2026届高考数学（新高考）专题讲义：第02讲平面向量基本定理及坐标表示(知识+真题+10类高频考点) 含答案

/第02讲平面向量基本定理及坐标表示目录TOC\o"1-2"\h\u第02讲平面向量基本定理及坐标表示 1第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题试卷回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：平面向量基本定理的应用 3高频考点二：平面向量的坐标表示 4高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） 6高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） 6第四部分：新定义题 8第一部分：基础知识1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.1.2基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.2、平面向量的正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐标运算3.1平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.3.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若，则；（2）数乘向量：若，则；（3）向量数量积：若，则；（4）任一向量：设，则.4、平面向量共线的坐标表示若，则的充要条件为第二部分：高考真题试卷回顾1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·乙卷文）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量基本定理的应用典型例题例题1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（

）A．1 B． C． D．例题2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.①用，表示；②若，求的值；(2)若，求的最小值.练透核心考点1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（

）

A． B． C． D．2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是．3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值.高频考点二：平面向量的坐标表示典型例题例题1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）典型例题例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知平面向量，，且，则（

）A． B． C． D．8例题2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）设，向量，，若，则．练透核心考点1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（

）A．6 B．4 C．8 D．32．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知向量满足.若，则实数（

）A． B． C．3 D．高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）典型例题例题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（

）A．－16 B．16 C． D．例题2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三点共线，则（

）A． B． C． D．例题3．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三点共线，求的值．练透核心考点1．（22-23高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，三点、、共线，则．2．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线：(1)，，；(2)，，；(3)，，.（22-23高一·全国·课堂例题）已知三点共线，求x的值．第四部分：新定义题1．（18-19高一下·北京东城·期中）已知集合.对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.(1)当时，设，求；(2)若，且存在，使得，求证：；(3)记.若，且，求的最大值.第02讲平面向量基本定理及坐标表示目录TOC\o"1-2"\h\u第02讲平面向量基本定理及坐标表示 1第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题试卷回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：平面向量基本定理的应用 3高频考点二：平面向量的坐标表示 9高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） 12高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） 14第四部分：新定义题 16第一部分：基础知识1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.1.2基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.2、平面向量的正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐标运算3.1平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.3.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若，则；（2）数乘向量：若，则；（3）向量数量积：若，则；（4）任一向量：设，则.4、平面向量共线的坐标表示若，则的充要条件为第二部分：高考真题试卷回顾1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．2．（2022·全国·乙卷文）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正确答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：平面向量基本定理的应用典型例题例题1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（

）A．1 B． C． D．【正确答案】D【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案.【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，所以，因为不共线，所以，故.故选：D.例题2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，联立，可解得，因为点在线段上运动，则可设，，又，所以，，因为，所以．故选：B．例题3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.①用，表示；②若，求的值；(2)若，求的最小值.【正确答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①利用向量的几何运算求解；②设，然后用表示，然通过，将也用表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；（2）设，将用表示，然后利用系数对应相等将用表示，然后利用基本不等式求最值.【详解】（1）①因为，所以，故在中，；②因为，，三点共线，设，所以，因为，所以，所以又由①及已知，，所以，解得；（2）因为，又，，三点共线，设，所以，又因为，所以，，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为.练透核心考点1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（

）

A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据题意，利用和三点共线，分别得到和，列出方程组，求得的值，进而求得的值，从而得解.【详解】由题意知，点为边的点且，点在边上，且，因为三点共线，所以存在实数使得，又因为三点共线，所以存在实数使得，可得，解得，即，因为，所以.故选：A.2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是．【正确答案】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】

因为，所以，因为，所以，且三点共线，则，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值.【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【详解】（1）由点共线可设，则，即，，，，为线段上靠近点的三等分点，，由点共线可设，即，故，解得，故，.（2），，，故，又为中点，则，故，得，，当且仅当，即时，等号成立；故的最小值为.高频考点二：平面向量的坐标表示典型例题例题1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标.【详解】由题意知与的长度相等，方向相反，所以，又因为，设，则，所以，解得，即，故选：A例题2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.【详解】由题意得，.故选：A例题3．（2024高一下·江苏·专题练习）已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是．【正确答案】【分析】根据平面向量共线可求得，当ABCD为平行四边形时可求得C的横坐标为3，即可得结果.【详解】当ABCD为平行四边形时，如下图所示：

则，依题意可得顶点C的横坐标不能取3；设顶点C的坐标为，则由可得，且，所以，即；故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是.故练透核心考点1．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案.【详解】令，则，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故选：B．2．（22-23高一下·乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是．【正确答案】【分析】利用平面向量的线性运算处理即可.【详解】如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，整理得．故高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）典型例题例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知平面向量，，且，则（

）A． B． C． D．8【正确答案】B【分析】由向量平行的坐标表示可得答案.【详解】由题意知，所以，解得．故选：B例题2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，，若，则，解得，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B例题3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）设，向量，，若，则．【正确答案】/【分析】由向量平行可得，计算即可得解.【详解】由，则有，即，由，故，故，即.故答案为.练透核心考点1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（

）A．6 B．4 C．8 D．3【正确答案】A【分析】借助向量共线定理与基本不等式计算即可得.【详解】因为向量共线，所以，解得，又，所以，，当且仅当时，等号成立.故选：A.2．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列方程求可得结论.【详解】因为，，所以，因为，，所以，所以，故选：A.3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知向量满足.若，则实数（

）A． B． C．3 D．【正确答案】B【分析】根据给定条件，求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由，得，由，得，所以.故选：B高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）典型例题例题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（

）A．－16 B．16 C． D．【正确答案】A【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解.【详解】由题意得，，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.例题2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、