人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题81 二元一次方程组及其解法【九大题型】（原卷版+解析）

专题8.1二元一次方程组及其解法【九大题型】

【人教版】

【题型।二元一次方程（组）的概念】............................................................1

【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】...................................................2

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】.......................................................2

【题型4二元一次方程组的一般解法】............................................................3

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】.....................................................3

【题型6构建二元一次方程组】.................................................................4

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】.............................................5

【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】.................................................5

【题型9二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................6

”7.三

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例1】（2022•山东・胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是〔）

1,.

-2y=3y=4③『（二以建八④

+2z=7②21

y--=-12%+3y=1

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【变式1-1]（2022•黑龙江•哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于X、），的方程（〃L2）工+）加1|=2是

二元一次方程，则〃，的值为.

【变式1-2]（2022•四川•仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：

02x-^=1;②；+；3；③/—y2=4：（4）5（x+y）=7（x-y）；⑤2/=3；⑥％+其中

是二元一次方程的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2已知二元一次方程（至）的解求参数】

【例2】（2022•黑龙江•齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于X和y的二元一次方程，2A+3），=20的正

整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【变式2-1］（2022•新疆塔城•七年级期末）已知;爹是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【变式2・2】（2022•全国•七年级单元测试）已知方程*by=-l的两组解是卮二二j和仁二:，求（a+b）（a4

-2a2b2+b2）的值.

【变式2-3］（2022•浙江杭州•七年级期中）在关于，y的二元一次方程组的下列说法中，

错误的是（）

A.当a=2时，方程的两根互为相反数B.当且仅当a=-5时解得％为y的2倍

C.x,y满足关系式％-5y=6D.不存在自然数a使得％,y均为正整数

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】

【例3】（2022•四川省琪县巡场中学校七年级期中）关于％,y的方程组「二；?；：的解是整数，则整数a的

个数为O

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式3-1］（2022•浙江杭州•七年级期中）若二元一次方程组｛叫二黄"J无解，则771为（）

A.9B.6C.-6D.-9

【变式3-2］（2022•全国•八年级单元测试）下列说法中正确的是（）

A.方程3x-4y=l可能无解

B.方程3x-4y=l有无数组解，即xy可以取任何数值

C.方程3x-4y=l只有两组解,两组解是忱二:

D.x=3,y=2是方程3x-4y=l的一组解

【变式3-3］（2022•河南商丘•七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（）

A.5个B.6个C.7个D.无数个

【题型4二元一次方程组的一般解法】

【例4】（2022•云南•普洱市宁洱县勤先镇初级中学七年级期中）解方程组:

y=2%①

(1)

3y+2%=8②

2x+3y=12①

⑵

,x-2y=-1(2)

【变式4-1］（2022・甘肃・金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组:

此S

⑵b二

⑶用代入法解优/二;0

7x-2y=-40

⑷用加减法解

］8%-3y=-50

【变式4-2］（2022・湖南•郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组

2（m+n+5）-（-m+n）=23

【变式4-3］（2022•河南商丘•七年级期末）解下列方程组:

3x-y=5

-1=3x4-10

x+7y=2

(2)x+yx-y二i

26

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】

【例5】（2。22・全国•八年级课时练习）已知关于X、），的二元一次方程组｛晨:［二;的解为那么

a(?n+n)+b(m-n)=7

关于〃?、〃的二元一次方程组•h(m+n)+a(m-n)=9"“杆〃

【变式5-1］（2022•河北石家庄•七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，y满足％+2y=5,且

产吗一3求m的值."的解题思路时,甲同学说：“可以先解关于％,y的方程组5m-3

再求7九的值."乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解

题思路如下.

乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求加的值；

（LXT5y—o

丙同学：先解方程组|片身,U，再求m的值.

你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理

由.

【变式5-2］（2022・重庆•巴川初级中学校七年级期中）已知关于x,y的方程组卜-2y=8一上；的解满

{2x-y=4-5k

足x-y=10,则A的值为.

【变式5・3】（2022•全国•七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组.

材料：解方程组［

由①，得x-y=l.③

把③代入②，得4xl—y=5,解得丫=-1.

把V=-1代入③，得x=0.

团原方程组的解为度:

这种方法称为"整体代入法〃.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：

（2x-3y-2=00

性*2尸9②.

【题型6构建二元一次方程组】

【例6】（2019•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）如果（x+y-5）?与［3y-2x+10|互为相反数，那么x、y的值为

（）

A.x=3»y=2B.x=2,y=3C.x=0,y=5D.x=5,y=0

【变式6-1］（2022•吉林松原•七年级期中）已知y=kx+力，当％=2时，y=-3；当％=时，y=3.

（1）求k,b的值；

（2）当工取何值时，y的值为一4?

【变式6-2］（2022•浙江・兰溪市实脸中学七年级阶段练习）对于实数a、从定义关于"㊈〃的一种运算：a⑥b=

2a+b,例如1N3=2x1+3=5.

（1）求48（-3）的值；

（2）若3区）（一、）=-2,（2y）0x=-1,求x+y的值.

【变式6・3】（2022•山东聊城•七年级期中）已知小人都是有理数，观察表中的运算，则加=

〃、〃的运算a+ba-b（。+2人）3

运算的结果59m

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】

【例7】（2022•广东揭阳•八年级期末）若关于的二元一次方程组j二的解满足％+y=7,

则A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1］（2022•全国•七年级课时练习）关于x,y的方程组］:'：垩=一:血的解也是二元一次方

（3x4-2y=21-5m

程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）

A.2B.1C.0D.I

【变式7-2］（2022・湖南株洲•七年级期末）已知关于X、y的二元一次方程组黑的解满足二元

一次方程全产4,求〃?的值.

【变式（・四川•天府四中七年级期中）已知方程组的解是二元一次方程的

7-3］2022（乙八十oy—/x-y=l

一个解，则Q二.

【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】

【例8X2022.浙江.宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于p的方程组「/工短5_26与F汇3短不

有相同的解，则a+b=.

【变式8-1］（2019・四川成都・中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于小y的方

程组-AU的正确解与乙求关于“、y的方程组忙”吃=累的正确的解相同.则。2。18+（-⑦产18

（ax—by=£（ox—ay=Zt）'io，

的值为.

【变式8-2］（2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组｛著｝的解也是方程组

优二5?二2的解求的值•

【变式8-3］（2022•山东潍坊•七年级期中）若关于，y的一元一次方程组｛:71方［彳与

(a4-l)x+(b+2)y=m+2

有相同的解，则这个解是

(c+3)x+(d+4)y=n+5

【题型9二元一次方程组的错解复原问题】

【例9】（2022•四川・射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组广:二31二,2,小明正

确解得｛;二，小文抄错了c,解得｛;二二，已知小文抄错了。外没有发生其他错误，则Q-b-c=.

【变式加1】（2019•全国•八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组（左［之］;合甲因看错①中的

a得解为匕U'乙因看错了②中的b解得"二1'求G》的值.

、y=5，

【变式9-2】（2019•江苏徐州七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组产，甲解得匕：;3,

乙解得::♦甲仅因为看错了方程⑴中y的系数。，乙仅因为看错了方程（2）中工的系数b,求方程组正确的解.

【变式9-3］（2019•全国•八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方

程组匕_六中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是匕Z:'

则原来的方程组为.

专题8.1二元一次方程组及其解法【九大题型】

【人教版】

型

题

।二元一次方程（组）的概念】...........................................................1

型

题

2已知二元一次方程（组）的解求参数】...................................................2

型

题

3二元一次方程（组）的解的情况】.......................................................2

型

题

4二元一次方程组的一般解法】...........................................................3

型

题

5整体换元求解二元一次方程组的解】.....................................................3

型

题

6构建二元一次方程组】..................................................................4

型

题

二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】............................................

型

题75

型

题8根据两个二元一次方程组解的情况求值1.........................................................................................5

9二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................6

*7；芦一支三

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例1】（2022•山东•胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的

是（）

1.（xy1

（；：!：：③巴拿产需工，

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【答案】C

【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数

都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定.

【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意；

_f-4-y=4

X2各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；

9一「1

®^X^C-y=5=1是二元一次方程组,故符合题意；

1

④231是二元一次方程组，故符合题意；

2x+3y=-

故是二元一次方程组是③④，

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题

的关键.

【变式1-1]（2022•黑龙江•哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于腔），的方程（犷・2）

x+ylmd|=2是二元一次方程，则m的值为.

【答案】0

【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得

出m的等量关系，解出答案即可.

【详解】解：由题意得,

TH—2/0,|7n-1|=1,

0mH2,m=2或0,

团m=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查/二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的

关键.

【变式1-2]（2022•四川•仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：

@2x-^=1；②；+：3；（3）x2-y2=4；④5（x+y）=7（%-y）；⑤2/=3；⑥%+

5=1,其中是二元一次方程的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的定义作答.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是

1，像这样的整式方程叫做二元一次方程.

【详解】解：①2%-马=1属于二元一次方程，故符合题意:

②：+；=3中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；

③丫2一、2=4中的未知数的次数为2,不属于一元一次方程，故不符合题意：

④5（x+y）=7（x—y）属于二元一次方程，故符合题意；

⑤27=3中的未知数的次数为2,不属于二元一次方程，故不符合题意；

⑥%+；=1中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；

故其中二元一次方程有2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有

2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程.

【变式1-3］（2022春•开福区月考）已知方程组产一伍一吵""J=1是二元一次方

（+1）%=-2

程组，求m的值.

【答案】（1）£+3或：（2）m=5

【分析】根据二元一次方程组的定义得旧1-2|-2=1且m-3H0,m+1装0即可求解；

【详解】解：13方程组1“一=1是一元一次方程组.

0|m-2|-2=1且m—3H0,m+lwO,

0m=5.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键.

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】

【例2】（2022•黑龙江•齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和），的二元一次方程,

2.v+3y=20的正整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】将y看作已知数，求出无即可确定出方程的正整数解.

【详解】解：2%+3y=20

%=g（20-3y）

当y=2时，x=7；当y=4时，x=4：当y=6时，x=l

则方程的正整数解有3对.

故选：C

【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出X.

【变式2・1】（2022•新疆塔城•七年级期末）已知二案是二元一次方程2%+y=14的解,

则k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】把凌代入二元一次方程2%+y=14求解即可得到答案；

【详解】把二衰代入二元一次方程2x+y=14得至IJ：

2x2Z+3k=14,

即：7k=14,k=2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两边

成立是解题的关键.

【变式2-2](2022•全国•七年级单元测试)已知方程]+by=-l的两组解是仁二二j和3二；，

求(a+b)(a4-2a?b2+b2)的值.

【答案】-23

【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出a、b的值，代入

含有a、b的代数式求解即可

【详解】解：将和代入$<+by=-l,

^x(-2)+hx(-l)=-l

-x4+bx3=-l

2

解n•

团(a+b)(a4-2a2b2+b2)=(4-3)x[44-2x42x(-3)2+(-3)2]=-23.

【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元一

次方程组是解题的关键.

【变式2-3](2022•浙江杭州•七年级期中)在关于％,y的二元一次方程组二建2a3的

下列说法中，错误的是()

A.当a=2时，方程的两根互为相反数B.当且仅当a=-5时解得x为y的2倍

C.x,y满足关系式％-5y=6D.不存在自然数a使得％,y均为正整数

【答案】D

【分析】A.当a=2时，方程组变形得到结果，即可判断；

B.将x=2y代入方程，解出a即可判断：

C.用含a是代数式表示x和y,再将x、y代入x-5y进行计算即可判断；

D.用含a是代数式表示x和y,当a=16时，x=ll,y=l,即可判断.

【详解】解：A、当a=2时，方程组为

产2y=-1①

3x-y=4②

①+②x2得：7x=7,

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-l,

则x+y=l-l=O,

即方程的两根互为相反数,

团A选项不符合题意；

B.当x=2y时，原方程组可变为：｛¥:二；；

z）y—

解得：a=-5,

团当且仅当a=-5,时解得“为y的2倍;

0B选项不符合题意.

x-2y=a-3①

I3%_y=2a②'

①+②x2得：7x=5a-3,

解得：x=手，y=一，

取-5丫=^^-5xr=?=6,正确,

0C选项不符合题意；

D、由C可知：x=亨，丫=?，

要使x为自然数,可得5a-3=7,14,21,…；同理a-9=7,14,21,

当a=16时，x=ll,y=l,

所以存在自然数a,使得K,y均为正整数,

团D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本

题的关键是掌握二元一次方程的相关知识.

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】

【例3】（2022•四川省琪县巡场中学校七年级期中）关于，y的方程组二;的解

是整数，则整数。的个数为O

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】先解方程组求出小y的值，根据y和Q都是整数求出1+2a=-1或1+2a=5或1+

2。=1或1+2。=一5,求出Q的值，再代入不求出，再逐个判断即可；

2x-ay=6①

【详解】

_4x+y=7②

①x2-②得：（—20-1）丫=5

解得：y=

把'=春代入②得：以一a二7

解得：%=髭

方程组的解为整数

・•.均为整数

•，-1+2Q=-1或1+2a=5或1+2Q=1或1+2a=-5

解得：。=-1,2,0,-3,

当。二-1时，x=1,不是整数，舍去；

当Q=2时，x=2,是整数，符合；

当。=0时，x=3,是整数，符合；

当。=一3时，x=l不是整数，舍去；

故选：C.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的情

况是求解本题的关键.

【变式3-1]（2022♦浙江杭州•七年级期中）若二元一次方程组二黄=J无解，则由为

（）

A.9B.6C.-6D.-9

【答案】B

【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解.

【详解】解：由『％—3'二弊可得，

（2x-y=1@

①-②x3得：（m-6）x=6,

回二元一次方程组无解，

回m—6=0,解得：m=6：

故选B.

【点睛】本题主:要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关

键.

【变式3-2]（2022•全国•八年级单元测试）下列说法中正确的是（）

A.方程3x-4y=l可能无解

B.方程3x-4y=l有无数组解，即xy可以取任何数值

X=1fY——1

C.方程3x-4y=l只有两组解，两组解是v_i,r_

y~2u——

D.x=3,y=2是方程3x-4y=l的一组解

【答案】D

【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解；能使方程成立的x,y的数值即是方

程的解.反之，则不是方程的解.

【详解】解：A、方程3x-4y=l有无数组解，错误；

B、方程3x-4y=l有无数组解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，

错误；

C、方程3x-4y=l有无数组解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，

错误；

D、x=3,y=2代入方程3x-4y=l,左边=1=右边,即x=3,y=2是方程3x-4y=l的一组解,正确.

故选：D.

【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足，

则不是方程的解.关键是会把x,y的值代入原方程验证二元一次方程的解.

【变式3-3］（2022•河南商丘•七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有

（）

A.5个B.G个C.7个D.无数个

【答案】C

【分析】将戈=0,1,2,…，分别代入2计产13,求出二元一次方程2户卢13的非负整数解有

多少组即可.

【详解】当x=0时，产13；

当x=l时，产11；

当x=2时，）=9；

当x=3时，y=7；

当x=4时,）=5；

当x=5时，产3；

当x=6时，y=l；

当x=7时,j=-l<0;

国二元一次方程2x+y=13的非负整数解有位二』口：£：?>｛；：：­

共7纵

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中工与y必须为非负整

数.

【题型4二元一次方程组的一般解法】

【例4】（2022•云南•普洱市宁洱县劭先镇初级中学七年级期中）解方程组:

(1Jy=2x®

(3y+2x=80

f2x+3y=12®

(2%—2y-②

【答案】哺二

【分析】（1）利用代入淮元法，将方程①代入②，得6x+2x-8,解得x的值，进而求得

y的值即可

（2）利用加减消元法，将方程②x2,得2%-4、=-2③，然后与方程①相减即可求得），

的值进而将），的值代入方程②求得x的值即司二

（1）

fy=2x®

肿.（3y+2x=8②

将①代入②，得6%I2x=8,

解得％=1,

将义=1,代入①，得y=2,

用原方程组的解为［2；

解（2x+3y=12@

U-2y=-l@

②x2,得2%-4y=-2③

①一③，得7y=14,

解得y=2,

将y=2代入②，得％-4=-1,

解得％=3,

因原方程组的解为［2.

【点睛】本题考查了二元•次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关

键.

【变式4-1】（2022•甘肃金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组:

⑴产+y=2o

［1）｛2x+y=38

⑵b匚短"

（3）用代入法解仁就二：o

-2y=-40

-3y=-50

【答案】⑴庠

【分析】(1)根据加减消元法求解即可：

(2)根据加减消元法求解即可；

(3)根据代入消元法的步骤求解即可；

(4)根据加减消元法的步骤求解即可；

(1)

解.(％+y=20①

•{2x+y-380'

由②-①，得：%=18,

将x=18代入①，得：18+y=20,

解得：y=2,

故原方程组的解为：岛;,；

(2)

[x-y=3①

咐•(3x-8y=14②

由3x①-②，得：5y=-5,

解得：y=-l，

将y=-l代入①，得：x-(-1)=3,

解得：x=2,

故原方程组的解为：{：二11；

(3)

13%+4y=9①

胎卜-3y=一10②

由②得：x=3y-10@,

将③代入①，得：3(3y-10)+4y=9,

解得：y=3,

将y=3代入③，得：x=3x3-10=—1,

故原方程组的解为：｛jlql;

(4)

2y=-40①

(8x-3y=-500

由3x①-2x②，得：5x=-20,

解得：x=-4,

将义=一4代入①，得：7x(-4)-2y=-40,

解得：y=6,

故原方程组的解为：「二^；

【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题

关键.

【变式4-2](2022•湖南郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习)解方程组

⑵俨+3y=7.

Ib-3y=1,

⑶俨-3y=-2.

⑶t2x+y=3,

2(m4-n+5)—(—m+n)=23

【答案】啮：;

【分析】(1)利用代入法解方程组；

(2)利用加减法解方程组;

(3)利用代入法解方程组；

(4)先将方程组化简，再利用加减法解方程组.

(1)

(y=2%①

(3y+2%=8@

将①代入②，得6X+2A=8,

解得x=l，

将x=l代入①，得产2,

团方程组的解为[2；

(2)

卜+3y=7@

卜_3y=]②，

①+②得，2A=8,

解得x=4,

将x=4代入①，得4+3y=7,

解得产1，

团方程组的解为二:；

(3)

(x-3y=-2©

(2x+y=30'

由①得，x=3y-2③，

将③代入②得，2(3y-2)+y=3,

解得尸1，

将y=l代入③，得A=3-2=1,

团方程组的解为;；;

(4)

2IIL—5n—20①

将原方程组化简为

3m+n=13②’

①+②X5,得17〃?=85,

解得/〃=5,

将m=5代入②，得15+〃=13,

解得〃=-2,

回方程组的解为｛Mg.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减

法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.

【变式4-3](2022•河南商丘•七年级期末)解下列方程沮：

(1)13x-y=5

W回-1=3%+10

x+7y=2

(2)p+yy-y__1

【答案】⑴

x=-5

(2)

y=i

【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解;

（2）先整理方程，再用加减消元法进行求解.

（1）

解:整理得」了一厂s幺

（-3x+5y=11②

①+②得：4产16,

>'=4

把y=4代入①得：3.r-4=5

.r=3

回原方程组的解为：

（2）

解:整理得:(X+7y=2®

(x+2y=-3@

①-②得：5y=5

>'=1

把尸1代入①得：x+7=2

x=-5

因原方程组的解为：｛j；；.

【点睛】本题主要考杳了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思

想是解题的关键.

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】

【例5】（2022•全国•八年级课时练习）已知关于X、），的二元一次方程组的解

为，那么关于皿”的二元一次方程组｛瑞^M黑蓝二的解为一•

［答案］［m=\

（n=-2

【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到〃?+〃与"L〃的值，然后解关于〃?、〃的方

程组即可求解.

【详解】解：团关于X、），的二元一次方程组晨：［二;的解为［13，

a(m+71)+b(m-n)=7,rm+n=2

团关于加、〃的二元一次方程组b(m+ri)+a(m-n)=9im-n=3

回解这个关于机、〃的方程组得：

m=-

故答案为

n=—

【点睛】本题主要考查了一元一次方程组的解,解题的关键是掌握整体代值的数学思想,对

于学生的能力要求比较高.

【变式5-1］（2022•河北石家庄•七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，y满足x+2y=5,

力27?：,5771-3再求?71的值・，,乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路

2%+3y=8

比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下.

乙同学：先将方程组产;JU,5?：3中的两个方程相加，再求血的值：

丙同学：先解方程组，再求m的值.

你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择

这种思路的理由.

【答案】我最欣赏乙同学的解法，771=4,理由见解析

【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出租的值，分析简便的原因.

【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，

3%+7y=5m—3①

2x+3y=8②

①+②得：5x+10y=5m+5,

整理得：x+2y=Tn+1,

代入％+2y=5得：m+1=5,

解得：7九=4,

这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代

入的方法是解题的关键.消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

【变式5-2］（2022・重庆•巴川初级中学校七年级期中）己知关于x,），的方程组

x-2y=8-k,的解满足％—y=io,则4的值为_____.

2x-y=4-5k

【答案】-3

【分析】把二元一次方程姐中的两个方程相加即可求得;r-y的值，然后利用x-y=10即

可得出答案.

【详解】x-2y=8-A①

2x-y=4-5lc（2）

由①+②得3%-3y=12-6k,

x-y=4-2kf

-y=10,

04-2/c=10,

解得k=-3.

【点睛】本题主要考查一元二次方程组解法中的加减消元思想，熟练掌握一元二次方程组的

解法是解题的关键.

【变式5-3］（2022•全国•七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组.

x-y-l=00

材料：解方程组

4G-y）-y=5②.

由①，得x-y=l.③

把③代入②，得4x1—y=5,解得y=-1.

把y=-l代入③，得x=0.

回原方程组的解为｛江;

这种方法称为“整体代入法".你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方

2x-3y-2=0①

法解方程组:

中十2尸9②.

【答案】［x=7

.y=4.

【详解】试题分析：由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出），的值，进而求出

x的值，即可确定出方程组的解.

试题解析：解：由①，得：2x-3y=2.③

把③代入②，得：拳+2y=9,解得：y=4.

把），一4代入③，得2x—3x4—2,解得：X—7.

回原方程组的解为仁z\.

点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加

减消元法.

【题型6构建二元一次方程组】

【例6】（2019•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）如果（x+y-5）2与|3y-2x+10|互为相反数，那

么x、y的值为（）

A.x=3,y=2B.x=2»y=3C.x=0,y=5D.x=5,y=0

【答案】D

【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关

于x、y的二元一次方程组，解方程组即可.

【详解】0(x+y-5)2与13y-2x+101互为相反数,

0(x+y-5)2+13y-2x+101=0,

(x4-y-5=0

气3y—2无+10=0'

解瞰二

故选D.

【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知以，熟练掌握和

灵活运用相关知识是解题的关键.

【变式6-1](2022•吉林松原•七年级期中)已知y=kx+匕，当工=2时，y=-3；当x=-1

时，y=3.

(1)求k,匕的值；

(2)当x取何值时，y的值为一4?

【答案】(1)k=—2,h=1；(2)x=

【分析】(1)根据待定系数法计算即可；

(2)根据已知条件列出等式计算即可；

【详解】(1)由题意可得，『忆甘=^,

可得：

Ib=1

(2)由(1)得y=-2x+l,

囹y的值为-4,

团一4=-2x+1,

既=|；

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关键.

【变式6-2](2022•浙江•兰溪市实验中学七年级阶段练习)对于实数a、b,定义关于“⑥〃

的一种运算：Q③匕=2a+b,例如1③3=2x1+3=5.

(1)求4G)(-3)的值；

(2)若x⑥(一、)=-2,(2y)0x=-1,求x+y的值.

【答案】(1)5：(2)x+y=-l

【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；

⑵根据新定义，对式子进行化简后得到一元一次方程，求解该方程组即可.

【详解】解：(1)根据题中的新定义得:

原式=2x4+(-3)=8-3=5；

故答案为：5.

(2)根据题中的新定义化简得：二:

两式相加得：3x+3y=-3,

则无+y=-1.

故答案为：一1.

【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思

来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.

【变式6-3](2022•山东聊城•七年级期中)己知〃、力都是有理数，观察表中的运算，则〃?

〃、b的运算a+ba-b（〃+2力）3

运算的结果59m

【答案】27

【分析】先根据表格得出方程组，求出方程组的解，再代入m=(a+2b)3求出

机即可.

【详解】解：根据题意得：『+?二?，

la—b=9

解得仁2，

团m=(a+2b»=[74-2x(-2)]3=27；

故答案为:27.

【点睛】本题考杳了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出

〃、〃的值是解此题的关键.

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】

t

【例7】(2022•广东揭阳八年级期末)若关于％,y的二元一次方程组]::赞25的解

满足x+y=7,则k的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y,根据x+y=7,得到关于k的一元一次

方程，求解即可.

x+2y=Sk+l(\)

【详解】解:

.x-y=2k-5(2)

(1)x2+(2)，得3x+3y=12k-3,

0x+y=4k-l»

04k-l=7,解得k=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程

组中的x+y.

【变式7-1】（2022•全国•七年级课时练习）关于x,y的方程组［华：乎=；:一色的解

（.3x4-2y=21-5m

也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）

A.2B.1C.0D.1

【答案】A

【分析】先解方程组用含，〃的代数式表示出x,y后，代入二元一次方程x+3y+7/〃=20,

可得到关于〃?的一元一次方程，求解即可.

(85-23m

2x—3y=11-4m加X=--------

【详解】解方程组得13

.3x~A2y=21-5m18-/-4m

把x,y代入二元一次方程x+3y+7/〃=2