人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第五章数列

第五章数列（选择性必修第二册）

第1节数列的概念

0课程标准要求

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公

式法）.

2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

必备知识•课前回顾®热徼材办实四条

的知识梳理

1,数列的概念及分类

（1）定义

数

按照确定的顺序排列的一列数

列

数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数

叫做这个数列的第1项,常用符号郎表示,第二个位置上的数叫

项

做这个数列的第2项,用a?表示……第n个位置上的数叫做这个

数列的第n项,用当表示.其中第1项也叫做首项

表

aba2,a3,an,…，简记为｛aj

示

⑵分类

①项数有限的数列叫做有穷数歹IJ,项数无限的数列叫做无穷数列.

②从第2项起,每一项都大王它的前一项的数列叫做递增数列；从第2

项起,每一项都小王它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项都

相等的数列叫做常数列.

⑶数列与函数

数列｛&J是从止整数集N♦(或它的有限子集｛1,2,…，n｝)到实数集R的

函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为

an=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(neN*)有意义,那么

f(1),f(2),…，f(n),…构成了一个数列｛f(n)｝.

(4)数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.

2.数列的通项公式

如果数列｛4｝的第n项a“与它的序号上之间的对应关系可以用一个式

子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数

列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.

3.数列的递推公式与前n项和公式

递

推一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表

公示,这个式子叫做这个数列的递推公式

式

前n

数歹U瓜｝从第1项起到第里项止的各项之和,称为数列｛4｝的前

项

n项和，记作Sn,即S”=ai+az+…+a”

和

定

义

刖n

项

数列E）的前n项和权与它的座号上之间的对应关系可以用一

和

个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式

公

式

4.数列中“与与的关系

若数列｛%｝的前n项和为Sn,

则@二户1，九=1，

AJa

[Sn-Sn^n>2.

—F熊自-

1.数列｛a｝的前几项为"3,丁8,4,…，则此数列的通项公式可能是

（A）

.5n_4「3n~2

A.an=——B.an=--

厂6n-5「lOn9

C.a,=-^—D.atF—

解析:数列为;,l案得…，其分母为2,分子是首项为1,公差为5

的等差数列，故通项公式为an-竽.故选A.

2.在数列｛n｝中，时1,虱二1+二-（。22）,则由等于（B）

an-l

A.-B.-C.-D.-

2345

2

3.已知数列｛a』的前n项和为Sn,若Sn=n；则an=;若Sn=n+1,

则an=_.

解析:若Sn=n)则当n=l时，ai=Si=l,

22

当n22时，an=Sn-Sn-i=n-(n-l)=2n-l.

当n=l时满足上式，所以an=2n-l.

2

若Sn=n+1,当n=l时,ai=Si=2.

当n22时，

22

a„=S„-Sn-i-n+1-[(n-l)+l]=2nT,

当n=l时不满足上式，

.J2,n=1,

双"22,n£N*.

答案：2『1箫:工2

2

4.己知an=n+Xn,且对于任意的n£N*,数列瓜｝是递增数列,则实数

入的取值范围是

解析:因为｛4｝是递增数列,

所以对任意的neN；都有aIl+1>ail,

即(n+l)、入(n+1)>n2+Xn,

整理,得2n+l+X>0,即X>-(2n+l).(*)

因为n^l,

所以-(2n+l)<-3,要使不等式(*)恒成立，只需入>-3.

答案：(-3,+8)

2

5.在数列I｛an｝中，a-n+6n+7,当其前n项和S。取最大值

时，n=.

2

解析：由题可知n£N*,令at=-n+6n+7^0,得lWnW7(n£N*),

所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=£且最大.

答案：6或7

关于涔土圆实四翼

关键能力"课堂突破

腐考点一由4与S”的关系求通项公式

1.记Sn为数列瓜｝的前n项和.若Sn=2an+1,510S6=.

解析：因为Sn=2an+1,

所以当n=l时,ai=2ai+l,解得a尸T,

当n22时,an=Sn-Sn-i=2an+l-(2^-i+D,

=

所以an2an-i,

所以数列｛aj是以-1为首项,2为公比的等比数列，

n1

所以an=-2-,

所以S.Flx(126)=-63.

1~2

答案：-63

n

2.已知数列｛a#满足ai+2a2+3a3+---+nar=2,贝lj&尸.

解析：当n=l时,由已知，可得ai=21=2,

因为a1+2a2+3a：§+…十回=21①

=1

故ai+2a2+3@3+…+(n-l)an-i2"(n^2),(2)

nn1n-,

由①-②,得nan=2-2_=2,

所以为二丝(n、2).

n

显然当n=l时不满足上式，

2,n=1,

所以&尸《2%1

hr，11”

f2,n=1,

答案：q

3.设S是数列｛aj的前n项和,且a.=-l,anH=SnSn+1,则Sn=

=—=

解析：因为an+lSn+lSn,an+lSnSn+b

—=

所以Sn+1SnSnSn+l.

因为SuWO,

所lil--1,即——1

SnSn+1Sn-1Sn

又A，

Si

所以数列｛£｝是首项为-1,公差为-1的等差数列.

所以《二T+(nT)X(T)=一n,

Sn

所以S=--.

nn

答案:二

n

♦题后悟通

已知S”求式的常用方法是利用

2,一定要检验④的情况・

因考点二由递推关系求通项公式

口角度一累力n法---形如an(i-an=f(n),求an

CfiO设数歹U｛4｝满足ai=l,且ariH-a=n+l(neN*),则数列｛a』的通项

公式为

解析:由题意得3.2-31=2,@2=3,…,

所以an-an-i=n(n22).

以上各式相加,得

a「a尸2+3+…+⑴

n2+n2

~2~

因为ai=l,

2

所以a“上^(n22).

因为当n=l时也满足此式，

所以④二号.

答案：暗?

♦解题策略

当出现anH=an+f(n)札用累加法求解.即利用

an=(an-an-i)+(an-i-a„-2)+•••+(a2-ai)+a1=f(n-l)+f(n-2)+・・・+f(1)+a］求

解.

口角度二累乘法一一形如皿=f(n),求an

an

(例1-2设数列｛a-中，ai=2,a4i=^-a,则a:

nn+lnn

解析：因为4产热备，*2,

所以a„^0,

所以On+1H

n+r

所以当n22时,

a二工•&_L•也....也•也•a1

an-lan-2an-3a2al

n-ln~2n~31.

二--♦---•--•••••一zXnz

nn~ln~22

上.

a1=2也符合上式，

则a—.

nn

答案:马

n

।解题策略

当出现皿二f(n)忖,用累乘法求解,即利用

«n

an=工・至1・包2........也•也•④求解.

口角度三构造等差法一一形如an+1=-^(A,B,C为常数),求an

®E3)已知数列瓜｝中,a尸2,尸碧(n£N*),则数列⑸｝的通项公式

斯+2

a„=.

解析：因为an+尸ai=2,

斯+2

所以a”WO,

所以二一二工+；,即二一工1,

aa

n+ln2an2

又a.=2,则工

由2

所以数列｛!｝是以J为首项,；为公差的等差数列.

an22

所以工二工+(nT)

anai22

所以a--.

nn

答案三

n

♦解题策略

形如a”•尸三(A,B,C为常数)，将其变形为二一耳•-A

Ban+Can+lAanA

(1)若A=C,贝IJ｛2｝是等差数列,且公差为3可直接用公式求通项公式.

anA

⑵若AWC,则采用待定系数法,构造新数列求解.

fl角度四构造等比法---形如atri=Aan+B(A^O且AW1,BW0),求a„

®3)已知数列知J满足aFl,an+1=3an+2(neN*),则数列｛an｝的通项公

式为.

解析:因为an+i=3an+2,

所以an+i+l=3(an+l),

所以&±1?=3,

即+1

所以数列E+1｝为等比数列，公比q=3,

又ai+l=2,

所以an+l=2•37

所以a“=2•3nH-l.

答案:a“=2•3n-1-l

解题策略

对于形如尸Aan+B(AWO且AW1,BWO),通常采用待定系数法将其转

化为all+i+x=A(an+x),先求出x,再借助等比数列｛a„+x)求解.

［针对训练］

根据下列条件,求数列｛a.J的通项公式.

(1)31—2,Hn+]=Hn+ln(1+—)；

n

(2)ai=i=三5i(n22);

2n+1

(3)ai=1,an+F|a„+(1)"”；

an1

(4)ai=l,an=(n^2).

3Qn-i+l

解：(1)因为an+i=an+ln(l+i),

所以ai-an=ln—,

n+n

所以a„-a-i=ln-^(n>2),

nn-l

二In=,・・・,二ln；(n22).

71-21

所以a-aFln—+ln—+***+ln-Inn(n22),

tln-ln~21

即an=lnn+2(n22).

又3I=2,

所以a”=Inn+2.

(2)因为an=^4an-i(n22),

n+l

所以当n22时,

anin+l

所以工二三,・・・,叽;94

an-jn+1a24al3

以上nT个式子相乘得区•—....也♦佻二巴1­—

«71-1即202ain+1n

即为二」---X2X1.

n+ln

所以a'1=/1r

n(n+l)

当n=l时，a,=^-=i也与已知相符，

所以数列｛%｝的通项公式为a--^—.

n(n+l)

n+,

⑶在“净n+弓严两边分别乘以27得2•席⑵•an)+l.

令b=2"­a,则鼠尸孤+1,

nnJ

根据待定系数法,得bn「34(b「3).

所以数列｛bn-3｝是首项为b「3=2XW，公比为；的等比数列.

653

所以壮-3二一・专产，

即bn=3-2().

于是,a卷=3(>-2(/

(4)取倒数，得工二四口±!=3+」-(n22).

an°nTan-1

所以数列｛=是等差数列，工J+3(nT)=1+3(n-l)=&=七.

anan由3n-2

戚考点三数列的性质及其应用

幅度一数列的周期性

例27)数歹U{aj满足&一尸7^—,as=2,贝lja尸

解析：由ai=-^—,得a=l-^—,

n(1-即n«n+l

因为a8=2,

_

所以a7=l~^>

3^=1---1,a5=l--=2,•••,

所以瓜｝是以3为周期的数列,

所以ai=a?=-.

答案4

♦解题策略

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性

求值.

口角度二数列的单调性

CWR)已知数列｛/｝的通项公式为力笔,若数列｛a』为递减数歹U,则

实数k的取值范围为()

A.(3,+8)B.(2,+8)

C.(1,+°°)D.(0,+8)

解析：因为an「a”二掾洋-智匚刍鬻，由数列匕力为递减数列知,对任

意n£N*,anH-a,F^^<0,

所以k>3-3n对任意n£N”恒成立，

所以k£(0,+8).故选D.

解题策略

解决数列单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法,根据”的符号判断数列｛3,｝是递增数列、递减

数列还是常数列.

⑵用作商比较法,根据皿(a>0或aWO)与1的大小关系进行判断.

an

(3)结合相应函数的图象直观判断.

据度三求数列中的最大(小)项

廊F已知数列｛a"的通项公式为a〕n(|);则数列｛a｝中的最大项为

()

A.5B.-C.-D.—

9381243

解析:产(n+1)弓)田一(|"二号•(尹；

当n<2时，an+1-an>0,即an+i>an;

—=

当n—2时，an+iQn—0,BPan+ian

当n>2时，an+i-an<0,即an+1<an.

所以ai<a2=a3>ai>a5>--->an,

所以数列｛aj中的最大项为a2或a3,

且也二铀二2X(：)胃.故选A.

♦解题策略

求数列最大项或最小项的方法

⑴可以利用不等式组伤一；贽"(n22)找到数列的最大项.

1aziNan+i

⑵利用不等式组［夕仁〜(n22)找到数列的最小项.

(ansan+1

［针对训练］

⑴若数列匕』满足a尸2,尸普，则a2您的值为()

A.2B.-3C.--D.-

23

(2)已知数列｛a｝的通项公式为则数列｛a.J中的最大项为

nnz+90

()

A.3V1OB.194D.察

⑶已知等差数列以｝的前n项和为Sn(nEN*),且a『2n+X,若数列

｛S3(n27,n£N*)为递增数歹山则实数X的取值范围为

解析：(1)因为a尸2,尸产\

l«n

所以&二管工-3,

1-01

同理可得&3=-~,31=7,@5=2,@6二一3,a?—a8=-,•,,,可得a44=a,

4J4Jnn

贝ll也022二@505X4+2二&2=一3.故选B.

⑵由题意得a尸二而,运用基本不等式得一看w焉二磊,当且仅当

n+—n+—2V906V10

nn

n二90时,等号成立,结合n£N*,可知刊。磊最大.故选C.

⑶当n27时,数列｛SJ为递增数列，设Sn+1>S„,即Sn+rSn=an+1>0,

=_

所以an+i2(n+1)+人>0,则入>-2n2.

又因为n27,

所以-2n-2W-16,即入>76.

答案：(1)B(2)C(3)(76,+8)

<备选例题

CSD已知n£N*,给出4个表达式:①a』°'71为奇数，②为二匕?:③

11,九为偶数，2

ai4-cosnn④ahsin?|,其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通

项公式的是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

解析:选A.

CSD已知数歹！J｛a,｝满足ami,a产2H(nN2),贝!]a?等于()

A.53B.54C.55D.109

解析：由题意知,^2—a)+2X2,己3=a2+2X3,,,,,a?二女+2X7,各式相加得

a7=a,+2X(2+3+4+…+7)=55.故选C.

n

00©在数列⑸｝中，a尸1,an+1=2an-2,则4等于()

A.-15X216B.15X217

C.-16X216D.16X217

解析：因为3n,尸2a-21

所以数列｛都是等差数列，公差为T，首项为养苫，

所以?H，(nT)手，

所以ap(2-n)・27

所以a/一15X22故选A.

2

CS©若数列｛^｝的前n项和Sn=n-10n(n€N*),则数列｛naj中数值最

小的项是()

A.第2项B.第3项

C.第4项D.第5项

解析:因为S„=n2-10n,

所以当n22时,an=Sn-Sn-i=2n-ll;

当n=l时，ai=S)=-9也适合上式.

所以an=2n-ll(nEN*).

记f(n)=na„=n(2n-ll)=2n2-lln,

此函数图象的对称轴为直线n二，但n£N*,

所以当n=3时,f(n)取最小值.

所以数列｛na“｝中数值最小的项是第3项.

故选B.

灵活》医卷致提甚

课时作业

国选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

由数列的前几项归纳通项

1,7

公式

an与Sn的关系4,8,916

数列的递推关系2,312

数列的性质5,614

综合问题10,11,13,1517,18

A级基础巩固练

1.若数列的前4项分别是则此数列的一个通项公式为

2345

(A)

A3BH

n+ln+1

(-l)n(-1尸

V/.U.

nn

2.若数歹(J｛%｝满足ai=l,atrl-an-l=2",贝lja”等于(A)

A.2n+n-2B.2n-1+n-l

C.2n+1+n-4D.2n+1+2n-2

解析：因为an+「an=2"+l,

,23n

所以a2-ai=2+l,a3-a2=2+l,a4-a3=2+l,…，an-an-i=2'+1(n^2),

,,1n

以上各式相加得aI1-a1=2'+-+2-+(n-l)=^-^+n-l=2+n-3.

1-2

所以an=2"+n-2.

故选A.

3.已知数列｛aj满足为=1,a“+i二嫌-2a“+l(n£N*),则a2022等于(B)

A.1B.0

C.2022D.-2022

解析:因为ai=l,

所以a2=(a「l)2=0,@3=(12一1)2=1,&=区一1)2=0,・・・,可矢口数歹(J｛aJ是以2

为周期的数列，所以a2022制二0.故选B.

4.已知数列的前n项和为Sn,&=2,Sn产2Sn-l(n£N*),JPJ④。等于

(B)

A.128B.256

C.512D.1024

解析：因为S*2SE(n£N*),

=-

n22时,Sn2Sn-il,

所以aIl+i=2an.

n=1日寸，4]+42二241-1,a1=2,8.2~1.

所以数列｛④｝从第二项开始为等比数列，公比为2.

88

则a10=a2X2=lX2=256.

故选B.

5.(多选题)在数列｛aj中，an=(n+l)(1)';则数列｛aj中的最大项可以

是(AB)

A.第6项B.第7项

C.第8项D.第9项

解析:假设④最大，则有咤?+1'

lan—an-l»

f(n+l)d)n>(n+2)g)n+1,

即488

｛九+1)(an>n•$九一

fn+1之：(7i+2),

所以b8

6(n+1)>n,

即6WnW7,

所以最大项为第6项和第7项.故选AB.

2

6.设数列⑸｝的通项公式为an=n-bn,若数列列J是单调递增数列,则

实数b的取值范围是(C)

A.(-°0,-1]B.(-8,2]

C.(—,3)D.(-oo,2]

解析：因为数列｛4｝是单调递增数列，

所以aIl+-a,=2n+l-b>0(neN*),

所以b<2n+l(n^N*),

所以b〈(2n+l)m『3,

即b<3.故选C.

7.己知数列”，手，,巫，耳，…,根据前3项给出的规律，实数对

246m~n10

(m,n)为.

解析：由数列的前3项的规律可知黑；Wil

(m=19—,

解得4o2

故实数对(m,n)为(?,号.

答案:号,|)

8.若数列｛an｝的前n项和Sn=3n2-2n+l,则数列以｝的通项公式

an=.

解析：当n=l时，a尸Si=3X「-2Xl+l=2.当n22时，

22

a.=Sn-Stl-1=3n-2n+1-[3(n-1)-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=l时，

不满足上式.

故数列E｝的通项公式为2

至空•0，九=1,

口条1671-5,九之2

9.已知数列｛a4中，ai=l,前n项和Sn=^an.

⑴求a2,a3;

⑵求｛④｝的通项公式.

解：⑴由52=^2得3(ai+a2)=4a2,

解得a2=3ai=3.

由S3二齐3得3(ai+az+a?)=5@3,

解得a3=|(ai+a2)=6.

(2)由题设知，当n22时,有an=Sn-Sn-^^~an-h

整理得上二上1,

«n-l九一1

因止匕工•巴口....£3.之二3.2L.....ix-,

aaa

Qnln~22l九一1九一221’

曰TI九n(n+l)

化向得a,F—(+—1—)•---,

XXZ

当n=l时，ai=l满足上式，

所以的通项公式为④二电l(n£N*).

B级综合运用练

10.数列｛xj满足xn-i=IXn-Xn-11(o^2,n&N),XLLx2=a(aeR,aWO),

Xn+产Xn,当T取最小值时，该数列的前2021项和是(D)

A.673B.674

C.1347D.1348

解析:若T=l,则｛xj为常数现

故x2=xi=l,此时x3=0^Xi,故T=1舍去.

若T—2,则X3—Xj—1,

故|aT|=1,故a=2或a=0(舍去).

故x.=11-21但X5=11-11=0^X3,故k2舍去.

若T=3,贝ijx3=Ia-11,x4=|a-1a-11|=Xi=l,x5=|1-|l-a||=x2=a,

若a>l,则|a-(aT)|=1,且|l-(a-l)|=a,

整理得到|2-a|=a,解得a=L

若0<a<l,则|a-(l-a)|=1,且|l-(l-a)|=a,整理得到12a-11=1,无解.

又当ci=l时,有X2—Xi—1,X3—0,X4—1,X5—1,X6~0,

此时｛xj为周期为3的周期数列.

该数列的前2021项和为义经X2+1租=1348.

3

故选D.

11.设数歹(I(3|1)中31=&2=1,且满足a2n+l=3a2n-l与a2n+2一a2n+尸a2n,则数列｛aj

的前12项的和为(C)

A.364B.728

C.907D.1635

解析：数列瓜｝中a)=a2=l,且满足a2n+i=3a2„-i,

贝ija3=3ai=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,&=3a7=81,a】尸3a9=243.

a2n+2-a2n+I=a2n,

r)｛以a2n+2=a2n+l+a2n,

故a.i=a3-*_a2=:4,3+)=a5-*_3i=l3,as=a7+a+i=40,aio=ag+a8=121,ai2=a“+aio=364,

所以数列｛aj的前12项的和为1+1+3+4-9+13+27+40+81+121+243+

364=907.

故选C.

12.已知数列瓜｝满足皿巴三2,a尸20,则回的最小值为(C)

nn

A.4^5B.4^5-1

C.8D.9

解析:由an+i-an=2n知a2-a,=2X1,a3-a2=2X2,•••,an-an-i=2(n-1),n22,

-=—

以上各式相加得anain~n,n22,

所以a,=n2-n+20,n22,

当n=l时，a尸20符合上式，

所以a二n+空-l,n£N*,

nn

所以当nW4时,幺单调递减，当n25时,&单调递增，

nn

因为”,

45

所以区的最小值为乎乎8.故选C.

n45

13.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的

(如图),其中OALAA=A2A3二・••二A7A8=1,记0Ab0A2,0A3,0A8的长度构

成的数列为瓜｝(n£N*,nW8),则瓜｝的通项公式.

(n£N*,nW8)

解析:根据题意0A尸AiA?=A2A3=…=A7A8=1,

所以成二碌1+1(n22),且a铝1,

所以｛a分是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以W=n,an=Vn.

答案:五

2

14.已知数列｛an｝的通项公式是an=n+kn+4.

⑴若k二-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a.有最小值?并求

出最小值；

⑵若对于n£N*,都有anH>an,求实数k的取值范围.

解：(1)由n-5n+4<0,解得l<n<4.

因为n£N*,

所以n=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为a2,a3.

22

因为an=n-5n+4=(n-|)-1,

由二次函数的性质，得当n=2或n=3时,岂有最小值，

其最小值为a2=a3=-2.

22

(2)由an+i>annJW(n+1)+k(n+1)+4>n+kn+4,

整理得k>-2n-l,且对任意的n£N*恒成立，

所以ke(-3,+8),

所以实数k的取值范围为(-3,+8).

15.已知数歹！J｛aJ中，a.=l,其前n项和为Sn,

且满足2Sn=(n+l)a„(neN*).

(1)求数列｛a』的通项公式；

(2)记b=3n-X若,若数列｛b』为递增数列,求实数X的取值范围.

解：⑴因为2Sn=(n+D4,

=

所以2Sn+i(n+2)an+i,

所以2an+i=(n+2)an+r(n+l)an,

即nan+i=(n+l)an,

所以an+lan

n+1n

所以an—an-l—..

nn-l

所以a,=n(neN*).

n2

⑵由(1)得，bn=3-Xn.

_n+1_2_n_2

bn+ibn=3A,(n+1)(3An)=2•3n-入(2n+l).

因为数列｛b/为递增数列，

所以2•3L入(2n+l)>0,

即x〈三

2n+l

则2n+l6TI+3\.

-------->1

cn2n+32・3n2n+3

所以数列｛心｝为递增数列,

所以入〈c尸2,

即实数人的取值范围为(-8,2).

C级应用创新练

16.在数列区｝中,Xn+W警Nn，l,设其前n项和为Sn,则下列命题

正确的是(D)

:

A.xl0-Xi510(X2-Xi)

B.9XI+XIOWSIOWXI+9XIO

C.XkW出出

2

n(n1)

D.若Xn+「Xn二三，贝|JS,l>nx,|ti-^

n+12

解析：由Xn+W""+；"2得Xn+「XnWXn+2-Xn+1,

设Xn+1-Xn=dn,

则dWchW…

XKTX尸4+d2+・・・+d929dl=9(x2-Xi),故A错误.

取Xi=10,Xio=l,故B错误.

当k=3时,数列10,9,8,7,6,5不满足,故C错误.

对于D,由X-Xn=-^7>0,知｛xj递增，Xl<Xl,

n+n+ln+

-Sn=Xi+2(x2-xi)+3(X3-X2)+・・・+n(xn-Xn-i)+(n+l)(xn+-xn)-(n+l)xn+F

Xi+1+2+・・・+n-(n+l)Xn+iV^^—nXn+i,

2

所以S)nxn「号匕故D正确.

故选D.

22

17.已知数列｛aj满足：&+-1)=3L(n—N*),则下列选项正确的是

an+lan

(D)

A.当0<an<l时，anH>an

B.当a„>l时,an+i<an

C.当a,时，为+1+上>3。+18

4an+i

D.当ai=4时，an+/1>2n+2

an+l

解析：对于A,由于(KaXl,

222

贝lj+(—n+2)\+

an+ianan

又由函数f(x)二生正二立江二x+2+2,当xe(0,1)时，函数单调递减，

XXX

可得f(an+1)>f(an),

所以an+i<atl,所以A错误.

对于B,由于a)l,an+i>l,且f(an+i)>f(an),

由f(x)J'+D="+2"+：X+L+2在(1,+8)上单调递增，

XXX

可得所以B错误.

22

对于C,D,由于(恤+什1)

an+ian

+=

可得aIl+i-^—a„+—+2+—,

an+lan

当ai=in=l时，可得a9+—=ai+—+2=i+18<3X1+18=21,所以C错误；

4a2al4

又由当&>0时，可得须>0,

从而an+i+—■—>an+工+2,

an+lan

利用叠加法，可得a田+」一>a+3+2n,

an+lal

故当ai=4时，,an+i+^—>2n+2,所以D正确.

an+l

故选D.

18.大衍数列来源于中国古代著作《乾坤谱》中对《易•系辞上》“大

衍之数五十”的推论,其前10项为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,通

九为奇数，

项公式I如果把这个数列｛&｝排成如图所示的形状,

(十,九为偶数，

并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数，那么A(10,4)的值

为.

o

248

1218243240

50-

解析：由题意可知，前9行共有1+3+…+17秒匹81项，

所以A(10,4)为数列的第85项,

所以A(10,4)的值为学=3612.

答案：3612

第2节等差数列及其前n项和

麴课程标准要求

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决

相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

必备知识.课前回顾国汩激材办实四条

的知识梳理

1.等差数列的有关概念

(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的

差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做

等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为一「a”二d(n

RN*),d为常数.

⑵等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是怛竽,其中A叫

做a与b的等差中项.

2.等差数列的有关公式

⑴通项公式:a”刊+(nT)d.当dWO时,等差数列｛aj的通项公式

aFdn+(a「d)是关于d的一次函数.

(2)前n项和公式：5产帽|+手d二呼普.当dWO时，等差数列｛a"

的前n项和5产犷+(a-凯是关于n的二次函数(没有常数项).

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an=aa+(n-m)d(n,mGN").

⑵若｛an｝为等差数列，且m+n=p+q,则%［包三国(m,n,p,qWN*).

⑶若｛4｝是等差数列，公差为d,则ak,am,ak,2m,-(k,m£N*)是公差为

咀的等差数列.

(4)数列札,S2m-Sm,S3m-S2n,-(meN*)也是等差数列,公差为迄

■释疑

(1)若｛&｝为等差数列,则m+n=p+q是am+an=ap+a<1(m,n,p,q£N*)的充分

不必要条件.

⑵等差数列的前n项和为S”,当公差d=0时,Sn=n也不是关于n商三

次函数.

层重要结论

1.等差数列的前n项和的最值

在等差数列｛4｝中,若a.>0,d<0,则等存在最大值;若aKO,d>0,则Sn

存在最小值.

2.若瓜｝,｛bj均为等差数列且其前n项和为S.,,「，则詈二沁.

bn12nl

3.若瓜｝是等差数列，则｛1｝也是等差数歹U,其首项与｛aj的首项相同,

n

公差是｛aj的公差的;.

4.若等差数列｛an｝的项数为偶数2n,则

(1)S2n=n(ai+a2n)=・••二n(an+a„.i)；

(2)S^-S奇二nd,二二2.

S偶an+l

5.若等差数列｛a“｝的项数为奇数2n+l,则

(l)S2n+i=(2n+l)a„+i；

()运3

n

―三对点自测:一

1.在等差数列以｝中，若a2=4,a5=10,则ae等于(B)

A.8B.12C.14D.16

解析:a5=a2+3d,

所以d=2,

所以0.6=0,2~^4d—12.

故选B.

2.已知等差数列｛aj中,a,2=l,前5项和S5=-15,则数列｛a｝的公差为

(D)

A.-3B.-2C.-lD.-4

%+d=1,

解析:设等差数列的公差为d,由题意得匚^5X4._

5Gl+=-15,

解得d=-4.故选D.

3.在等差数列｛aj中，a,=29,SK)=S科则数列瓜｝的前n项和Sn的最大值

为(A)

A.SisB.S)6

C.S"或SieD.Sn

解析：因为a尸29,S10-S20,

匚匚1、IM

所以10ai.+10^x—9d,=2c0cai+.—20X19d,,

解得d=-2,

所以S[29n+吟"(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.

所以当n=15时，柞取得最大值.

故选A.

4.在等差数列瓜｝中，a.i+a8=10,ai0=6,则公左d二,

解析:由ai+a8=2afi=10,得a6=5,

所以4d-aio~a<i=l,

1

答绐-

4

5.在等差数列｛aj中,已知a"口6,则该数列前11项的和

Sit-.

答案：88

类》考点嗡实四翼

关键能力"课堂突破

慑考点一等差数列的基本量运算

1.记「为等差数列｛an｝的前n项和.已知S尸0,a5=5,则（A）

A.a,=2n-5B.an=3n-10

22

C.S„=2n-8nD.Sn=-n-2n

解析:由等差数列性质可得白==2

（%=+4d=5,

解得丁言,故肥爆故选A

2.设等差数列｛a0｝的前n项和为Sn,若a"F6,S10=100,则a.5等于

(B)

A.8B.9C.10D.11

解析:设等差数列的公差为d.

因为ai+a3—6,Sio-100,

(2al+2d=6,

(lOat+4Sd=100,

解得31=1,d=2,

因此a5=ai+4d=9.

故选B.

3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著,它对

我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的

名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问

甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差

三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问

题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为4,则①等于(C)

A.23B.32C.35D.38

解析：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为-3,则

9al譬X(-3)=207,解得a尸35.故选C.

4.已知等差数列瓜｝的通项公式为an=ll-n,则|a』+1曲|十…

+I&0I~.

解析:设Sn是数列区｝的前n项和，

Iai|+1a?|+•••+1a2ol=(ai+a?+-(ai2+ai3+・・・

■,-320)=S11—(S20—Sil)=2S11—S20,

11x(10+0)

而Si尸=55,

2

(［八

Su=n2n0X1n0+1-2-0-x--(-2--0-"-l-)X7(-11)\=10,

202

所以a1|十|a2〔+,,•+a2oI=100.

答案：100

*-后悟通

(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量出,n,d,a0,Sn,

知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).

⑵确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.

展考点二等差数列的判断与证明

CSID在数列⑸｝中，a尸2,须是1与3的等差中项.

(1)求证:数歹U｛七｝是等差数列，并求｛an｝的通项公式；

⑵求数列｛--｝的前n项和Sn.

(1)证明：因为前是1与a°a用的等差中项，

所以2an=l+ananH,

所以

所以an+1-1=^-1^,

«n«n

所以i「与「1+」7,

Qn+1T。《一1

因为一1二1,

Q「1

所以数列｛七｝是首项为1,公差为1的等差数列，

An1

所以二7=l+(nT)=n,

所以a„--.

n

⑵解:由⑴得广工

£

nann(n+l)nn+1

所以s,=(i+GT)++…+(工-’7)二1

22334Hn+1n+1n+1

,解题策略

等差数列的四个判定方法

⑴定义法:证明对任意正整数n都有等于同一个常数.

⑵等差中项法:证明对任意正整数n都有2a”产an+a2

⑶通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列瓜｝为等差数

列.

2

(4)前n项和公式法:得出Sn=An+Bn后,再使用定义法证明数列瓜｝为

等差数列.

［针对训练］

若数列｛aj的前n项和为Sn,且满足all+2S11SI1-F0(n22),①二；.

(1)求证：｛《｝成等差数列;

⑵求数列｛aj的通项公式.

⑴证明：当n22时，由an+2SnSn-i=0,

得Sn-SI1-1=-2SnSn-1,所以--二2.

又在工=2,

ai

故小｝是首项为2,公差为2的等差数列.

⑵解：由(1)可得P=2n,所以SL；.

SnZn

当n22时，

Sn~S『]

2n2(n-1)2n(nl)

2n(n-l)

当n=l时,不适合上式.

1

2'11—1.

故an二]

,n>2.

2n(n-l)

质考点三I等差数列的性质及其应用

口角度一等差数列项的性质

鲸士在等差数列E｝中，a.+3a8+aI5=120,贝ija2+aI4的值为()

A.6B.12C.24D.48

解析：由等差数列的性质可得，

3.1+3ag+ai5=5a8=l20,

所以a8=24,

所以@2+414=2@8二48.

故选D.

解题策略

如果｛an｝为等差数列，m+n=p+q,则a«+an=ap+aq（m,n,p,qeN*）.因此，若

出现anrn,a_n,总等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与4（或其

他项）有关的条件.

幅度二等差数列前n项和的性质

嗨②（1）已知等差数列｛a｝的前n项和为Sn.若S5=7,SI。=21,贝ijSi5等

于（）

A.35B.42C.49D.63

（2）已知出是等差数列｛a」的前n项和,若山二-2018,挈黑-衿言二6,

贝！J$2020=•

解析：（1）在等差数列｛禺｝中,

ShSurS.SiSi。成等差数列,

即7,14,SL21成等差数列，

所以7+（S「21）=2X14,

解得S15=42.故选B.

⑵由等差数列的性质可得｛1｝也为等差数列.

n

设其公差为d,则需..=6d=6,

所以d=l.

故^2色+2019d=-2018+2019=1,

20201

所以S2020=1X2020=2020.

答案：⑴B(2)2020

解题策略

等差数列前n项和的性质：在等差数列｛an｝中,出为其前n项和,则

①S2n=n(ai+a2n)=…=n(an+am);

②依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.

幅度三等差数列前n项和的最值

廊F(多选题)已知等差数列｛aJ的前n项和为Sn(n£N*),公差dW

0,S行90,a是a3与ag的等比中项,则下列选项正确的是()

A.ai=22

B.d=-2

C.当n=10或n=ll时,Sn取得最大值

D.当Sn>0时，n的最大值为20

解析:因为S6=90,

所以6山+常d=90,

即2a+5d=30,①

又因为&是a?与ag的等比中项，

所以谄二a3a9,

所以⑶+6d)2=(ai+2d)⑸+8d),

整理得N=-10d,②

由①②解得a尸20,d=-2,故A错误,B正确;

2

所以Sn=20n+^^X(-2)=-n+21n=

2

又n£N*,

所以当n=10或n=ll时,S”取得最大值，故C止确；

2

令Sn=-n+21n>0,解得0<n<21,

又n£N*,

所以n的最大值为20,故D正确.

故选BCD.

解题策略

求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法

⑴函数法:利用等差数列前.n项和的函数表达式S„=an2+bn,通过配方

或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.

⑵邻项变号法：

①当a.>0,d<0时,满足j:%的项数小使得S”取得最大值SQ;

②当a/0,d>0时,满足的项数m使得S0取得最小值Sc.

［针对训练］

(1)已知等差数列｛a｝的前10项和为30,它的前30项和为210,则其

前20项和为()

A.100B.120C.390D.540

(2)已知等差数列区｝的前n项和为Sn,a8=l,S16=0,当S”取最大值时n

的值为()

A.7B.8C.9D.10

(3)已知等差数列｛a｝的公差d=-2,a1+a4+a7+-+a97=50,那么

+,e,

a3a6+a9++a99的值是.

解析：(1)设用为等差数列｛aj的前n项和，则Si。,S2O-S1O,SkS?。成等差

数列，

所以2(Szo-Sio)=Sio'*"(Sso-S20).

又等差数列｛an｝的前10项和为30,前30项和为210,

所以2(Si30)=30+(210-02。)，

解得S20=100.故选A.

⑵因为EJ是等差数列，

所以S16=8(ai+a。=8(as+aj=0,则二-画二-1,即数列｛an｝的刖8项是正

数,从第9项开始是负数，

所以(札)皿事故选B.

+

(3)因为ai+a4+a7,*,+a97-50,公差d=-2,

所以23+%+29+…+加=(ai+2d)+(a，i+2d)+(a?+2d)+…

+(a97+2d)=(ai+a.[+a?+…+297)+33X2d=50+66X(-2)=-82.

答案：(1)A(2)B(3)-82

扈备选例题

O0D设等差数列｛4｝的前n项和为S„,Sn=22,a4=-12,若a=30,则m

等于()

A.9B.10C.11D.15

解析:设等差数列｛an｝的公差为d,依题意得

［另1=11%+1^(1=22，解得%=-33,

d=7,

(a4=%+3d=-12,

所以(m-1)d=7m-40=30,

所以m=10.故选B.

CUD设等差数列｛①｝的前n项和为S”,若S：L9,S6=36,则a7+a'9等于

)

A.63B.45C.36D.27

解析：由｛4｝是等差数歹U,

得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,

即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),

得S9-S6=2S6-3S3=45.

故选B.

CSE）记Sn为等差数列瓜｝的前n项和，若a^O,a2=3ab则

Sio_

S5

解析:设等差数列｛4｝的公差为d,

由ai+d=3ab得d=2ab

,10x9.

§10_1。。］+十

§55。1+等d

答案：4

课时作业灵港今滤由致梃怩

@1题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

等差数列的基本量运算1,6,7

等差数列的判定与证明2,410,15,17

等差数列的性质3,8

等差数列前n项和的最