四川字节精准教育联盟-精准备考2025-2026学年下学期期中教学质量评价数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川字节精准教育联盟—精准备考2025-2026学年下学期期中教学质量评价数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(1,3),B(2,7)，向量AC=(0,−2)，则BC=(

)A.(1,4) B.(−1,−4) C.(1,6) D.(−1,−6)2.设复数z满足z4−i=i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“−2<x<2”是“x2<1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′=O′B′=1,B′C′=1，则四边形ABCD的周长为(

)

A.62 B.122 C.5.设向量a=(x+1,x)，b=(x,2)，则(

)A.“x=−3”是“a⊥b”的充分条件 B.“x=−3”是“a//b”的充分条件

C.“x=0”是“a⊥b”的必要条件 6.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，满足OA−4OB+3OC=0，则BCA.14AC B.13AC C.7.在▵ABC中，AB=3，7AC=5BC=35，则▵ABC的外接圆半径为(

)A.733 B.5338.已知向量a,b，且a=(2,2),|a−bA.7 B.8 C.22+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.平行六面体的各个面都是平行四边形

B.圆柱的侧面展开图是一个正方形

C.将棱台的侧棱延长后必交于一点

D.将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥10.在复平面内，复数z=1+3i对应的点为Z，向量OZ绕原点O逆时针旋转至OZ1处，若旋转角为A.Z的坐标为(3,1)

B.当θ=π2时，|ZZ1|=22

C.当θ=2π311.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是(

)A.若A>B>C，则sinA<sinB<sinC

B.若AB⋅AC>0，则▵ABC是锐角三角形

C.若sin2A+sin2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=(m2+m−12)+(m2+2m−8)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数13.底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所得棱台的体积为

．14.已知向量a=1,2，b=2,1，e为单位向量，则a⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，G是▵ABC的重心，且GA=2GB=GC．(1)求cos∠AGB(2)若过点G的直线l与线段AB交于点E，与线段AC交于点F，且AE=λAB,(3)若AB=26，点P是线段AC上一点(不同于端点)，过点P分别向BA,BC作垂线，垂足分别为M,N，求PB16.(本小题15分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c−asin(1)求A；(2)若b=2c，求C；(3)若cosB=71417.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，▵PAB是边长为2的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．

(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若EF//平面PCD，求直线PF与平面PAD所成角的正弦值；(3)设点G为三棱锥E−ABF的外接球的球心，试判断三棱锥G−PAD的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18.(本小题17分)

设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且4b2cosC=a2+b2−c2+2bccosA．

(1)求角19.(本小题17分)在四边形ABCD中，AB//CD，CD=2AB=6，DA⋅DB=CA⋅CB=272(1)证明：DA(2)求AB与CD之间的距离;(3)求AD⋅BC．参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.A

8.C

9.BD

10.BCD

11.AB

12.3

13.14014.9

15.解：(1)因为G是▵ABC的重心，所以GA+GB+两边平方可得GC2=GA所以2GA即2|GA|⋅|GB(2)因为G为▵ABC的重心，所以AG=又因为AE=λAB,由于E,G,F三点共线，所以13λ所以1λ(3)由(1)知2GA⋅GB所以AB2=GBBC2=GCAC2=GC所以▵ABC的面积为S=1又S▵ABC所以PM+因为PB⋅同理，PB⋅所以PB⋅PM+即PB⋅PM+

16.解：(1)由正弦定理得b+c+ab+c−a=3bc，即b+c2由余弦定理得cosA=b2+c(2)a2=由余弦定理得cosC=由C∈0,π得C=(3)由B∈0,π，cosB=sin=

17.(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，

则BC⊥平面PAB．

∵AE⊂平面PAB，则CB⊥AE．

又AE⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE⊂平面AEF，

∴平面AEF⊥平面PBC．

(2)∵EF//平面PCD，平面PDC∩平面PBC=PC，

∴EF//PC，∴F为线段BC的中点．

取AB的中点O，连接OP，则OP⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作BC的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

P(0,0,3)，A(−1,0,0)，D(−1,2,0)，F(1,1,0)，

PA=(−1,0,3)，AD=(−1,0,0)，PF=(1,1,−3)，

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，

则n·PA=−x−3z=0n·AD=y=0,

令z=1，x=−3，∴n=(−3,0,1)．

设PF与平面PAD所成角为α，

则sinα=PF·n|PF|n=2325=155．

(3)由(1)知，AE⊥平面PBC，

因为EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，△AEF18.解：(1)因为4b2cosC=a2+b2−c2+2bccosA，

在△ABC中，由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcosC，

所以4b2cosC=2abcosC+2bccosA，

可得2bcosC=acosC+ccosA，

由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB，

又因为sinB>0，

可得cosC=12，而