人教版数学九年级上册第6讲 图形的旋转-中心对称满分练习题（含解析）

第6讲图形的旋转.中心对称

知识点1图形的旋转

图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形

的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转带。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.

图形旋转的性质：

1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，

2、任意•对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点

与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】

1.如图，将木条a,b与c钉在一起，ZI=70°,Z2=50%要使木条a与b平行，木条a旋转

的度数至少是

【答案】200

【解析】解：如图.

•・・NAOC=N2=50。时,OA〃b,

，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°-50°=20°o

2.如图，AABC为钝角三角形，将AABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△ABC一连接

【解析】解：•・•将ZABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△AB，C,

・・・NBAB，=NCAg20。，AB=AB\

/.ZABfB=—(180°-120°)=30°,

2

，NC'AB'=NAR'B=3O。，

:.NCAB'=NCAC'-NC'AB'=120。-30°=90%

3.如图，将AABC绕点B逆时针旋转a,得到^EBD,若点A恰好在ED的延长线上，则/

CAD的度数为

【答案】180°-a

【解析】解：由题意可得,

ZCBD=a,ZACB=ZEDB,

VZEDB+ZADB=180°,

.\ZADB+ZACB=180°,

,/ZADB+ZDBC+ZBCA+ZCAD=360°,ZCBD=a,

/.ZCAD=180°-a

4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的形装置中注入一定量

的水，水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60。到AB位置，则AB中水

柱的长度约为

【答案】8cm

【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC,CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时

短软管的底面积为S,

VZBAH=90°-60°=30°,

.\AC=2CH=2x,

・•・细管绕A处顺时针方向旋转60。到AB位置时，底面积为2S,

Vx<S+x*2S=6*S+6*S,解得x=4,

AC=2x=8,

即AB中水柱的长度约为8cm。

【方法总结】

由r旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离息相等，因此对应点必在以旋转中心

为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连

线所成角相等，都等于旋转角.

注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素.

【随堂练习】

1.（2019•南平模拟）如图，在矩形ABC。中，A8=3,BC=4,2是对角线AC上的动

点，连接OP，将直线OP绕点2顺时针旋转使NDPG=ND4C,且过。作ZX7JLPG,连

接CG,则CG最小值为（）

:.AC=\l32+42=5,DHAD.DC12

AC5

:.CH=xlCD2-DH2=|,

，加也必更

CD25

・；4CFG=NHFE,/CGF=ZHEF=90。,CF=HF,

：.^CGF^^HEF(AAS),

:.CG=HE=—,

25

.•・CG的最小值为次,

25

故选：D.

填空题（共3小题）

2.（2019•杨浦区校级自主招生）如图，在直角坐标系中，将AAO3绕原点旋转到△OC。,

(2巨).

5—5―

.•Q=OC=痴，()B=OD=5,

。(5,0),

/.BD=Vio，

\OA=OC,OB=OD,NAOB=NCOD,

:.ZAOC=ZBOD,

:.AA(X：^ABOD,

ACOA

~BD~~OB'

ACM

VIO5

/.AC=2,

m2+n2=10

由题意:

(m+3)2+(〃一if=4

9

m=—,

解得：;或产：

13n=-\

n=一

5

•・•点C在第二象限，

913

C(--,—).

55

故答案为(_2，弓).

3.(2018秋•青山区月考)平面直角坐标系中，C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点，连

接4C,将AC绕4点顺时针旋转90。得到Afi,当点人在大轴上运动，砍取最小值时,

【解答】解：如图，作轴于

vC(0,4),K(2,0),

:.OC=4,OK=2,

\AC=AB,\'AOC=ZCAB=ZAHB=90°,

：.ZC4O+/OC4=90°,/R4H+/C4C=9O。，

/.ZACO=/BAH,

:.SACO^ABAH(AAS),

:.BH=OA=m,AH=OC=4,

/.+4,〃?),

令x=，〃+4,y=m,

/.y=x-4,

.••点8在直线y=x-4上运动，设直线)，=x-4交x轴亍E,交)，轴于产，

作AM_LEF于M,则直或KM的解析式为y=-x+2,

[y=-x+2即,门[x=3

由，,，解得，，

y=x-4[)'=-]

根据垂线段最短可知，当点"与点'重合时，0K的值最小，此时〃(3,-1),

故答案为：(3,-1)

4.(2018秋•思明区校级月考)四边形A8C。是边长为4的正方形，点尸是平面内一点.且

满足4PJ.PC,现将点夕绕点。顺时针旋转90度，则CQ的最大值=_2+2历_.

Q

【解答】解：如图，•.•5P_LPC,

NBPC=y）。,

.,.点。的运动轨迹是以BC为直径的园，

PDA.DQ,PD=QD,

.••点。的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在K4的延长线上，

（口「以利用旋转法讦明：取AC的中点打，连接。E.PE,将人力"'绕点。顺时针旋转90。

得到ADAO,连接。0,只要证明ADE尸二ADOQ即可，推出OQ=PE=的值）

在RtABOC中，OC=dBC2+OB';履一=2如,

.•・当点Q在CO的延长线上时，CQ|的长最大，最大值为2+2屈,

故答案为2+2而.

三.解答题（共7小题）

5.（2019春•西岗区期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,点B和点。的坐标

分别为（肛0）,5,4）,且帆.0,四边形ABCD是菱形.

(1)如图，当四边形AQCD为正方形时，求〃?，〃的值.

(2)探究：当〃?为何值时，菱形A38的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小道.

【解答】解：(1)如图1中，作。*_L)，轴于尸.

图1

•.•四边形A4CO是正方形,

：.AD=AB,ZDAB=NDFA=ZAOB=9(甲，

.\ZDAF-t-ZOAB=90°,ZOAB+ZABO=90°,

.\ZDAF=^ABO,

:.ADFA^MOB(AAS),

：.DF=AB,AF=OB,

vA(0,3)>D(n,4)»

二.04=3,OF=4,AF=1,

.\DF=3,OB=\,

:.m=\»〃=3•

(2)如图2中，作。/JLy轴于尸，C£_Lx轴于石.

图2

,・•四边形48co是菱形,

：.AD=BC,

•.AD//BC,DF//I3E,

;&DF=NCBE,•••N/VD=NCSA=90°,

/.EC=AF=1»

.•.点C的运动软迹是直线），=1,

由题意〃?>0,观察图形可知当点8与原点重合时，AC的值最小，此时菱形的边长=3,

作C4LOA于Z7.则C〃==2夜,AC=yjAH2+CH2=722+（2>/2）2=710,

二.AC的最小值为Ji6.

6.（2019春•固始县期末）如图1,将一副直角三角板放在同一条直线A3上,

其中NQW=30。，ZOCD=45°

（1）观察猜想

将图1中的三角尺OC。沿A4的方向平移至图②的位置，使得点。与点N重合,

CQ与相交于点E,则GCEN=105点

（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点。按顺时针方向旋转，使一边。。在NMOV的内部,

如图3,日.0。恰好平分NMON,与NM相交于点E,求/CEV的度数:

(3)深化拓展

将图1中的三角尺。CQ绕点。按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当

边。。旋转—。时，边CO恰好与边平行.(直接写出结果)

【解答】解：(1)・・・NECN=45。，/ENC=30°,

ZCEN=105°.

故答案为：105。.

(2)・・・0。平分NMQV,

/.4D0N=-4MPN」x90。=45°,

22

4DON=/D=45。,

:.CD/1AB,

.•.ZCEV=180°-ZWO=180o-30o=150°；.

(3)如图1,CZ＞在44上方时，设0W与CD相交于“，

・.・CO//MV,

ZOFD=ZM=60°,

在A0。/中，ZMOD=180°-ZD-ZOFD,

=180°-45°-60°,

=75°,

当CO在A8的下方时，设直线0M与CD相交于产，

VCD//W,

ZDFO=ZM=60°,

在\DOF中，ZDOF=I80°-ZD-ZDFO=180°-45°-60°=75°,

••・旋转角为75。+180。=255。，

综上所述，当边OC旋转75。或255。时，边CO恰好与边MN平行.

故答案为：75或255.

7.(2019春•郸城县期末)如图，在等边A4BC中，点。是A8边上一点，连接

CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60。后得到CE,连接AE.求证:

AE//BC.

【解答】解：・.・AA3C是等边三角形，

:.AC=BC,ZB=ZACB=6O0,

•.•线段CD绕点C顺时针旋转60。得到CE,

;.CD=CE,/DCE=60。,

:.NDCE=ZACB,

即/RCD+/DCA=7DCA+/ACE，

：.NBCD=ZACE,

在AfiCD与AACE中，

BC=AC

,/BCD=ZACE,

DC=EC

.•.MCQNAACE,

ZE4C=ZB=60°,

:.ZEAC=ZACB,

:.AE//BC.

8.（2018秋•秦淮区期末）探索新知：

如图1,射线OC在NAO8的内部，图中共有3个角：ZAOB,NAOC和/8OC,若其中有

一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是NAO3的“巧分线”.

（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2,若/MPN=a,且射线PQ是NM尸N的“巧分线”，则NMPQ=；（用含

a的代数式表示出所有可能的结果）

深入研究：

如图2,若NA/PN=60。，且射线尸Q绕点尸从PN位置开始，以每秒10。的速度逆时针旋转,

当PQ与PN成180。时停止旋转，旋转的时间为1秒.

(3)当/为何值时，射线PM是NQPN的“巧分线”；

(4)若射线同时绕点P以每秒5。的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出

当射线PQ是4MPN的“巧分线”时/的值.

故答案为：是

(2)rAMPNua,

\\2

/.NMPQ=-a或一。或一。;

233

故答案为或或2夕；

233

深入研究：

(3)依题意有

①10/=60+1x60,

2

解得1=9;

②】0/=2x60,

解得7=12；

③107=60+2x60,

解得1=18.

故当/为9或12或18时，射线PM是NQPN的“巧分线”;

(4)依题意有

@10/=-(5z+60),

3

解得/=2.4；

(2)10/=-(5/+60),

2

解得，=4；

_2

@10/=-(5/+60),

3

解得/=6.

故当/为2.4或4或6时，射线。。是4MPN的“巧分线”.

9.(2019•沂南县模拟)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边

长为2的正方形488与边长为2友的正方形AEFG按图1位置放置，A。与

AE在同一直线上，与AG在同一直线上.

(1)小明发现0Gl.8E,请你帮他说明理由；

(2)如图2,小明将正方形48co绕点A逆时针旋转，当点8恰好落在线段DG

上时，请你帮他求出此时8E的长.

【解答】解：（1）如图1,延长EB交QG于点〃,

丁ABCD和AEFG为正方形，

在RtAADG和RtAABE中,

AB=AD

<ZGAD=NGAE,

AE=AG

RtAAEXj=RtAABE,

ZAGD=ZAEB,

・；NHBG=/EBA,

;.ZHGB+/HBG=9Qc,

DGA.BE；

（2）如图2,过点A作"交8。于点P,

­/ABCD和AEFG为正方形，

.•.在SAG和中，

AD=AB

</DAG=ZBAE,

AE=AG

ADAG=^BAE(SAS),

/.DG=BE,

vZAP£)=90°,

：.AP=DP=6.

•：AG=20

:.PG£AG?-P尺=后,

/.DG=DP+PG=0指,

・；DG=BE,

BE=>/2+V6.

10.(2019春•资阳期末)将两块全等的含30。角的直角三角形按图1的方式放置，已知

ZBAC=ZBI/\CI=30°,则AB=28C.

(1)固定三角板A^C,然后将三角板48C绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与

AC、A用分别交于点0、E,AC与A4交于点尸.

①填空：当旋转角等于20°时，/BCB,=160度:

②当旋转角等于多少度时，与4用垂直？请说明理由.

(2)将图2中的三角板4BC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使A4//C&,4笈与年

交于点。，试说明人。=。。.

A(Ai)

AiAi

A

/\\

BCBicBiBi

图1图2

【解答】解：（1）①由旋转的性质得，ZACA,=20°,

NBCD=ZACB-ZACA,=90°-20°=70°,

ZBCB,=NBCD+NACB],

=70。+90。，

=160°：

②当与Ag垂直时，NA£D=90°,

.•.幺。E=90。一幺=90c-30°=60°,

ZBDC=Zz4,DE=60°,由已知易得NB=60。，

ZDCB=180°一NBDC一"=60。，

.•.N4C4,=30°,

即当旋转角等于30。时，与A4垂直.

（2）•:ABI）CB\,

/.ZADC=180°-Z^CB,=180°-90°=90°,

­.•ZBAC=30°,

:.CD=-AC,

2

又•.•由旋转的性质得，AC=AC,

A。=CD.

11.（2019春•雁江区期末）将两块全等的含30。角的直角三角板按图1的方式

放置，已知/84。=/q4。=30。，AB=2BC.

（1）固定三角板4/C,然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位

置，AA与AQ、4用分别交于点。、E,AC与4声交于点尸.

①填空：当旋转角等于20。时，/BCB、=160度;

②当旋转角等于多少度时，A4与A4垂直？请说明理由.

(2)将图2中的三角板A5C绕点。顺时针方向旋转至图3的位置，使AB//CB1,

与AC交于点O,试说明4。二。。.

Bi

图2

【解答】解：(1)①由旋转的性质得，ZACA=20°,

/.ZBCD=ZACB-ZACA,=90°-20°=70°,

4BCB、=4CO+N4c耳，

70°+90°,

160°；

②:A3_LAg,

/.NADE=90°-ZB,41C=90°-30°=60°,

ZACA,=ZA,Z)E-/BAC=60°-30°=30°,

.•.旋转角为30。；

(2)vAB//CB.,

ZADC=180°-NAM=180。—90°=90°,

vZBAC=30°,

:.CD=-AC,

2

又•.•由旋转的性质得，A,C=AC,

AiD=CD.

知识点2中心对称

1.中心对称图形与对称中心:

在平面内，某一图形绕某一点旋转180。后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫

做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

2.中心对称和对称中心：

在平面内，把一个图形绕着某一点旋转18()。，如果它能够与另一个图形完全重合，那

么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应

点，叫做关于中心的对称点。

3.中心对称和中心对称图形的关系：

它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特

性；成中心对称是针对两个图形血言，表小两个图形之间的对称关系，二者是相对的。

4.中心对称的特征：

成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分;

反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两

个图形一定关于这一点成中心对称。

【典例】

1.如图，已知AB=3,AC=1,ZD=90°,ADEC与AABC关于点C成中心对称，则AE的

长是_____________.

【答案】屈

【解析】解：:△DEC与aABC关于点C成中心对称，

ADC=AC=1,DE=AB=3,

，在中，的长是：

RtaEDAAE^22+32=^13

2.若ZiABC与ADEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F,若AB=5,

AC=3,则EF的范围是

【答案】2<EF<8

【解析】解：:△ABC与4DEF关于点0成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、

F,AB=5,AC=3»

，DE=5,DF=3

，EF的取值范围为：2<EF<8

3.如图，直线a、b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A，,

AB_La于点B,ADlb于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为.

【答案】6

【解析】解：•・•直线a、b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是

点A=AB_La于点B,AD_Lb于点D,OB=3,OD=2,

AAB=2,

・•・阴影部分的面积之和为3x2=6.

4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OAIBI是边长为2的等边三角膨，作AB2A2B1与aOAiBi

关于点&成中心对称，再作AB2A3B3与AB2A2B1关于点成中心对称，如此作下去，则

△B2nA2n+lB2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是.

【答案】（4n+l,V3）

【解析】解：•••△OAlBi是边长为2的等边三角形,

1•Ai的坐标为（1,%），Bi的坐标为（2,0）,

VAB2A2B1与AOAIBI关于点B,成中心对称，

点A?与点Ai关于点B।成中心对称，

V2x2-1=3,2X0-A/3=-A/3>

，点A2的坐标是（3,,

•「△B2A3B3与AB2A2B1关于点B?成中心对称，

・••点A3与点A2关于点B?成中心对称，

V2x4-3=5,2x0-（-如）=无，

••・点A.3的坐标是（5,加），

♦：△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，

・••点A4与点A.3关于点Ba成中心对称,

72x6-5=7,2x0-V3=-V3»

，点A4的坐标是（7,->/3）,

・・・,

V1=2x1-1,3=2x2-1,5=2x3-1,7=2x3-1,…,

；・An的横坐标是2n・1,A2gl的横坐标是2（2n+l）-l=4n+l»

•・•当n为奇数时，冬的纵坐标是近，当n为偶数时，4的纵坐标是-陋，

・•・顶点A2n+I的纵坐标是J5，

・••△B2nA2n+iB2n+i（n是正整数）的顶点Azn+l的坐标是（4n+l,肥）.

【方法总结】

1.对称中心的确定：

将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心

2.关于中心对称的作图：

（1）确定对称中心；

（2）确定关键点；

（3）作关键点的关于对称中心的对称点；

（4）连结各点，得到所需图形。

【随堂练习】

1.（2019春•合浦县期中）如图，A4BC与拉龙厂关于点O对称，请你写出两个三角形中

的对称点，相等的线段，相等的角.

E

F

【解答】解：对称点为：A和。、8和石、C和尸；

相等的线段有AC=D/、AB=DE、BC=EF,

相等的角有：Z4=ZD,NB=NE,NC=NF.

2.（2019春•港南区期中）如图，在AABC中，点。是/W边上的中点，已知AC=4,BC=6,

（1）画出ABC。关于点。的中心对称图形；

（2）根据图形说明线段CZ）长的取值范围.

【解答】解：（I）所画图形如下所示:

AADE就是所作的图形.

（2）由（1）知：MDE=MDC,

则C£）=OE,AE=BC,

/.AE-AC<2CD<AE+AC»即BC-AC<2CD<BCAC,

;.2v28<10,

解得：1vCZ）v5.

知识点3中心对称综合应用

在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点

连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中

点为端点的这条线段反向延长•倍，米构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍

长中线”就是“中心对称综合应用''的一种迁变称谓。

【典例】

L如图，在CABC中，D为BC上任一点，DE〃AC交AB于点E,DF〃AB交AC于点F,

求证：点E,F关于AD的中点对称.

；DE〃AC交AB与E,DF〃AB交AC于F,

・•・四边形AEDF是平行四边形，

・••点E,F关于AD的中点对称.

2.如图，已知：AB〃CD〃FE,AF〃BC〃DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的

两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）.

【解析】解：（1）无数.均经过两条对角线的交点.

<2）延长BC交EF丁点M,连接AM、BF交丁点P,连接CE、DM交丁点Q,过P、Q

的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既洛平行四边形ABMF的面积平分，

又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求.

(3)如图所示:

3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1,在^ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD,再连接

BE(或将AACD绕点D逆时针旋转180。得到ZiEBD),把AB、AC、2AD集中在"ABE中,

利用三角形的三功关系可得2VAEV8,则1VADV4.

［感悟］解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对

称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)解决问题：受到(1)的启发，请你证明下列命题：如图2,在aABC中，D是BC边

上的中点，DE_LDF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.

求证：BE+CF>EF,若NA=90。，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.

【解析】解：(I)如图，延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG.

(或把4CFD绕点D逆时针旋转180。得到z\BGD),

VDEIDF,

.,.EF=EG.

在ABEG中，BE+BOEG,即BE+CF>EF.

（2）若NA=90°,则NEBC+NFCB=90。,

Fh（1）知NFCD二NDBG,EF=EG,

/.ZEBC+ZDBG=90°,即NEBG=90。，

，在RSEBG中，BE2+BG2=EG2,

ABE2+CF2=EF2.

【方法总结】

倍长中线构图后，•般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两

个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。

【随堂练习】

1.（2018秋•大丰区期末）在AA8C中，AB=AC,N8AC=100。.将线段C4绕着点C逆

时针旋转得到线段8，旋转角为a,且0。〈。<360°,连接AD、BD.

（1）如图1,当口=60。时，NC4。的大小为_30°_；

（2）如图2,当a=20。时，NC87）的大小为；（提示：可以作点。关于直线的对

称点）

（3）当a为。时，瓦使得NC3O的大小与（1）中/C8D的结果相等.

【解答］解：3)•.•NRAC=IOO。，AB=AC,

/.ZABC=ZACB=<)°,当a=60。时，

由旋转的性质得AC=CO,

「.△46是等边三角形，

.-.zmc=60°.

.•.Zfi4D=Zfi4C-ZZMC=100°-60o=40°,

AB=AC，AD=AC,

ZABD=ZADB=ML"=70°，

2

ZCBD=ZABD-ZABC=70°-40°=30°,

故答案为：300；

(2)如图2所示；作点。关于的对称点M,连接AM、BM、CM、AM.

则△口吸二aaw，

/.ABCM=ZBCD=ZACD=2(r,CD=CA=CM,

/.ZACM=60°,

「.A4CW是等边三角形，

:.AM=AC=AB,NM4C=60。，

.\ZaAM=40°,

ZC4D=ZCDA=1(180°-20°)=80°,

/.ZBAD=ZMAD=2(ft

\'AD=AD,

：.^DAB=NDAM，

：.BD=DM，

,/BD=BM,

:.BD=DM=BM,

:./DBM=«°,

/.ZDBC=NCBM=3(F，

故答案为30。

(3)①由(1)可知，Za=60°时可得Za4D=1000-60o=40°,

100°

ZABC=ZACB=90°-----=40°,

2

1100。

ZABD=90°--NBAD=120°--=70°，

22

NCBD=ZABD-ZABC=30°.

②如图3,翻折ABDC到AB。。，

则此时NC8R=30。，

1()0°

NBCD=60°-ZACB=—-30°=20°,

2

/a=AACB—/BCD\=ZACB-NBCD=2-----2(T=20°；

12

③以C为圆心CD为半径画圆弧交BR的延长线于点D2,连接CD】,

](¥)°

ZCDD=NCBD+NBCD=30°+-30°=50°,

2?2

NDCD?=18()。-2ZCDD,=180°-1(X)°=80°,

Za=60°+ZDCD2=140°.

综上所述，a为60。或20。或140。时，ZC«D=30°.

故答案为60或20或140.

2.(2019•安徽二模)如图，三角形尸QR是三角形A4c经过某种变换后得到的图形，分别

观察点A与点P，点8与点Q,点C与点R的坐标之间的关系.

(1)若三角形ABC内任意一点M的坐标为(X,)，)，点”经过这种变换后得到点N,根据

你的发现，点N的坐标为_(-乂-)，)_.

(2)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形产。尺，画出三

角形PQR并求三角形PAC的面积.

（3）直接写出AC与y轴交点的坐标.

【解答】解：（1）如图，点M与点N关于原点对称,

.••点N的坐标为（-乂-），）,

故答案为：（-戈,-7）；

（2）如图，△产。'R，即为所求,

（3）设直线4c解析式为），=去+）,

把A（4,3）,C（l,2）代入，可得

3=4%+。

2=k+b

k=-

3

解得

b=)

3

3.(2019春•锡山区校级期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位

长度.平面直角坐标系的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上.线段的两个

端点也在格点上.

(I)若将线段绕点O顺时针旋转90。得到线段ATT.试在图中画出线段A方；

(2)若线段4〃田与线段A厅关于y轴对称，请画出线段A7T：

(3)若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点4、B'、『、尸四边围成的四边形为平

行四边形时，请你直接写出点。的坐标.

X

【解答】解：(1)如图,线段A9为所作;

(2)如图,线段A〃犷为所作;

2

（3）P点坐标为（-4,1）、（4,1）、（0,-5）.

4.（2019春•洛江区期末）为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现

将这块空地按下列要求分成四块:

（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形;

（2）四块图形形状相同;

（3）四块图形面积相等.

现已有两种不同的分法:

（1）分别作两条对角线［如图中的图（1））；

（2）过一条边的四等分点作这边的垂线段（图（2））（图（2）中两个图形的分割看作同

一方法）.

请你按照上述三个要求，分别在图（3）、图（4）两个正方形中画出另外两种不同的分割方

法.（正确画图，不写画法）

图（3）

5.（2019春•长春期末）如图所示，在7x6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个

格点为顶点画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出•个三角形，且分别满足下列条

件:

（I）图①中所画的三角形与48c组成的图形是轴对称图形;

（2）图②中所画的三角形与A3C组成的图形是中心对称图形.

【解答】解：(1)如图①所示:

(2)如图②所示.

图①图②

综合运用：图形的旋转

1.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合)，

连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CE,连结DE交BC于点F,

连接BE.

(1)求证：△ACD04BCE；

(2)当AD=BF时,求NBEF的度数.

【解析】解：(I)由题意可知：CD=CE,ZDCE=90°,

VZACB=90°,

AZACD=ZACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,

，NACD=/BCE,

在AACD与^BCE中，

'AC=BC

'ZACD=ZBCE

CD=CE

.,.△ACD^ABCE(SAS)

(2)VZACB=90°,AC=BC,

.\ZA=45O,

由(1)可知：ZA=ZCBE=45°,

VAD=BF,

ABE=BF,

ZBEF=67.5°

2.如图，在R3ABC中，ZC=30°,将aABC绕点B旋转0（OV0V6O。）到AABC,边AC

和边A，C相交于点P,边AC和边BC相交于Q,当4BPQ为等腰三角形时，求旋转角9值。

【解析