奥数复杂计数问题题目及答案

奥数复杂计数问题题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.从5个男生和4个女生中选出3人组成一个小组，要求至少有1个女生，有多少种不同的选法？

A.40

B.60

C.80

D.100

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，有多少种不同的分法？

A.15

B.20

C.30

D.45

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，有多少个不同的三位数是偶数？

A.216

B.240

C.360

D.480

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到1本书，有多少种不同的分法？

A.630

B.840

C.1260

D.2520

5.从7个不同的字母中选出5个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，有多少种不同的排法？

A.720

B.5040

C.6720

D.8040

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，有多少种不同的排法？

A.20

B.40

C.80

D.160

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，有多少个不同的三位数是素数？

A.24

B.30

C.36

D.42

8.有6个不同的棋子，要排成一排，要求中间的3个位置必须是3个不同的棋子，有多少种不同的排法？

A.720

B.1440

C.2880

D.5760

9.从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字组成一个四位数，有多少个不同的四位数是奇数？

A.180

B.240

C.360

D.480

10.有7个不同的球，要分成4堆，每堆至少1个球，有多少种不同的分法？

A.35

B.42

C.56

D.70

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.从5个男生和4个女生中选出2人组成一个双人组，要求至少有1个女生，有多少种不同的选法？

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，有多少种不同的分法？

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，有多少个不同的三位数是奇数？

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到2本书，有多少种不同的分法？

5.从7个不同的字母中选出4个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，有多少种不同的排法？

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，其中第一个位置必须是红球，有多少种不同的排法？

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，有多少个不同的三位数是偶数？

8.有6个不同的棋子，要排成一排，要求中间的2个位置必须是2个不同的棋子，有多少种不同的排法？

9.从1到10这10个数字中，任取5个不同的数字组成一个五位数，有多少个不同的五位数是偶数？

10.有7个不同的球，要分成4堆，每堆至少1个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，有多少种不同的分法？

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.从5个男生和4个女生中选出3人组成一个小组，要求至少有1个女生，以下哪些选法是正确的？

A.1个女生和2个男生

B.2个女生和1个男生

C.3个女生

D.3个男生

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，以下哪些分法是正确的？

A.(1,2),(3,4),(5,6)

B.(1,3),(2,4),(5,6)

C.(1,2),(3,5),(4,6)

D.(1,4),(2,5),(3,6)

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，以下哪些三位数是偶数？

A.246

B.357

C.864

D.912

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到1本书，以下哪些分法是正确的？

A.(1,2,3),(4,5),(6,7)

B.(1,4),(2,5),(3,6,7)

C.(1,2),(3,6),(4,5,7)

D.(1,2,4),(3,5),(6,7)

5.从7个不同的字母中选出5个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，以下哪些排法是正确的？

A.ABCDE

B.ABEDC

C.ABECD

D.BCEDA

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，以下哪些排法是正确的？

A.RBRBRB

B.BRBRBR

C.RBRBR

D.BRBRB

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，以下哪些三位数是素数？

A.233

B.357

C.821

D.911

8.有6个不同的棋子，要排成一排，要求中间的3个位置必须是3个不同的棋子，以下哪些排法是正确的？

A.ABCDEF

B.BCDEF

C.ABCD

D.CDEF

9.从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字组成一个四位数，以下哪些四位数是奇数？

A.1357

B.2468

C.3891

D.5673

10.有7个不同的球，要分成4堆，每堆至少1个球，以下哪些分法是正确的？

A.(1,2,3),(4),(5),(6,7)

B.(1,2),(3,4),(5),(6,7)

C.(1,2),(3),(4,5),(6,7)

D.(1,2,3,4),(5),(6),(7)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.从5个男生和4个女生中选出3人组成一个小组，要求至少有1个女生，选法“1个女生和2个男生”和“2个女生和1个男生”是等价的。

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，分法“(1,2),(3,4),(5,6)”和“(1,3),(2,4),(5,6)”是不同的。

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，三位数“246”和“357”中，只有“246”是偶数。

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到1本书，分法“(1,2,3),(4,5)”和“(1,4),(2,5),(3,6,7)”是不同的。

5.从7个不同的字母中选出5个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，排法“ABCDE”和“ABEDC”中，只有“ABEDC”满足条件。

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，排法“RBRBRB”和“BRBRBR”是不同的。

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，三位数“233”和“357”中，只有“233”是素数。

8.有6个不同的棋子，要排成一排，要求中间的3个位置必须是3个不同的棋子，排法“ABCDEF”和“BCDEF”是不同的。

9.从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字组成一个四位数，四位数“1357”和“2468”中，只有“1357”是奇数。

10.有7个不同的球，要分成4堆，每堆至少1个球，分法“(1,2,3),(4),(5)”和“(1,2),(3,4),(5)”是不同的。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.从5个男生和4个女生中选出3人组成一个小组，要求至少有1个女生，请列出所有可能的选法。

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，请列出所有可能的分法。

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，请列出所有可能的三位数是偶数的例子。

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到2本书，请列出所有可能的分法。

5.从7个不同的字母中选出4个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，请列出所有可能的排法。

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，请列出所有可能的排法。

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，请列出所有可能的素数的例子。

8.有6个不同的棋子，要排成一排，要求中间的2个位置必须是2个不同的棋子，请列出所有可能的排法。

9.从1到10这10个数字中，任取5个不同的数字组成一个五位数，请列出所有可能的五位数是偶数的例子。

10.有7个不同的球，要分成4堆，每堆至少1个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，请列出所有可能的分法。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C.80

解析：至少有1个女生的选法包括1个女生和2个男生，以及2个女生和1个男生，共计C(4,1)*C(5,2)+C(4,2)*C(5,1)=4*10+6*5=40+30=80种。

2.A.15

解析：将6个球分成3堆，每堆2个球，可以看作是将6个球分成3组，不考虑顺序，即C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/3!=15种。

3.C.360

解析：组成偶数的三位数，个位必须是偶数，有5个偶数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=360种。

4.C.1260

解析：每个学生至少分到1本书，可以看作是先将7本书分成3组，再对每组进行分配，即C(7,2)*C(5,2)*C(3,3)*3!=1260种。

5.B.5040

解析：先排A和B，有5个位置可以选择，排好后剩下5个位置排其他字母，即5*4*5!=5040种。

6.C.80

解析：第一个位置必须是红球，然后红蓝红蓝红排列，即5!/(2!3!)*4!/(2!2!)=80种。

7.B.30

解析：列举所有三位数，筛选出素数，如233,283,307,311,313,317,331,337,347,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997，共30个。

8.A.720

解析：中间的3个位置有C(6,3)种选择，剩下的3个位置有3!种排列，即C(6,3)*3!=720种。

9.B.240

解析：组成奇数的三位数，个位必须是奇数，有5个奇数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=240种。

10.B.42

解析：将7个球分成4堆，每堆至少1个球，可以看作是先将7个球分成4组，再对每组进行分配，即C(6,3)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)*4!/(1!1!1!1!)=42种。

二、填空题答案及解析

1.30

解析：至少有1个女生的选法包括1个女生和2个男生，以及2个女生和1个男生，共计C(4,1)*C(5,2)+C(4,2)*C(5,1)=4*10+6*5=40+30=30种。

2.10

解析：将6个球分成3堆，每堆2个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，可以先选择这两个球，然后将其余4个球分成2堆，即C(4,2)/2!=3种，再对3种情况进行排列，即3*1=10种。

3.180

解析：组成奇数的三位数，个位必须是奇数，有5个奇数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=180种。

4.105

解析：每个学生至少分到2本书，可以看作是先将7本书分成3组，再对每组进行分配，即C(7,2)*C(5,2)*C(3,3)*3!=105种。

5.480

解析：先排A和B，有5个位置可以选择，排好后剩下5个位置排其他字母，即5*4*5!=480种。

6.24

解析：第一个位置必须是红球，然后红蓝红蓝红排列，即5!/(2!3!)*4!/(2!2!)=24种。

7.480

解析：组成偶数的三位数，个位必须是偶数，有5个偶数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=480种。

8.360

解析：中间的3个位置有C(6,3)种选择，剩下的3个位置有3!种排列，即C(6,3)*3!=360种。

9.1440

解析：组成奇数的三位数，个位必须是奇数，有5个奇数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=1440种。

10.210

解析：将7个球分成4堆，每堆至少1个球，可以看作是先将7个球分成4组，再对每组进行分配，即C(6,3)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)*4!/(1!1!1!1!)=210种。

三、多选题答案及解析

1.A,B

解析：选法“1个女生和2个男生”和“2个女生和1个男生”是正确的，因为都满足至少有1个女生的条件。

2.A,B,C,D

解析：所有分法都是正确的，因为每个堆都有2个球，且球不同。

3.A,C

解析：三位数“246”和“864”是偶数，因为个位是偶数。

4.A,B,C

解析：所有分法都是正确的，因为每个学生至少分到1本书。

5.A,B,D

解析：排法“ABCDE”和“ABEDC”以及“BCEDA”是正确的，因为A和B不相邻。

6.A,C

解析：排法“RBRBRB”和“RBRBR”是正确的，因为红球和蓝球相间排列，且第一个位置是红球。

7.A,D

解析：三位数“233”和“911”是素数，因为它们只能被1和自身整除。

8.A,B

解析：排法“ABCDEF”和“BCDEF”是正确的，因为中间的3个位置是3个不同的棋子。

9.A,D

解析：四位数“1357”和“5673”是奇数，因为个位是奇数。

10.A,B,C

解析：所有分法都是正确的，因为每堆至少有1个球，且两个特定的球在同一个堆中。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：选法“1个女生和2个男生”和“2个女生和1个男生”是等价的，因为都包含相同数量的女生和男生。

2.正确

解析：分法“(1,2),(3,4),(5,6)”和“(1,3),(2,4),(5,6)”是不同的，因为球的组合不同。

3.正确

解析：三位数“246”是偶数，而“357”是奇数。

4.正确

解析：分法“(1,2,3),(4,5)”和“(1,4),(2,5),(3,6,7)”是不同的，因为书的分配方式不同。

5.正确

解析：排法“ABCDE”中A和B相邻，不满足条件；而“ABEDC”和“BCEDA”中A和B不相邻，满足条件。

6.正确

解析：排法“RBRBRB”和“BRBRBR”是不同的，因为红球和蓝球的排列顺序不同。

7.正确

解析：三位数“233”是素数，而“357”不是素数。

8.正确

解析：排法“ABCDEF”和“BCDEF”是不同的，因为中间的3个位置不同。

9.正确

解析：四位数“1357”是奇数，而“2468”是偶数。

10.正确

解析：分法“(1,2,3),(4),(5)”和“(1,2),(3,4),(5)”是不同的，因为球的分配方式不同。

五、问答题答案及解析

1.从5个男生和4个女生中选出3人组成一个小组，要求至少有1个女生，请列出所有可能的选法。

解析：至少有1个女生的选法包括1个女生和2个男生，以及2个女生和1个男生，共计C(4,1)*C(5,2)+C(4,2)*C(5,1)=4*10+6*5=40+30=30种。

2.有6个不同的球，要分成3堆，每堆2个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，请列出所有可能的分法。

解析：将6个球分成3堆，每堆2个球，其中两个特定的球必须分在同一个堆中，可以先选择这两个球，然后将其余4个球分成2堆，即C(4,2)/2!=3种，再对3种情况进行排列，即3*1=10种。

3.从1到10这10个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，请列出所有可能的三位数是偶数的例子。

解析：组成偶数的三位数，个位必须是偶数，有5个偶数选择，十位和百位有8个数字中选择，即5*8*7=360种。

4.有7个不同的书，要分给3个学生，每个学生至少分到2本书，请列出所有可能的分法。

解析：每个学生至少分到2本书，可以看作是先将7本书分成3组，再对每组进行分配，即C(7,2)*C(5,2)*C(3,3)*3!=105种。

5.从7个不同的字母中选出4个字母排成一排，其中字母A和B不能相邻，请列出所有可能的排法。

解析：先排A和B，有5个位置可以选择，排好后剩下5个位置排其他字母，即5*4*5!=480种。

6.有5个不同的红球和4个不同的蓝球，要排成一排，要求红球和蓝球相间排列，请列出所有可能的排法。

解析：第一个位置必须是红球，然后红蓝红蓝红排列，即5!/(2!3!)*4!/(2!2!)=24种。

7.从1到100这100个数字中，任取3个不同的数字组成一个三位数，请列出所有可能的素数的例子。

解析：列举所有三位数，筛选出素数，如233,283,307,311,313,317,331,337,347,353,359,367,373,379,383,3