人教版七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案

人教版七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案（1）

一、解答题

1.如图，在9x9网格中，每个小正方形的边长均为1,正方形A4CO的顶点都在网格的格

点上.

（1）求正方形A8CO的面积和边长；

（2）建立适当的平面直角坐标系，写出正方形四个顶点的坐标.

2.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请哥小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

3.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方

形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格？（参考数

据：72=1.414,73=1.732,逐=2.236）

4.如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形组，我们可以把它剪开拼成一个正方

形.

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？

（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的；点为［I

心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少？

点A表示的数的相反数是多少？

（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并

求它的边长

5.有一块正方形钢板，面积为16平方米.

(1)求正方形钢板的边长.

(2)李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为

3:2,问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.(参考数

据：＞/2«1.414,5/3%1.732).

二、解答题

6.如图1,己48IICD,ZC=Z.A,

(1)求证：40II8C：

(2)如图2,若点E是在平行线A8,CD内，4。右侧的任意一点，探究N8AE,ZCDE,

NE之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,若NC=90。，且点E在线段BC上，DF平分NEDC,射线DF在NEDC的内

部，且交8c于点交AE延长线于点F,ZAED+ZAEC=180°f

①直接写出/八£。与/「。(：的数量关系：

②点P在射线。八上，且满足N0£P=2/F,NDEA-NPEA=*NDEB,补全图形后，求

NEPD的度数

7.如图1,点E在直线A3、0c之间，且NDEB+ZABE-NCDE=180。.

(1)求证：AB//DC；

(2)若点尸是直线84上的一点，旦ZBEF=ZBFE,EG平分NDE8交直线A8于点G,

若NO=20。，求/五EG的度数；

(3)如图3,点N是直线A3、OC外一点，且满足NCOM=!NCDE,

4

NA3N=；NA3E,ND与BE交于点、M.已知/COM=a(0。vav12。)，旦BN//DE,则

NNMB的度数为(请直接写出答案，用含〃的式子表示).

F

8.已知A8〃C。，定点E,b分别在直线A8,CD±,在平行线AB,CD之间有一动点

P.

EB

CD

图1备用图1

B

B

备用图2田

（1）如图1所示时，试问NA£P,NEPF,NP”•满足怎样的数量关系?并说明理由.

（2）除了（1）的结论外，试问WP,/EPF,NPEC还可能满足怎样的数量关系?请画

图并证明

（3）当N£P厂满足0°<N£PP<180°,.且QE,QF分别平分NPEB和NPF。，

①若NE尸产=60°,则NEQF=°,

②猜想NEP/与NEQb的数量关系.（直接写出结论）

9.问题情境：

如图1,4811C。，/%8=130。，ZPCD=120°.求/4PC的度数.小明的思路是：过P作

PfIIAB,通过平行线性质，可得N4PC=NAPE+NCP£=5（T+6（r=110。.

问题解决：

（1）如图2,ABWCD,直线/分别与48、C。交于点M、N,点P在直线/上运动，当点P

在线段MN上运动时（不与点M、N重合），ZPAB=a,ZPCD=P，判断N4PC、a、。之

间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段M/V或MV7的延长线上运动时.请直接写出

4APC、a、8之间的数量关系；

（3）如图3,A8IICD,点P是48、8之间的一点（点P在点4、C右侧），连接力、

PC,N8AP和NDCP的平分线交于点Q.若NAPC=116。，请结合（2）中的规律，求NAQC

的度数.

（2）如图2,射线PN从出发，以每秒40。的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂

直A5时，立刻按原速返回至尸”后停止运动：射线£时从石4出发，以每秒15。的速度绕E

点按逆时针方向旋转至理后停止运动，若射线PN,射线同时开始运动，设运动词为

t秒.

①当NME尸=20。时，求/EPN的度数；

②当EM//PN时,求t的值.

12.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在更线CD上，点P在直线AB、CD之

间，ZAMP=ZPQN=a,PQ平分NMPN.

（1）如图①，求NMPQ的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分NPEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

13.如图1,。为直线48上一点，过点。作射线OCZAOC=30°,将一直角三角板

（ZM=30（）的直角顶点放在点。处，一边。N在射线OA上，另一边。”与OC都在直线

A3的上方，将图1中的三角板绕点。以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周.

AOBAOB

雷用图1备用图2

（1）几秒后ON与。。重合？

（2）如图2,经过/秒后，MNHAB,求此时，的值.

（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周,

那么经过多长时间OC与。M重合？请画图并说明理由.

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分/MQB?请画图并说明理由.

14.综合与探究

综合与实践课上，同学们以“一个含好角的直角三角尺和两条平行线"为背景开展数学活

动，如图，已知两直线“，b,Ra//b,三角形A8c是直角三角形，Z«C4=90°,

N8AC=30°,ZAfiC=6C^

操作发现：

图3

(1)如图1.Zl=48°,求Z2的度数；

(2)如图2.创新小组的同学把直线”向上平移，并把N2的位置改变，发现

Z2-Zl=120°,请说明理由.

实践探究：

(3)填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,AC

平分/BAM,此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请写出/I与N2的数量关系并说明

理由.

15.如图，直线PQ//MN,一副三角板(NA8C=NCOE=90。，ZACB=30°,

ZE4C=6()°,ZDCE=ZDEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点3,C均在直线

MN上,且CE平分ZACN.

图①图②图③

(1)求的度数.

(2)如图②，若将三角形A8C绕。点以每秒5。的速度按逆时针方向旋转(4C的对应点

分别为£G).设旋转时间为f秒(0YK36).

①在旋转过程中，若边BG//CD,求才的值；

②若在三角形A8C绕8点旋转的同时，三角形COE绕E点以每秒4。的速度按顺时针方向

旋转(C,。的对应点分别为H,K).请直接写出当边比//收时f的值.

四、解答题

16.在AABC中，射线AG平分/8AC交8c于点G,点D在8c边上运动(不与点G重

合)，过点。作AC交A8于点£.

E

\B」G\

图1\备用图

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若/BAC=100°,ZC=30°,则NAFD=；若NB=40°,则NAFD=；

②试探究/AFD与NB之间的数量关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时，ZBDE的角平分线所在真线与射线AG交于点F试探究

NAFD与NB之间的数量关系，并说明理由

17.己知:如图①，直线MNJ.直线PQ,垂足为。，点A在射线0夕上，点4在射线0Q上

(A、8不与0点重合)，点C在射线ON上且0C=2,过点。作直线〃/PQ点。在点C的

左边且8=3

P一4°\J

—Q

Lv

①

⑴直接写出的面积一

⑵如图②，若AC_L8C,作NC8A的平分线交OC于E,交AC于尸，试说明

NCEF=NCFE;

一「』二。

可

DC1

②

N

③

(3)如图③，若NAOC=N」Q4C,点8在射线OQ上运动.NAC8的平分线交04的延长线

于点〃，在点8运动过程中彳，的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.

18.模型与应用.

(模型)

(1)如图①，已知4811C。，求证N1+/MEN+N2=360。.

①

(应用)

(2)如图②，己知4811CD,则N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数为

②

如图③，己知2BIICD,则/1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+/n的度数为_.

③

(3)如图④，已知ABWCD,ZAM1M2的角平分线Mi0与3CMnMn-i的角平分线MQ交

千点O,若NM}OMn=m°.

在（2）的基础上，求/2+N3+Z4+N5+N6+......+zn-1的度数.（用含m、n的代数式

表示）

19.在~43。中，ZfiAC=100°,N48C=NAC4,点。在直线8c上运动（不与点8、C重

合），点E在射线4c上运动，且NADE=NAED,设ND4C=〃。.

ZC£>E=°；

（2）如图②，当点。运动到点8的左侧时，其他条件不变，请猜想的。和NCDE的数

量关系，并说明理由；

（3）当点。运动到点C的右侧时，其他条件不变，和NSE还满足（2）中的数量

关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

20.如图，已知直线allb,ZABC=100°,BD平分NABC交直线a于点D,线段EF在线段

AB的左侧，线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的

直线交于点P.问/1的度数与/EPB的度数又怎样的关系？

（特殊化）

（1）当N1=40。，交点P在直线a、直线b之间，求NEPB的度数;

（一般化）

（3）当Nl=n。，求NEPB的度数（直接用含n的代数式表示）.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)面积为29,边长为；(2),,,,图见解析.

【分析】

(1)面积等于一个大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根定义求

得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标

解析；(1)面积为29,边长为回；(2)40,5),项2,0),C(7,2),D(5,7),图见解

析.

【分析】

(1)面积等于一个7x7大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，再利用算术平方根

定义求得边长即可；

(2)建立适当的坐标系后写出四个顶点的坐标即可.

【详解】

2

解：(1)正方形的面积\,^^0=7-4x1x2x5=29,

正方形边长为行=牺；

(2)建立如图平面直角坐标系，

则4(0,5),8(2,0),C(7,2),0(5,7).

【点睛】

本题考查了算术平方根及坐标与图形的性质及割补法求面积，从图形中整理出直角三角形

是进一步解题的关键.

2.(1)可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；(2)不能，理由见解析.

【解析】

(1)解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：(1)可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；(2)不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

a2=400

又<a>0

a=20

又••.要裁出的长方形面积为300cm2

「•若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为:3004-20=15（cm）

，可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

（2）•长方形纸片的长宽之比为3：2

」•设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

/.6x2=300

/.x2=50

又Tx>0

.,.x=5\/2

/.长方形纸片的长为150

又（15应y=450>202

即：15a>20

••・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

3.（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面枳公式求出的值即叮；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的边长是5分米；

（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.

【详解】

试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出后的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x・2x=18,求出x=G，再求出

长方形的长和宽和S比较即可得出答案.

试题解析：（1）••,正方形的面积是25平方分米，

正方形工料的边长是5分米；

（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，

则3x*2x=18,

x2=3,

，X2=-G（舍去），

3x=35/3>5,2x=2x/i<5,

即这块正方形工料不合格.

4.(1)5；；(2)；；(3)能，.

【分析】

(1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积

的算术平方根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正

解析：(1)5：石；(2)x/5-l；1-^；(3)能，710.

【分析】

(1)易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方

根即可为大正方形的边长.

(2)求出斜边长即可.

(3)一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10,边长为10的算术平方

根，画图.

【详解】

试题分析：

解：(1)拼成的正方形的面积与原面积相等lxlx5=5,

边长为逐，

如图(1)

(2)斜边长=>/22+22=2&，

故点A表示的数为：2&-2;点A表示的相反数为：2-2&

(3)能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1x1x10=10,边长为

考点：1.作图一应用与设计作图；2.图形的剪拼.

5.(1)4米(2)见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽

与正方形边长的大小瓦得结论.

【详解】

解

解析：（1）4米（2）见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为3大米、2x米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正

方形边长的大小可得结论.

【详解】

解：（1）.正方形的面积是16平方米，

•••正方形钢板的边长是Jid=4米；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2%米，

则3x・2x=12.

丁=2,

x=近,

3x=3&>4，2x=2&<4，

二长方形长是3亚米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是

解题的关键.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,证明见解析；（3）①NAED-

ZFDC=45°,理由见解析；@50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EFIIAB,根

解析：（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析；（3）@ZAED-

NFDC=45。,理由见解析;（2）50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论：

（2）过点E作EFIMB,根据平行线的性质得4811811EF,然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

（3）①根据N4ED+NAEC=180°,ZAED+Z.DEC+Z.AEB=180°,OF平分/EOC,可得出

2ZAED+（9O°-2ZFDC）=180。，即可导出角的关系;

②先根据NAED=NF+NFOE,NAED-NFDC=45°得出NOEP=2/F=90°,再根据/。£4

ZPEA=—ZDEB,求H'lZAED=5Q°,即可得出/EPD的度数.

14

【详解】

解:(1)证明：ABWCD,

：.ZA+N0=180°,

,/ZC=ZA,

ZC+N0=180°,

/.ADWBC-

(2)ZBAE+ACDE=^AED,理由如下：

如图2,过点E作EFIIAB,

图2

A8IICD

A8IICDIIEF

ZBAESAEF,ZCDE=ZDEF

即NFEA+NFED=NCDE+ZBAE

：.ZBAE+NCDE=NAED：

(3)①NAED-乙FDC=45";

:ZAED+Z.AEC=18Q°,ZAED+Z.DEC+Z.AEB=180°,

Z4EC=ZDEC+ZAEB,

：.ZAED=Z.AEB,

DF平分/EDC

NDEC=2ZFDC

ZDFC=90°-2ZFDC,

/.2ZAED+(9O°-2ZFDC)=180°,

/.ZAED-NFDC=45°,

故答案为：ZAED-NFDC=45。；

②如图3,

图3

•「ZAEDMF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45°,

ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

,/ZDEA-Z.PEA=——4DEB=-NDEA,

147

/.ZPEA=/AED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=-ZAED=90°,

ZAED=70°,

,/ZAED+ZAEC=180°,

：.ZDEC+2NAED=180°,

/.ZDEC=40°t

1/ADWBC,

：.ZADE=Z.DEC=40°,

在^PDE中，Z£PD=180°-ZDEP-Z.AED=50°,

BPzEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

7.（1）见解析；（2）10°；（3）

【分析】

（1）过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

结合已知条件，得出即可证明；

（2）过点E作HEIICD,设由（1）得ABIICD

解析：（1）见解析；（2）10。；（3）1800-15«

【分析】

（1）过点E作EFIICD,根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出

NCDE=N£>ER结分已知条件口十匕3£-/。>£一1800,得出/FEB\N八区E=180。，

即可证明；

(2)过点E作CD,设NGEF=x,/FEB=NEFB=义由(1)得4811CD,则

ABWCDWHEf由平行线的性质，得出/。七尸=/。+/七尸8=20。+)，,再由石6平分/。砧，

得出NDEG=NGEB=NGEF+/FEB=x+义则ZDEF=ZDEG+ZGEF=2x+y,则可列

出关于x和y的方程，即可求得x,即NGM的度数；

(3)过点N作/VPIICD,过点M作QMIICD,由(1)得4811CD,贝lj

NPWCDWABWQM,ZCDM=-ZCDE>fnZCDM=a,得出=3a,根据

4

CDIIP/VIIQM,DE\\NB,得出NPND=NCDM=NDMQ=a,NEOM=NBNM=31即

/BN尸=4a,根据/VP||4B,得出NPN8=NABN=4a,再由/ABN=1/ABE,得出

4

NABM=16a,由ABWQM得出NQMB=180。—16a,因为NNMB=4NMQ+/QMB,代入。

的式子即可求出4MV.

【详解】

(1)过点E作EFIICD,如图，

,/EFWCD,

NCDE=NDEF,

4DEB-NCDE=/DEB-NDEF=/FEB、

•「ZDEB+/ABE-^CDE=180°,

NFE3+NA4£=180。，

EFWAB,

：.CDWABx

(2)过点E作HEIICD,如图，

设Z.GEF=x,/.FEB=Z.EFH=y,

由(1)得A8IICD,WOABWCDWHE,

/D=/DF.H=20°,/HEF=/EFR=y,

：.ZDEF=ZDEH+/HEF=NO+NEFB=200+y,

又「EG平分/DEB,

/./DEG=ZGEB=/GEF+ZFEB=x+y,

ZDEF=ZDEG+ZGEF=x+y+x=2x+y,

即2x+)，=200+y,

解得：x=10。,即NG所=10。；

D

H-

(3)过点N作NPIICD,过点M作QMIICO,如图,

由(1)得4811CD,贝lj/VPIICDIIADWQM,

,/NPWCD,CDIIQM,NCDM=a,

NPND=Z.CDM=ZDMQ=a,

又ACDM=-ZCDE,

4

NMOE=3NCOM=3a,

■：BNI/DE,

4MDE=NBNM=3a.

...4PNB=4PND+4BNM=a+3a=4a.

又P/VIIAB,

4PNB=4NBA=4a,

•••NABN='/ABE,

4

ZABM=4ZABN=4X4a=16a,

又•「4811QM,

：.4HM+NQM4=I80°,

ZQMB=180°-ZABM=180°-16a,

.•.4NMB=/NMQ+ZQMB=a+180。-16a=180-15c.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利

用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导带之间的关系.

8.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；(3)①150°

或30；②/EPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于点是平行线，之间

解析：(1)ZAEP+/PFC=ZEPF；(2)ZAEP+NEPF+NPFC=360°：(3)①150°或30；

②NEPF+2NEQF=360°或/EPF=2NEQF

【分析】

(I)由于点尸是平行线43,C。之间有一动点，因此需要对点尸的位置进行分类讨论:

如图1,当尸点在律的左侧时，ZAEP,/EPF,NPW满足数量关系为：

/EPF=ZAEP+/PFC；

(2)当2点在所的右侧时，ZAEP,/EPF,NP尸C满足数量关系为：

ZAEP+ZEPF+Z.PFC=360°；

(3)①若当P点在所的左侧时，NEQF=4EQ+NQ315O°；当P点在E尸的右侧时,

可求得ZBEQ+NQFD=30°：

②结合①可得NE尸尸=180O-2NBEQ+180O-2NO/'Q=3600-2(N8EQ+NPF£)),由

4EQFLBEQ+/DFQ,得出NEQ产+2/EQ/=360°；可得EPF=ZBEP+"FD,由

4BEQ+ZDFQ=4EQF,得出/EPF=2/EQF.

【详解】

解：(1)如图1,过点。作PG//A3,

图1

PG/IAB,

:.^EPG=ZAEP,

•.AB//CD,

:.PG/!CD,

:.ZFPG=ZPFC,

:.ZAEP+NPFC=NEPF；

（2）如图2,当尸点在砂的右侧时，ZAEP,ZEPF,NPFC满足数量关系为:

NAEP+NEPF+ZPFC=360°；

过点尸作尸G//A3,

.■.ZEPG+Z4£P=180°,

-AB//CD,

:.PG"CD,

.\ZFPG+ZPFC=\S（ft

ZAEP+/EPF+/PFC=3舒；

(3)①如图3,若当尸点在E『的左侧时;

♦.N£P"=60%

ZPEB+ZPFD=3609-600=3009,

EQ,FQ分别平分NPEB和/夕厂。，

:.NBEQ=；/PEB,NQFD=；Z.PFD,

/.4EQF=ZBEQ+ZQFD=-0EB+NPFD)=1x300°=150°；

22

如图4,当P点在E厂的右侧时，

图4

ZEPF=60°,

；"PEB+NPFD=(^,

；.NBEQ+ZQFD=i(/PEB-ZPFD)=gx600=30。；

故答案为：150。或30；

②由①可知：NEQF=NBEQ+NQFD=；(NPEB+NPFD)=；(3600-NEPF),

ZEPF+2NEQF=360°；

/EQF=NBEQ+NQFD=；(4PEB+ZPFD)=；NEPF,

：.NEPF=2NEQF.

综合以上可得/EPF与/EQF的数量关系为：/EPF+2NEQF=360。或NEPF=2/EQF.

【点睛】

本题主要考查J'平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的

度数，是解此题的关键.

9.(1)ZAPC=a+p,理由见解析；(2)NAPC=a-。或NAPC邛-a：(3)58°

【分析】

(1)过点P作PEIIAB,根据平行线的判定与性质即可求解；

(2)分点P在线段MN或NM的延长线

解析：（1）NAPC=a+6,理由见解析；（2）^.APC=a-6APC=6-a,（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEIIA8,艰据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段M/V或A/M的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角

的和差即可求解：

（3）过点P,Q分别作PEII48,QFIIAB,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求

解.

【详解】

解：（1）如图2,过点P作PEII八8,

图2

'：ABWCD,

/.PEWABWCD,

ZAPE=a,ZCPE=6,

/.ZAPC=Z.APE+NCPE=a+6.

（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时,

ABWCD,ZPAB=a,

Z1=ZPAB=a,

Z1=Z4PC+ZPCD,ZPCD=6t

ct=ZAPC+6,

/.NAPC=a-6i

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时,

A8IICD,ZPCD=6,

：.Z2=ZPCD=&

,.1Z2=ZPAB+ZAPC,ZPAB=a,

6=a+ZAPC,

ZAPC=6-a；

(3)如图3,过点P,Q分别作咱I4B,QFWAB,

图3

•「A8IICD,

：.4811QFWPEWCD,

ZBAP=Z.APE,ZPCD=ZEPC,

•••ZAPC=116\

：.Z8Ap+/PCD=llb\

,「AQ平分/84P,CQ平分NPCD,

Z840=BAP,ZDCQ=yZPCD,

ZBAQ+ZDCQ=y(ZB.4P+ZPCD)=58°,

A8IIQFIICD,

/.Z84Q=ZAQF,ZDCQ=ZCQF,

ZAQF+ZCQF=ZBAQ+ZOCQ=58°,

NAQC=58。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的

关键.

10.(1)ZB,EF,CD,ZD；(2)①65°；@180°-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即兀；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：(1)ZB,EF,CD,ZD：(2)①65°；②180°・ga+g尸

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点E作EFIIA8,当点B在点八的左侧时，根据N48C=60。，Z.ADC=

70。，参考小亮思考问题的方法即可求NBED的度数；

②如图2,过点E作EFII48,当点8在点A的右侧时，ZABC=a,N40C=。，参考小亮

思考问题的方法即可求出/BED的度数.

【详解】

解：(1)过点E作EFII/8,

则有NBEF=4B,

:A8IICD,

：.EFWCD,

：.ZFED=AD,

/.ZBED=NBEF+ZFED=ZB+NDt

故答案为：N8；EF；CD；ZD：

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,有，BEF=4EBA.

图1

,/4811CD,

EFWCD.

/.ZFED=AEDC.

：.Z8EF+NFEO=NEBA+ZEDC.

即NBED=NE84+NEDC,

•••BE平分NABC,DE平分NADC,

/EB4=；/48c=30°,ZEDC=；ZADC=35°,

/.ZBED=NEBA+Z.EDC=65°.

答：N8E。的度数为65°；

②如图2,过点E作EFIIA8,有N8EF+NE8A=180°.

02

ZBEF=1SQ°-ZEBA,

,/ABWCD,

EFWCD.

/.ZFEO=NEDC.

/.Z8EF+NFED=180°-ZEBA+Z.EDC.

BPZBED=180°-ZEBA+ZEDC,

•「8E平分N48C,。£平分N40C,

ZEBA=^-^.ABC=-a,ZADC=-fi,

2222

ZBED=180°-ZE8A+NFDC=180°--a+-p.

22

答：N8E0的度数为180。-；尸.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

三、解答题

11.(1);(2)①或；②秒或或秒

【分析】

(1)通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算

得到结果；

(2)①当时，分两种情况，I当在和之间，口当在和之间，由，计算出的运

动时间

解析：(1)30。；(2)①一1或〒：②N■秒或YY或秒

，。3II11

【分析】

(1)通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到NPGE=90。，再根据外角的性质

可计算得到结果；

(2)①当NMEP=20。时，分两种情况，I当ME在AE和EP之间，II当ME在律和£»

之间，由/用EQ=20。，计算出的运动时间/,根据运动时间可计算出NHW,由己知

/列次：=120°可计算出4EPN的度数；

②根据题意可知，当明HPN时,分三种情况，

I射线PN由PF逆时针转动，EM//PNt根据题意可知ZAEW=15/。，NFPN=40i。,再平

行线的性质可得=再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结

论；

II射线PN垂直AB时，再顺时针向尸产运动时，EM//PN,根据题意可知，ZA£)W=15r°,

ME//PN,ZGHP=\5t°,可计算射线PN的转动度数180。+90。-15严，再根据PN转动可列

等量关系，即可求出答案；

m射线PN垂直力3H寸，再顺时针向P”运动时，EM/fPN,根据题意可知，ZAEM=15严，

NGQV=4OC-5。，根据（1）中结论，ZPEG=30°,NPGE=60,可计算出NPE历与

NEPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论.

【详解】

解：（1）延长尸P与AB相交于点G,

如图1,

.PFA.CD,

/.ZPFD=ZPGE=9QPt

Z.EPF=NPGE+ZAEP,

/.ZA£P=ZEPF-ZPGE=1200-9（r=30o；

(2)①I如图2,

,-ZAEP=30°,/MEP=20。，

.-.ZA£A/=10°,

109

「•射线ME运动的时间=：（秒）,

9Q(¥

「•射线PN旋转的角度/FPN=-x40"=—

J。

又Z£PF=120°,

80。9QAO

.・.4EPN=NEPF-NEPN=12(F--=-^—

33

II如图3所示，

•.ZA"=30°,/MEP=20。,

:.ZAEM=50°,

・•・射线ME运动的时间，=*¥（秒），

「•射线PN旋转的角度NHW*x4（T=竿,

又ZEPF=I2O0,

400。40°

...4EPN=4FPN-/EPF=---------120°=—

33

图3

（2）I当PN由P/运动如图4时EM///W,

PN与48相交于点〃，

根据题意可知，经过，秒，

ZAfiW=15/°,/FPN=40%

•.EM//PN,

/.ZAEM=ZAHP=\51Q,

又NFPNMPGH+NPHA,

..40产=90°+15产,

解得（秒）；

n当PN运动到PG,再由PG运动到如图5时用W〃取,

PN与A8相交于点，，

根据题意可知，经过/秒，

ZAfiW=15/°,

EM//PN,

Z.GHP=15/°,4GPH=90°-]5〃，

・••PN运动的度数可得，1800+NGP〃=40r。，

解得，吟；

图5

m当PN由PG运动如图6时，EM/IPN,

根据题意可知，经过/秒，

ZAEM=\5t°,NG/W=40/-180°,

ZAEP=3（T,ZEPG=60。，

.•.//^=15产一30°,Z£^/=240°-40r,

又.EM//PN,

ZPEM+ZEPN=180°,

.\15/o-30o+40/-240o=180°,

解得，号（秒），

185490

当/的值为1秒或三或三秒时，EW///W.

图6

【点睛】

本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关

键.

12.（1）2a；（2）EF_LPQ,见解析；（3）NNEF=NAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论：

（2）根据已知条件可得2ZEPQ+2NPEF=

解析：（1）2a；（2）EF_LPQ,见解析；（3）ZNEF=^ZAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2NEPQ+2NPEF=180。，进而可得EF与PQ的位置关系；

（3）结合（2）和已知条件可得NQNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=g

(180°-ZNQE)(1800-3a),可得NNEF=180°-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

解：(1)如图①，过点P作PRIIAB,

图①

,/ABHCD,

/.ABIICDIIPR,

ZAMP=ZMPR=a,ZPQN=NRPQ=a,

ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=2a：

(2)如图②，EF_LPQ,理由如下：

寸E

图⑵

PQ平分/MPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

,/QEIIPN,

ZEQP=NNPQ=2a,

ZEPQ=NEQP=2a,

,/EF平分NPEQ,

ZPEQ=2NPEF=2ZQEF,

ZEPQ+ZEQP+ZPEQ=180°,

/.2ZEPQ+2/PEF=180°,

/.ZEPQ+ZPEF=90°,

ZPFE=180°-90°=90°,

/.EF_LPQ；

(3)如图③，ZNEF=-jZAMP,理由如下:

CNOD

图③

由（2）可知：NEQP=2Q,ZEFQ=90°,

ZQEF=90°-2a,

,/ZPQN=a,

ZNQE=ZPQN+NEQP=3a,

NE平分NPNQ,

ZPNE=ZQNE,

QEIIPN,

/.ZQEN=ZPNE,

ZQNE=NQEN,

ZNQE=3a,

NQNE=g（1800-ZNQE）（180°-3a）,

/.ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-（90°-2a）-3a-（180°-3a）

3

£

=180°-90°+2a-3a-90+2-a

=?a

=4/AMP.

ZNEF=yZAMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

13.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解

析

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

（3）设3A0N=3

70

解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）—秒，画图见解析

3

【分析】

(1)用角的度数除以转前速度即可得；

(2)求出NAON=6CT,结合旋转速度可得时间t;

(3)设3A0N=3t,则/AOC=30°+6t,由题意列出方程,解方程即可;

(4)根据转动速度关系和0C平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：(1),/304-3=10,

10秒后ON与OC重合；

(2)MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

,/ZAON+ZBOM=90°,

ZAON=60°,

一.t=60v3=20

・•・经过t秒后，MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕。点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,则/AOC=300+6t,

•••OC与OM重合，

,/ZAOC+ZBOC=180°,

可得:(300+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20利八

即经过20秒时间OC与OM重合；

ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

・「三角板绕点O以每秒3。的速度，射线OC也绕O点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,ZAOC=30°46t,;ZBOM+ZAON=90°,

ZBOC=ZCOM=|zBOM=1(90°-3t),

由题意得：180。-(300+6t)=7(90°-3t),

70

解得：-秒，

3

即经过一秒0C平分/MOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之诃的关系求出角的度数是解题的关键.

14.（1）；（2）理由见解析；（3）,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出匕3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+NABD=180。，Z1=Z

解析：（1）N2=42。；12）理由见解析：（3）N1=N2,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+/ABD=180。，Z1=ZDBC,则NABD=

ZABC-ZDBC=60°-Z1,进而得出结论;

（3）过点C作CPIIa,由角平分线定义得NCAM=NBAC=3O。，ZBAM=