大学物理教学教案

大学物理教案授课章节第1章质点运动学教学目的1.了解描述物体的运动的三个必要条件：参考系（坐标系），物理模型（质点等），初始条件；2.熟悉掌握用适量描述物体运动的方法；即掌握四个物理量：位置矢量、位移、速度、加速度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系中的表示式；3.掌握用微积分的方法处理运动学中的两类问题；4.掌握质点作圆周运动的线量、角量的描述；5.理解相对运动的有关概念和基本计算方法。教学重点教学难点教学方法和手段课后反思教学内容备注一、力学基础力学的研究对象──机械运动第1章质点运动学§1.1参考系、坐标系、物理模型运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系，即如何表示一个物体的运动轨迹，运动的快慢，运动变化的情况等。一、运动的绝对性和相对性思政：我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界，即使是最简单的机械运动，从物体的位置变动来看，运动是绝对的，而“静止”只有相对的意义。但是，在描述物体的运动时，人们会发现同一个物体的运动，相对不同的参考物体，可以得出完全不同的结论。如：在匀速运动的车厢内自由落体的质点，在地面观察则做抛物线运动。二、参考系在描述物体的运动时，被选作参考的物体或物体系称为参考系。在地面及地面附近运动，通常取地球为参考系；行星、天体运动通常取太阳为参考系。三、坐标系为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。四、物理模型——质点实际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状，而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。应用质点模型的条件为：（1）当物体运动的空间范围r远大于物体自身线度l时；（2）物体只作平动时。§1.2位置矢量位移速度加速度一、描述质点运动的物理量1、位置矢量由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用r表示。在直角坐标系中为r=xi+yj+zk，；r的方向余弦是，，。r=rr0，在平面极坐标系中r=rr0，在自然坐标系中r=r(s)。vYvY\Yxr0Xy例1-1图描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) r=r(t)，s=s(t)。例1:如质点作圆周运动时，有x=，y=消去时间t，就得轨道方程。2、位移和路程位移(1)定义:，BBA注意：（1）增量的模与模的增量不是同一个量；（2）位移在直角坐标系中的表示式为++。路程：时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比较与联系：不同处联系在→0时，,但仍然。3、速度平均速度与平均速率（1）、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率.（2）、在直角坐标系中的表示式瞬时速度与瞬时速率的关系：（1）、瞬时速度大小，等于瞬时速率。，为切线方向单位矢量。（2）、在直角坐标系中的表示式=++。4、加速度平均加速度与瞬时加速度，速度的增量加速度在直角坐标系中的表示++，=++。例2:如图，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端h的平台上，人的速率v0不变，求小车的速度和加速度大小。解小车沿直线运动，以小车前进方向为x轴正方向，以滑轮为坐标原点，小车的坐标为x，人的坐标为s，由速度的定义，小车和人的速度大小应为例2图,；由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即。又由图可以看出有l2＝s2+h2，两边对t求导得。或；同理可得小车的加速度大小为。§1.3曲线运动的描述一、一般的平面曲线运动的描述1、一般平面曲线运动加速度的切向分量和法向分量切向加速度与法向加速度由上面两图可看出，时，、，所以有：切向加速度：。法向加速度：。∵∴。2、抛体运动地面上物体以某一初速被抛出后，在竖直平面内的运动叫做抛体运动。不计阻力时，抛体的加速度就是重力加速度，所以这是一种匀加速度运动。用直角坐标系最方便。。积分得，。二、圆周运动圆周运动的线量描述（1）自然坐标系及其速度、加速度表示式位矢，位移；速度；加速度。vvRnvvRn0匀速圆周运动圆周运动的角量描述（1）角位置，角位移；角速度；（2）角加速度。如果是匀角加速圆周运动，则有，，。2、线量与角量的关系；，；。§1.4运动学的两类问题（1）已知运动方程，运用求导的方法求速度和加速度。（2）已知加速度和初始条件，用积分的方法求速度和运动方程。例3：一质点沿x轴运动，其加速度a=-kv，式中k为正常数，设t=0时，x=0，v=0；①求v，x作为t的函数的表示式；②求v作为x的函数的表示式。解：①因为，则有；积分得。代入x=0，v=后，有c=-1/v。从而，可得，也就是，；再根据，则，代入初始条件，进行积分，可得。根据，可得，代入初始条件，进行积分，可得例4：一质点沿x轴运动，其中加速度与位置的关系式为，设质点在x=0处，v=，试求质点在任何坐标处的速度值。解∵，由得，。积分得，∵，∴，例5：一质点其速度表示式为v=1+s，则在任一位置处其切向加速度为多少。解：*§1.5相对运动参照系彼此之间有相对运动一、绝对位矢、牵连位矢、相对位矢绝对位矢r—质点相对静止参照系的位矢牵连位矢—运动参照系相对静止参照系的位矢相对位矢—质点相对运动参照系的位矢r=+。二、相对速度，牵连速度，相对速度，例6：一人骑自行车向东行。在速度为时，觉得有南风；速度增至时，觉得有东南风。求：风的速度。解画出速度矢量图如下：=v人地=10人地=15v风地v风人=5风人例1-5图风的速度不变，，。由图中不难得出：。风向与正东方向夹角、即东偏北。复习与思考1.｜Δ｜与Δr有无不同?｜｜和有无不同?｜｜和有无不同?其不同在哪里?试举例说明。2.设质点的运动方程为x＝x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据v＝，及a＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即及你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?3.一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1)物体的大小和形状；(2)物体的内部结构；(3)所研究问题的性质。4.下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）5.在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？(1)匀速直线运动；(2)匀速曲线运动；(3)变速直线运动；(4)变速曲线运动。6.一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?

授课章节第2章质点动力学教学目的1.理解牛顿运动定律的内容及实质，明确牛顿运动定律的范围及条件。对牛顿运动定律的应用要求掌握两点：（1）牛顿运动定律只在惯性系中成立；（2）会用微积分的方法处理变力作用下的简单力学问题。2.掌握动量定理，动量守恒定理。3.理解功的概念，会计算变力所作的功。4.掌握动能定理、功能原理、机械能守恒定律。教学重点、难点1.理解牛顿运动定律只在惯性系中成立。2.运用微积分处理力学问题，一是根据力函数的形式选择运动定律的形式；二是正确地分离变量。3.在运用动量定理解题时，必须把系统内各量统一到同一惯性系中。4.计算变力的功注意如何选取积分元。5.掌握质点系的动能定理和质点系的功能原理在解题中的区别。教学内容备注§2.1牛顿运动定律一、牛顿运动定律牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到受其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。1、什么是惯性系？所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系。因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。经常取地球为惯性系。2、相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。3、一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。牛顿第二定律：物体受外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力的方向相同。即,比例系数由单位制确定，在（SI）中。牛顿第三定律：当物体A以力作用在物体B上时，物体B也必定同时以力作用在物体A上，和大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上。即,从牛顿定律我们已经清楚：力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度，即力是改变物体运动状态的原因。二、牛顿定律应用举例解题步骤：根据题意，确定研究对象（看问题的要求，同时考虑计算的方便）；2、受力分析（对受力物体），画隔离体图，从与它接触的物体上去寻找各个接触力（才不致漏掉力），此外，再看每个力是否有施力者（方可避免多算力）；3、考虑物理过程（匀速？加速？），建立坐标系，列方程。因是矢量，具体应用时，要写成坐标分量式，如若方程不够，可用加速度合成法列辅助方程。例1：质量为M的光滑尖劈，倾角为θ置于光滑的水平桌面上，质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求①物体M对地的加速度和物体m对M的加速度②物体m与M间的弹力N③尖劈与桌面间的弹力R。解分别以m、M为研究对象，其受θMθMmmgNyθaMx、、、、、mxYRMMgN例2图M的加速度为，为随M运动的加速度，所以m对地的加速度为。取x，y坐标如图。则联立得：例2：图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体，绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地加速度及绳中张力。解分别以m1，m2，m3和滑轮B为研究对象，设m1对地加速度为a1，m2m1gm2gm3m1gm2gm3gT2T2m1m2m3a/T1a1例2-3图受力、向下为x轴正向，则m1g–T1=m1a1m2g–T2=m2（a/-a1）m3g–T2=m3（-a1–a/）2T2–T1=0联立解出：，。θNRθvmg2-5图例例3：质点在一竖直圆周内缘上运动，质点在最低点A以初速沿圆周抛出，P为tθNRθvmg2-5图例解以地球为参照系，取切向法向坐标，得以为变量，第一式变为又两边积分将代入得当时，若，则质点可沿整个圆周运动。所以最小应满足得即时质点可沿整个圆周运动。§2.2动量动量守恒定律力的积累效应──质点的动量定理1、力的冲量外力对时间的积累作用可以改变物体的运动状态。物理上把力与力的作用时间的乘积称为力的冲量，用I表示对恒力对变力或I==（积分中值定理）2、动量的引入、质点的动量定理在牛顿力学中，质量可视为常数，故，即∴式中称为物体的动量，记作。上式表示：作用在物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量。（1）动量定理在直角坐标系的表示式。（2）当动量的增量为I时，平均冲力。（3）当相互作用时间极短时，相互间冲力极大，故有些外力（如重力等）可忽略不计。注意：（1）公式中的F应为合外力；（2）动量、冲量、力都是矢量，冲量的方向是动量变化的方向；（3）动量定理也只对惯性系成立。二、质点系的动量定理内力与外力i质点所受合力（2）i质点动量定理外力与内力（3）质点系的动量定理（对i求和）在相同的时间内，力的冲量和等于合力的冲量。即上式的积分和求和的顺序可以交换，所以得因为内力成对出现，这说明，内力对系统的总动量无贡献。即合外力的冲量=质点系动量的增量。三、动量守恒定律守恒条件：注意事项若，则系统无论沿那个方向的动量都守恒；若，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒；必须把系统内各量统一到同一惯性系中；若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。例4：质量为M的木块在光滑的固定斜面上由A点从静止开始下滑，当经过路程l运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子弹的质量为m，速度为v。求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度。MMmvθLAB例2-6图 第一过程为木块M沿光滑的固定斜面下滑，到达B点时速度的大小为，方向：沿斜面向下。第二个过程：子弹与木块作完全非弹性碰撞。在斜面方向上，内力的分量远远大于外力，动量近似守恒，以斜面向上为正，则有，得。例5:如图所示，一辆装矿砂的车厢以v=4m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k=200kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力?（忽略车厢与地面的摩擦力）解：设t时刻已落到车厢的矿砂质量为m，经dt后又有dm=kdt的矿砂落入车厢。取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为，则。§2.3功动能势能机械能守恒定律一、功功率1、恒力功的定义：定义式:cosθ,即力的功，等于在该力作用下的质点的位移与该力的标积。功的单位：在SI制中为焦耳（J）。2、变力的功：1①元功：dW==F②dW在F-x图上的几何意义：dWdW=F（x）dr③变力在一段有限位移上的功3、功的直角坐标系表示式：设:，，则。4、功率。功率的单位：在SI制中为瓦特（W）。保守力的功(a)重力做的功（b）引力做的功（a）重力做的功，。∵，。（b）万有引力的功力函数，元位移，则，。（c）弹性力的功则。二、动能定理将两边点乘，得可以证明，即。当力在一段有限位移上作功时质点的动能定理：外力对质点作的功等于质点动能的增量。动能与动量的区别：1、动能是标量，动量是矢量；2、系统内力的冲量不能改变物体系的总动量，但内力的功可以改变物体系的总动能（因为不一定等于）。三、势能如某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。即。如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。因此，可以引入一个由相对位置决定的函数。由于功是体系能量改变的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质，称之为势能（或曰位能），若用表示，则有，由定积分转换成不定积分，则是。式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。例如，弹性势能。重力势能万有引力势能势能函数的一般特点：1、对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能；2、势能是彼此以保守力作用的系统所共有。因此，保守力的功等于势能增量的负值（）实际上是一对保守力的功等于系统势能增量的负值。3、势能是相对量，其大小与所选取的势能零点有关。F12F21m1m2F质点系的动能定理四、质点系的动能定理与功能原理1、质点系的动能定理如果研究对象是几个物体组成的物体系，F表示外力，F12与F21表示内力，则有对m1：，对m2：，对m1+m2：上式表明，合外力的功与内力的功的总和等于物体系动能的增量。即。上式称为物体系的动能定理。当时，，物体系的动能守恒。2、功能原理对于单个质点，对于质点系，因其受力有∴。对求和：，其中：、、、、。对每一对内部保守力均有，所以内部保守力功的和等于系统势能增量的负值，即。若引入，则可得。——功能原理五、机械能守恒定律1、守恒条件：W外+W内非=0，2、当系统机械能守恒时，应有。六、能量转换与守恒律在一个孤立系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无论怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。复习与思考1.举例说明以下两种说法是不正确的：（1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反；（2）摩擦力总是阻碍物体运动的。2.质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？3.在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？

授课章节第3章刚体力学基础教学目的1.掌握刚体平动和转动的特点及刚体作定轴转动的描述；2.理解力矩、转动惯量的概念，掌握刚体定轴转动的转动定律；3.理解刚体定轴转动的转动动能，掌握定轴转动的动能定理；4.理解角动量的概念，掌握质点和刚体的角动量、角动量定理及角动量守恒定律。教学重点、难点1.理解定轴转动中，若力的作用线与轴平行，或力的作用线（或延长线）与轴相交，则这个力对该轴无力矩，从而角动量守恒；2.掌握对于变力矩的计算是如何正确写出作用在刚体上各部分的力对轴的力矩；3.熟悉运用如果考虑滑轮的质量及半径，则需要利用转动定律；教学内容备注§3.1刚体刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述刚体的基本运动形式有两种：平动和转动，其他的复杂运动都可看成这两种运动的复合运动。1、定轴转动如果在运动中，刚体上所有质点都绕某一固定直线作圆周运动，那么这种运动叫做定轴转动；所绕的直线称为转动轴。垂直于转动轴的平面为转动平面，它有无限多个。2、定轴转动的角量描述角位置θ、角位移，角速度，角加速度。3、刚体定轴转动的特点：由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，所以具有下列性质：①所有质点的角量()都相同；②质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比；即，，4、刚体的匀角加速转动：可以与质点的匀加速直线运动相类比：质点（a=常数）刚体（＝常数）§3.2力矩刚体定轴转动的转动定律一、力矩（课本P41§2.4）力矩的定义：作用于质点的力对某参考点的的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的积，即。力矩的单位、牛顿.米（）。力矩的的大小、方向均与参考点的选择有关。二、刚体定轴转动的转动定律；式中是质点对参考点O的位矢。对于质点系而且定轴转动时，采用自然坐标，上式可写成切向：=，法向：令，称为转动惯量。则有这就是刚体定轴转动的转动定律；具体内容是绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。对于单个质点转动惯量，质点系转动惯量，式中为质点到轴的矩离。质量连续分布的刚体转动惯量。 刚体的转动惯量与。三、转动定律的应用例1：一细绳跨过质量为Ｍ，半径为Ｒ,轴承光滑的滑轮，绳的两端分别悬有质量为的物体，绳与滑轮间无相对动滑动，绳轻且不可伸长，试求物体的加速度。例3.1图例3.1图 解：由于该题已经考虑滑轮的质量和大少，则必须应用转动定律解题。现分别以及滑轮为研究对象，得：由上述几式可以解出加速度是 注意：与教材P23之例题2－1比较.此处滑轮质量不可忽略，所以，滑轮两边绳之张力不相等。mivi质点的转动动能mivi质点的转动动能转动动能质点i的动能对i求和因为，所以。与相比，可知：m—描述质点的平动惯性，称之为惯性质量；J—描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。二、力矩的功对于质点，其受外力为，则对求和，当整个刚体转动，则力矩的元功∴当刚体转过有限角时，力矩的功为三、刚体定轴转动的动能定理力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。§3.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量角动量定理和角动量守恒定律（教材P40§2.4）mmvroL角动量的定义1、质点对固定点的角动量（1）定义：动量为的质点，对某参考点的角动量，等于质点对该参考点的位矢与其动量的矢积，即。的单位：千克/秒角动量的（2）是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关.3.质点对点的角动量定理由于又∵，故，又∴有或即质点对某参考点的角动量对时间的变化率，等于作用于质点的力对该参考点的力矩—质点对固定点的角动量定理。注意：和必须是对同一点而言。4.质点的角动量守恒定律若=0，则=常矢量，即作用于质点上的力对某参考点的力矩为零，则质点对同一点的角动量守恒。若质点只受到有心力的作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。二、刚体对轴的角动量定理以及守恒定律1、刚体对轴的角动量定理刚体对定轴的角动量L等于刚体上所有质点对定轴的角动量dL之和。因为，刚体对定轴的转动惯量。2、刚体对轴的角动量定理由，有微分形式：积分形式：式中称为冲量矩，上式表示：作用在刚体上的冲量矩，等于刚体角动量的增量—刚体对轴的角动量定理。3、刚体对轴的角动量守恒定律由刚体定轴转动角动量定理，若M＝0，刚体所受合外力矩等于零，则可知，当外力对某轴的力矩为零，则刚体对该轴角动量守恒。4、角动量守恒定律的应用：回转仪原理：若一个质量分布均匀的刚体绕其几何对称轴转动称为自转或自旋，这时刚体的角动量Iω的方向与自转轴一致。若刚体不受外力矩的作用，则刚体的自转角动量守恒，不仅角动量的大小不变，而且自转轴保持不变的方向。常平架回转仪就是利用了这一原理。结构：回转仪由支架、外环、内环和回转仪组成，外环可相对于支架绕AA’轴转动，内环可相对外环绕BB’轴转动，回转仪可相对于内环绕OO’轴转动，AA’轴、BB’轴、OO’轴互相垂直，对应了三维空间的三个坐标轴。因为所有的轴承处都是非常光滑的，所以回转仪的自转角动量守恒，这时无论怎样搬动支架，回转仪的转轴方向都不变。因此，若将这种装置装在导弹、飞机、坦克或舰船中，则可将回转仪自转轴线作为标准，将航向与其核对，自动驾驶仪立即就会确定现在的航向与预定的航向间的偏离，并予以纠正。物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒这时质点组内各质点间距可变，因而转动惯量可变，因而转动角速度ω亦可变，但仍有Jω=常数，故有。例3.4图例2：长为的均匀细棒，一端悬于Ｏ点，另一端自由下垂。紧靠Ｏ点有一摆线长也为的单摆，摆球质量为m，现将单摆拉至水平位置后由静止释放，设摆球在其平衡位置与棒作完全弹性碰撞后恰好静止，试求：例3.4图（1）细棒的质量；（2）细棒碰后摆动的最大角解：（1）相碰过程：机械能守恒角动量守恒联立得：即（2）整个过程机械能守恒，即得mRωMω/mRωMω/例3.5图解如果以人和转台为一系统，该系统未受到外力矩的作用因此角动量守恒，式中，，上式可改写为：。因此，可得。人相对转台的角速度为，人在转台上跑一周为角度，即。在这段时间内，人相对地面绕行的角度。转台相对地面绕行的角度。注意：在学完刚体力学之后，遇到碰撞一类的问题时，切切记住：①在有刚体出现时，只能用角动量守恒，而不能用动量守恒；②在讨论机械能时，对于刚体的动能一定要用转动动能，而不能用。复习与思考1刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？2刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？3刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。4刚体所受的合外力为零，其合力矩是否一定为零？相反，刚体受到的合力矩为零，其合外力是否一定为零？

授课章节第4章机械振动机械波教学目的1.理解描述简谐振动的三个重要参量：振幅、周期（频率、圆频率）、相位（初相位），能熟练确定这三个参量，特别是相位和初相位。2.掌握描述简谐振动的旋转矢量法；3.理解简谐振动的动力学特征、运动学特征、能量特征；4.掌握同方向、同频率简谐振动的合成，了解拍振动；5.理解波动方程及其多种表达式。（1）确切理解描述波动的三个重要参量：波长、周期（频率）、波速的物理意义，并能熟练地确定这些量；（2）掌握由波动方程求位于某位置处质点的振动方程或某时刻的波动方程的方法，并能熟练地求出同一波线上两点间的相位差，或同一位置处质点不同时刻的振动相位差；（3）掌握如何写出波源不在坐标原点时的波动方程的方法；（4）掌握由已知时刻的波形曲线写出波动方程，或写出（画出）某位置处质点的振动方程（振动曲线）的方法。6.理解波动能量的特点，理解平均能量密度、平均能流密度的概念及相关的计算；7.理解波动叠加原理，掌握波的相干条件及相长、相消干涉的条件。教学重点、难点1.正确运用动力学方法求系统固有角频率；2.正确确定振动相位，从而写出振动方程；3.能应用旋转矢量讨论有关问题；4.正确地由振动方程写出波动方程，能将给定的波动方程与波动方程的标准形式比较，从而获得波振幅A，波动角频率（或周期T，频率）、波长（或波速度u）；5.理解波速与振动速度的区别；6.能够由波动方程读出波线上某点的振动相位与坐标原点的相位相比是超前还是滞后；7.由已知时刻的波形图建立波动方程（设传播方向已知）；8由已知点的振动曲线建立波动方程.教学内容备注第4章机械振动机械波前言1.振动是一种重要的运动形式2.振动有各种不同的形式机械振动:位移x随t变化；电磁振动；微观振动广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。3.振动分类振动受迫自由阻尼无阻尼振动受迫自由阻尼无阻尼自由非谐自由谐动波动是振动的传播过程。机械波机械振动的传播波动电磁波电磁场的传播粒子波与微观粒子对应的波动虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。§4.1简谐振动的动力学特征弹簧振子的振动二、谐振动方程moxX0moxX0=0AxmoX0=Axmo-AX0=-A令则有即其解为三单摆如图所示，m受合外力沿轨道切线方向分力,负号表示力的方向与角的方向相反。当时有即令所以，在角位移很小（）情况下，单摆的振动才是近似的简谐振动。，，。四、复摆设刚体的质量为m，重心在c点，重心到轴的距离为h，刚体对通过o点的转轴的转动惯量为I。t时刻的角位置为θ，向右为正。则当角位移为θ时，受到重力矩当在角位移很小（）情况下，∴令即复摆在摆角很小（）情况下，可近似为简谐振动。，。§4.2简谐振动的运动学简谐振动的运动学程：速度：加速度：二、描述简谐振动的特征量1.振幅──最大位移的绝对值(A恒为正).2.周期和频率——反映振动的快慢（1）周期T─振动一次所需时间。（2）频率─单位时间的振动次数(Hz)（3）圆频率─2秒内的振动次数(1/S或/S)3.位相（1）是t时刻的位相。反映t时刻的振动状态(x、v、a)。由、、(2)初相是t=0时刻的位相。(t=0称时间零点,是开始计时的时刻,不一定是开始运动的时刻)。反映t=0时刻的振动状态(x0、v0)。xmooAxmooA-AtxA0=0X0=AToxoA-Atxm0=/2X0=0ToA-Atxxmo-A0=X0=-AT4、振幅和初位相由初始条件决定由得三、旋转矢量法(1)矢量长度=以为角速度绕ｏ点逆时针旋转ｔ=0时矢量与ｘ轴夹角为(2)矢量端点在X轴上的投影做简谐振动oxAoxAA0t+0xt=tt=0x=Acos(t+0)如果有两个谐振动,,那么它们的位相差为.可见，对两同频率的谐振动其位相差等于初相差。以上讨论的是两个振动在同一时刻的位相之差。同样地，同一振动在，两个不同时刻的位相差为由此可见，一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间为当(=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。当(=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相。三、位相超前和落后若，则x2比x1较早达到正最大，称x2比x1超前(或x1比x2落后)。由图，又，，ooxA1A2两个同频率的谐振动的位相关系还可以直接用旋转矢量图示法进行比较：如图A1、A2分别表示圆频率相等的两个谐振动，它们任意时刻的位相差是一个恒量，。§4.3简谐振动的能量一、简谐振动系统的能量特点以水平弹簧振子为例动能随t变:，势能随t变：，，与动能情况相同。机械能。简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗。各时刻的机械能均等于起始能量E0(t=0时输入的能量)。xxtToEEpEk(1/2)kA2-AA二.同方向同频率的简谐振动的合成1、分振动一物体同时参与两个谐振动AA2AA1x2x1x2、合振动由右边的矢量图可求得：合振动是简谐振动，其频率仍为，其振幅和位相分别是，。3.两种特殊情况（1）若两分振动同相，则,两分振动相互加强，如A1=A2,则A=2A1（2）若两分振动反相，，则,两分振动相互减弱，如A1=A2，则A=0，(以上=0,1,2,……)。三.同方向不同频率的简谐振动的合成分振动:设,合振动:合振动不是简谐振动。当21时,2-12+1,x可写作其中：，随ｔ缓变。。随ｔ快变。这样，合振动可看作振幅缓变的简谐振动。拍(beat)──合振动的强弱A2(t)随ｔ变化的现象。拍频：单位时间内强弱变化的次数.或即为A2(t)或|A(t)|的变化频率。例：双簧管(oboe)；钢琴(piano)调音.§4.4机械波的形成和传播机械波产生的条件波源作机械振动的物体弹性介质内部各相邻质点间有弹性力相互联系的气体、液体或固体介质。横波与纵波横波质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波。纵波质点的振动方向与波的传播方向平行的波。波线与波面波传播到的空间称为波场。波线用带箭头的线表示波的传播方向，该线称为波线。波源的振动状态沿着波线传播到波场中的各质点，引起各质点的振动。振动状态的传播也就是位相的传播。波面波场中同一时刻振动位相相同的点连成的面称为波面。波线波前波面波前波线波面（a）平面波波线波前波面波前波线波面（a）平面波（b）球面波描述波动的几个物理量1、波长：同一波线上位相差为2的两质点间的距离，即一个完整波的长度，称为波长，用表示。2、周期和频率：周期:波传播一个波长所需要的时间，或者说，一个完整波通过波线上某点所需的时间，称为波的周期，用表示；频率:单位时间内，波动向前推进的距离内所包含的完整波的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目，用表示。。波速：单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离。用u表示。。波速决定于介质的弹性模量和密度。固体中横波与纵波的波速分别为（横波），（纵波）。绳上或弦上的横波波速。§4.5平面简谐波的波函数波的能量一、平面简谐波的波函数设有一平面简谐行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿x轴正向传播，波速为u。取x轴为其一条波线，并任选波线上一点o为坐标原点（注意：o不一定是波源）。如图所示设原点处（x=0）质点的振动方程为，uyxopx式中A是振幅，是圆频率，是o点处质点振动的初位相，就是o点处质点任意时刻t离开其平衡位置的位移。当振动沿波线传播到坐标为x的p点时，puyxopx相同的振幅和频率重复o点质点的振动，但振动从o点传到p点须经历的时间，即在波向x轴正向传播时p点的振动比o点的振动在时间上落后，所以，p处质点任意时刻t离开自己平衡位置的位移等于原点在（）时刻的位移，即。所以，沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数为。若这列平面简谐波沿x轴负向传播，则波函数为因为，，所以上面的波函数也可写成以下几种形式：;;.二、波函数的物理意义如果x=x0为给定值，.这就是波线上x0处质点在任意时刻t离开自己平衡位置的位移。即x0处质点的振动方程。它在t=0时的位相为，表示x0处质点的振动比原点的振动始终落后一个相位。2、如果t=t0为给定值，只是x的函数，表示t=t0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为t0时刻的波形方程。3、如果t，x都在变化，则t时刻波动方程；t+时刻波动方程。画出t和t+时刻的波形，便可形象地看出波形向前传播的图象。波形向前传播的速度等于波速u。由于波形向前传播，x处质点在不同时刻t和t+Δt的位移是不同的。但从上面的t时刻波形和t+Δt时刻波形可以看出：，即，或直接用位相表示为。上式表明：x处质点在t时刻的振动状态（或位相），经过时间Δt正好传播到x+Δx=x+uΔt处。故波速就是位相的传播速度。例1：一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率分别为和，波速为u，设时的波形曲线如图所示。(1)写出此波的波动方程；(2)求距o点分别为/8和3/8两处质点的振动方程；(3)求距o点分别为/8和3/8两处质点在时的振动速度。yu0Px解：（1）由图可知yu0Px可求出从而获得波动方程是：（2）在/8处同理，在3/8处，（3）时，处速度处速度例2：如图，一平面简谐波沿ox轴正方向传播，波长为，若p1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是。P1oP2xL1L2解：P1oP2xL1L2(2)(k=1,2,…)∴三、波的能量和能量密度以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。如图所示，有一密度为的细长棒沿ox轴放置，一列平面简谐纵波以波速u沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压缩和拉伸。设波动方程为：固体细长棒中纵波的传播在坐标为x处取一小体积元dV=sdx，其质量为，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化，其振动动能；同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能；体积元的总能量。以上结果表明：1)波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。2）波动能量和振动能量有根本区别。振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。3）对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零（即平衡位置）时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。介质中单位体积内的能量叫能量密度，用ω表示。它在一个周期内的平均值叫平均能量密度。四、波的能流和能流密度1、能流、平均能流：能流——单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。如图所示，s为垂直于波速u的平面，则单位时间内通过S面的能量平均来说等于以s为底、u为长度的体积内的能量，即称为通过S面的平均能流。式中为平均能量密度，对简谐波，所以2、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I表示，即。由此可见，平均能流密度I与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。*五、波的吸收1、无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S1和S2的平均能流相等。即所以即A1=A22、波的吸收波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。实验指出：当平面波通过极薄的一层介质（厚度为dx）后，振幅减少-dA与波进入介质薄层时的振幅A及薄层厚度dx成正比：，式中为常数，称为介质的吸收系数，积分可得：。A0和A分别为x=0和x=x处波的振幅。由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所以波的强度衰减的规律为：I0和I分别为x=0和x=x处波的强度。§4.6惠更斯原理波的叠加和干涉惠更斯原理1惠更斯原理：介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。2用惠更斯原理确定新的波阵面：从以上图中可看出：当波在均匀各向同性介质中传播时，波阵面的几何形状总保持不变，波的传播方向也保持不变。波的叠加原理1）独立性：当几列波在介质中相遇重叠时，它们各自的频率、波长、振幅均不会相互影响，都各自独立地进行传播、就好象传播过程中没有彼此相遇一样，这就称为波的独立性。2）波的叠加原理：当几列波在介质中相遇时，每一列波都将引起相遇处质点的振动，因此，相遇处质点的振动将是每列波在该点引起的分振动的叠加，即任一时刻相遇处质点的振动位移等于每列波在该点引起的分位移的矢量和。波的叠加原理和波动方程为线性微分方程是一致的。波的干涉干涉现象：两个频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定的波源发出的两列波在空间相遇时，使空间某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消的现象。满足频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定三个条件的波源称为相干波源；由这样两个波源发出的两列波称为相干波。设相干波源S1，S2的振动方程分别为，；图中P为相遇区域中任意一点，r1，r2为P到S1，S2的距离，则两列波在P点引起的分振动分别为S1S2S1S2r1r2P，P点的合振动为：。合振动的振幅A：，因为波的强度正比于振幅的平方，所以，式中是P点处两个分振动的位相差，空间任一给定的P点的两个分振动的位相差也是恒定的，该点的合振幅A或强度I也是一定的。所以，在两列相干波相遇的区域会出现振幅A或强度I不均匀的、稳定的干涉图样。（1）当，，。空间各点干涉加强或干涉相长（2）当，，。空间各点干涉减弱或干涉相消（3）如果，上述干涉加强和干涉减弱的条件可简化为干涉加强或干涉相长干涉减弱或干涉相消以上表明，当两波源同位相时，在两列波的叠加区域内，波程差等于零或半波长的的偶数倍的各点，振幅和强度最大；波程差等于半波长的的奇数倍的各点，振幅和强度最小。以上讨论的是满足相干条件的两列波的相干叠加。而不满足相干条件的两列波相遇时只是非相干叠加。此时空间任一点的合成波的强度就等于两列波强度的代数和，即。例3：如图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距，S1较S2位相超前，求：（1）S1外侧各点的合振幅和强度；（2）S2外侧各点的合振幅和强度。Pr1S1S2r2Qλ/4解：（1）设Pr1S1S2r2Qλ/4可求出从而获得波动方程是：（2）在/8处同理，在3/8处，（3）时，处速度处速度例2：如图，一平面简谐波沿ox轴正方向传播，波长为，若p1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是。P1oP2xL1L2解：P1oP2xL1L2(2)(k=1,2,…)∴三、波的能量和能量密度以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。如图所示，有一密度为的细长棒沿ox轴放置，一列平面简谐纵波以波速u沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压缩和拉伸。设波动方程为：固体细长棒中纵波的传播在坐标为x处取一小体积元dV=sdx，其质量为，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化，其振动动能；同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能；体积元的总能量。以上结果表明：1)波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。2）波动能量和振动能量有根本区别。振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。3）对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零（即平衡位置）时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。介质中单位体积内的能量叫能量密度，用ω表示。它在一个周期内的平均值叫平均能量密度。四、波的能流和能流密度1、能流、平均能流：能流——单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。如图所示，s为垂直于波速u的平面，则单位时间内通过S面的能量平均来说等于以s为底、u为长度的体积内的能量，即称为通过S面的平均能流。式中为平均能量密度，对简谐波，所以2、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I表示，即。由此可见，平均能流密度I与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。*五、波的吸收1、无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S1和S2的平均能流相等。即所以即A1=A22、波的吸收波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。实验指出：当平面波通过极薄的一层介质（厚度为dx）后，振幅减少-dA与波进入介质薄层时的振幅A及薄层厚度dx成正比：，式中为常数，称为介质的吸收系数，积分可得：。A0和A分别为x=0和x=x处波的振幅。由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所以波的强度衰减的规律为：I0和I分别为x=0和x=x处波的强度。§4.6惠更斯原理波的叠加和干涉惠更斯原理1惠更斯原理：介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。2用惠更斯原理确定新的波阵面：从以上图中可看出：当波在均匀各向同性介质中传播时，波阵面的几何形状总保持不变，波的传播方向也保持不变。波的叠加原理1）独立性：当几列波在介质中相遇重叠时，它们各自的频率、波长、振幅均不会相互影响，都各自独立地进行传播、就好象传播过程中没有彼此相遇一样，这就称为波的独立性。2）波的叠加原理：当几列波在介质中相遇时，每一列波都将引起相遇处质点的振动，因此，相遇处质点的振动将是每列波在该点引起的分振动的叠加，即任一时刻相遇处质点的振动位移等于每列波在该点引起的分位移的矢量和。波的叠加原理和波动方程为线性微分方程是一致的。波的干涉干涉现象：两个频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定的波源发出的两列波在空间相遇时，使空间某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消的现象。满足频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定三个条件的波源称为相干波源；由这样两个波源发出的两列波称为相干波。设相干波源S1，S2的振动方程分别为，；图中P为相遇区域中任意一点，r1，r2为P到S1，S2的距离，则两列波在P点引起的分振动分别为S1S2S1S2r1r2P，P点的合振动为：。合振动的振幅A：，因为波的强度正比于振幅的平方，所以，式中是P点处两个分振动的位相差，空间任一给定的P点的两个分振动的位相差也是恒定的，该点的合振幅A或强度I也是一定的。所以，在两列相干波相遇的区域会出现振幅A或强度I不均匀的、稳定的干涉图样。（1）当，，。空间各点干涉加强或干涉相长（2）当，，。空间各点干涉减弱或干涉相消（3）如果，上述干涉加强和干涉减弱的条件可简化为干涉加强或干涉相长干涉减弱或干涉相消以上表明，当两波源同位相时，在两列波的叠加区域内，波程差等于零或半波长的的偶数倍的各点，振幅和强度最大；波程差等于半波长的的奇数倍的各点，振幅和强度最小。以上讨论的是满足相干条件的两列波的相干叠加。而不满足相干条件的两列波相遇时只是非相干叠加。此时空间任一点的合成波的强度就等于两列波强度的代数和，即。例3：如图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距，S1较S2位相超前，求：（1）S1外侧各点的合振幅和强度；（2）S2外侧各点的合振幅和强度。Pr1S1S2r2Qλ/4解：（1）设SPr1S1S2r2Qλ/4S1外侧各点合振幅A=0，合振动强度I=0。（2）设S2外侧任一点为Q，Q到S2的距离为r2，则到达Q点的两列波的位相差S2外侧各点合振幅A=2A1，合振动强度I=4I1。复习与思考1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题下图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．2弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？3单摆的周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化？4简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振