5=x5+5x4+10x3+10x2+5x+l,

,/(x+1)5=a0x5+aIx4+a2x3+a3x2+

解析：-1.

【分析】

根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可.

【详解】

解：(x+1)5=xs+Sx4+10x3+10x2+5x+1,

(x+1)5=aoxs+aix4+a2X3+a3X2+aAX+Q3»

ao=l,ai=5,02=10,03=10,。4=5,as=l»

把00=1,6=5,02=10,(73=10,04=5,。5=1代入-32。0+16。1-8。2+4。3-2。4+。5中，

可得：-32ao+16ai-8。2+4。3-2。4+。5=-32+80-80+40-10+1=-1,

故答案为：-1

【点睛】

本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得G0,6,6,6,04,重的值.

13.或

【详解】

【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x4-1,4x-l}=l+2x,然后再根据

min{2,-x+3,5x}的规则分情况讨论即可得.

【详解】M{3,2x+l,4x-l}==2x+l

解析：J或g

【详解】

【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x4-1,4x—l)=l+2x,然后再根据riiin(2,—x+

3,5x}的规则分情况讨论即可得.

【详解】M{3,2x+l,4X_1}=3+2X+；+4XT=2X+1,

*.*M{3,2x+l,4x—l}=min{2,—x+3,5x},

・••有如下三种情况：

①2x+l=2,x=g,此时rrin{2,—x+3,5x)=min{2,,—)=2,成立；

7710

②2x+l=-x+3,x=—,此时min{2,—x+3,5x}=min{2,—,—}=2,不成立；

333

।855

③2x+l=5x,x=-,此时min{2,—x+3,5x}=min{2,-,-}=-,成立，

JJJJ

1f1

x=1或§，

故答案为;或;.

4J

【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问

题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解.

14.；

【详解】

观察这•列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有，

又因为，，，，，所以第n个数的绝对值是，

所以第个数是，第n个数是，故答案为-82,.

点睛：本题主要考查了有理数的混合运

解析：-82；(-l)M(n2+l)

【详解】

观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(-1)",

又因为2=V+1，5=22+1,10=32+l,17=42+1,L,所以第n个数的绝对值是

+1，

所以第9个数是(-1)工(92+1)=-82,第n个数是(-1)"«2+1),故答案为-82,

点睛：本题主要考杳了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系

列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和

序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律.

15.8

【解析】

解：当a>b时，b==a,a最大为8；

当aVb时，a☆b==b,b最大为8,故答案为：8.

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

解析：8

【解析】

解：当时，g6=也也劭=a,。最大为8；

2

当a<b时，a^b=a+h+(l~h][=b,b最大为8,故答案为：8.

2

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.【分析】

观察数阵中每个平方根下数字的规律特征，依据规律推断所求数字.

【详解】

观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连

续的正整数的平方根，而每一行的个数依次为2、4

解析：底

【分析】

观察数阵中每个平方根卜数字的规律特征，依据规律推断所求数字.

【详解】

观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数

的平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10…则归纳可知，第7行最后一个数是

A，则第7行倒数第二个数是后.

【点睛】

本题考查观察与归纳，要善于发现数列的规律性特征.

17.7

【分析】

本题可以根据代数式f(a)的运算求出al,a2,a3,a4,a5,a6,a7的值，

根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出

变化规律，依照规律即可得出结论

解析：7

【分析】

本题可以根据代数式/(。)的运算求出02,03,04,05,熊，s的值，根据规律找出

部分小的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可

得出结论.

【详解】

解：观察，发现规律:01=6,02=/（01）=3,03=/（02）=16,04=/（03）=8,05=/（。4）=4,

06=/（05）=2,d7=f（06）=1,08=/（07）=6>...»

数列6,G2,6,04...（n为正整数）每7个数一循环，

。广。2+。3-。4+…+。13-。14=0：

•「2015=2016-1=144x14-1,

=01+07=6+1=7.

故答案为7.

【点睛】

本题考查了规律型中的数字的变化类以及代数式求值，解题的关键是根据数的变化找出变

换规律，并且巧妙的借助了。广。2+。3-。4+...+。13-。14=0来解决问题.

18.1

【分析】

所给一系列数是4个数一循环，看是第儿个数，除以4,根据余数得到相应循

环的数即可.

【详解】

解：前2020排共有的个数是：，

表示的数是第个数，

9

第2021排的第1011个数为1.

解析：1

【分析】

所给一系列数是4个数一循环，看（2021.1011）是第几个数，除以4,根据余数得到相应循环

的数即可.

【详解】

解：前2020排共有的个教是：1+2+3+4+……+2020=白丝詈玛=2041210,

.••（2021,1011）表示的数是第2041210+1011=2042221个数,

2042221=510555x4+1,

・•・第2021排的第1011个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关

键.

19.5050

【分析】

通过对被开方数的计算和分析，发现数字间的规律，然后利用二次根式的性质

进行化简计算求解.

【详解】

解：第1个算式：，

第2个算式：，

第3个算式：，

第4个算式：，

•••,

第

解析：5050

【分析】

通过对被开方数的计算和分析，发现数字间的规律，然后利用二次根式的性质进行化简计

算求解.

【详解】

解：第1个算式：杆=r=1，

第2个算式：Jr+2：=内=J(i+2『=1+2=3,

第3个算式：4+23+32=屈=，(1+2+3『=1+2+3=6,

33222

第4个算式：71+2+3+4=Vi00=>/(l+2+3+4)=1+2+3+4=10，

第〃个算式：4+个+…+〃2=J1+2+3+…=1+2+3…

.,.当〃=100时，Vl3+234-33+...+1002=1+2+3+…+10()=+=5050,

2

故答案为：5050.

【点睛】

本题考查了有理数的运算，二次根式的化简，通过探索发现数字间的规律是解题关键.

20.【分析】

首先根据与互为相反数，可得+=0,进而得出，然后用含的代数式表示，再代入

求值即可.

【详解】

解：•••与互为相反数，

+=0,

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了实数

解析：

【分析】

首先根据疗K与归了互为相反数，可得犷万+行工=0,进而得出y-i+i-2x=o,

然后用含X的代数式表示y,再代入求值即可.

【详解】

解：...折万与江石互为相反数，

了.^[y-i+y/\-2x=0,

y-\+l-2x=0

y=2x

xx1

*'I="

,•），2x2.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得y与％之间的关系是解题

关键.

三、解答题

21.（1）-夜，五;（2）①图见解析，石；②见解析

【分析】

（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数

（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；

（3）从原点开始画一个长是2,高是1的长方形，对角线长即是。，再用圆规以这个长度

画弧，交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N.

【详解】

（1）由图1知，小正方形的对角线长是

.••图2中点A表示的数是一板，点B表示的数是行，

故答案是：-叵,V2;

（2）①长方形的面枳是5,拼成的正方形的面积也应该是5,

「•正方形的边长是石，

如图所示：

图3图4

故答案是；石;

②如图所示：

-4-3-2TN012M34

【点睛】

本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求

解.

22.(1)①5；@-2:(2)1；(3)16.

【分析】

⑴根据题中定义代入即可得出；

⑵根据％=2,讨论3和阳的两种大小关系，进行计算；

⑶先判定A、B的大小关系，再进行求解.

【详解】

(1)根据题意：:2>-1,

2※㈠)=2x2_(_l)=5,

,/-4<-3,

2

(-4)※(-3)=-4-?(-3)=-4+2=-2.

(2),/x=2,

3※/〃=—1+3x2=5,

①若3>〃?，

则2x3-/〃=5,解得加=1,

②若3<〃？，

2

则3-针加=5,解得/〃=-3(不符合题意)，

m=1.

(3)A—B=(-/+4x?-x+1)-/+6.v2-x+2)=-lx2—1<0,

•••A<13,

22/v

=A—B=-V+4x2-x+1—(―"+6x“-x+2)=-3,

33

得1+、-8=0,

「•2A-3+2X=2X8=16.

【点睛】

本题考查r一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键.

23.(1)1,4；(2)m=10；(3)不正确，改正见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据新定义由6】=6、34=81可得Iog66=l,log381=4；

(2)根据定义知m-2=23,解之可得；

(3)设CJX=M,ay=N,则log〃M=x、logJVw，根据。*・仆=。*+，知ax+y=M・N,继而得

\ogaMN=x+y,据此即可得证.

4

试题解析:解：(1),/61=6,3=81,Iog66=l,log381=4.故答案为:1,4；

3

(2),/log2(m-2)=3,/.m-2=2,解得：m=10；

y

(3)不正确，设0*=乂，a=N,则log0M=x,logo/V=y(a>0,QHI,M、N均为正

xyx+：ry

数).a»a=a,a^=M»N,\ogaMN=x+y,B|J\ogaMN=\ogaM+\ogaN.

点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关健是明确题意，可以利用新定义进

行解答问题.

24.①1,3；@0.6020；0.6990；(3)/(1.5),/(12)；f(1.5)=3a-6»c-l,/(12)=2-b-

2c.

【分析】

①根据定义可得：/(IO6)=b,即可求得结论；

②根据运算性质：f(mn)=f(m)+f(n),/(—)=/(n)-f(/n)进行计算；

tn

③通过9=32,27=33,可以判断一(3)是否正确，同样依据5=与，假设/(5)正确，可以

求得f(2)的值，即可通过f(8),f(12)作出判断.

【详解】

解：①根据定义知:/(IO。)=b,

：.f(10)=1,

f(103)=3.

故答案为：1，3.

②根据运算性质，得：/(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=2/(2)=0.3010x2=0.6020,

f(5)=/(y)=/(10)-f(2)=1-0.3010=0.6990.

故答案为：0.6020；0.6993.

③若/(3)工2。力，贝Ijf(9)=2/(3)工4。-23

f(27)=3/(3)x6a-3b,

从而表中有三个对应的/[x)是错误的，与题设矛盾，

A/(3)=2。力；

若/(5)Ha+c,则/(2)=1-/(5)xl-a-c,

(8)=3f(2)H3-3G-3C,

/(6)-f(3)+/(2)^1+a-b-c,

表中也有三个对应的/(x)是错误的，与题设矛盾，

f(5)=a+c,

.,.表中只有f(L5)和f(12)的对应值是错误的，应改正为:

3

/(1.5)=/(^)=/(3)-/(2)=(2a-b)-(1-a-c)=3a-b+c-l,

/(12)=/(等)=2/(6)-/(3)=2(1+o-b-c)-(2a-d)=2-b-2c.

・「9=32,27=33,

：.f(y)=2/(3)=2(2a-D)=4a-2b,f(2/)=3/(3)=3(2a-b)=ba-3b.

【点睛】

本题考查了寤的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它

们转化为我们所熟悉的运算.

495120182020…、1010

25.(1)—x—；----x----；(2)-----.

5050201920192019

【分析】

(1)根据已知数据得出规律，1一5二(1一：)(|+：｝进而求出即可；

(2)利用规律拆分，再进一步交错约分得出答案即可.

【详解】

=­X—X—X—X—X—X.............X---------------X---------------

22334420192019

12020

=_x____

~22019

1010

-2019,

【点睛】

此题主要考查了实数运算中的规律探索，根据已知运算得出数字之间的变化规律是解决问

题的关键.

26.(1)1011,1101；(2)①12,65,97,见解析，②38

【分析】

(1)根据“模二数〃的定义计算即可；

(2)①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算12,65,97和12+23,65+23,97+23的

值，即可得出答案

②设两位数的十位数字为a,个位数字为b,根据a、b的奇偶性和“模二数〃和模二相和不

变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变〃的两位数的个数

【详解】

解:⑴A/2(9653)=1011,M2(58)+M2(9653)=10+1011=1101

故答案为：1011,1101

⑵①m(23)=01,%(12)=10,

(12)+(23)=11,(12+23)=11

.•.%(12)+%(23)=%(12+23),

.-.12与23满足“模二相加不变〃.

vM,(23)=01,M2(65)=01,,

%(65)+%(23)=10,%(65+23)=00

M2(65)+M2(23)工％(65+23),

.•.65与23不满足“模二相加不变〃.

M2(23)=01,M,(97)=ll,

%(97)+%(23)=100,%(97+23)=100,

M2(97)+M?(23)=M2(97+23),

97与23满足“模二相加不变〃

②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a,个位数字为b,lWaW7,0<b<7；

当a为偶数，b为偶数时“2(10。+力)=00,此(23)=01,

但(10〃+〃)+%(23)=01,%(104+〃+23)=%(10(4+2)+(〃+3))=01

••・与23满足”模二相加不变”有12个(28、48、68不符合)

当a为偶数，b为奇数时％(10〃+力)=01,%(23)=01,

M2(l0a+b)+M2(23)=10,M2(]0a+b+23)=M2(10(a+2)+(b+3))=00

••・与23不满足“模二相加不变〃.但27、47、67、29、49、69符合共6个

当a为奇数，b为奇数时%(10〃+力)=11,%(23)=01,

.・.Af2(10a+Z?)+A/2(23)=100,A/2(10a+Z?+23)=A/2(10(a+2)+(Z?+3))=10

.,•与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合

当a为奇数，b为偶数时％(10。+与=10,%(23)=01,

M2(106/+/?)+/W2(23)=ll,Af2(10«+/?+23)=M2(10(6z+2)+(/?4-3))=ll

•••与23满足”模二相加不变”有16个,(18、38、58不符合)

当此两位数大于等于77时，符合共有4个

综上所述共有12+6+16+4=38

故答案为：38

【点睛】

本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类

问题的方法.能够理解定义是解题的关键.

27.①1,3：(2)0.6020：0.6990：③f(1.5),f(12)：/(1.5)=3a-b+c-l,f(12)=2-b-

【分析】

①根据定义可得：f(10。)=b,即可求得结论；

②根据运算性质：f(mn)=f(m)+f(n),/(—)=/(n)-f(.m)进行计算；

in

③通过9=32,27=33,可以判断了(3)是否正确，同样依据5=与，假设/(5)正确，可以

求得/(2)的值,即可通过/(8),/(12)作出判断.

【详解】

解：①根据定义知："IO。)=b,

：.f(10)=1,

/do3)=3.

故答案为：1，3.

②根据运算性质，得：f(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=2/(2)=0.3010x2=0.6020,

f(5)=/(y)=/(10)-f(2)=1-0,3010=0.6990.

故答案为：0.6020；0.6993.

③若/(3)工2。-仇贝ijf(9)=2f(3)h4a-2b,

f(27)=3/(3)工6a-3b,

从而表中有三个对应的fix)是错误的，与题设矛盾，

/./(3)=2a-b；

若/(5)HG+C,则/(2)=l-f(5)H1-G-C,

(8)=3/(2)#3-3a-3c,

f(6)=/(3)+/(2)^1+a-b-c,

表中也有三个对应的f(x)是错误的，与题设矛盾，

:.f(5)=a+c,

・•・表中只有/(1.5)和/(12)的对应值是错误的，应改正为：

3

f(1.5)=/(—)=/(3)-/(