大学文科数学教学教案

PAGEPAGE1大学文科数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01教学基本指标教学课题第1章第1节函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点反函数、复合函数教学难点反三角函数参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.教学基本内容一．预备知识1.集合（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合.构成集合的对象，称为集合的元素.（2）集合的表示.（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.（4）高等数学中常用数集及其记法.2．区间与邻域（1）有限区间与无限区间及其记法.（2）邻域：集合表示开区间，称之为点的邻域，记作称为邻域中心，称为邻域半径.（3）去心邻域：集合，表示，称之为点的去心邻域，记作3．映射（1）定义：设是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素按照法则,在中有唯一确定的元素与之对应,则称为从到的映射,记作,其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即,而元素称为元素(在映射下)的一个原像；集合称为映射的定义域,记作，即.中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为,或,即.（2）满射、单射和双射设是从集合到集合的映射,若,即中任一元素都是中某元素的像,则称为到上的满射；若对中任意两个不同元素,它们的像,则称为到的单射；若映射既是单射,又是满射,则称为双射(或一一映射).（3）逆映射与复合映射设是到的单射,则由定义,对每个,有唯一的,适合,于是,我们可定义一个从到的新映射,即,对每个,规定,其中满足.这个映射称为的逆映射,记作,其定义域,值域.设有两个映射，其中.则由映射和可以定出一个从到Z的对应法则,它将每个映射成.显然,这个对应法则确定了一个从到Z的映射,这个映射称为映射和构成的复合映射,记作,即,.二．函数1.函数定义（1）设是一个给定的非空数集.若对任意的，按照一定法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的函数，记为.数集称为函数的定义域，为自变量，为因变量.函数值的全体称为函数的值域.（2）函数的两要素：定义域与对应法则是确定函数的两要素，两要素可以作为判断两个函数是否相同的标准.（3）两函数相等2.常见的分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.(1)绝对值函数(2)符号函数(3)取整函数(4)狄利克雷函数3.函数的性质及四则运算（1）函数的有界性：有上界、有下界、有界定理：函数在其定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界.（2）函数的单调性严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.一般情况下，若不单独说明，本书所指单调增加(减少)即为严格单调增加(减少).（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性（5）函数的四则运算4.反函数（1）定义：设函数(是定义域，是值域)．若对于任意一个，中都有唯一确定的与之对应，这时是以为定义域的的函数，称它为的反函数，记作．习惯上往往用字母表示自变量，字母表示函数．为了与习惯一致，将反函数的变量对调字母，改写成．今后凡不特别说明，函数的反函数均记为形式．在同一直角坐标系下，与反函数的图形关于直线对称．（2）定理：单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的．（3）介绍反三角函数.5.复合函数（1）定义:设有函数链，，且，则称为由式(1.1)，(1.2)确定的复合函数,称为中间变量.这个新函数称做由和复合而成的复合函数，称为内层函数，称为外层函数，称为中间变量．（2）复合函数不仅可以由两个函数经过复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成．6.初等函数（1）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．（2）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数，称为初等函数．三.例题讲解例1.确定函数的定义域.例2.确定函数的定义域并作出图形.例3.某城市制定每户用水收费（含用水费和污水处理费）标准（参见下表）：用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分收费（元/立方）1.302.00污水处理费（元/立方）0.300.80那么每户用水量（立方）和应交水费（元）之间的函数关系是怎样的呢？授课序号02教学基本指标教学课题第1章第2节极限的定义与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数列极限与函数极限的概念与性质教学难点数列极限与函数极限的概念参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解数列极限与函数极限的概念，了解极限的性质，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.教学基本内容一．数列极限的定义1．数列定义2．数列极限的定义（1）（描述性定义）对于数列，当无限增大()时，若无限趋近于一个确定的常数，则称为趋于无穷大时数列的极限（或称数列收敛于），记作或；此时，也称数列的极限存在；否则，称数列的极限不存在（或称数列是发散的）.（2）(定义)设为一数列，是常数，如果对，，使得对于满足的一切，总有则称为数列的极限（或称数列收敛于），记作或.（3）数列极限的几何意义：任意给定正数，当时，所有的点都落在内，只有有限个（至多只有个）落在其外.二．数列极限的性质1.(唯一性)收敛数列的极限是唯一的.2.(有界性)收敛数列是有界的.注(1)有界是数列收敛的必要条件，例如，数列有界但不收敛.(2)无界数列必定发散.3.（保序性）若使得当时，有注：（1）若且，使得当时，（或），则（或）.（2）（保号性）若且（或），则，使得当时，（或）.三．子列1.定义：在数列中任意抽取无限多项，保持这些项在原数列中的先后次序不变，这样得到的新数列称为数列的子数列，简称子列.2.定理：（收敛数列与子列的关系）若数列收敛于，则其任意子数列也收敛于.注：该定理的逆否命题常用来证明数列发散，常见情形如下：(1)若数列有两个子数列分别收敛于不同的极限值，则数列发散；(2)若数列有一个发散的子数列，则数列发散.四．函数极限的定义1.自变量趋于无穷大时函数的极限（1）定义(描述性定义)设函数，在时有定义，当的绝对值无限增大（）时，若函数的值无限趋近于一个确定的常数，则称为时函数的极限．记作或．此时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义(定义)设函数在大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称为时函数的极限．记作或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到一个，当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定义设函数在时有定义，如果存在常数，对（不论有多小），，当时，有，则称为时函数的极限，记作或．（5）定义设函数在时有定义，如果存在常数，对（不论有多小），，当时，有，则称常数为时函数的极限，记作或．（6）定理：极限存在的充分必要条件是与都存在且相等，即.2.自变量趋向有限值时函数的极限（1）定义(描述性定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，当无限地趋近于(但)时，若函数无限地趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的极限．记作或．这时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义(定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称为当时函数的极限．记作：或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到点的一个邻域，使得当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定义(定义)设函数在点的左邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则，记作或.（5）定义(定义)设函数在点的右邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则，记作或.（6）定理：极限的充分必要条件是左极限与右极限都存在且等于，即.五．函数极限的性质（以为例说明）1．(唯一性)若极限存在,则极限是唯一的.2．(局部有界性)若存在,则在的某去心邻域内有界.3.(局部保序性)设与都存在,且在某去心邻域内有,则.4．(局部保号性)若,则对一切，有或5．定理(海涅定理)设函数在点的某一去心邻域有定义，则的充要条件是对任何收敛于的数列，都有.注海涅定理的否命题常用于证明函数在点的极限不存在，常见情形如下：(1)若存在以为极限的两个数列与，使得与都存在，但，则不存在；(2)若存在以为极限的数列，使得不存在，则不存在.六．例题讲解例1.设，证明：.例2.考察极限与是否存在？例3.考察极限是否存在？例4.考察下列函数当时，极限是否存在？(1)(2)例5.证明：不存在.授课序号03教学基本指标教学课题第1章第3节极限的运算法则课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点复合函数的极限、夹逼准则、两个重要极限教学难点复合函数的极限、夹逼准则参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求1.了解极限存在的两个准则.2.掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.教学基本内容一．极限的四则运算法则定理：如果，则（1）存在，且有（2）存在，且有（3）若，则存在，且有推论设存在，且，则（1）若是常数，则存在，且有（2）若为正整数，则存在，且有二．复合函数的极限定理：设，，且在点的某去心邻域内，则三．极限存在准则1.定理：（数列极限的夹逼准则）如果数列及满足下列条件：(1)；(2)则2.定理：（函数极限的夹逼准则）设函数在的某去心邻域（或）内有定义，且满足下列条件：(1)当（或）时，有成立；(2)则3.定理：(单调有界原理)单调有界数列必有极限.四．两个重要极限1.重要极限I2.重要极限II五．例题讲解例1．求例2．求例3．求.例4.求例5.求.例6.求.例7.求例8.设，求.例9.求，其中为取整函数.例10.求设(1)证明存在；(2)求例11.求.例12.求例13.求例14.求授课序号04教学基本指标教学课题第1章第4节无穷小量与无穷大量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量阶的比较教学难点无穷小量阶的比较参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法会用等价无穷小量求极限.教学基本内容一．无穷小量1.定义：如果，则称函数为当时的无穷小量.在定义中，可将成以及可定义不同变化过程中的无穷小量.注(1)一个变量是否为无穷小量，除了与变量本身有关外，还与自变量的变化趋势有关．(2)无穷小量不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小量.2.定理：的充分必要条件是，其中是的无穷小，即.3.无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量；（2）有限个无穷小量的乘积是无穷小量；（3）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量；（4）常数与无穷小量的乘积是无穷小量．二．无穷大量1.定义：当时，如果函数的绝对值无限增大，则称当时为无穷大量，记作.在定义中，将换成以及可定义不同变化过程中的无穷大量.注(1)无穷大量是变量，它不是很大的数，不要将无穷大量与很大的数(如)混淆；(2)无穷大量是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大量.(3)无穷大量一定无界，但无界函数不一定是无穷大量.(4)无穷大量分为正无穷大量与负无穷大量.2.无穷小量与无穷大量的关系定理：设函数在点的某一去心邻域有定义，当时，(1)若是无穷大量，则是无穷小量；(2)若是无穷小量，且，则是无穷大量.三．无穷小量阶的比较1.定义：设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小量，且，（1）如果则称是比高阶的无穷小量，记作；；（2）如果则称是比低阶的无穷小量；（3）如果，则称与是同阶的无穷小量；（4）如果，则称与是等价的无穷小量，记作；等价无穷小量具有自反性和传递性；（5）如果，则称是关于的阶的无穷小量.注并非任何两个无穷小量都能进行比较.2.等价无穷小代换定理：若是同一自变量变化过程中的无穷小量，且，，存在，则.注(1)该定理说明在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小量用与之等价的无穷小量替换，从而达到简化运算的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小代换.(2)当时,常用的等价无穷小有：；；；（，且为常数）.定理1.20与是等价无穷小量的充要条件为四．例题讲解例1.求例2.求例3.求例4.求例5.设时与为等价无穷小，求的值.授课序号05教学基本指标教学课题第1章第5节函数的连续性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的连续性、函数的间断点教学难点函数的间断点的判别参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.教学基本内容一．函数连续的定义1.定义：设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差称为变量的增量，记为，即.2.定义：（1）设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量有增量时，函数相应的有增量若，则称函数在点处连续，为的连续点.（2）设函数在点的某邻域内有定义，若，则称在点处连续.（3）设函数在点的某邻域有定义，如果对于任意正数，总存在正数，使得当满足不等式时，有，则称函数在点处连续.3.定义：如果函数在开区间内每一点都连续，则称在内连续；如果函数在开区间内每一点都连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续，并称是的连续区间.注(1)在左端点右连续是指满足(2)在右端点左连续是指满足.4.定理：函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续.二．函数的间断点1.定义：如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断，点称为的间断点.2.在点的左右极限和都存在的间断点为第一类间断点.它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.3.称和中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.三．连续函数的性质1.定理：连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数.2.定理：设函数在区间上是单调的连续函数，则它的反函数是区间上的单调连续函数.3.定理：设函数在点连续，函数在点连续，则复合函数在点连续.4.基本初等函数在其定义域内连续.5.由初等函数的定义及连续函数的运算性质知，初等函数在其定义区间内都是连续的.四．闭区间上连续函数的性质1.定理：（最大值与最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一定有最大值与最小值.2.推论：（有界性定理）闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.3.定理：（介值定理）如果函数在闭区间上连续，和分别为在上的最小值与最大值.则对介于与之间的任一实数（即），至少存在一点使得4.推论：（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点，使得五．例题讲解例1.证明：函数在任意点处都是连续的.例2.证明：函数在点处的连续性.例3.讨论函数在点处的连续性.例4.讨论函数在点处的连续性.例5.求函数的间断点并判断其类型.例6.求.例7.证明：方程在区间内各有一个实根.

大学文科数学教学教案第2章导数与微分授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节导数的概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点导数的概念，可导与连续的关系教学难点用定义求导数参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程.教学基本内容一．导数的概念1.经典引例引例1平面曲线的切线斜率问题引例2变速直线运动的瞬时速度问题2.函数在一点处的导数与导函数（1）定义:设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应函数的增量为．如果当时，极限存在，则称函数在处可导，并把这个极限值称为函数在处的导数，记作：，，，，即．当时，这个比值的极限不存在，则称函数在处不可导．（2）定义:如果函数在内每一点都可导，即在内每一点的导数都存在，则称在内可导．此时对区间内的任一点，都对应着的一个确定的导数值，也就确定了一个函数关系，这个函数称为原来函数的导函数（简称为导数），记为，即.3.单侧导数（1）定义：左导数右导数（2）定理：（单侧导数与导数的关系）函数在处可导的充要条件是左、右导数都存在且相等．4.函数在区间内可导（1）若在内的每一点都可导，则称在开区间内可导．（2）若在内可导，且在处右导数以及在处左导数都存在，称在上可导．5．函数的增量、平均变化率和瞬时变化率的关系二．导数的几何意义1.就是曲线在点处切线的斜率，这就是导数的几何意义.2.若函数在处可导，则曲线在点处的切线方程为，当时，该点的法线方程为.三．可导与连续的关系定理:如果函数在处可导，则在处连续．四.例题讲解例1.求函数的导数（其中为常数）．例2.已知，求.例3.求函数的导数.例4.求函数的导数.例5.求的导数．例6.求的导数．例7.求抛物线在点处的切线方程和法线方程．例8.曲线上哪一点的切线与直线平行？并求此切线方程．例9.判断分段函数在点处是否可导．例10.讨论函数在点处的连续性、可导性．授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节函数的基本公式与运算法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的和差积商的求导法则、反函数以及复合函数的求导法则、高阶导数教学难点反函数的导数、复合函数的导数参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求反函数的导数.教学基本内容一．几个基本初等函数的导数例1.证明（为正整数）．注：当幂函数的指数不是正整数而是任意实数时，也有形式完全相同的公式．特别地，有，．例2.证明：．例3.证明：．对于分段函数的导数，在各区间段内分别求导；在分界点处，则通过讨论它的单侧导数以确定分界点处导数的存在性．例4.已知求．二．求导法则定理:设函数在点处可导，则函数在点处也可导，且（1）;（2）,特别地，（为常数）;（3）,特别地有.注=1\*GB3①和与差的求导法则可以推广到任意有限多个可导函数的情形，即．=2\*GB3②积的求导法则也可以推广到任意有限个可导函数的连乘积，例如.三．反函数求导法则定理:（反函数求导法则）若函数在区间内单调可导且，则它的反函数在相应区间内也单调可导，且有或.四．基本初等函数的求导公式.1．，为常数；2．；3．；4．；5.；6.；7.；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．.五．复合函数求导法则1.定理：如果函数在点可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点处也可导，且，或.2.复合函数的链式求导法则可以推广至多个中间变量的情况．六．例题讲解例5.设，求，．例6.设，求．例7.设，求．同理可推得．例8.设，求．同理可推得．例9.证明．同理可得，，.例10.证明．特别地，当时，．例11.求下列函数的导数．（1）.（2）.（3）；（4）.例12.求下列函数的导数．（1）．（2）．（3）.例13.求下列函数的导数．（1）；（2）．例14.已知可导，求下列函数的导数．（1）；（2）．例15.设，求．授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节高阶导数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的高阶导数的求法教学难点函数的高阶导数的求法参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.教学基本内容一．高阶导数1.二阶导数的定义：.2.高阶导数：二.高阶导数的运算法则（1）若函数在点处具有阶导数，则、为常数)在点点处具有阶导数，且，.（2）函数在点处具有阶导数,则此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设，求．例12．求下列函数的阶导数．（1）；（2）.例13.求函数的阶导数.例14.求函数的阶导数.例14.已知，求.例15.已知，求.授课序号04教学基本指标教学课题第2章第4节函数的微分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的微分的求法教学难点求函数的微分.参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求了解微分的概念、导数与微分之间的关系，会求函数的微分.教学基本内容一．微分的定义1.函数的微分：设函数在的某邻域内有定义，，如果函数的增量，可表示为，其中是不依赖于的常数，是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，而称为在点处的微分，记为，即.2.定理：（可微与可导的关系）函数在点处可微的充分必要条件是该函数在点处可导，且．3.区间上可微：如果函数对于区间内每一点处都可微，则称函数在区间上可微.4.微分的几何意义：曲线在点处的横坐标有增量时，点处切线纵坐标的增量为．二．微分的计算1.基本初等函数的微分公式2.微分的四则运算法则设，都是可微函数，则（1）；（2）；（3）（C为常数）；（4）．三．微分的简单应用1.求函数增量的近似值：函数在点处可导，且很小时，．2.作近似计算：或.四．例题讲解例1.求函数当时的微分．例2.求下列函数的微分或给定点处的微分．（1），求；（2），求；（3），求及．例3.利用微分近似计算．授课序号05教学基本指标教学课题第2章第5节导数的应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点洛必达法则求未定式极限，函数极值、最大值和最小值的求法教学难点洛必达法则求未定式极限，函数极值、最大值和最小值的求法参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求1.了解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理.2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.3.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.教学基本内容一．微分中值定理1．罗尔定理（1）定理（罗尔定理）设函数满足（1）在上连续；（2）在内可导；（3），则至少存在一点，使．（2）罗尔定理的几何意义：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除两端点外，处处都存在不垂直于轴的切线，则其中至少存在一条水平切线．注(i)定理中的不唯一，定理只表明的存在性.(ii)定理的条件是结论成立的充分条件而非必要条件，即条件满足时结论一定成立；若条件不满足，结论可能成立也可能不成立.2．拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）设函数满足（1）在上连续；（2）在内可导，则至少存在一点，使.注(1)证明中辅助函数的构造是不唯一的，比如可取.(2)拉格朗日中值定理的几何意义：在一段连续曲线上，若除两端点外处处都存在不垂直于轴的切线，则其中至少有一条切线平行于两端点的连线.(3)拉格朗日中值定理是罗尔定理的一种推广，而罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例.(4)拉格朗日中值定理建立了函数与导数的等式关系，由此可以用导数研究函数的性质.推论1设在区间内可导，且，则在内是常值函数．推论2若在区间上，则在上有（是常数）．二．洛必达法则1.“”型未定式定理（洛必达法则I）设和在的某一去心邻域内有定义，如果(1)，；(2)和在的某一去心邻域内可导，且；(3)或为无穷大，那么或为无穷大.2.“”型未定式定理（洛必达法则II）设和在的某一去心邻域内有定义，如果，；和在的某一去心邻域内可导，且；或为无穷大，那么或为无穷大.3.其他类型的未定式其他类型的未定式可以转化为“”型或“”型未定式，再用洛必达法则计算．（1）“”型未定式.设，，则就构成了“”型未定式，可以对它做如下转化：，称为将下放；或，称为将下放．注下放的原则：对数函数和反三角函数一般不下放，因为下放后反而使运算更复杂，违背了数学运算的原则.（2）“”型未定式.这种形式的未定式可以通过通分化简等方式转化为“”型或“”型未定式．（3）“”型未定式.可以通过取对数进行如下转化：.无论是“”中的哪一种，均为“”型未定式.利用洛必达法则求未定式，要注意以下4点.（1）洛必达法则只能适用于“”型和“”型未定式，其他类型的未定式须先化简变形成“”型或“”型未定式才能运用该法则．（2）只要条件具备，可以连续多次使用洛必达法则．（3）洛必达法则可以和其他求未定式的方法结合使用．（4）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.三．函数的单调性、极值与最值1．函数的单调性定理2.11设函数在区间上可导，对一切有（1），则函数在上单调增加；（2），则函数在上单调减少．2．函数的极值定义设在点的某邻域内有定义，若对于内异于的点都满足（1），则称为函数的极大值，称为极大值点；（2），则称为函数的极小值，称为极小值点．函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．定理（极值存在的必要条件）若可导函数在点处取极值，则点一定是其驻点，即．定理（极值存在的第一充分条件）设函数在点处连续，在的某邻域内可导，如果满足（1）当时，，当时，，则在处取极大值.（2）当时，，当时，，则在处取极小值.（3）当在点左右邻近取值时，的符号不变，则在点处不取极值．定理（极值存在的第二充分条件）设函数在点处二阶可导，且.（1）若，则是的极大值.（2）若，则是的极小值.（3）当时，有可能是极值也有可能不是极值．3．函数的最值（1）闭区间上连续函数的最值.设函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的性质（最值定理），在上一定存在最值．而且，如果函数的最值是在区间内部取得的话，那么其最值点也一定是函数的极值点；当然，函数的最值点也可能是区间的端点．因此，可以按照以下步骤来求给定闭区间上连续函数的最值.=1\*GB3①在给定区间上求出函数所有可能的极值点：驻点和导数不存在的点.=2\*GB3②求出函数在所有驻点、导数不存在的点和区间端点的函数值.=3\*GB3③比较这些函数值的大小，最大者即为函数在该区间上的最大值，最小者即为最小值．（2）实际应用中的最值.在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”“利润最高”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数在定义区间内部存在最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点，而最值又存在，则可以直接断定该驻点就是最值点，即为相应的最值．四．例题讲解例1.设，不求导数，证明方程有3个实根．例2.设，求在上满足拉格朗日中值定理的值．例3.对任意的，证明：.例4.求．例5.求．例6.求．例7.求．例8.求．例9.求.例10.求．例11.求．例12.求．例13.求．例14.求．例15.求．例16.研究函数在内的单调性．例17.求函数的单调区间．例18.判断函数的单调性.例19.证明：当时，有．例20.求函数的极值．例21.求函数的极值．例22.求函数在区间上的最大值与最小值．例23.(面积最大问题)将一长为的铁丝折成一个长方形，问：如何折才能使长方形的面积最大？

大学文科数学教学教案第3章不定积分、定积分及其应用授课序号01教学基本指标教学课题第3章第1节不定积分的基础知识课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点原函数与不定积分的概念教学难点原函数的概念参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式教学基本内容一．原函数1.定义：设是定义在区间上的函数，若对任意的，都有，或，则称是在区间上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数在区间上连续，则在该区间上一定存在原函数．3.若是在区间上的一个原函数，即=，则也是在区间上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数是在区间上的一个原函数，那么在区间上的任意一个原函数可以表示为，其中是任意常数．二．不定积分的定义定义：如果是在区间上的一个原函数，则在区间上带有任意常数的原函数称为在区间上的不定积分，记作，即=，其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，任意常数称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数，表示坐标平面上一条确定的曲线；当取不同的值时，表示一簇曲线．由可知，的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1.(1)=，或=；(2)，或.性质2.（为非零常数）.性质3..五．基本积分公式（1）（为常数）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.六．例题讲解例1.求.例2．求．例3.求．例4.求．例5.求．授课序号02教学基本指标教学课题第3章第2节不定积分的计算方法—换元法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点第一换元积分法与第二换元积分法教学难点第二换元积分法参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求掌握计算不定积分的换元积分法.教学基本内容一．第一换元积分法1.定理（第一换元积分法）设有原函数，且是可导函数，则，该公式称为第一换元公式．2.几种常用的凑微分求解的积分形式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）二．第二换元积分法1.定理（第二换元积分法）设是单调的可导函数，且，又设的一个原函数为，则=,该公式称为第二换元公式．2.常用的第二换元积分法：（1）含有根式时，令；（2）同时含有根式和根式（）时，令，其中是的最小公倍数；（3）含有根式时，令；（4）含有根式时，令；（5）含有根式时，令；（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.三．例题讲解例1.求．例2.求．例3.求．例4.求．例5.求．例6.求．例7.求．例11．求．例12．求．例13．求.例14．求.四．基本积分公式表1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.;9..授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节不定积分的计算方法—分部积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点分部积分法教学难点分部积分法参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求掌握计算不定积分的分部积分法.教学基本内容一．分部积分法1．定理设在区间上都有连续的导数，则有，简记为，或，称为分部积分公式．2．分部积分法的关键是合理选取与，一般来说有下列结论：（1）形如，取，．（2）形如或，取，或．（3）形如，取，．（4）形如，，或，取为反三角函数，．（5）形如，，取或，；也可以取，或．二．例题讲解例1.求.例2.求．例3.求．例4.求．例5.求.授课序号04教学基本指标教学课题第3章第4节定积分的基础知识课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点定积分的定义与性质教学难点用定积分的定义求定积分参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理教学基本内容一．曲边梯形的面积设函数在区间上非负连续，由曲线，直线,以及轴所围成图形称为曲边梯形，求曲边梯形的面积.二．定积分的定义1.定义：设函数在区间上有界，在内任意插入个分点，将区间分成个小区间（），每个小区间的长度记为（），在每个小区间上任取一点，作乘积，再求和，记（），若存在，且极限值与的分法及点的选取都无关，则称函数在区间上可积，此极限值为函数在区间上的定积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分变量，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为在上的积分和．2.定理：设在上连续，则函数在上可积；3.定理：设在上除有有限个第一类间断点外处处连续，则在上可积．三．定积分的几何意义1.当函数在上非负时，表示由，直线和轴所围成的曲边梯形的面积.2.当函数在上非正时，的值是一个负值，表示由，直线和轴所围成的曲边梯形（在轴的下方）的面积的相反数．3.当函数在区间上有正有负时，定积分表示由，直线和轴所围成的图形各部分面积的代数和．设在上连续，根据定积分的几何意义，下述两条性质是显然成立的.（1）如果是偶函数，则.（2）如果是奇函数，则.四．定积分的性质性质1两个可积函数代数和的定积分等于它们各自定积分的代数和，即.性质2若函数在上可积，为常数，则在上也可积，且有（为常数）.性质3.性质4，其中可以在内，也可以在之外.性质4如果在上，，则.推论1如果在上，，则.推论2.性质5（估值定理）设和分别是函数在上的最大值与最小值，则性质6（定积分中值定理）设函数在上连续，则在上至少存在一点，使.五．例题讲解例1.用定义求定积分．例2.求曲线与直线所围成的图形的面积.例3.比较与的大小.例4.估计定积分的值的范围.授课序号05教学基本指标教学课题第3章第5节定积分的计算课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点换元积分法、分部积分法、积分上限函数及其导数、牛顿－莱布尼兹公式教学难点换元积分法、分部积分法、积分上限函数及其导数、牛顿－莱布尼兹公式参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.教学基本内容一．变上限定积分1.设函数在区间上连续，对任意，有在上连续，因此函数在上可积,则定积分的值由积分上限在区间上的取值决定，因此积分定义了一个在区间上的函数,称为积分上限函数,记作,.2.定理：设函数在区间上连续，则积分上限函数在区间上可导，且.二．微积分基本定理定理（微积分基本定理）设函数在上连续，且是的一个原函数，则.三．换元公式定理：如果函数在上连续，函数满足条件（1）；（2）在（或）上具有连续导数且，其值域，则有.四．分部积分公式定理：设在上具有连续的导数，则.简记为，这就是定积分的分部积分公式．五．例题讲解例1．求.例2．求.例3．求例4．求.例5．计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形（见图3.11）的面积.例6．计算.例7．求.例8．求.例9．求.授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节定积分的应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面图形面积的计算和求函数的平均值.教学难点平面图形面积的计算和求函数的平均值.参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求会利用定积分计算平面图形的面积和函数的平均值.教学基本内容一．用定积分求平均值在实际问题中，常常需要计算某一组数的平均值.例如，用游标卡尺测量小球的直径，共测次，测得的数值为，我们取算术平均值来描述直径的大小．有时，不仅要求出个数值的平均值，还常常需要求出某个函数在某一区间内连续变化时的平均值，如平均速度、平均压强、平均功率等．怎样求连续函数在区间上的平均值呢?我们把区间等分，分点是,每一个分点对应的函数值是，分点与间的距离是，我们可以取的算术平均值，作为的近似值，随着分点增密，近似程度也越好．当时，上述平均值就逼近，即，这正是积分平均值.二．用定积分求平面图形的面积1．直角坐标系中平面图形的面积.我们考虑由连续曲线和直线，(即轴)所围区域的面积.当时，面积为；当时，面积为.而当在上变号时，所要求的面积应为.如果函数和在上连续，并且满足条件.即得到夹在连续曲线和之间，左右分别由直线界定的那部分区域的面积为.2．极坐标情形设在极坐标系中，由曲线与两射线围成一平面图形，如图3.16所示，将夹角分为份，这相当于将区间分为份.相应地，在任一子区间上的面积元素等于以为半径、以为夹角的小圆扇形面积.由于所对的圆弧长为，所以，.三．例题讲解例1．求由直线，，所围成的图形的面积.例2．计算由曲线和所围成的图形的面积.例3.求椭圆的面积.例4．求心形线所围成的图形的面积.授课序号07教学基本指标教学课题第3章第7节微分方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的求解方法教学难点可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的求解方法参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.教学基本内容一．微分方程的概念许多自然规律的描述，涉及量的变化率应满足的制约关系.这种关系的数学表示就应该是含有导数的方程—微分方程.例1．放射性物质衰变的规律：在每一时刻，衰变的速率正比于该放射性物质尚存的质量.因此，质量应满足微分方程.例2．设质量为的跳伞员下落时，所受到的空气阻力正比于下降的速度(阻力的方向与速度的方向相反).取轴沿竖直方向指向地心，由牛顿第二定律知跳伞员在时刻的坐标应满足以下微分方程：，即.微分方程的阶数就是它所含未知函数的导数的最高阶数.例3.40中的微分方程是一阶微分方程，例3.41中的微分方程是二阶微分方程.对于一阶微分方程，其中是自变量，是已知函数，是未知函数.求解这样的方程，等价于求函数的原函数.我们看到，上述方程的一般解应该是.请注意，在解微分方程的时候，习惯于用不定积分符号表示某一确定的原函数，所以在其后还应加上任意常数.再来看阶微分方程，它等价于是的原函数，即，这与原微分方程形式类似，但阶数降低了，逐次这样进行下去，最后就得到微分方程的一般解:其中是任意常数.下面给出微分方程的相关概念.(1)含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.(2)在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.(3)若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数为该微分方程的一个解.(4)含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解（或一般解），不含任意常数的解，称为微分方程的特解.(5)给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同.一般来说，以为自变量，以为未知函数的阶微分方程的初始条件是，其中是给定的个常数.(6)线性微分方程:微分方程中所含未知函数及其各阶导数均为一次幂时,则该方程为线性微分方程.(7)高阶微分方程:二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.二．可分离变量的方程形如的方程，称为可分离变量的方程.这里分别是的连续函数.如果，我们可改写成，两边积分，得到.这就是方程的通解.三．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为，其中为已知的连续函数，称为方程的自由项.当时,称为一阶线性非齐次微分方程.当时,称为所对应的一阶线性齐次微分方程．1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量的微分方程，通解为.2.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解为．四．例题讲解例3．求解微分方程.例4.求微分方程的通解.例5.求方程的通解．例6.求一阶线性微分方程满足初值条件的特解．授课序号08教学基本指标教学课题第3章第8节反常积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点反常积分的计算.教学难点反常积分的计算.参考教材《高等数学》第七版上册同济大学数学系编作业布置课后习题大纲要求理解反常积分的概念，会计算反常积分.教学基本内容一．无穷区间上的反常积分1．定义设函数在上连续，任取，如果极限存在，则称该极限值为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即.此时，也称反常积分收敛；若右端极限不存在，则称反常积分发散.2．函数在无穷区间上的反常积分，即.若右端极限存在，则称反常积分收敛；若右端极限不存在，则称反常积分发散.3．函数在无穷区间上的反常积分，即，其中是任意常数，是小于的任意数，是大于的任意数.反常积分只有当与都收敛时才收敛，如果有一个发散，则反常积分发散.上述积分统称为无穷限反常积分.注（1）在计算无穷限反常积分时，为了书写方便，实际运算中常常略去极限符号，形式上类似于牛顿—莱布尼茨公式.例如，设是的一个原函数，记，，则上述无穷限反常积分就可以表示成如下的形式：，，.这时无穷限反常积分的收敛与发散就取决于，是否存在.二．无界函数的反常积分1．定义如果函数在点的任一邻域内都无界，则称点为函数的瑕点．2．定义：设函数在区间上连续，点为的瑕点．取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的反常积分，记作.此时称反常积分收敛；如果上述极限不存在，称反常积分发散.3．定义：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的反常积分，记作.此时称反常积分收敛；如果上述极限不存在，称反常积分发散.4．定义：设函数在区间上除点外连续，点为的瑕点.如果反常积分和都收敛，则称反常积分收敛，即.否则，称反常积分发散.无界函数的反常积分又称为瑕积分.根据定义3.6和牛顿–莱布尼茨公式，我们可以得到以下简记形式.如果是在上的原函数，点是的瑕点，则有.类似地，若点是的瑕点，则有.三．例题讲解例1.讨论反常积分的敛散性.例2.讨论反常积分的敛散性.例3.计算.例4.讨论反常积分的敛散性．例5.讨论的敛散性.

大学文科数学教学教案第4章线性代数初步授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节预备知识课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点向量的线性组合与线性表示教学难点向量的线性组合与线性表示参考教材工程数学《线性代数》第六版同济大学数学系作业布置大纲要求理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.教学基本内容一．向量1．定义由个数组成的有序数组称为一个维向量，称为向量的第个分量.注：称为维行向量，有时也把维向量竖着写成，称为维列向量.2．定义对于两个维列向量，，以及数，我们定义向量的相等及运算，按其分量规定当且仅当，，，，其中称为与的和，称为数与的数量乘积（简称数乘）.负向量及减法运算定义如下：.向量的加法与数乘，统称为向量的线性运算.3．定义设均为维向量，是个数，称向量为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.对于某个维向量，若存在数，使，则称向量可用向量组线性表示，其中称为表示系数.二．矩阵1．定义由个数(;)排成的s行n列矩形数表，在左右两侧加上括号，即称为一个s×n矩阵，数称为矩阵的元素，为行指标，为列指标，也称元素为矩阵的元.2．矩阵相等：设=,=都是矩阵，且它们对应元素相等，即，，，则称矩阵与相等，记作=.3．几种特殊的阶方阵.（1）对角矩阵.（2）数量矩阵与单位矩阵.（3）上三角矩阵与下三角矩阵.4．定义对矩阵施行以下3种变换称为矩阵的初等行变换.(1)互换第i行和第j行的位置，记作.(2)用非零数乘第i行中的所有元素，记作.（3)把第行所有元素的k倍加到第行对应元素上去，记为.矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换.5．定义若非零矩阵，满足(1)的下一行的主元在上一行主元的右边;(2)若中有零行，则所有的零行均位于非零行的下方，则称该矩阵为行阶梯形矩阵.矩阵的每个非零行的主元全为1，并且这些“1”所在的列的其余元素全为零，这样的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.例1利用初等行变换把矩阵先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵.注：任一非零矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵，进一步化为行最简形矩阵.6．定义设非零矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，称中非零行的个数为矩阵的秩，记作.三．连加号“Σ”1．，Σ称为连加号，称为一般项，而Σ上下的及表示的取值由1到.称为求和指标，它只起辅助作用，用什么字母作为求和指标是任意的，也可以写成.2．=，这就是说，在双重连加号中，可以交换求和的次序.一般地，有=.授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节线性方程组课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法教学难点齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法参考教材工程数学《线性代数》第六版同济大学数学系作业布置课后习题大纲要求1．会用克莱姆法则.2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3．掌握齐次线性方程组的通解的求法.4．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.教学基本内容一．线性方程组及消元法1．个方程个未知量的线性方程组，它的一般形式为称为线性方程组，其中代表n个未知量，s是方程的个数，是第个方程中未知量的系数，称为常数项．若不全为零，称为非齐次线性方程组.若全为零，即称为齐次线性方程组.设是n个数，如果分别用代入后，方程组中每一个式子都变成恒等式，则称n维向量是方程组的一个解．方程组的解也称为解向量.解方程组就是求出方程组的所有解，方程组的所有解的集合（解集合）称为这个方程组的通解(或全部解)．解集合是空集时就称方程组无解．若线性方程组无解，则称该方程组是不相容的.如果线性方程组至少存在一个解，则称该方程组是相容的.如果两个线性方程组有相同个数的未知量，并且它们的解集合也相同，那么称这两个方程组是同解的．方程组的系数按原来的位置排成的矩阵称为方程组的系数矩阵.列矩阵称为方程组的常数项向量.在系数矩阵的最后加上一列常数项，得到一个矩阵称为方程组的增广矩阵．例1解线性方程组用消元法解方程组就是对方程组反复施行以下3种变换：(1)交换两个方程的位置;(2)用非零数乘某个方程;(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程.以上3种变换称为线性方程组的初等变换，显然，线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解．二．非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组，可以对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化成行最简形矩阵来解线性方程组．例2解线性方程组例3解线性方程组定理设线性方程组的系数矩阵为，增广矩阵为.（1）若，则方程组有唯一解.（2）若，则方程组有无穷多解.（3）若，则方程组无解.三．齐次线性方程组齐次线性方程组的一般形式为显然这个方程组有一个解，称这个解为零解或平凡解;如果除零解之外，还有其他的解，那么显然这些解都是非零解（或非平凡解）.推论1若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则方程组只有零解;若，则有无穷多解，从而有非零解.推论2若齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解.例4判断下面的齐次线性方程组是否有非零解，如果有非零解，请写出方程组的通解.定理非齐次线性方程组的通解可以表示成它的一个特解与其导出组通解之和的形式，即，其中是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的通解.授课序号03教学基本指标教学课题第4章第3节行列式课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式教学难点行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式参考教材工程数学《线性代数》第六版同济大学数学系作业布置课后习题大纲要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．教学基本内容一．阶行列式的定义1．定义由组成的一个有序数组称为一个阶排列．常用表示任意一个阶排列.2．定义在一个排列中，如果一个较大的数排在一个较小的数之前，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．3．把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为一个对换．4．定理对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论全部阶排列中，奇、偶排列各半，均为个．5．定理任意一个阶排列与自然排列都可经过一系列对换互换，并且所做对换的次数与这个排列有相同的奇偶性．6．定义阶行列式表示一个数，它等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，其中是的一个排列.每一项都按下述规则带有符号：当是偶排列时，带正号，当是奇排列时，带负号，即,这里表示对这n个数构成的所有排列求和.阶行列式中的数称为行列式的元素，它的第一个下标表示该元素所在的行，称为行指标，第二个下标表示该元素所在的列，称为列指标，也称为行列式的元.例1计算阶下三角行列式..7．阶行列式也可以采用如下定义：,这里表示对所有阶排列求和，表示的一个排列.容易看出，这里的一般项就是取自不同行不同列的个元素的乘积.二．行列式的性质1．定义将行列式的行与列互换得到的行列式称为行列式的转置行列式，记为，即如果，则.2．性质性质1行列式与其转置行列式的值相等，即.性质2若行列式的某一行的元素含有公因数，则可以把提到行列式符号的外面，即.推论若行列式中某一行的元素全为零，则行列式的值为零.性质3若行列式的某一行元素均是两数之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即.性质4交换行列式的两行，行列式变号.推论若行列式中有两行相同，则行列式的值为零.推论若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式的值为零.性质5把行列式的某一行的每个元素都乘以数，加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.例2计算.三．行列式按一行（列）展开1．定义在阶行列式中划去元所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成的阶行列式称为元的余子式，记为．称，为元的代数余子式．2．定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即()，或().3．定理行列式中某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即()，或().四．克莱姆法则定理(克莱姆法则)若线性方程组的系数行列式，则该方程组有唯一解，且，其中，是把行列式中第列的元素用方程组的常数项代换所得的一个n阶行列式，即.授课序号04教学基本指标教学课题第4章第4节矩阵课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵的概念教学难点矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵的求法参考教材工程数学《线性代数》第六版同济大学数学系作业布置课后习题大纲要求1．理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵.2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4．掌握矩阵的初等变换的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.教学基本内容一．矩阵的运算1．矩阵与的和：设矩阵和是同型矩阵，称为矩阵与的和，记作，即.可见，矩阵的加法就是把两个矩阵中的对应元素相加.只有两个矩阵是同型矩阵时，才能做加法运算.2．矩阵与的差：若矩阵，记，则称为的负矩阵.由此规定矩阵的减法为，称为矩阵与的差.3．数乘矩阵：将数与矩阵的乘积记作，规定，即.4．矩阵的加法和数与矩阵的乘法合起来，称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足以下运算法则.性质设,,均为矩阵，与是数.（1）交换律：.（2）结合律：.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.例1设，，求.5．矩阵的乘积：设矩阵，矩阵，则它们的乘积等于矩阵，记作，其中例2设，计算,.例3设，，，，计算,,,.6．性质假设以下运算都有意义，矩阵乘法满足以下运算规律.(1)结合律：.(2)分配律：，.(3)数乘结合律：.定理设是两个阶方阵，则有，即矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积.7．转置矩阵：设矩阵将其对应的行与列互换位置，得到一个的新矩阵称为矩阵的转置矩阵，记作.8．矩阵的转置满足以下运算规律.性质设以下运算都有意义，是常数.(1).(2).(3).(4).二．可逆矩阵1．定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使，则称矩阵为可逆矩阵，称矩阵为的逆矩阵.2．如果方阵可逆，则的逆矩阵是唯一的.例4已知，，根据定义验证.3．定义设阶方阵，即，由中的各个元素的代数余子式排列成的阶方阵，称为的伴随矩阵，记为.关于伴随矩阵，容易证明下面的等式成立：.定理阶方阵可逆的充要条件是，且.例5已知，求的逆矩阵.例6求矩阵的逆矩阵.性质1若，则有,.性质2设为阶方阵.(1)若可逆，则也可逆，且有.(2)若可逆，则可逆，且有.(3)若可逆，则可逆，且有.(4)若和均为同阶可逆方阵，则和均可逆，且有,.三．矩阵的简单应用例7解矩阵方程.例8（信息编码）一个简单的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数.假设26个英文字母和空格与整数的对照情况如表4.1所示.表4-1字母及空格ABCDEFGHIJKLMN整数1234567891011121314字母及空格OPQRSTUVWXYZ空格整数151617181920212223242526信息“SENDMONEY”可以编码为19,5,14,4,,13,15,14,5,25.但是，这种编码很容易被破译.我们可以用矩阵乘法对信息进行加密.设矩阵的所有元素均为整数，且其行列式，则.这样的元素也均为整数.我们可以用这个矩阵对信息进行变换，变换后的信息将很难被破译.为说明这个加密技术，令，将需要编码的信息19,5,14,4,,13,15,14,5,25放置在3行矩阵的各列上(最后一列为凑够3个数，补两个0)，得，乘积给出了用于传输的编码信息：62,100,119,19,35,39,63,97,112,50,75,100.接收到信息的人（其与发信息的人已事先约定，因此知道加密矩阵），首先将收到的信息也放置在3行矩阵的各列上，得到矩阵，然后通过解矩阵方程进行译码，得，最后对照表4.1就能明白所发信息的意思是“SENDMONEY”.例9（婚姻状况模型）某城市中每年有25%的已婚女性离婚，15%的单身女性结婚，城市中有80万已婚女性和20万单身女性，假设所有女性的总数为一常数，1年后，有多少已婚女性和单身女性呢？2年后呢？

大学文科数学教学教案第5章概率论初步授课序号01教学基本指标教学课题第5章第1节概率论的基本概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点事件的关系及运算教学难点事件的关系及运算参考教材浙江大学《概率论与数理统计》第四版作业布置课后习题大纲要求了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．教学基本内容一．随机试验与样本空间1随机试验（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果将会出现.在概率论中，把具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为E.2样本空间对于随机试验，虽然在试验前不能确定哪一个结果将会出现，但能事先明确试验的所有可能结果，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素,即试验E的每一个结果，称为样本点.二．随机事件1．随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的结果，统称随机事件，简称事件，记作.2．随机事件的类型：（1）必然事件.每次试验中都发生的事件称为必然事件，必然事件可以用样本空间S表示；（2）不可能事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件可以用空集表示；（3）基本事件.每次试验中出现的基本结果（样本点）称为基本事件，基本事件可以用一个样本点表示；（4）复合事件.含有两个及两个以上样本点的事件称为复合事件.三．随机事件的关系与运算1．事件的关系（1）若，则称事件A是事件的子事件，表示事件发生必然导致事件发生.（2）若,且，则称事件与事件相等.（3）事件称为事件与事件B的和事件，表示A，B中至少一个发生.（4）称的和事件，（5）事件称为事件与事件的积事件，表示A，B同时发生，一般简写为.（6）称为个事件的积事件，称为可列个事件的积事件（7）事件称为事件与事件的差事件，表示发生且不发生.（8）若称为事件与事件是互不相容或互斥的，表示事件与事件B不能同时发生.（8）若且，称事件与事件互为逆事件，或称事件与事件互为对立事件，即事件,中必有一个发生，且仅有一个发生，A的对立事件记作，即.2．事件间的运算律：设为事件，则有（1）交换律:,.（2）结合律:,.（3）分配律:(4)德.摩根律:.例1.设A，B，C分别表示第1，2，3个产品为次品，用A，B，C的运算可表示下列各事件：（1）至少有一个次品;（2）没有次品;（3）恰有一个次品;（4）至少有两个次品;（5）至多有两个次品（考虑其对立事件）.授课序号02教学基本指标教学课题第5章第2节概率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，概率的加法公式教学难点古典型概率，概率的加法公式参考教材浙江大学《概率论与数理统计》第四版作业布置课后习题大纲要求理解概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式。教学基本内容一．频率与概率1．频率：在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件发生的频率，记作.2.频率的性质：设A是随机试验E的任一事件，则频率具有性质：（1）（2）;（3）若是两两互不相容的事件，则事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大，反之亦然.3．频率的稳定性由于频率是依赖于试验结果的，而试验结果的出现具有一定的随机性，因而频率具有随机波动性,即使对于同样的n,所得的频率不一定相同;另一方面大量试验证实,当重复试验的次数n逐渐增大时,频率逐渐稳定于某个常数.4.概率的统计定义：随机事件A在大量重复试验（观测）中，即n→∞时，其频率稳定在某一常数上，这一常数称为随机事件A的概率，记作P(A).二．古典概率与几何概率1.古典概率（1）（概率的古典定义）设试验的样本空间S包含n个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，若事件A包含k个样本点，则事件A的概率为.2.排列与组合有关公式（1）加法原理：设完成一件事有m种方式，其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第m种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为.（2）乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第m个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为.（3）排列公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同排列总数为