2026年（新高考）数学（二模）专项练习：解析几何 含答案

/专题09解析几何题型01直线与圆的位置关系1．（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（

）A．16 B．4 C．21 D．2．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（

）A． B． C．2 D．3．（2025·山东菏泽·二模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（

）A．5 B．10 C． D．4．（2025·江苏·二模）已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（

）A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点5．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）A． B．C． D．6．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（

）A．1 B． C． D．27．（2025·福建莆田·二模）设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（

）A．0个 B．4个 C．8个 D．16个8．（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（

）A．当时，圆与圆相切B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为C．当时，圆与圆相交D．当时，圆与圆相交于两点，且9．（多选）（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．圆C的半径为2B．满足的点M有1个C．的最大值为D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个10．（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为．11．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为.12．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为．13．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线，，点在上．(1)求的最小值；(2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．（ⅰ）求直线斜率的取值范围；（ⅱ）证明直线过定点．题型02椭圆及直线与椭圆位置关系1．（2025·云南曲靖·二模）如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2025·安徽淮北·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（

）A．2 B． C．4 D．83．（2025·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．9 D．85．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为.6．（2025·河北·二模）已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.(1)求椭圆M的标准方程.(2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.7．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．8．（2025·山西·二模）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.(1)求C的方程；(2)证明：；(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.9．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②设直线，相交于点，求证：为定值.题型03双曲线及直线与双曲线位置关系1．（2025·云南昆明·二模）双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2025·山东聊城·二模）双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．244．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2025·河北·二模）设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（）A．存在使得B．P到两条渐近线的距离之积为定值C．当直线运动时，始终有D．△内切圆的圆心的横坐标为7．（2025·山东菏泽·二模）已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为．8．（2025·山西·二模）设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则.9．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为.10．（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为(1)求双曲线的方程；(2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标.11．（2025·湖北黄冈·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，．(1)求的方程；(2)若不在轴上，满足，求的横坐标；(3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．12．（2025·云南曲靖·二模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．①求的值；②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．题型04抛物线及直线与抛物线位置关系1．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（

）A．的最小值为4B．以线段为直径的圆与直线相切C．当时，则D．2．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线的倾斜角为B．以线段为直径的圆与相切C．存在直线，使得D．若直线交于点，则3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（

）A．拋物线C的方程为：B．若三点共线，则点横坐标为C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是D．若点，且三点共线，则的最小值是94．（多选）（2025·河南新乡·二模）已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（

）A．存在无数个点，使得B．存在无数个点，使得C．存在无数个点，使得D．仅存在一个点，使得且5．（多选）（2025·山东滨州·二模）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．（多选）（2025·河北·二模）已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2C．若，则恒过点D．若直线过点F，则7．（2025·湖北武汉·二模）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（

）A．4 B．3 C． D．8．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知O为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线：是线段AB的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C． D．9．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时，.10．（2025·吉林长春·二模）已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为．11．（2025·河北邯郸·二模）已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为．12．（2025·山东菏泽·二模）抛物线的焦点为，且过点．(1)求的方程；(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标．13．（2025·山东青岛·二模）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.(1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；(2)若||＝，求面积的最大值;(3)证明：||·||=.题型05轨迹方程问题1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（

）A． B．C． D．2．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（

）A． B．C． D．3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（

）A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（

） B．C． D．5．（2025·河北·二模）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．(1)求点Q的轨迹E的方程；(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．6．（2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.(1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程；(2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程.题型06定义新曲线问题1．（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线是“和美曲线”B．点是曲线的一个顶点C．曲线所围成的封闭图形的面积D．当点在曲线上时，2．（多选）（2025·辽宁·二模）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（

）.A．点在曲线上B．双纽线的方程为C．D．点在椭圆上，若，则3．（2025·江西九江·二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（

）A． B． C． D．4．（多选）（2025·山东聊城·二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（

）

A．当时，取到最大值 B．的取值范围是C．直线是曲线的一条切线 D．若是曲线的渐近线，则5．（多选）（2025·广东揭阳·二模）已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（

）A．曲线有4条对称轴B．曲线形成封闭图形的面积大于C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切D．当时，直线与曲线相切6．（多选）（2025·陕西西安·二模）已知曲线，则下列结论正确的是（

）A．若，则曲线表示一条直线B．曲线上的点到原点的距离的最小值为C．若，则曲线与直线只有1个公共点D．若曲线与直线只有2个公共点，则题型07圆锥曲线与向量等知识交汇问题1．（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（

）A．（除去点）， B．（除去点），C．， D．，4．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程．5．（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．6．（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D.(1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程(2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.(3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值.7．（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；(2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为．①求证：为定值；②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．专题09解析几何题型01直线与圆的位置关系1．（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（

）A．16 B．4 C．21 D．【正确答案】B【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解.【详解】圆的圆心，半径，则，所以.故选：B2．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（

）A． B． C．2 D．【正确答案】C【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.【详解】易知圆的圆心为，半径为，设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，，所以圆心到直线的距离，解得或，又，所以，故选：C3．（2025·山东菏泽·二模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（

）A．5 B．10 C． D．【正确答案】D【分析】由题意可得直线过定点，当时，弦长最短，结合勾股定理代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，令，解得，所以直线过定点，又圆的圆心，半径，则，当时，弦长最短，此时.故选：D4．（2025·江苏·二模）已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（

）A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点【正确答案】B【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线的倾斜角，从而求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，即可判断.【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为，将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，圆：的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交但不过圆心.故选：B.5．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，所以整理得，故选.6．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【正确答案】C【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案.【详解】因点的坐标满足，则点在圆上，因直线过的圆心，则点关于直线对称的点必然在圆上，联立，得，因圆与圆仅有唯一公共点，因此点关于直线对称的点只能是点，设直线与线段交于点，因，，则由垂径定理可得，，则在中，，因此.故选：C7．（2025·福建莆田·二模）设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（

）A．0个 B．4个 C．8个 D．16个【正确答案】B【分析】设，，表达出正方形边长，求出等号成立时，，得到答案.【详解】，由勾股定理得，设，，则，，由对称性可知，，所以，当且仅当时，等号成立，此时不妨设点为点，则，同理可得，，经验证，在上，故该正方形与圆的公共点至多有4个.8．（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（

）A．当时，圆与圆相切B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为C．当时，圆与圆相交D．当时，圆与圆相交于两点，且【正确答案】AB【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系.【详解】圆，则，圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为，则，，，对于A，当时，，，则，故两圆内切，故A正确；对于B，当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确；对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误；对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误.故选：AB.9．（多选）（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．圆C的半径为2B．满足的点M有1个C．的最大值为D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个【正确答案】AC【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D．【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确；选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是，最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误；选项C：令，则，所以，将点的坐标代入圆的方程并整理，得，依题意有，即，解得，因此的最大值为，故C正确．选项D：不妨设，由于，所以，整理得．因为点在圆上，所以，则，因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点，所以，得，所以符合要求的点是唯一的，故D错误．故选：AC.10．（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为．【正确答案】【分析】由直线的方向向量设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得.【详解】因为直线的方向向量为，所以设直线方程为，即，又直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为.故答案为.11．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为.【正确答案】【分析】求出过点且与直线垂直的直线方程，再令求出，即可得解.【详解】设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，所以，即圆心在直线，又圆心在轴上，令，可得，所以圆心坐标为.12．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为．【正确答案】【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，则抛物线，直线的方程为，由，则，显然，所以，故，所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为，故以为直径的圆被轴截得的弦长为.故13．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线，，点在上．(1)求的最小值；(2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．（ⅰ）求直线斜率的取值范围；（ⅱ）证明直线过定点．【正确答案】(1)取最小值为(2)（ⅰ）直线斜率的取值范围为；（ⅱ）证明见解析．【分析】（1）设，由两点间的距离公式可得，进而可求最小值；（2）记直线的斜率分别为，设切线方程为，由题意可得，进而可得，联立直线与椭圆方程可得，（ⅰ）可得，计算可求直线斜率的取值范围；（ⅱ）可求得直线的方程为，进而可求定点.【详解】（1）设，则，又，所以，所以当时，取最小值，最小值为.（2）记直线的斜率分别为，因为点的横坐标为2，可得，设过的圆的切线方程为，由题意可得，即，因为是方程的根，所以，又，所以，所以，即，（ⅰ）因为的斜率为，所以，又因为，所以.即直线斜率的取值范围为；（ⅱ）因为，所以，所以直线的方程为，即，即，即，令，则，所以直线过定点．题型02椭圆及直线与椭圆位置关系1．（2025·云南曲靖·二模）如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】设圆柱底面圆的半径为R，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果.【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以，圆柱的轴与一平面所成角为，所以椭圆的长轴长为，所以，离心率为，故选：D2．（2025·安徽淮北·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（

）A．2 B． C．4 D．8【正确答案】C【分析】可先求出抛物线的焦点坐标，再根据椭圆的性质求出的值，最后根据椭圆长轴长与的关系求出椭圆长轴的长.【详解】在抛物线中，焦点坐标为.因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以椭圆的焦点在轴上，且（为椭圆的半焦距）.在椭圆中，，又因为，所以.而在椭圆中，，所以.椭圆的长轴长为.故选：C.3．（2025·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】这道题考查的是椭圆的离心率.抓住已知角，设，先在中用一次余弦定理解出与的关系，然后在中再用一次余弦定理求出与的关系，最后得出结论即可.【详解】设，由，得，由椭圆定义可知，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），在中，，，解得离心率.故选：D.4．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．9 D．8【正确答案】A【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6.【详解】易知椭圆中，即可得，又圆的圆心为，半径，易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，因此可将的最小值转化为求的最小值，由椭圆定义可得；此时点在处，使得的最小值为6.故选：A5．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为.【正确答案】【分析】由椭圆的定义结合题意可得出，，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.【详解】由题可知，由椭圆的定义知：，，所以，又因为，所以，，所以，解得：，，所以在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，所以，可得：，即，所以，因为，所以.

6．（2025·河北·二模）已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.(1)求椭圆M的标准方程.(2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.【正确答案】(1)(2)四边形为平行四边形，答案见解析【分析】（1）根据离心率及短轴长列式求出，即可得出椭圆方程；（2）联立方程组，结合点的坐标得出斜率，结合斜率关系证明即可.【详解】（1）由已知，得，，，所以，，所以椭圆的标准方程为.（2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为.由解得或（舍去），所以点的坐标为，从而点的坐标为，于是直线的斜率，直线的方程为.又直线的方程为，由得；由得.直线的方程为，直线的方程为，由得.因为直线的斜率，直线的斜率，所以，，所以四边形为平行四边形.7．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．【正确答案】(1)；(2)．【分析】（1）设椭圆的焦点为，由，求得，进而得，由椭圆定义求得，得解；（2）设，当直线的斜率存在时，设直线，由，可得，联立直线与椭圆的方程得到根与系数关系，求得，进而得点在直线上，当直线的斜率不存在时，易得点也满足在直线上，由平面几何知识求解得到答案.【详解】（1）设，依题意，，解得，从而，因此，由勾股定理可得．所以，可得．所以求椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，，由，可得，解得．（*），设直线，联立整理可得，由，整理可得：，解得或，且，代入（*）整理可得，代入直线的方程，得，可得．当直线的斜率不存在时，，则，由，得，也满足方程，所以点在直线（在椭圆内部）上．设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，此时点在椭圆内，符合题意，所以的最小值为.

8．（2025·山西·二模）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.(1)求C的方程；(2)证明：；(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【正确答案】(1)；(2)证明见解析；(3)是，定值3.【分析】（1）根据题意得，求解即可.（2）设直线l方程为：，与椭圆方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可证明.（3）法1：结合两点斜率公式得，由韦达定理得，代入化简得为定值.法2：结合两点斜率公式得，由点

E在椭圆上得，与联立化简得为定值.【详解】（1）因为C的短轴长为2，离心率为，所以，解得，所以C的方程为.（2）设直线l方程为：，设，，联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，，因为，所以，，（*）因为，所以，即.（3）直线和的斜率比值为定值，理由如下：法1：因为，由（*）知，，代入上式得，.所以直线和的斜率比值为定值3.法2

因为，因为，所以，所以，由（2）知，两式相除得，.9．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②设直线，相交于点，求证：为定值.【正确答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程；（2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明.【详解】（1）由，，所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，设椭圆方程为，焦距为，则，，所以，所以的方程为.（2）①由，直线的斜率存在且不为．设直线的方程为，，，，联立，得，则，，，所以．又，所以，，所以.②由①知，所以．作关于轴的对称点，则，，三点共线．又，，设.则直线方程即为直线方程.又直线方程为，作差，得，所以，所以，，由，得．又因为，所以，即，即，所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，所以．题型03双曲线及直线与双曲线位置关系1．（2025·云南昆明·二模）双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】求出双曲线渐近线方程，进而求出即可求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，所以的离心率为.故选：B2．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率.【详解】根据题意如图：

点，其中一条渐近线为即，所以的最小值为点到直线的距离，所以，因为为直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的离心率为，故选：D.3．（2025·山东聊城·二模）双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．24【正确答案】D【分析】设，，联立直线l与双曲线E的方程，得，再求出E，F点坐标，根据即可得解.【详解】设，，联立直线l与双曲线E的方程，得，消去x，得，则，且，双曲线的渐近线方程为，联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得，得，即，同理，因为E，F是线段AB的三等分点，所以，即，则，所以，则，所以.故选：D4．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示，根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形，设，因为，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即，所以，即.故选：D.5．（2025·河北·二模）设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据角平分线定理结合余弦定理计算离心率即可.【详解】由题设，由角平分线定理可得，则，.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得.由得.解得.则，即，所以双曲线的离心率为.故选:B.6．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（）A．存在使得B．P到两条渐近线的距离之积为定值C．当直线运动时，始终有D．△内切圆的圆心的横坐标为【正确答案】BC【分析】设，计算直线的斜率，比较斜率关系即可判断A；先确定渐近线，分别计算距离求解即可判断B；设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，利用弦长公式确定关系即可判断C；设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标即可判断D.【详解】双曲线的，所以，则双曲线渐近线方程为，设，则，且，对于A，，则，则，而，而，所以，则不存在使得，故A不正确；对于B，点到两条渐近线的距离分别为，故，则到两条渐近线的距离之积为定值，故B正确；对于C，设点，显然直线的斜率存在，设直线，且，联立方程，所以，所以，直线分别与渐近线与联立得，，得，所以有，即，由题可知，所以，故C正确；对于D，如图所示：设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，故，即，设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，故，解得，故D错误.故选：BC.7．（2025·山东菏泽·二模）已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为．【正确答案】【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率.【详解】如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点，由，可知，由，可知，令，则，即，根据双曲线定义：，即，，再由勾股定理可得：，即，即，8．（2025·山西·二模）设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则.【正确答案】2【分析】对于双曲线，，，到渐近线的距离，由圆与C的一个公共点为A，与圆相切，在直角三角形中，由勾股定理求解即可.【详解】对于双曲线，，，其渐近线方程为，，到渐近线的距离，所以圆的半径，因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，，由双曲线定义知，则，在直角三角形中，根据勾股定理，而，所以.即，所以，因为，解得.故9．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为.【正确答案】【分析】由对称性可知、为与抛物线的交点，联立求出其中一个交点坐标，代入双曲线方程，结合焦距得到，进而求出离心率.【详解】由对称性知、关于轴对称，为正三角形，则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，联立与得或0（舍去），当时，，故其中一个交点为，设双曲线方程为，故，解得，在双曲线上，，，故离心率为；10．（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为(1)求双曲线的方程；(2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标.【正确答案】(1)；(2)【分析】(1)先根据直线斜率之积得到关于的方程，解出的值，再将的值代入另一个方程求出的值，最后根据双曲线标准方程的形式得出双曲线的方程．(2)方法1通过设直线方程与双曲线方程联立，结合已知点在直线上得到关于的表达式，再根据面积关系列出等式求解，进而得到点坐标；方法2先求出直线PQ与轴交点的横坐标关于的表达式，再根据面积关系消去，得到关于的方程，最后联立双曲线方程求解点坐标．【详解】（1）由得，解得，又，解得，于是的方程为.（2）（方法1）设，显然，设直线，与0联立，消去得，则，又在直线上，得，代入上式得，于是，即，整理得，解得，进而，即所求点坐标为.（方法2）设，显然直线的斜率存在，其方程为：，令，解得依题意将（1）代入上式，消去得.整理得，即由知联立，解得.即所求点坐标为.

11．（2025·湖北黄冈·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，．(1)求的方程；(2)若不在轴上，满足，求的横坐标；(3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析，【分析】（1）由双曲线的定义结合图中几何关系以及关系可得；（2）设的方程为，直曲联立，由判别式等于零得到斜率进而得到直线方程，再由两直线垂直得到斜率关系写出方程，然后联立解出的横坐标；（3）当时，由两直线垂直斜率关系得到直线的方程，联立的方程解出的坐标，再代入双曲线方程后可得；当时，代入验证可得.【详解】（1）当轴时，由双曲线的定义可知，所以在中，有，即，解得，所以，故双曲线的方程为．（2）设的方程为，其中．联立，消去得，由题意可得，把代入得，整理得，因为，所以，从而有，即，解得，所以的方程为，化简得，故的方程为．由（1）可知，所以直线的斜率为，因为点不在轴上且，所以直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，故点的横坐标为．（3）由（2）可得当时，直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，因为点满足，所以，代入式，化简得，则，即；当时，，也符合上式，故点的轨迹为圆，该圆的方程为．12．（2025·云南曲靖·二模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．①求的值；②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．【正确答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据垂直平分线的性质及双曲线的定义得到动点在以、为焦点的双曲线上，从而求出方程；（2）①设，，，利用点差法求出，即可得到，再由斜率公式计算可得；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，表示出、，再由求出的范围，即可得解.【详解】（1）的圆心为，半径，因为点在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点在线段的延长线或反向延长线上，所以，所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，则，，所以，所以点的轨迹方程，即曲线的方程为；（2）①设，，，则，所以，即，即，因为关于直线对称，所以，所以，即，因为，所以，所以；②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由，整理得，由，所以，则，，所以，则，因为，所以，所以，所以，，在中，，又均在轴的右侧，所以，解得，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.题型04抛物线及直线与抛物线位置关系1．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（

）A．的最小值为4B．以线段为直径的圆与直线相切C．当时，则D．【正确答案】BCD【分析】由题设可得，，设，联立抛物线并应用韦达定理得，，应用弦长公式、抛物线的定义求弦长，确定的中点横坐标，即可得判断A、B、C；应用向量数量积的坐标表示及韦达公式化简判断D.【详解】由题设，则，，可设，联立抛物线得，显然，所以，，则，当且仅当时等号成立，A错；由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为，即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；若，且，则，而，所以，则，所以，则，C对；由，D对.故选：BCD2．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线的倾斜角为B．以线段为直径的圆与相切C．存在直线，使得D．若直线交于点，则【正确答案】BD【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出和的值，再结合求出，进而得到直线斜率和倾斜角.对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与的关系，判断圆与准线是否相切.对于C选项：通过向量垂直性质，计算，看是否能满足.对于D选项：先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合，判断与纵坐标是否相同，确定BD与准线的位置关系.【详解】对于A选项，抛物线的焦点，准线.设直线AB的方程为，，.联立，消去得，则，.由抛物线的定义知，.因为，所以，即.又，联立可解得，则直线AB的斜率，倾斜角为或，所以A选项错误.对于B选项，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为.根据抛物线的定义，，，则.所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确.对于C选项，，，若，则.由，，可得，则，所以不存在直线AB使得，C选项错误.对于D选项，直线AO的方程为，令，得.因为，所以.又，则，所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，D选项正确.故选：BD.

3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（

）A．拋物线C的方程为：B．若三点共线，则点横坐标为C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是D．若点，且三点共线，则的最小值是9【正确答案】AD【分析】A先求出点坐标，再将其代入抛物线方程中；B先设直线得出韦达定理，再利用点坐标设切线方程并与抛物线方程联立，利用求出切线方程，即可求出点的坐标；C利用弦长公式求出，再计算点到直线的距离即可求；D设直线方程，再利用弦长公式求出的长度，最后利用基本不等式求最值即可.【详解】对于A，因为，且在圆上，所以由对称性不妨设，又因为点在抛物线上，所以，因此抛物线方程，故A正确；对于B，设，且过的直线方程，联立，得，则，设在点处的切线方程为，与联立得，，因，则，则在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程，所以联立，并结合，解得，所以点，所以点的横坐标为，即，故B错误；对于C，因为过的直线方程的倾斜角，所以，联立，得，则，所以，又由B选项可知，，所以点到直线的距离是，所以，故C错误；

对于D，设过的直线方程联立，得，则，又因为，同理，，且，所以，等号成立的条件为，即，即，故D正确.

故选：AD.4．（多选）（2025·河南新乡·二模）已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（

）A．存在无数个点，使得B．存在无数个点，使得C．存在无数个点，使得D．仅存在一个点，使得且【正确答案】BC【分析】根据曲线方程得或，结合已知点坐标和直线判断各项的正误.【详解】由，得，得或.是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故曲线上不存在无数个点，使得，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，联立与，得，或，所以仅存在两个点，使得且，所以A、D错误，B，C正确.故选：BC5．（多选）（2025·山东滨州·二模）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】AC【分析】根据已知有且，，利用抛物线焦点弦的性质表示点M的坐标，代入双曲线方程化简后得离心率方程，即可求解.【详解】由题设且，，当时，由抛物线的性质可知，所以，故，所以，即，化简得，所以，求得或，又，得到，解得（负值舍）；当时，则，由抛物线的性质可知，则，所以，所以即，化简得，所以，所以，所以，所以或,解得、或，又，所以，解得.综上，或.故选：AC6．（多选）（2025·河北·二模）已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2C．若，则恒过点D．若直线过点F，则【正确答案】ACD【分析】由题意可得，可求判断A；利用点差法可求得的斜率判断B；设：，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系结合已知可得，求解判断C；设：，联立直线和抛物线方程，利用根与系数的关系可得，可判断D.【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确；对于B，设，则，两式作差得，所以直线的斜率为，故B错误；对于对于C，设：，联立直线和抛物线，则，，，所以．因为，所以，所以，解得，所以直线恒过点，故C正确；对于D，由A得，可设：，联立直线和抛物线，则，，，所以，故D正确．故选：ACD．7．（2025·湖北武汉·二模）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（

）A．4 B．3 C． D．【正确答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出【详解】抛物线的焦点，设直线，点，由消去得，则，，即，，，则，因此，所以.故选：A8．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知O为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线：是线段AB的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C． D．【正确答案】BC【分析】根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立化简整理，由韦达定理判断A；由条件可得直线的方程，利用弦长公式求出，并求出原点到直线的距离，计算可判断B；由中点坐标公式及点在直线上，求出可判断C；根据及可判断D.【详解】

根据题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，与抛物线方程联立，可得，∴，，∴，，对于A，若，则，故A错误；对于B，若，由题意，则，得，∴直线的方程为，，∵，原点到直线的距离，∴，故B正确；对于C，由题意为线段的中点，则，即，又，点在直线上，则，故C正确；对于D，由，得，则，∴由得，又，解得，故D错误，故选：BC.9．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时，.【正确答案】【分析】直曲联立，可得方程两根的和与积，点坐标已知，表达与的斜率之积，可得定值，要求参数的范围，需要构建两根和与积之间的等量关系，与的斜率乘积代换即可实现.【详解】设，由可知.由知，，解得.，①，②.又，，即，化简得，将①②代入上式可得，解得或，满足.当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述.10．（2025·吉林长春·二模）已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为．【正确答案】【分析】由题意设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，设出动点的坐标，表示出直线的斜率，由题意建立方程，可得答案.【详解】

由题意设直线的方程为，联立，消去，可得，由，设，，则，，设，则直线的斜率，直线的斜率，由题意可得，化简可得，则，解得，所以.11．（2025·河北邯郸·二模）已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为．【正确答案】【分析】联立抛物线与圆的方程，利用可求，进而求得两点坐标，可求的面积.【详解】将抛物线方程代入曲线中：，由，得，解得或，由，可知，所以两点横坐标均大于等于0，故不符合题意，两点的横坐标为，纵坐标为，由抛物线方程可得，．故答案为.12．（2025·山东菏泽·二模）抛物线的焦点为，且过点．(1)求的方程；(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标．【正确答案】(1)(2)①证明见解析；②P.【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程；（2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为.（2）①设直线方程为，，，由得：，则，，，又，易知点，所以垂直于轴，所以，所以点到和的距离相等.②因为，所以，故直线PA//FQ，所以，由①知，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P.13．（2025·山东青岛·二模）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.(1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；(2)若||＝，求面积的最大值;(3)证明：||·||=.【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点；（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值.（3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论.【详解】（1）设，，由得，则直线的方程为，即，即，同理，直线的方程为

，又直线与直线都过，则，，从而均在直线上，故直线的方程为，又，故直线的方程为，故直线过定点；（2）联立，得，，则，则，于是，，又点N到直线AB的距离，所以(当时取等号).则面积的最大值为；（3）由题意知直线斜率存在，且.设直线方程为，由，得，，.对求导，，所以，，直线的方程为，又，直线的方程为，同理可得直线的方程为.由，得，所以，当时，||=||=2，，所以||·||=；当时，，，又，，所以.所以||·||=，综上：||·||=.题型05轨迹方程问题1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】由题意可得，求解可得双曲线方程.【详解】由题意知，解得，则双曲线方程为.故选：B.2．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解.【详解】如图，，解得，所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，则，，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为，整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B.3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（

）A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线【正确答案】ACD【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可.【详解】设圆的半径.当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点，此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确；当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项B错误；

当点在圆内且非圆心时，如图所示.∵点是线段的中垂线与直线的交点，，，（其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；

当点在圆外时，如图所示.∵点是线段的中垂线与直线的交点，，，或，∴或（其中为圆的半径），即，∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.

故选：ACD.4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（

） B．C． D．【正确答案】B【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点.【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时，易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即；当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为，所以切线的斜率为，又切线过点，所以切线的方程为，整理得，又点在圆上，所以，故切线的方程为.易知，在切线的方程中，令，则，令，则，所以，所以直线的斜率，直线的方程为，直线的斜率，直线的方程为，联立直线和直线的方程，解得，所以点，又，所以点所满足的方程为，因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即，且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程，所以点的轨迹方程为.故选：B.5．（2025·河北·二模）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．(1)求点Q的轨迹E的方程；(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．【正确答案】(1)；(2)点H在一条定直线上，直线方程为．【分析】（1）由椭圆的定义确定Q的轨迹，得出求解即可；（2）设，，，，解法一，根据向量坐标运算化简可得，设直线的方程为：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系结合化简可得；解法二，设直线方程为，同解法一建立纵坐标间关系，化简可得，当直线斜率不存在或斜率为0时，验证即可.【详解】（1）如图，由题意知所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆的方程为，则，，，所以椭圆方程为．（2）如图，解法一：设，，，，由可得，则，即①，由可得，则，即②，所以，整理得③当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得，消去得，，，代入③得，又因为，所以．直线的斜率不存在时，不妨取，，则，，则，，解得，综上可得，点在一条定直线上，直线方程为．解法二：设，，，，由可得，则，即①由可得，则，即②所以，整理得③当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为，联立，消去得，，，代入③得当直线的斜率为0时，，，则，恒成立，点H在上也成立，综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为．6．（2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.(1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程；(2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程.【正确答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标，再由抛物线方程求出点，进而求出即可.（2）联立直线与抛物线、椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式列式求解.【详解】（1）由椭圆：，得右焦点，而是抛物线的焦点，则，所以抛物线；由对称性不妨令，由，得，解得，即点，则，因此椭圆的长半轴长，短半轴，所以椭圆的标准方程为（2）直线不垂直于轴，设其方程为，，由，得，即，由消去，得，则，由消去，得，则，因此，解得，所以直线的方程为.

题型06定义新曲线问题1．（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线是“和美曲线”B．点是曲线的一个顶点C．曲线所围成的封闭图形的面积D．当点在曲线上时，【正确答案】AD【分析】由曲线方程结合选项逐项判断即可.【详解】对于A，将代入曲线方程，易知成立，故曲线关于原点对称，将代入，易知成立，故曲线关于坐标轴对称，故A正确；对于B，令可得：，即，故B错，对于C，，所以曲线所围成的封闭图形在椭圆内部，而椭圆面积为：，故C错误；对于D,由，可得：，所以，当时取等号，故D正确；故选：AD2．（2025·辽宁·二模）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（

）.A．点在曲线上B．双纽线的方程为C．D．点在椭圆上，若，则【正确答案】AD【分析】利用曲线的定义可判断A选项；在双纽线上任取一点，由结合两点间的距离公式可化简得出双纽线的方程，可判断B选项；将曲线的方程化为，令可知关于的方程有解，结合可判断C选项；利用椭圆的定义、双纽线的定义以及勾股定理可判断D选项.【详解】对于A选项，记点，则，，所以，所以点在曲线上，A对；对于B选项，在双纽线上任取一点，由题意可得，即，即，即，即，整理可得，B错；对于C选项，由可得，令，则，所以关于在上有解，设该方程在上的两根分别为、，所以，解得，故，当时，可得，即，解得，即点在双纽线上，故的取值范围不是，C错；对于D选项，椭圆的标准方程为，所以，，则，所以椭圆的两个焦点恰好为、，由椭圆的定义可得，由可得，因为，解得，因此，，D对.故选：AD.3．（2025·江西九江·二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】先将曲线放入平面直角坐标系中，确定的坐标，再利用判别式法求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可.【详解】如图，设为原点，我们可以把放入平面直角坐标系中，连接，再利用曲线的对称性，我们不妨设，因为，所以，我们把视为以为主元的一元二次方程，故，解得，即，代入，解得，此时，此时由两点间距离公式得，故D正确.故选：D.4．（多选）（2025·山东聊城·二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（

）

A．当时，取到最大值 B．的取值范围是C．直线是曲线的一条切线 D．若是曲线的渐近线，则【正确答案】BCD【分析】由笛卡尔叶形线过点得曲线方程为，设的最大值为，则曲线与在第一象限只有一个交点，构造函数，根据导数结合函数只有1个零点即可判断A；同理即可判断B；若直线是曲线的一条切线，则与曲线在第一象限只有一个交点，联立方程组即可判断C；根据极限思想即可判断D．【详解】由笛卡尔叶形线过点得，，解得，所以，对于A，设的最大值为，则曲线与在第一象限只有一个交点，联立得，设，令，解得，当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，又，所以必满足，即，解得，所以的最大值为，此时，故A错误；对于B，设的最大值为，则曲线与在第一象限只有一个交点，联立得，与A同理得，，所以的取值范围是，故B正确；对于C，若直线是曲线的一条切线，则与曲线在第一象限只有一个交点，联立得，整理得，所以方程有2个相等的实数根，所以与曲线在第一象限只有一个交点，故C正确；对于D，因为曲线过，所以不是曲线渐近线，设曲线的渐近线为，代入曲线方程得，同时除以得，，当时，，此时，则上式为，当，此时，所以曲线的渐近线为，即，故D正确；故选：BCD．5．（多选）（2025·广东揭阳·二模）已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（

）A．曲线有4条对称轴B．曲线形成封闭图形的面积大于C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切D．当时，直线与曲线相切【正确答案】ACD【分析】对于A，根据绝对值的特征易得曲线有4条对称轴；对于B利用定积分求出第一象限内的面积，即可判断；对于C，先求得线段中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用图形的对称性和关键点即可判断；对于D，设直线的方程，再与曲线方程联立，利用条件代入计算求得一个解，即可判断.【详解】对于A，由绝对值的特征，曲线在四个象限内都有对称性，即关于轴，轴，以及直线和直线对称，故曲线有4条对称轴，A正确；对于B，因曲线在第一象限的方程为，即，，则曲线在第一象限内的面积为，因曲线的对称性，在四个象限内的部分面积相同，故曲线形成封闭图形的面积为，故B错误；对于C，如图，考虑曲线的对称性，不妨设直线与x，y轴的正半轴分别交于两点，线段的中点为，由图知，，即点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，该圆与曲线都关于直线对称，且在第一象限都经过直线上的点，由图可知圆与曲线相切，同理在其他象限也有相同的结论，故C正确；对于D，不妨设，则直线的方程为，其中，由消去，可得，将代入，化简得：，即，解得，由函数的定义，可得直线与曲线在第一象限有且只有一个共同点，故此时直线与曲线相切，同理在其他象限也有相同的结论，故D正确.故选：ACD.6．（2025·陕西西安·二模）已知曲线，则下列结论正确的是（

）A．若，则曲线表示一条直线B．曲线上的点到原点的距离的最小值为C．若，则曲线与直线只有1个公共点D．若曲线与直线只有2个公共点，则【正确答案】ABD【分析】分和讨论曲线的形状，画出图象，结合图象判断各选项.【详解】若，则曲线，即,则曲线表示一条直线，故A正确；若，曲线，当时，曲线方程为，表示圆的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在轴上的等轴双曲线的一部分，当时，方程不表示任何曲线，所以曲线大致图象如图所示：对于B，当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为0，当时，由图可知，曲线上的点到原点的距离的最小值为，故B正确；对于C，若，由图可知，则曲线与直线没有公共点，故C错误；对于D，当时，曲线与直线不可能只有2个公共点，不符合题意；当时，直线过定点，结合题意易得，当直线与相切时，可得，解得（舍去）或，此时直线为与曲线只有1个公共点，当时，直线与曲线只有1个公共点；当时，若直线与交于两点，则必定与交于一点，此时直线与曲线有3个公共点，不符合题意，要使直线与曲线有2个公共点，则直线与交于一点，且与相切，如下图，联立，即，则，解得（舍去）或，故D正确.故选：ABD.题型07圆锥曲线与向量等知识交汇问题1．（2025·山东潍坊·二模）在中，