广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合A=2,3,4,A．2,3,4 B．2,32．设复数z满足z=2+iiA．3 B．3 C．5 D．53．已知a，b，c∈R，且a>A．1a<1b B．ac24．若α∈0,π，tanπA．−55 B．55 C．−5．已知数列an满足a1=2，且an+1A．2n B．−2n C．−6．设x2−3A．-4 B．-8 C．-12 D．-167．若点M0,1关于动直线l：3x+4yA．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分8．已知圆锥的底面半径为23，母线长为43，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（A．43π B．53π C．二、多选题9．已知数据x1,x2,A．数据y1B．数据y1C．数据x1D．若数据x1,x2,⋯,x610．已知等差数列an的公差d≠0，Sn为数列an的前n项和，对给定的n且n≥3A．当n=10时，S18⋅SC．当a1>0，n=8时，a7<11．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1DA．直线A1B与直线B．直线A1B与平面C．若正方体的棱长为2，则点O1到平面BAD．此双曲线的离心率为2三、填空题12．已知a=3,−3，a+13．已知点P在抛物线C:y2=4x上，若点P到点A5,14．已知函数fx=ax−lnx−1四、解答题15．如图，三棱锥P−AOB中，PO⊥平面AOB，(1)求证：AO⊥平面(2)求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．16．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°(1)求中线BN的长；(2)求∠M17．某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)求中奖次数X的分布列和数学期望；(2)求第二次中奖的概率；(3)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？18．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F(1)求双曲线C的方程；(2)证明存在x轴上的一点M，使得MA(3)求∠A19．已知函数fx(1)讨论fx(2)当a=（i）过点Mb,0可以作函数f（ii）设A，B是y=fx图象上两个不同的点，且A，B两点到P答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACDBDCABABDABD题号11答案ACD1．A【详解】由A=2,则A∩2．C【详解】z=2+3．D【详解】对于A，当a=2,b=对于B，当c=0时，对于C，当a=1,b=对于D，因为函数y=ex在R上单调递增，且a4．B【详解】由tanπ则sinα=2cosα而sin2α+所以sinα5．D【详解】由an+1则数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a则−1所以数列−1nlog2=−6．C【分析】根据x2−3x+【详解】x2−3x+∴a7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7．A【分析】先求出直线l过定点B−2,【详解】由直线l：3x令3x+4则直线l（不包含直线2x+y由对称性可知，MB=NB=4+又直线l不包含直线2x所以点M0,1关于直线2x+则N的轨迹是以B为圆心，5为半径的圆（去掉点Q），因此，点N的轨迹为圆的一部分.8．B【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可.【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为23，母线长为4所以轴截面为等边△A如图，设切点为D,E，圆心为由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为O1则∠DAF=∠EAF=由于DO1//AB，则D所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为2π9．ABD【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断A，B，C；由中位数和百分位数的计算方法即可判断D.【详解】对于B，因为x1所以y1所以数据y1,y2,对于A，因为x1所以y==4所以数据y1,y2,对于C，x1x1−10对于D，将数据从小到大排序，所以中位数m为第三个数和第四个数的平均数，因为6×75%=4.5按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，所以m≤n，故故选：ABD.10．ABD【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题.【详解】对于A，当n=10时，a因为a9=a1+8d又因为S18S19所以S18⋅对于B，当n=5时，a若a5>0，则若a5<0，则对于C，当n=8时，若a8>0，则a若a8<0，则a7+对于D，当n=9时，a又因为a1=1，代入可得：a8所以1+8d211．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量相乘为零可以判断A选项，利用线面夹角公式可以判断B选项，利用点到面距离公式可以判断C选项，结合题目条件分析其为等轴双曲线即可求出离心率，判断出D选项【详解】对于A，设正方体棱长为2，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为AA1所在直线为所以A0,0,0，B2,0,所以A1所以直线A1B与直线AC对于B，B2,0,0，B12,0设平面BB1D所以-2x+2y设直线A1B与平面BB则sinθ因为0°≤θ对于C，由于正方体的棱长为2，则B2,0,0，A10,0设平面BA1D所以-x1+z1所以点O11,1,对于D，因为O11,1,2，四个顶点B2,0,0，A10C1B=正四面体绕轴OO在包含旋转轴OO选取母线C1B=cosα在轴截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为45°，即渐近斜率为1所以a=b，12．−【详解】由a=3,−3因为a⊥b，所以a⋅13．4【详解】由抛物线C:y2=4因为点P到点A5,0的距离与点P结合抛物线的定义可得PA则点P在线段AF的垂直平分线上，而A5,0，所以PA14．1【分析】分a<0，0<a<1，a=【详解】因为x∈0,当a<0时，那么函数所以要使∀x∈0则fx=a又函数fx=a根据y=ax−1所以存在x0，使得x∈x0,+∞不合题意，舍去.当a>0时，设y=ax则a=1x1，所以lnx①当0<a<令gx=f所以当x∈0,a3当x∈a3,+故f−当x∈0,②当a=1时，由①可知fx≥0③当a>1时，fx则只需f−x≥0恒成立，由①得：即1<a≤3，综上：故答案为：1,15．(1)证明见详解(2)7【分析】（1）根据几何性质，证明AO⊥OC，再结合PO⊥平面（2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可．【详解】（1）因为PO⊥平面AOB，AO⊂平面AC=2在等腰△OAB中，易知∠由正弦定理可得AO=sin在△AOC可得OC=1，故有A因为PO∩OC=O，PO所以AO⊥平面（2）由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，则以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则O0,0,0，A又AC:C因为AO⊥平面POC，所以平面POC的一个法向量为又PA=3设平面PAB的法向量为n=x,y,令x=1，则可得平面PAB的一个法向量，为所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为cosθ16．(1)7(2)21【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐标系，求出AM【详解】（1）由AC=6，BN在△ABN则BN（2）以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由AB=2，AC=则AB则BM=1所以AMAM=9则cos∠所以∠MPN17．(1)X的分布列为X012P12161EX(2)3(3)中奖2次的人数为60时的概率最大.【分析】（1）根据题意分析随机变量X的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望；（2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率；（3）设300位顾客中中奖2次的人数为Z，则Z∼【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则中奖次数X的可能取值为0,则PXPXPX则X的分布列为X012P12161所以X的期望为EX（2）设A为“第二次中奖”，则PA（3）设300位顾客中中奖2次的人数为Z，由（1）的分布列可得Z~故PZ=k令C300所以300!化简得2965≤k故中奖2次的人数为60的概率最大.18．(1)x(2)证明见解析(3)2【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；（2）设l:x=ty+2（3）先求tan∠AMF2、tan【详解】（1）因为实轴长为23，故a而点F1到双曲线C的渐近线的距离为1，故-故双曲线的方程为：x2（2）设c为半焦距，则c=3+因为l与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设l:x=由x2−3y2故Δ=16t2−又y1设Mm,0，则M故M===MA⋅MB为定值当且仅当故存在x轴上的一点M53,0，使得（3）由双曲线的对称性不妨设0≤t<故tan∠AM故tan∠A==−3×设s=3−故tan∠而1s∈1注意到tan∠AMB<19．(1)单调性见解析；(2)（i）b∈【分析】（1）求导后对a分类讨论即可；（2）（i）求出切线方程代入点坐标得到b=（ii）设A,B点坐标，根据|PA|【详解】（1）f′①当a≥0时，f′