人教版七年级下册数学期末解答题压轴题试卷(及答案)

人教版七年级下册数学期末解答题压轴题试卷（及答案）

一、解答题

1.如图，在9x9网格中，每个小正方形的边长均为1,正方形A4CO的顶点都在网格的格

点上.

（1）求正方形A8CO的面积和边长；

（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标.

2.（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2乃cm"设圆的周长为。，正方形的周长

为。正，则。。正.（填“=〃或或"〉〃号）

（2）如图，若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为

12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由.

3.喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长

为3dm,宽为2dm,且两块纸片面积相等.

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）

（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为2dm2和3dm2,亮亮认为两

个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸

片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：V2-1.414,6=1.732）

4.观察下图，每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

5.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资

产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5：3.

（1）求原来正方形场地的周长；

（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

二、解答题

6.如图，已知直线点A、8在直线右上，点C。在直线〃上，点。在点。的右侧，

48>=80。、48。=（2〃）。、花平分48。,。石平分/4"',直线8旦DE交于点、E.

（1）若〃=20时，则/阻>=:

（2）试求出N8a）的度数（用含〃的代数式表示）：

（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出NAE。的度

数.（用含〃的代数式表示）

7.已知：如图（1）直线48、CD被直线所截，Z1=Z2.

（1）求证：AB//CD,

（2）如图（2）,点E在A8,CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线A8、C。上，连接

PE、EQ,PF平分NBPE,QF平分NEQ。，则NPEQ和NPFQ之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论；

（3）如图（3）,在（2）的条件下，过P点、作PH〃EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平

分NEPH,ZQPFtZEQF=1：5,求NPHQ的度数.

8.综合与探究

（问题情境）

土老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1,EF//MN,点A、“分别为直线£/、上的一点，点P为平行线间一点,

请直接写出NQ4/、NPBN和NAP3之间的数量关系；

图1图2

备用图备用图

（问题迁移）

（2）如图2,射线OM与射线ON交于点。，直线〃?//〃，直线加分别交QM、ON于点A、

D,直线〃分别交OM、ON于点B、C,点/）在射线0M上运动，

①当点P在A、B（不与A、6重合）两点之间运动时，设/4£>P=Na,

4BCP=40.则NCPO,Na,4之间有何数量关系？请说明理由.

②若点P不在线段A8上遂动时（点尸与点A、B、。三点都不重合），请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NC。。，Na,”之间的数量关系.

9.已知：ABWCD,截线M/V分别交48、C。于点M、N.

（1）如图①，点8在线段MN上，设NEBM=a。，/ONM=B。，且满足&-30+（3-

60）2=0,求/BEM的度数；

（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分NCDE,且交线段8E的延长线于点F；请

写出NOEF与NCDF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点P在射线A/7•上运动时，NOCP与N8M7的平分线交于点Q,则/Q与

NCPM的比值为（直接写出答案）.

（1）若CM平分N3CO,求ZA/CN的度数;

（2）若CM在NBC。的内部，且CMJ_CN于C,求证：CM平分NBC/）；

（3）在（2）的条件下，过点6作3PJ.8。，分别交CM、CN于点P、Q,NPBQ绕着

B点旋转,但与CM、C/V始终有交点，问：N8PC+NBQC的值是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求其变化范围.

三、解答题

11.为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从

A例开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯3射线从4P开始顺时针旋转至8Q便立即回

转，两灯不停交又照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯“转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即PQ//MZ,旦Z«4A7:NR4/7=3:2.

（2）若灯“射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯〃射线到达BQ之前，A灯转

动儿秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C

作NACD交尸。于点力，且446=126。，则在转动过程中，请探究/84C与/8CO的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

12.如图1所示：点E为8c上一点，/A=/。，ABWCD

（1）直接写出N4C8与/8E。的数量关系；

（2）如图2,ABWCD,8G平分NA8E,8G的反向延长线与/EDF的平分线交于H点，若

ZDEB比/GHD大60°,求NDEB的度数；

（3）保持（2）中所求的N。£8的度数不变，如图3,8M平分NEBK,DN平分NCDE,作

BPWDN,则NPBM的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明

理由.（本题中的角均为大于0°且小于180。的角）.

图1图2图3

13.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸冬安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自AM顺时针旋转至4N便立即回转，灯8射线

自3P顺时针旋转至8Q便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是

秒，灯8转动的速度是泊秒，且。、b满足锄+(〃+。-5)2=0.假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即PQ〃MN,且NEW=60。

图1图2

(1)求。、b的值；

(2)若灯8射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯8射线第一次到达8Q时运动

停止，问4灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(?)如图，两灯同时转助，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束:交于点心过C作

。。_14。交尸。于点。，则在转动过程中，4AC与N3CQ的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

14.已知：AA8c和同一平面内的点。.

(1)如图1,点。在8C边上，过。作OE//B4交AC于E,。/〃。4交A8于F.根据题

意，在图1中补全图形，请写出NEZ)户与㈤。的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,点。在8c的延长线上，DF//CA,/EDF=NBAC.请判断OE与的位

置关系，并说明理由.

(3)如图3,点。是△人?，外部的•个动点.过。作。E//BA交直线ACFE,DFHCA交

直线AB于尸，直接写出/瓦W与NAAC的数量关系，并在图3中补全图形.

15.如图，直线PQ//MN,一副三角板(NA8C=NCOE=90。，ZACB=30°,

NE4C=6()o,NDCE=NOEC=45。)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点用。均在直线

MN上,且CE平分NACW.

EEQ

OQ

图①图②图③

(1)求/DE。的度数.

(2)如图②，若将三角形A8C绕8点以每秒5。的速度按逆时针方向旋转(4。的对应点

分别为EG).设旋转时间为/秒(0W36).

①在旋转过程中，若边BGHCD,求，的值；

②若在三角形ABC绕B点旋转的同时，三角形CDE绕E点以每秒4。的速度按顺时针方向

旋转(CD的对应点分别为从K).请宜接写出当边皮7//HK时f的值.

四、解答题

16.如图，直线A3//CD,E、尸是A3、上的两点，直线/与AA、C。分别交于点

NPFDr.

(2)若点、P与点、E、尸不在一直线上，试探索NAEP、4EPF、NCfP之间的关系，并证

明你的结论.

17.解读基础：

(1)图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形”，请写出4、即NC、/力之间的关系，并

说明理由；

(2)图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出乙4、D8、NC、/O之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用.上述两个结论解答下列各题

(3)①如图3,在AABC中，BD、C。分别平分48C和4C8,请直接写出NA和N。

的关系—;

②如图4,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE4-ZF=

(4)如图5,/加。与NBOC的角平分线相交于点尸，NGDC与NC4/的角平分线相交

于点E,已知々=26。，"=54。，求N/和NE的度数.

A

AA

18.如图①，AO平分加C,AE±BC,ZB=45°,ZC=73°.

(1)求/04£的度数；

(2)如图②，若把"4£_L3C”变成"点F在必的延长线上，FE1BC”,其它条件不

变，求/£)正的度数；

(3)如图③，若把“4E_L8C〃变成“AE平分/8EC”,其它条件不变，/D4E的大小是

否变化，并请说明理由.

19.R3ABC中，/C=90。，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且Na=50。，则Nl+/2=°：

(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则Na、Z1,N2之间的关系为：

(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，则Na、Nl、N2之间有何关系？

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则Na、N1、N2之间的关系为：

20.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形A8C,点。是三角形A8c内一点，连接80,CD,试探究

N3OC与NA,ZI,N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：

/BDC+/DBC+/BCD=18伊,（）

ZBDC=180°-NDBC-/BCD,（等式性质）

•••Z4+Z1+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

八十NI+N2—180°—NDBC—/BCD,

ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；

（3）利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形ABCD中，ZBDC=135°,N8=NC=25。，求NA=；

②如图②，在凹四边形A8CO中，乙钻。与乙4C。的角平分线交于点£,44=60。，

N8DC=140。，则NE=；

③如图③，ZABD,4c。的十等分线相交于点、冗、尸2...居，若NBQC=120。,

NBKC=64。，则乙4的度数为；

④如图④，ZBAC,N8DC的角平分线交于点E,则DA,NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,々AC的角平分线交于点七，ZC=40°,ZBDC=l40°,求NAEB的

度数.

图③图④图⑤

【参考答案】

一、解答题

1.（1）面枳为29,边长为；（2）,,,,图见解析.

【分析】

(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求

得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标

解析：(1)面积为29,边长为庖；(2)40.5),8(2,0),C(7,2),0(5,7),图见解

析.

【分析】

(1)面积等于一个7x7大正方形的面枳减去四个直角三角形的面枳，再利用算术平方根

定义求得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可.

【详解】

解：(1)正方形的面积加j:)niABCD_4x—x2x5=29,

正方形边长为石=后；

(2)建立如图平面直角坐标系，

则人(0,5),8(2,0),C(7.2),0(5,7).

【点睛】

本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形

是进一步解题的关键.

2.(1)＜；(2)不能，理由见解析

【分析】

(1)分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周

长，根据实数大小比较的方法，可得答案；

(2)设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于

解析：(1)＜；(2)不能，理由见解析

【分析】

(1)分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数

大小比较的方法，可得答案；

(2)设裁出的长方形的长为3a9〃)，宽为2a,由题意得关于〃的方程，解得〃的值，

从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案.

【详解】

解：（1）,•・圆的面积与正方形的面枳都是240病，

二圆的半径为&»正方形的边长为\f2;r（cm）,

/.Gu=2"兀=做％7"）,c£=4"^=J324（cm）,

,.•32万=84*4>84X乃,

,,J322r>，8病»

Qi<c正.

（2）不能裁出长和宽之比为3:2的长方形，理由如下：

设裁出的长方形的长为例的）,宽为2。（刖）,由题意得:

Mx2a=12,

解得4=0或八-夜（不合题意，舍去），

长为3五cm»宽为2近cm，

正方形的面积为16c〉,

,正方形的边长为4c/〃，

•.•3应>4,

・••不能裁出长和宽之比为3:2的长方形.

【点睛】

本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算

公式是解题的关键.

3.（1）；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的

意义即可求出x的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个

解析：（1）疯巾；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为xdm,根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义

即可求出X的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并

与3比较即可解答.

【详解】

解：（1）设正方形边长为.xdm,则.d=2x3,由算术平方根的意义可知x=

所以正方形的边长是向m.

（2）不同意.

因为：两个小正方形的面积分别为2dm2和3dm"则它们的边长分别为J5dm和

Gdm.V2+V3=3.1,即两个正方形边长的和约为3.1dm,

所以3.1>3,即两个正方形边长的和大于长方形的长，

所以不能在长方形纸片.上截出两个完整的面积分别为2d/和3dn『的正方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念.

4.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（1）图中阴影部分的面积17,边长是J万：（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据加《后V后，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5-4=17

则阴影正方形的边长为：后

答：图中阴影部分的面积17,边长是行

（2）,/^<x/17<x/25

所以4<J万V5

边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用r勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算.

5.（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用.

【分析】

（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

（2）长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为

解析：（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用.

【分析】

（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长乂4,由此解答即可；

（2）长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为5am,计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用.

【详解】

解：（1）7400=20（m）,4x20=80（m）,

答：原来正方形场地的周长为80m：

（2）设这个长方形场地宽为3am,则长为5am.

由题意有:3ax5a=300,

解得：a=±V20,

1.■3a表示长度，

/.a>0,

/.a=同，

..•这个长方形场地的周长为2(3。+5。)=16。=16同Cm),

,/80=16x5=16x725>16廊，

这些铁栅栏够用.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长.

二、解答题

6.(1)60°；(2)n°+40°；(3)n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)ne+40°；(3)，°+40°或n°-40°或220°力°

【分析】

(1)过点E作EFII48,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBE。的度数；

(2)同(1)中方法求解即可；

(3)分当点8在点4左侧和当点8在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：(1)当〃=20时，ZABC=40°,

过E作EFIIAB,贝IJEFIICD,

/.Z8EF=NABE,ZDEF=/CDE,

.「8E平分N48C,DEADC,

/8EF=/A8E=20°,ZDEF=ZCDE=40°,

ZBED=2BEF+Z.DfF=60°；

(2)同(1)可知：

Z8EF=NABE=n°fZDEFMCDE=40°,

ZBED=N8EF+NOEF=c°+40°：

(3)当点8在点2左侧时，由(2)可知:ZB£D=no+40°;

当点B在点4右侧时，

如图所示,过点£作EFII48,

...BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=2n\Z4DC=80",

ZABE=^Z.ABC=n°,/CDG=；/ADC=40°,

,/4811CDIIEF,

Z8EF=NABE=nv,ZCDG=ZDEF=AOU,

...ZBED=NBEF-ADEF=nM00：

,/BE-F^ZABC,OE平分N/WC,ZABC=2n°fZADC=80°,

ZABE=gZABC=n°,ZCD6=gZ400400,

,「4811CDIIEF,

/.ZB£F=180°-Z/4SE=180°-n°,ZCD£=ZOEF=40°,

/.ZBED=NBEF+NDFF=180o-no+40o=220o-n0；

如图所示，过点E作EFIM8,

••8E平分/ABC,OE平分N4DC,ZABC=n\ZADC^70\

：.AABG=^AABC=n°fACDE=^AADC=Wt

ABWCDIIEF,

Z8EF=NABG=n°,ZCDF=ZOEF=40°,

ZBED=Z.BEF-NDEF=n°-40°；

E

_________/Bl________H

DC

综上所述，ZBED的度数为〃。+40。或〃。-40。或220。-〃。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

7.(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得AB〃CD；

(2)如图2中，ZPEQ+2ZPFQ=360二作EH//AB.理由平行线

解析：(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360。；(3)30。

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得A8〃C。：

(2)如图2中,ZPEQ+2NPFQ=360°.作EH//AB.理由平行线的性质即可证明;

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,则/EQF=NFQH=5y,想办法沟建

方程即可解决问题；

【详解】

(1)如图1中，

,M

AB

：Z2=Z3,Z1=Z2,

Z1=Z3,

AB//CD.

(2)结论：如图2中，NPEQ+2NPFQ=360。.

理由：作EH〃48.

B

C1%D

A(2)

•:ABI/CD,EH//AB,

EH“CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

/.Z2+Z3=Z1+Z4,

/.ZPEQ=Z1+Z4,

同法可证：ZPFQ=Z8PF+NFQD,

'：ZBPE=2ZBPF,NEQD=2/FQD,Z1+ZBPE=180°,Z4+ZEQD=180°,

...Z1+Z4+ZEQD+NBPE=2xl80°,

即NPEQ+2(ZFQD+ZBPF)=360°,

/.ZPEQ+2NPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,则N£QF=NFQH=5y,

•「EQ//PH,

ZEQC=NPHQ=x,

x+10y=180%

AB//CD,

：.ZBPH=NPHQ=x,

PF平分NBPE,

/.ZEPQ+NFPQ=NFPH+NBPH,

ZFPH=y+z-x,

,/PQ平分/EPH,

Z=y+y+z-x,

x=2y,

/.12y=180°,

y=15°,

/.x=30°,

ZPH。=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.(2)中能正确作出辅助线是解

题的关键；(3)中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

8.(1);(2)①，理由见解析；②图见解析，或

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论

解析：(1)ZPAF+ZPW+ZAPI3=360°；(2)①=+理由见解析；

②图见解析，4CPD=-4a或4CPD=4a—

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过P作PE//AD交CO于E,由平行线的性质，得到Na=N〃PE,“=4CPE,

即可得到答案：

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在始延长线时；当P在BO之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解:(1)作PQIIEF,如图:

图1

•/EF//MN,

EF//MN//PQ,

NPAF+ZAPQ=180°,NPBN+NBPQ=180°,

•「ZAPB=NAPQ+NBPQ

ZPAF+ZPBN+ZAPS=360°：

(2)①NC~O=Na+NP；

理由如下：如图，

过尸作PEHAD交CD于E,

,/ADHBC,

：.AD//PE//BC,

Z.a=ZDPE,=ZCPE,

NCPD=/DPE+/CPE=/a+；

②当点P在胡延长线时，如备用图L

M

N

备用图1

,.1PEWADWBC,

「NEPC=P，ZEPD=a,

/.NCPO=N/—Na；

当P在80之间时，如备用图2：

备用图2

PEWADWBC,

：.ZEPD=a,zCPE=fi,

/.ZCFD=Za-Z/7.

【点睛】

本题考查「平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

9.（1）30°；（2）NDEF+2NCDF=150°,理由见解析；（3）

【分析】

（1）由非负性可求a,B的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

（2）过点E作直线EHIIAB.由角平分线的性炭和平行

解析：（1）30。；（2）ZDEF+2ACDF=150°,理由见解析；（3）

【分析】

（1）由非负性可求a,。的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

（2）过点£作直线由角平分线的性质和平行线的性质可求NOEF=18（r-30。-

2*。=150。-2x°,由角的数量可求解;

（3）由平行线的性质和外角性质可求NPMB=2NQ+/PCD,NCPM=2/Q,即可求解.

【详解】

解：(1),/V«-30+(3-60)2=0,

a=30,3=60,

:A8IICD,

：.ZAMN=/.MND=60°,

•「ZAMN=4B+ZBEM=60°,

ZBEM=60°-30°=30°：

(2)ZOEF+2NCDF=150°.

理由如下：过点£作直线EHII

图2

「DF平分/CDE,

设/CDF=^CDF=x0\

,：EHIIAB,

/.ZDEH=Z.EDC=2x°,

：.ZDEF=18Q°-30°-2x°=150°-2x°：

/.ZDEF=150°-2ZCDF,

即NDEF+2ZCDF=150°：

(3)如图3,设MQ与CD交于点E,

MQ平分NBMT,QC平分QDCP,

；BMT=2NPMQ,ZDCP=2Z.DCQ,

■：ABWCD,

ZBME=NMEC,ZBMP=NPND,

,/ZMEC=AQ+ZDCQ,

/.2ZMEC=2NQ+2ZDCQ,

/.ZPMB=2ZQ+ZPCD,

「ZPND=£PCD+NCPM=4PMB,

ZCPM=2NQ,

/Q与NCPM的比值为g,

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

10.(1)90°；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

(2)根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；

(3),过，分别作，，根据

解析：(1)90。；(2)见解析；(3)不变，180°

【分析】

(1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解：

(2)根据垂直的定义及令;补角的定义、角平分线的定义即可得解；

(3)/8PC+/8QC=180。，过Q,。分别作QG//AB.PH//A13,根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【评解】

解(1);CN,CM分别平分N8CE和/8C。，

:.BCN=L/BCE,ZBCM=-ZBCD,

22

JMCN=4BCN+/BCM=-ZBCE+-/BCD=-(ZBCE+/BCD)=90°；

222

(2)・；CM工CN,

/.ZMCN=90°,BPZBC7V+ZBCM=9O°,

2ZBGV+2NBCM=180°,

•.•CN是NBCE的平分线，

:"CE=2ABCN,

.•.ZBCE+2ZBGW=180°,

XvZBCE+ZBCD=18(T,

:2BCD=2/BCM,

又在N8CO的内部，

二.CM平分NBC。；

(3)如图，不发生变化，/BPC+N8QC=180。，过Q,尸分别作QG//AB,PH//AB,

则有如//人火HPH//CD,

:"BQQ=〃\BQ,4CQG=ZECQ,/BPH=4FBP,NCPH=/DCP,

vBPIBQ,CP1CQ,

：.NPBQ=/PCQ=W,

ZABQ+NPBQ+尸3P=180°,NEC。+NPCQ+NDCP=180°,

NABQ+NFBP+NECQ+NDCP=180°,

NBPC+ABQC=/BPH+ZCPH+ZBQG+ZCQG

=NABQ+NFBP+Z.ECQ+/DCP=180°,

2BPC十/BQC一180°不变.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，Z3AC=2^BCD

【分析】

(1)根据N8AM+N847=180°,ZBAM：NBAN=3：2,即可得到N8AN的度数；

(2)设4灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0V1V90时，根

据2t=1・(30+t),可得t=30；当90VtV150时，根据1・(30+t)+(2M80)=180,可得

t=110；

(3)设灯A射线转动时间为t秒，根据NB4C=2M08°,ZBCD=126°-Z8cM"54。，即可得

出NBAC：Z8c0=2：1,据此可得N84c和/BCD关系不会变化.

【详解】

解：(1),/ZBAM+Z.BAN=18Q°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.ZB/4/V=180°xy=72°,

故答案为：72；

(2)设a灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时，如图L

MDN

图工

•/PQIIMN,

ZP8D=NBDA,

ACWBD,

/.ZCAMSBDA,

：.ZCAM=Z.PBD

2f=l«(30+t),

解得t=30；

②当90VtV150时，如图2,

,/PQIIMN.

ZP8D+N8a4=180°,

,/ACWBD,

：.ZCAN"BDA

：.ZP8D+ZCAN=180°

1*(30+t)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)ZBAC和NBCD美系不会变化.

理由：设灯4射线转动时间为t秒，

QBDP

：.ZDAC=72°-(1800-2t)=2/108°,

又=Z48c=108”,

/.Z8c4=180°-/ABC-Z.BAC=18Q°-t,而NACD=126°,

/.Z8CD=126°-Z8c4=126•-(180°-t)=t-54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

UPZ84c=2/BCD,

ZBAC和/BCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要节俊了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

12.⑴；(2)；(3)不发生变化,理由见解析

【分析】

⑴如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出；

(2)如图2,过点E作ESIIAB,过点H作HTIIAB,根据ABIICD,ABIIE

解析：⑴ZACB+N8E。二］80°；(2)1000；(3)不发生变化,理由见解析

【分析】

⑴如图1，延长DE交48于点F,根据平行线的性质推出NAC8+N8EO=180。；

(2)如图2,过点E作ESIIA8,过点H作/■/TII48,根据八811CD,4811ES推出

/BED=ZABE+NCDE,再根据4811TH,ABIIC。推出=,最后根

据ABED比ZBHD大60得出ABED的度数；

⑶如图3,过点E作EQIIDN,根据=得出的度数，根据条件

再逐步求出NPBM的度数.

【详解】

⑴如答图1所示，延长DE交48于点F.

48118,所以ZD=NEra,

又因为NA=N。，所以/4=/瓦3,所以ACIIDF,所以NAC8=NCE£).

因为NCE£>+N8ED=180。，所以乙4C8+N8ED=180。.

⑵如答图2所示，过点E作ESII48,过点H作H7IIA8.

设ZABG=NEBG=a,/FDH=4EDH=0,

因为A8IICD,>4811ES,所以=4SED=NCED,

所以/BED=NBES+ZSED=4ABE+ZCDE=2。+180。一24，

因为ABIITH,ABWCD,所以乙\BG=NTHB,ZFDH=ZDHT,所以

/GHD=ZTHD-ZTHB=0—a,

因为NBEO比N8HO大60。，所以2。+180。一24一(4一①=60。，所以《一口=40。，所以

NBHD=400,所以N8ED=100。

⑶不发生变化

如答图3所示，过点E作EQIIDN.

设KDN=4EDN=a,4EBM=4KBM=0,

由(2)易知NOE8=NCDE+ZA8£,所以2。+180。-2/=100。，所以《一。=40。，

所以NDEB=ZCDE+/EDN+180°-(£EBM+/PBM)=a+180。—〃一NPBM,

所以NP8M=80。—(/?—aj=40。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度

的度数是解题的关键.

13.(1),；(2)15秒或63秒；(3)不发生变化，

【分析】

(1)利用非负数的性质解决问题即可.

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3)由参数表示，即可判断.

【详解】

解析：(1)〃=4,。=1：(2)15秒或63秒；(3)不发生变化，3/BAC=4/BCD

【分析】

(1)利用非负数的性质解决问题即可.

(2)分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题.

(3)由参数/表示NBAC,NBCO即可判断.

【详解】

解：(1)•••k-4q+(a+b-5『=0,

a-4/?=0

a+b-5=0,

ci—4>b=1；

(2)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行，

①当0</<45时，

4/=(45+/)x1,

解得，=15;

②当45v/v90时，

4r-180=180-(r+45),

解得f=63；

③当90</<135时，

4/-360=/+45,

解得f=135,(不合题意)

综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

(3)设A灯转动时间为/秒，

•・•ZCAN=\S00-4t,

/.ABAC=6()°-(1800-4r)=4/-l20°,

又PQNMN,

/.ZBCA=ZCB£)+ZC42V=/+18(r-4/=180o-3/,

而NACD=90。，

:"BCD=90°-/BCA=90O-(180°-30=3/-90°,

ZBAC:ZBCD=4:3,

即3NBAC=4NBCD.

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

14.（1）图见解析，，理由见解析；（2）,理由见解析；（3）图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得,根据平行线的性侦叫得,由此即口J

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，ZEDF=ABAC,理由见解析；（2）DEUBA,理由见解析；

（3）图见解析，NEDF=NBAC或/EDF+/BAC=180。.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得

NEDF=/BFD"BFD=NBAC,由此即可得：

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得=再根据等量代换可得

/EDF=NBOD,然后根据平行线的判定即可得；

（3）先根据点D的位置面出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对

顶角相等即可得.

【详解】

（1）由题意，补全图形如下：

/EDF=NBAC,理由如下：

DEUBA,

:"EDF=/BFD,

-DF//CA,

NBFD=NBAC,

:.NEDF=/BAC；

(2)DEUBA,理由如下：

如图，延长BA交DF于点0,

-DF//CA,

:2BAC=/BOD,

NEDF=/BAC,

二/EDF=NROD,

/.DEUBA；

(3)由题意，有以下两种情况：

①如图3-1,/EDF=NBAC,理由如卜.:

DEUBA,

/.ZE+ZE4F=180°,

-DF//CA,

/.ZE4-ZEDF=180°,

:"EAF=NEDF,

由对顶角相等得：ZBAC=N叩,

UEDF=々BAC；

②如图32ZEDF+ZA4C=180°,理由如下:

DE//BA,

.-.ZEDF+ZF=180°,

-DF//CA,

：./BAC=NF,

/.ZEDF+ZBAC=180°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是解题

关键.

15.（1）60°；（2）①6s；②s或s

【分析】

（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.

（2）①首先证明NGBC=NDCN=30。，由此构建方程即可解决问题.

②分两种情形：如图③中，当

解析：（1）60°；（2）①65；②与s或四s

33

【分析】

（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.

（2）①首先证明/G8CNOCN=30。，由此构建方程即可解决问题.

②分两种情形：如图③口，当8GIIHK时，延长KH交MN于R.根据NG8/V=NKR/V构建

方程即可解决问题.如图③-1中，当8GIIMK时，延长HK交MN于R.根据

ZG8N+NKRM=180。构建方程即可解决问题.

【详解】

解：（1）如图①中，

图①

ZACB=30°,

Z4C/V=1800-ZAC8=150’，

..C£平分/ACN,

ZECN=；/ACN=75°,

,/PQIIMN,

ZQEC+NfCA/=180°,

...ZQEC=180o-75°=105o,

/.ZD£Q=ZQEC-NCED=105°-45°=60°.

(2)①如图②中，

o

图②

,/BGWCD,

ZG8C=ZDCN,

•••ZDC/V=ZEC/V-Z£CD=75M5<,=30°,

ZG8c=30°,

5t=30,

t=6s.

.,•在旋转过程中，若边8GlicD,t的值为6s.

②如图③中,当8GIIHK时,延长KH交M/V于8.

图⑶

,/8GliKR,

ZGBN=Z.KRN,

1/ZQ£K=600+43ZK=NQEK+NKRN,

/.ZKRN=90°-(60°+4f)=30°-4f,

/.5f=30°-4t,

10

..t=——s.

3

•/BGWKR,

ZG8N+NKRM=180°,

ZQEK=600+43ZEKR=±PEK+NKRM,

：.ZKRM=90°-(180°-60°-4t)=4t-30°,

/.5f+4t-30°=180°,

70

/.t=—5.

3

综上所述，满足条件的t的值为55或与S.

【点睛】

本题考查几何变换综合题，考杳了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解

题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问

题，属于中考压轴题.

四、解答题

16.(1)120°；(2)NEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详

解.

【分析】

(1)根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由ABIICD,

ZFHP=60°,可以推出

解析：(1)120°;(2)ZEPF=NAEP+NCFP或NAEP=NEPF+NCFP,证明见详解.

【分析】

(1)根据题意，当点〃与点E、尸在一直线上时，作出图形，由ABIICD,ZFHP=60c,可

以推出NG律一NKGF-60。，计算NPFD即可；

(2)根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB

上方时；③当点P在CD下方时，分别求出NAEP、ZEPF、ZCFP之间的关系即可.

【详解】

(1)当点尸与点E、尸在一直线上时，作图如下，

VABIICD,ZFHP=60°,NGEP=NEGP,

NGEP=/EGP=NFHP=60°,

...ZEFD=180°-ZGEP=180e-60°=120%

/.ZPFD=120°,

故答案为：120。；

AEj上

D

(2)满足关系式为NEPF=ZAEP+ZCFP或NAEP=ZEPFfZCFP.

证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：

①当点P在AB与CD之间时，

过点P作PQHAB,如下图，

,/ABHCD,

/.PQIIABIICD,

ZAEP=ZEPQ,ZCFP=ZFPQ,

ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=ZAEP+ZCFP,

即NEPF=Z