2026年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学模拟卷 含答案

/2026年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共12题；共60分)1．（5分）设全集U={x∈N|x(A．{1，3} B．{2，4，5}C．{1，3，5} D．{0，2，4，5}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z(1−i)A．−1 B．1 C．−i D．3．（5分）已知向量a=(2，4)，b=(2，m)A．25 B．5 C．210 D．4．（5分）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（）A．29 B．127 C．195．（5分）已知数列3an是公比为3a1的等比数列，Sn是数列aA．1 B．32 C．526．（5分）执行右边的程序框图，则输出的B=A．−5 B．7 C．0 D．27．（5分）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(A．14 B．13 C．128．（5分）某运动员在10米跳台起跳后，其速度v与时间t的函数为vt=−9.8tA．9.8米 B．9.9米 C．10米 D．10.1米9．（5分）已知双曲线x2a2−y2bA．55 B．255 C．310．（5分）在三棱锥P−ABC中，△ABCA．1 B．3 C．2 D．311．（5分）已知函数fx=ex−e−A．0,18 B．18,+∞ C．12．（5分）已知函数f(x)=sin3(ωx+A．−32 B．−32 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共21分)13．（6分）若等比数列{an}满足a2a4=a514．（5分）若幂函数y=(m2−15．（5分）变量x，y满足的约束条件x+y−5≤04x16．（5分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(共7题；共79分)17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1）（6分）求a；（2）（6分）若A=2π3，且△ABC18．（12分）如图：三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC（1）（6分）若点M是AB中点，证明：平面MCC1⊥（2）（6分）判断点M到平面A119．（12分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.（1）（6分）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）（6分）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.20．（12分）设函数f(x)=（1）（6分）当a=1时，求f（2）（6分）若f(x)≥21．（11分）两条动直线y=k1x和y=k2x分别与抛物线C：y2=2px(p>0)相交于不同于原点的（1）（5分）求p；（2）（6分）若k1k2=−4，弦AB中点为P，点M(-2，0)关于直线AB的对称点22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+12（1）（5分）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）（5分）若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点P(1，2)，求|23．（10分）设函数f(（1）（5分）求不等式f(（2）（5分）若a>0，b>0，且f

答案解析部分1．【正确答案】D【知识点】并集及其运算；补集及其运算2．【正确答案】B【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算3．【正确答案】B【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示4．【正确答案】A【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理5．【正确答案】D【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和6．【正确答案】B【知识点】循环结构；条件语句7．【正确答案】C【知识点】椭圆的简单性质8．【正确答案】B【知识点】导数的四则运算9．【正确答案】D【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的定义10．【正确答案】A【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中平面与平面之间的位置关系11．【正确答案】C【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的概念与表示；基本不等式12．【正确答案】A【知识点】三角函数诱导公式二～六；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质13．【正确答案】2；2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和14．【正确答案】2【知识点】偶函数；幂函数的概念与表示15．【正确答案】2【知识点】简单线性规划16．【正确答案】[2【知识点】球的性质17．【正确答案】（1）a=2（2）34【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算18．【正确答案】（1）证明：∵BC=AC，M是AB中点，∴CM⊥AB，∵AA1⊥平面ABC，CM⊂平面图ABC∵AB⊂平面ABB1A1，AA∴CM⊥平面ABB∵CM⊂平面MCC∴平面MCC1⊥（2）解：∵AB//A1B1，A1B1∴AB//平面A1∴点M到平面A1令点M平分AB，作A1B1的中点M1，连结MM1，C1M1，C由题意知C、M、M1、C∵AB⊥平面MCC1M∴A1B∵MO⊂平面MCC1M又∵MO⊥CM1，CM1⊂平面A∴MO⊥平面A1B1C，即MO是点∵CB=CA=CC1=2，BC⊥AC∴CM=BC2∵12⋅MO⋅C∴点M到平面A1B1【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算19．【正确答案】（1）解：根据分层抽样知：应抽取小吃类80×(1−30%−15%−10%−5%−5%)=28家，生鲜类80×15%=12家，所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.（2）解：（i）根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1，解得设75百分位数为x，因为(0.002+0.004+0.006)×50=0.6，所以(x−450)×0.004+0.6=0.75，解得所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.平均数为(325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002)×50=440，所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元（ii）(500−480所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数20．【正确答案】（1）解：已知f(x)=ex当a=1时，f(x可得f'(当−1<x<0时，f'(当x>0时，f'(x综上，所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)（2）解：若f(x)≥不妨设g(x)=可得g'(不妨设h(x)=g可得h'(x所以函数h(x)在(−a,+∞)上单调递增，即函数当x→−a时，g'(x)→−∞所以在区间(−a,+∞)上存在一点x0此时ex0=当−a<x<x当x>x0时，g所以g(不妨设k(x)=ex所以函数k(易知k(0)=0，又k(x易知函数y=1ex,则当x0≥0时，故实数a的取值范围为(−∞,1]．【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性21．【正确答案】（1）解：当△OAB的垂心恰是C的焦点时，|OA|=|OB|，AF⊥OB不妨假设A(10p,25)，B(10再由kAFkOB（2）解：联立y2=4xy=k1x可得B(因为(2所以P的轨迹方程为y2=2x-2，当k1=−k当k1≠−AB的方程为y−4k综上，直线AB过定点F(1，0)，由|FN|=|FM|可得xN+1=3，即xN=2，所以N(2，-22当N(2，-22)时，MN的中点为(0，-2)，直线MN的斜率为-22此时直线AB的方程为y=2x-2，联立y2=2x当P的坐标为(1，0)，此时直线AB为x=1，故舍去，此时S当N(2，-22)时，同理可得S△PMN综上所述，△PMN的面积为62【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题2