人教版七年级数学上册专题03绝对值的几何意义（解析版）

专题03绝对值的几何意义

类型一求两个绝对值和的最小值

1.数学实验室：

AB

-------11~>

ao---------h

我们知道，在数轴上，|。|表示数。的点到原点的距离，这是绝对值的儿何意义.进一步地，数轴上

的两个点A、B,分别表示有理数。、b,那么A、B两点之间的距离AB=|a-b|.利用此结论，回答

以下问题：

(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和一5的两点之间的距离是.

(1+1分，注意写出最后结果)

(2)式子|x+2|可以看做数轴上表示x和的两点之间的距离.

(3)式子|x+2|+|x-3|的最小值是.

(4)当|x+2|+|x-3|取得最小值时，数x的取值范围是.

【答案】(1)4,

(2)6；

(3)-2；

(4)5.

(5)2-

【解析】

【分析】

根据绝对值的定义进行填空即可.

【详解】

解：(1)数轴上表示1和5的两点的距离是|1-5卜4,数轴上表示1和-5的两点之间的距离是|1=

6：

故答案为4,6：

(2)0|x+2|=|x-(-2)|,

团式子|x+2|可以看做数轴上表示x和.2的两点之间的距离；

故答案为-2；

(3)当x在数轴上表示-2和3之间时,

此时|x+21+|x—31的最小值为5;

故答案为5.

(4)当x在数轴上表示-2和3之间时，

此时|x+2|+|x-3|的最小值为5

即当|x+2|+|x—3|取得最小值时，数x的取值范围是-24x43.

故答案为-243.

2.我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴

上两个点A、B,分别用a和b表示，那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|利用此结论，回答

以下问题：

⑴数轴上表示3和7的两点之间的距离是,数轴上表示・3和的两点之间的距离

是，数轴上表示2和-3的两点之间的距离是；

(2)数轴上表示x和-5的两点A、B之间的距离是,如果|AB|=3,那么x的值

为;

⑶当代数式|x-l|+|x-3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？

⑷已知点A在数轴上对应的数是a,点B在数轴上对应的数是b,且|a+4|+(b-1)2=0,设点P在数

轴上对应的数是X,当|PA|-|PB|=2时，求x的值.

【答案】(1)4；4；5；(2)|x+5]；-8或-2；⑶x的范围是—3KxK1；最小值是4；⑷x的值为-；.

【解析】

【分析】

(1)(2)直接根据数轴上力、4两点之间的距离|40=|〃-5].代入数值运用绝对值即可求任意两

点间的距离.

(3)根据|x-a|表示数轴上)与。之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当

x在1和3之间时有最小值.

(4)应考虑到力、8、P三点之间的位置关系的多种可能解题.

【详解】

(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7・3|=4,数轴上表示-3和・7的两点之间的距离是

1-7-(-3)|=4.数轴上表示2和・3的两点之间的距离是|2-(-3)|=5.

(2)数轴上表示x和-5的两点4和8之间的距离是|x-(-5)|=|.r+5|,如果|/5|=3,那么x为

-8或-2.

(3)代数式|x-l|+|x+3|表示在数轴上到1和-3两点的距离的和，当x在3和1之间时，代数

式取得最小值，最小值是-3和1之间的距离4.

故当・3£。1时，代数式取得最小值，最小值是4.

(4)①当Q在点力左侧时，|以|-|P4|=一(|P5|-\PA\}=-|J^|=-5*2.

②当尸在点8右侧时,\PA\-|P5|=|Jfi|=5#2,13上述两种情况的点尸不存在.

③当户在力、4之间时，|以|=|尤-(-4)|=x+4,\PB\=\x-1|=1-x.

0|/M|-|TO|=2,Sv+4-(1-x)=2,ar=-1,即x的值为一；.

故答案为(1)4；4；5.

(2)|x+5|：-8或・2.

(3)x的范围是・3女41；最小值是4.

(4)x的值为-g.

【点睛】

本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出

的距离的定义，本题属于基础题型.

3."数形结合〃是重要的数学思想.如：|3-(-2)|表示3与-2差的绝对值，实际上也可以理解为3

与-2在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步地，数轴上两个点48,所对应的数分别用a,

人表示，那么48两点之间的距离表示为=4.利用此结论，回答以下问题：

1IIIIIIIIII,

-5-4-3-2-1012345

(1)数轴上表示-2和5两点之间的距离是.

(2)若|x-=3,则X=.

(3)若x表示一个有理数，x+；+3-4|的最小值为.

(4)已知数轴上两点4、8对应的数分别为-2,8,现在点力、点4分别以3个单位长度/秒和2

单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点8之间的距离为2个单位长度时，求点力所对应的

数是多少？

此时：x+g+k-4|的值最小，为4T.

故答案为:4—.

(4)如图，A向右移动后对应的数为：-2+3/,〃向右移动后对应的数为：8+2，，

-------2+3/8+2/

•----•~~•----------------------••-----►

-20A8B

而移动后：AB=2,

.\|8+2r-(-2+3/)|=2,

,-.|10-z|=2,

10-1=2或1。-，=-2,

解得：f=8或f=12.

当，=8时，A向右移动后对应的数为：-2+3/=-2+24=22,

当1=12时，A向右移动后对应的数为：-2+3/=-2+36=34.

【点睛】

本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建'I绝对值方程，一元一次方程的解法，掌

握数形结合的方法解题是解本题的关键.

4.认真阅读下面的材料，完成问题.

在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离.如|5|意义为表示5的

点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5-0|,即5到。点的距离.又如|5-3|表示5、3在数

轴上对应的两点之间的距离；|5-(-3)|表示5、一3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知

道|5一(-3)|=|5+3|=8.即5与一3相距8个单位长度.

一般地，点4、4在数轴上分别表示有理数八b,那么力、B之间的距离可表示为|。一回.

(1)利用上面的知识回答：点力、8在数轴上分别表示有理数一5、1,那么力到8的距离可表示

为，这个距离的计算结果是;

(2)利用上面的知识回答：若以一1|=2,则x=:

(3)利用上面的知识回答：|x—2|+|x+l|的最小值是.

【答案】(1)|1-(-5)|,6：(2)-1或3；(3)3.

【解析】

【分析】

(1)根据数轴上两点距离公式表示和计算即可;

(2)根据点到1的距离等于2,即可找出x=-l或3即可;

(3)根据条件化去绝对值当—2时，|x-2|+|x+l|=2x-123,-KxV2时,|x-2|+|x+l|=3,当xV

-1时，|x-2|+|x+l|=12i>3即可.

【详解】

解：(1)|1-(-5)|=|1+5|=6；

故答案为：|1-(-5)|,6；

(2)团|3-1|=2,

取=3,

0|-1-1|=2,

av=-1,

0|x-l|=2,产-1或3,

故答案为-1或3；

(3)当也2时,|x-21+1A+11=x-2+x+l=2r-l>3,

-19<2时，|x-2|+|x+l|=2-.v+x+l=3,

当xV-1时，|x-2|+|x+l|=2-x-x-l=l-Zt>3,

|x-2|+|x+l|的最小值是3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，

掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解题

关键.

5.我们知道，1。1可以理解为它表示：数轴上表示数。的点到原点的距离，这是绝对值的

几何意义.进一步地，数轴上的两个点AB,分别用数。力表示，那么48两点之间的距离为

\AB\=\a-b\t反过来，式子I。-川的几何意义是：数轴上表示数。的点和表示数〃的点方间的距

离.利用此结论，回答以下问题：

(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是,数轴上表示数7的点和表示数

-3的点之间的距离是.

(2)数轴上点A用数〃表示，若1。1=5,那么”的值为.

(3)数轴上点A用数。表示：

①若|a-3|-5,那么。的值是.

②当|a+2|+k-3卜5时，数〃的取值范围是,这样的整数，有个.

③必-3|+"+2017|有最小值，最小值是.

【答案】(1)5；2；(2)5或-5；(3)①一2或8；②一2工。43,6；③2020.

【解析】

【分析】

(1)根据两点之间的距离公式进一步计算即可；

(2)根据绝对值的定义求解即可；

(3)①利用绝对值的定义可知。-3=5或-5,然后进一步计算即可；②1。+2|+|〃-3|=5的意义

是表示数轴上到表示-2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可：(3)

修-3|+|.+2017|是表示数轴上表示3与表示-2017的点的距离之和，然后进一步求解即可.

【详解】

(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：8-3=5；

数轴上表示数T的点和表示数-3的点之间的距离是：-I-(-3)=2,

故答案为：5,2；

(2)若I〃1=5,则a=5或一5,

故答案为：5或-5：

(3)①若|。-3|=5,则4-3=5或-5,

13a=8或一2，

故答案为：-2或8；

②[a|a+2|+|a-3|=5的意义是表示数轴上到表示_2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，

团一24。43,其中整数有一2、一1、0、1、2、3共6个，

故答案为：-2<«<3,6：

③田|。-3|+|〃+2017|是表示数轴上表示3与表示-2017的点的距离之和，

团当一2017«。43时，|a-3|+|a+2U17|有最小值,

此时最小值为：3-(-2017)=2020,

故答案为:2020.

【点睛】

本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

类型二求多个绝对值和的最小值

6.我们知道，时表示数。对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两

个点A、B分别表示数。、b，那么A6=|O-4.利用此结论，回答卜列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,

数轴上表示1和-3的两点之间的距离是一：

(2)数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是_,如果A4=2,那么％的值为；

(3)写出k+1|+卜+3|表示的几何意义：,该式的最小值为：

(4),十1|十,十2|十卜•十3|的最小值.

【答案】⑴3,3,4；(2)k+1|,1或-3；(3)点x到-1的距离与点x到一3的距离之和，2；(4)

2

【解析】

【分析】

(1)结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；

(2)根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；

(3)根据数轴、绝对值的性质，对x的取值分类计算，即可完成求解；

(4)结合(3)的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案.

【详解】

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|2-5|=卜3|=3；

数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：卜2)-(-5)卜卜2+5|=3；

数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：卜(-3)|=|1+3|=4；

故答案是：3,3,4；

(2)数轴上表示x和-1的两点A、8之间的距离是：卜-(-1)|=k+1|；

团A3=2

a|x-(-i)|=|x+i|=2

回工=1或-3

故答案为：|x+l|,1或-3

(3)k+l|+|x+3|表示的几何意义：点x到-1的距离与点x到-3的距离之和；

当.KV-3时，|x+l|+|x+3]>2

当一3Kx4-l时，|x+l|+|x+3|=-x-l+x+3=2

当x>—l时，|x+l|+|x+3|>2

回x+l|+|x+3|的最小值为：2

故答案为：点x到T的距离与点x到-3的距离之和，2；

(4)结合(3)的结论，当时，卜+1|+卜+3|的最小值为：2

回x+1|+|x+2|+|x+3]=2+|x+2]

当x=-2时，卜+2|取最小值，即卜+2|=0

0|x+l|+|x+2|4-|x4-3|=2+0=2

0|X+1|+|X+2|+|X4-3|的最小值为:2

故答案为：2.

【点睛】

本题考杳了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解.

7.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点

之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道|4|=|4-0|,它的几何意义是数轴上表示4的

点与原点(即表示0的点)之间的距离，又如式子17-3|,它的几何意义是数轴上表示数7的点与

表示数3的点之间的距离.也就是说，在数轴上，如果点4表示的数记为。，点8表示的数记为6,

则48两点间的距离就可记作

回答下列问题：

⑴几何意义是数轴上表示数2的点与数-3的点之间的距离的式子是;式子1。+5|的几何意

义是:

⑵根据绝对值的几何意义，当|〃—2|=3时，〃?=：

⑶探究：1机+1|+1机-9]的最小值为,此时机满足的条件是；

⑷।利+11+1,〃―91+1机-161的最小值为,此时m满足的条件是.

【答案】⑴|2+3|或|2-(-3)|；数轴上表示数〃的点与数2的点之间的距离.

(2)-1或5

(3)10,

(4)17,〃？=9

【解析】

【分析】

(1)根据距离公式及定义表示即可；

(2)分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；

(3)利用数形结合思想，画数轴求解即可；

(4)利用数形结合思想，画数轴求解即可.

⑴

解：①在数轴上的意义是表示数2的点与表示数-3的点之间的距离的式子是|2-(-3)|

故答案为：12一(—3)|=|2+3|；

②团|〃+5卜底(-5)|,

团M+5|在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离.

故答案为：表示数。的点与表示数-5的点之间的距离.

⑵

解：呼〃-2|表示数”到2的距离，画数轴如下：

-----•---------------•---------------•----►

-2-101234S

当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5.符合题意：

当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1,符合题意：

故答案为：-1或5；

⑶

解:0|帆+1|+帆-9|表示数"［与-1,9的距离之和，画数轴如下：

------•----------------------------■~~~►

・10I234S6789

根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-(-1)=10,

此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，

团一1WW9；

故答案为：10、

解；根据题意，画图如下,

•10I23467g910111213141$16

根据两点之间线段最短，：表示点与16表示点的最短距离为16-(-1)=17,

此时动点在-1表示点与16表示点构成的线段上，旦到9表示的点的距离为0,

团〃1=9；

故答案为：17、m=9.

【点睛】

本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结

合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题.

8.我们知道，在数轴上，|。|表示数。到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上

两个点力、B,分别用mb表示,那么/、B两点之间的距离为:AB=\a-b\.利用此结论，回答

以下问题：

(1)数轴上表示-20和-5的两点之间的距离是.

(2)数轴上表示x和-1的两点力，8之间的距离是.

(3)式子|x+l|+|x-2|+|x-3|的最小值是.

(4)结合数轴求|x-”+|x|+|x+2|+|x-4|的最小值为,此时符合条件的整数x

为.

(5)结合数轴求4|x-l|+|x|+3|x+2|+2|x-4|的最小值为，此时符合条件的整数x

为.

(6)结合数轴求1、-1|-14-3|的最小值为,最大值为.

【答案】(1)15；(2)|x+l|；(3)4；(4)7；0,1;(5)16：1；(6)-2；2.

【解析】

【分析】

(1)利用两点距离公式-5-(-20)计算即可；

(2)利用两点距离公式|*(-1)|计算即可;

(3)分当K-1当-1VK2,当2VZ3,当谑3区间化去绝市值，合并同类项即可；

(4)分当粹23-2<v<0,当的g,当。“，当立4区间化去绝对值，合并同类项.再确定

区间的代数式最小值即可；

(5)分当XS-2,当-2女$0,0<x<l,当1口$4,当后4区间化去绝对值，合并同类项，再确定

区间的代数式最小值即可；

(6)分区间化去绝对值当公1,|“一1|一比一3|二-2,当1^3,|x-l|-|x-3|=2x-4>-2,当立3,

|不一1|一|工一3|=2即可.

【详解】

解：(1)-5-(-20)=-5+20=15,

故答案为15；

(2)|x-(-l)|=|x+l|,

故答案为:|.v+l|；

(3)当理-1,|x+l|+|x-2|+|x-3|=-x-l-x+2-x+3=-3x+4^7,

当-IV烂2,|x+l|+|x-2|+|x-3|=x+l-x+2-x+3=-x+6“，

当2<x<3,|A+1|+|X-2|+|x-3|=x+l+x-2-x+3=x+2>4,

当x>3,\x+l|+|x-2|+|x-3|=x+l+x-2+x-3=3x-4>5,

式子|x+l|+|x-2|+|x-3|的最小值是4,

故答案为4；

(4)当x4-2,|X-I|+|X|4-|.V+2|+|X-4|=I-X-X-X-2+4-X=3-4X>1I,

3-2<r<0,|x-l|4-|X|+|X+2|4-|X-4|=1-X-X4-X+2+4-X=7-2X>7

当0<x<l,|x-l|4-|X|+|X+2|+|X-4|=I-X+X+X4-2+4-X=7

当1匕34,|x-1|+|X|+|X+2|+|X-4|=X-1+X+X+2+4-J=5+2X>7

当x>4,||X-1|+|X|+|X+2|4-|X-4|=X-1+X+X+2+JT-4=4.V-3>13

回|X-1|+|X|+|X+2|+|X-4|的最小值为7,符合条件的整数x为0,1,

故答案为：7；0,1；

(5)当入&2,4|X-1|4-|X|4-3|X+2|+2|X-4|=4-4X-X-3X-6+8-2X=6-I0X>26,

当-2型0,4|x-l|+|x|+3|x+2|+2|x-4|=4-4x-x+3x+6+8-2x=18-4x218

当0V41,4|x-l1+1x1+31x4-21+2|X-4|=4-4X+X+3X+64-8-2X=18-2X>18

当l<r<4,4|x-l|+|x|+3|x+2|+2|.r-4|=4x-4+x+3x+6+8-2x=10+6x>16

当x>4,|4|x-l|+|x|+3|x+2|+2|x-4|=4x-4+x+3x+6+2x-8=10x-6>36

削x-l|+|x|+|x+2|+|x-4|的最小值为16,符合条件的整数x为1,

故答案为16；1；

(6)当理1,|x-l|-|x-3|=l-x-(3-x)=-2,

当1q43,|x-l|-|x-3|=x-l-(3-x)=2x-4>-2,

当xN3,|x-l|一|x-3|=x-l-（x—3）=2,

|x-l|-|x-引的最小值为-2,最大值为2.

故答案为・2；2.

【点睛】

本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解

题关键.

9.阅读理解；我们知道，若48在数轴上分别表示有理数〃、b,A、4两点间的距离表示为48,

则=所以卜-2|的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离.根据上述材

料，解答下列问题：

（1）若点力表示一2,点A表示3,贝lj44=.

（2）若卜-3|=5,则x的值是.

（3）如果数轴上表示数〃的点位于一4和2之间，求|。+4|+*2|的值；

（4）点〃取何值时，,+4|+卜-2|取最小值，最小值是多少？请说明理由；

（5）直接回答：当式子小1|+|。-2|+…+卜-9|取最小值时，相应〃的取值范围是多少？最小值是多

少？

【答案】（1）5；（2）-2或8：（3）6：（4）当时，最小值为6；（5）当。=5时，最小值

为20

【解析】

【分析】

（1）根据题目中的方法确定出A3的长即可；

（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出工的值；

（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简4111a2|即可；

（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案：

（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案.

【详解】

解：（1）4fi=|-2-3|=5,

则AB=5；

（2）0|x-3|=5,

Hx-3=±5,

故x=-2或8,

故答案为：-2或8：

（3）团数轴上表示数。的点位于一4和2之间，

0|<7+4|+|«-2|=«+4+2-67=6；

（4）回。+4|+,一2|,代表点。到Y和到2之间的距离之和.

当时，

k+4|+,一2|取得最小值，最小值为6；

（5）当。=5时，

|〃-1|+,一2|+—+，/一9|有最小值，

最小值为=。-1+。-2+a-3+4-4+4-5+6-4+7-"+8-々+9-4

=«+15

=5+15

=20.

【点睛】

本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点

的距离的和最小.

10.我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义.进一步地，数轴上两个点A、B,

分别用a,b表示，那么AB=|a-b|.（思考一下，为什么？），利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是

，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是；

（2）数轴上表示x和一1的两点A、B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x的值为；

（3）当x取何值时,式子|x-l|+|x—2|+|x—3|+|x-4|+|x-5|的值最小,并求出这个最小值.

【答案】（1）3,3,4；（2）|x+l|,1或-3；（3）x=3,最小值为6

【解析】

【分析】

（1）根据两点间的距禽的求法列式计算即可得解；

（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；

（3）根据数轴，两点间的距离公式得到式子|x-l|+|x-2|十|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3

时,式子|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小.

【详解】

解.：(1)表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3,

表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-(-5)|=3,

表示1和・3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4；

(2)表示x和・1的两点A、B之间的距离是|x+l|,

0|AB|=2,

(21|x+l|=2,

0x+l=2或x+l=-2,

解得x=l或-3；

(3)式子|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1,2,3,4,5五个数的距离之和,

团当x与3重合时，|x-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6,此时x=3.

【点睛】

本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上,

一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数

是a、b,则这两点间的距离可表示为|a-b|.

11.我们知道，时表示数。对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴

上两个点分别表示数那么A夕两点之间的距离为|〃一4.利用此结论，回答下列问题：

(1)数轴上表示3和一3的两点之间的距离是；

(2)数轴上表示x和一1的两点之间的距离为2,那么"的值为；

(3)直接写出卜+2|+卜-4|的最小值为:

(4)直接写出卜+2|+卜-||+k-4|的最小值为；

(5)简要求出卜-1|+,-2|+k-3|+…+k-99|的最小值.

【答案】(1)6；(2)-3或1；(3)6：(4)6；(5)2450

【解析】

【分析】

(1)根据两点间的距禽公式求解可得；

(2)根据绝对值的定义可得;

(3)得出k+2|+|x—4|的几何意义，从向得到最小值；

(4)得出k+2|+,-1|+卜-4|的几何意义，从而得到最小值：

(5)根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式

计算即可得解.

【详解】

解：(1)数轴上表示3和一3的两点之间的距因是|3-(-3)|=6,

故答案为：6：

(2)由题意可得：

11-1)1=2.

则x的值为：-3或1；

(3)回,+2|4•上一4|表示数轴上表示点x至山2和4两点的距离和，

团当x在-2到4之间时，|x+2|+|x-4|有最小值，最小值为6：

(4),+2|+卜-1|+卜-4|表示数轴上表示点x至IJ-2和1和4三点的距离和，

同当x与1重合时，卜+2|+,-1|+上一4|的值最小，最小值为6；

(5)|x-l|+|x-2|+|x-3|+-+|x-99|的中间一项是|x-50|,

当x=50时,1_“+k_2|+卜_3|+…+|x—99|有最小值,

0|x-l|4-|x-2|+|x-3|+-+|x-99|

=|50-1|+|50-2|+|50-3|4--4-|50-99|

=49+48+47+...+1+0+1+2+...+49

=2x(1+2+...+49)

=2450.

【点睛】

本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关

键.

类型三利用绝对值的几何意义解方程

12.阅读理解；我们知道」xI的几何意义是在数轴，数x对应的点与原点的距离，即IxI=Ix-0

I,也就是说Ix|表示在数轴上数X与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为；Ix-y|表

示在数轴上数X、》对应点之间的距离.在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义.

①解方程口|=2,容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.

②在方程IA-11=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是产3

或x=-1.

知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解

（1）方程|x|=5的解

（2）方程|x-2|=3的解

【答案】（1）x=±5；（2）x=5或T

【解析】

【分析】

（1）由阅读材料中的方法求出x的值即可；

（2）由阅读材料中的方法求出x的值即可；

【详解】

（1）团在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5

团方程凶=5的解是x=±5

（2）团在方程,-2|二3中，数轴上到2的距离为3的点对应的数.

团方程,一2|=3的解是x=5或-I.

【点睛】

本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关

键.

13.阅读下列材料：我们知道国表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即冈=卜-0|，也

就是说，|乂对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为腐-司表示在数轴

上数储，血对应点之间的距离.

例1解方程凶=6.

解:0|x|=|x-O|=6,

（3在数轴上与原点距离为6的点对应的数为±6,即该方程的解为x=±6.

例2解不等式打一1|>2.

解：如图，首先在数轴上找出卜-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-I,3,则卜-1|>2

的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或X>3.

-2-10123

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x—5|=3的解为；

（2）解不等式2|x+2|+l<9；

（3）若卜-1|+卜+2|=3,则K的取值范围是_______；

（4）若尸卜-1卜卜+2|,则V的取值范围是.

【答案】（1）内=8,七=2（2）-6<x<2（3）-2<x<l（4）-3<y<3

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即司Z

（2）将原式化解为|x+2|V4,首先在数轴上找出W+2|=4的解，即尤=2或x=-6,则|x+2V4的解

集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；

（3）表示到1的点与到・2的点距离和为3,・2与1之间的距离为3,据此可得出答案；

（4）卜-1|表示数x到1的距离，卜+2|表示数x到-2的距离，,，=卜-1卜卜+2|表示数到1的距离减

去数x到・2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可.

【详解】

解：（1）|x-5|=3,

x—5=±3,

解得：玉=8,%=2,

故答案为：％]=8,占=2；

..-3—1^-：1一

01235689

(2)2|JC+2|+1<9

2|x+2|<8

|x+2|<4,

首先找|x+2|=4的解,

即到-2距离为4的点对应的数为-6和2,

|x+2|V4表示到-2的距离小于4的点对应的所有数,

二•不等式解集为-6VxV2：

-7-6-5-4-3-2-10123

(3)|x-l|+|x+2|=3,

表示到1的点与到-2的点距离和为3,

丁-2与1之间的距离为3,

「•—24；

故答案为：-2<x<l：

,1\T..T

-3-2-10123

(4)y=|x-l|-|x+2|,

卜一1|表示数x至Ui的距离，

k+2|表示数X到-2的距离，

)，=卜-1卜k+2|表示数》到1的距离减去数》到-2的距离,

当x在点1右边时，)，=-3,

当x在点-2左边时，丁=3,

当》在-2到1之间时，-3“<3,

.,--3<y<3；

故答案为：-3<y<3.

-3-2-10123

【点睛】

本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对K的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关

犍.

14.我们知道知的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-O|,也就是说|x|

表示在数轴上数X与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x-y|表示在数轴上数x、y对

应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义.

①解方程|x|=2,容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.

②在方程|x-1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=-1.

③在方程|x-l|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x值,

在数轴上1和-2的距离为3,满足方程的x的对应点在1的右边或-2的左边.若x的对应点在1

的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x=-3,所以原方程的解是x=2

或x=-3.根据上面的阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|x|=5的解是.

(2)方程|x-2|=3的解是.

(3)画出图示,解方程|x-3|+|x+2|=9.

——4--------

—3----pl-

I[II1III>

-5-4-3-2-101234

【答案】(1)x=5或-5；(2)x=5或-1：(3)x=5或-4.

【解析】

【详解】

试题分析：

(1)由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；

(2)由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；

(3)方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和3的距离之和为9的点对应的x值,在数轴上3和3的

距离为5,满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答.

试题解析：(1)团在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5,

用方程|x|=5的解为x=±5；

(2)团在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，

13方程|x-2|=3的解是x=5或-1；

一-~-----7-5--~---2---~Fr=l

4-3-2-10123456

(3)团在数轴上3和-2的距离为5,5<9,

团满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边.

-------------7----------

—"I--------5--------

-5-4-3-2-1012345)

若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；

若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4,

所以原方程的解是x=5或x=-乙.

点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学

生的阅读理解能力.

15.阅读材料：

我们知道用的几何意义是在数轴上数久对应的点与原点的距离，即WHx-OI，也就是说川表示在

数轴上数x与数。对应的点之间的距离，这个结论可以推广为lx-土|表示数轴上七与4对应点之间

的距离.

例1：己知M=2,求上的值.

解:容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为-2和2,即x的值为_2和2.

例2：已知11=2,求尤的值.

解：在数轴上与1的距离为2的点的对应数为3和-1,即x的值为3和-1.

仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值.

(1)|A-|=3

(2)|x+2|=4

(3)由以上探索猜想：对于任何有理数乂卜-可+卜-6|是否有最小值？如果有，写出最小直；如果

没有，请说明理由.

【答案】(1)-3和3；(2)-6和2；(3)有最小值，最小值为3

【解析】

【分析】

(1)由阅读材料中的方法求出”的值即可;

（2）由阅读材料中的方法求出”的值即可；

（3）根据题意得出原式最小时、的范围，并求出最小值即可.

【详解】

（1）m=3,在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3,即％的值为-3和3：

（2）,+2|=4,在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2,即x的值为-6和2；

（3）有最小值，最小值为3,

理由是：

味-3|小-6|理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和,

回当了在3与6之间的线段上（即3WxW6）时：

g|j|x-3|+|x-6|的值有最小值，最小值为6-3=3.

【点睛】

本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关

键.

类型四利用绝对值的几何意义解不等式

16.解方程|x—l|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和一2的距离之

和为5的点对应的x的值.在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或一2

的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出》一2；同理，若x对应点在一2的左边，可得X-

一3,故原方程的解是x=2或工=-3.

r"4；一】

-20I2

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程口+3|=4的解为.

（2）解小等式|X一3|+|X+4|29；

⑶若|x—3|+|x+4|M对任意的x都成立，求。的取值范围.

【答案】（1）1和一7；（2）x24或建一5⑶比7

【解析】

【分析】

⑴根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；

⑵不等式|x-3|+|x+4|>9表示到3与一4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的

数;

⑶|x—3|+次+4|加对任意的x都成立，即求到3与一4两点距离的和最小的数值.

【详解】

⑴方程次+3|=4的解就是在数轴上到一3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和

-7.故解是1和一7；

⑵由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和一4的距离之和为大于或等于9的点对应

的工的值.在数轴上，3和一4的距离为7,满足方程的x对应点在3的右边或一4的左边，若x

对应点在3的右边，由图可以看出立4；同理，若x对应点在一4的左边，可得建一5,即可求得

或x<—5.

⑶|x-3|+|x+4|即表示x的点到数轴上与3和一4的距离之和,

当表示对应x的点在数轴上3与一4之间时，距离的和最小，是7.

故展7.

【点睛】

此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.

17.阅读下列材料：

我们知道国的几何意义是在数轴上数1对应的点与原点的距离，即凶=卜-0|,也就是说，国表示

在数轴上数x与数。对应的点之间的距离;这个结论可以推广为归-占|表示在数轴上数七与数々对

应的点之间的距离：

例1解方程|x|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|%|=2的解为

x=±2.

例2解不等式在数轴上找出|%—1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距

离等于2的点对应的数为一1或3,所以方程|工一1|=2的解为工=-1或》=3,因此不等式|1一1|

>2的解集为工<一1或工>3.

例3解方程|大一1|+口+2k5,由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点

的距离之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3（如图）：满足方

程的x对应的点在1的右边或一2的左边.若x对应的点在1的右边，可得了=2；若1对应的点在一

2的左边，可得刀=一3,因此方程|1一1|+|九+2|=5的解是1=2或%=-3.

参考阅读材料，解答下列问寇：

(1)方程|%+21=3的解为；

(2)解不等式：|x—21<6；

(3)解不等式:|X-3|+|A：+4|>9；

(4)解方程：|X-2|+|X+2|+|X・5|=15.

「■4.

-3012

【答案】(1)x=l或x=—5；(2)—4VxV8；(3)x24或左一5；(4)4=一"或%.

33

【解析】

【分析】

(1)由已知可得x+2=3或x+2=・3；(2)在数轴上找出|x-2|=6的解;即在数轴上到2对应的点的

距离等于6的点对应的数；(3)在数轴上找出|1-3|+产+4|=9的解.再根据数轴上的位置分析出

不等式的解集；(4)由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和一4对应的点的距离之

和等于9的点对应的x的值.

【详解】

(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3

解得x=l或x=-5.

(2)在数轴上找出|x—2|=6的解.团在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为一4或8,

回方程|工一2|=6的解为x=-4或x=8,回不等式|汇一2|V6的解集为一4VxV8.

(3)在数轴上找出|x一3|+|x+4|=9的解.

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和一4对应的点的距离之和等于15的点对应的

x的值.

团在数轴上3和一4对应的点的距离为7,用满足方程的x对应的点在3的右边或一4的左边.

若x对应的点在3的右边，可得44；若x对应的点在一4的左边，可得文=-5,

回方程|x-3|+|》+4|=9的解是x=4或4一5,

团不等式|“一3|+|04|29的解集为XN4或4一5.

(4)在数轴上找出|x-2|+|%+2|+|x-5|=15的解.

由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和一2和5对应的点的距离之和等于9的点对

应的x的值.

团在数轴上-2和5对应的点的距离为7,E)满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边.

若工对应的点在S的右边，可得若工对应的点在一2的左边，可得丫=-2,

33

何方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是］=一7或x=.

【点睛】

考核知识点：绝对值的几何意义的运用.根据材料，理解绝对值的几何意义是解题关键.

18.阅读下列材料：

我们知道W的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即w=k-q,也就是说，忖表示

在数釉上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为、-即表示在数轴上数4与数々对

应的点之间的距离；

例1.解方程|打=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方