人教版高中数学精讲精练必修一34 函数的应用（一）（精讲）（含答案及解析）

3.4函数的应用（一）（精讲）

本）节:概卜要

常见的几种函数模型

知识点解答实际问题的解题思路

函

数

应

考点一事函数模型

用

考点二分式函数模型

考点

考点三分段函数模型

考点展现

一.常见的几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型代x）=kx+b（k,b为常数，原0）

二次函数模型Xx)=ar4-bx~ic(a,b,c,为常数，存0)

f(x)XGD(

f2(x)X<=D2

分段函数模型f(x)=.

4(x)xeDn

箱函数模型«r)=&+b(a,b,a为常数，而0,(#1)

二.解答实际应用问题的基本思想

明确题意，找出题设与结

论的数学关系——数量关

实际应系或空间位置关系

分析、联想、转化、抽象

用问题

在分析联想的基础上，转化

再转译成具体

为数学问题，抽象构建一个

应用问题的结论

或几个数学模型来解决

解答数给出数学问题的解答

建立数学模型

学问题

考法:解!读

考点一幕函数模型

【例1】（2023•江苏）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企

业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为牛.产A、4两种产品，根据市场调查与市场预测，4产品

的利润与投资成正比，其关系如图①；4产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所

示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

图①图②

⑴分别求出4、4两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

⑵该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、8两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使

企业获得最大利润，最大利润是多少？

【一隅三反】

1.（2023・湖北十堰）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费

每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850

元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费一月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

⑴当每个公司租出的汽车为10辆对，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，

两公司的月利润相等；

（2）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出。元（。＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍

高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最

大，求。的取值范围.

2.（2022・高一课时练习）如图，某口的钱塘江观测信息如下：2017年x月x口，天气：阴；能见度：1.8千

米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮〃，开始均

匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮〃.

（图1）（图2）（图3）

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x（千米）与时间，（分钟）的函数关系用图3

表示.其中：“11:40时甲地咬叉潮，的潮头离乙地12千米〃记为点40,⑵，点8坐标为（肛0）,曲线5c可用

二次函数：S=总/+初+CS，C是常数）刻画.

⑴求〃2值，并求出潮头从甲地到乙地的速度;

（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与

潮头相遇？

⑶相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最

高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后向小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶

2

段速度v=%+*”-30）,%是加速前的速度）

考点二分式函数模型

【例2】（2023•河南新乡）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造•间

室内面积为秋而的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间

间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙

保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为工（单位：m）,三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单

⑴求S关于x的函数关系式：

⑵求S的最大值，并求出此时x的值.

【一隅三反】

1.（2022秋•重庆璧山•高一统考阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现,

A产品的月销售量，（单位：万件）与月促销费用单位：万元）满足关系式，=10-々（A为常数，记0）,

x+1

如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件

该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为），万元，（注：利

润=销售收入-生产投入-促销费用）

⑴将），表示为X的函数；

（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

2.（2023・湖北）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其

它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留•个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧埼的维修费用

为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总

费用为y.

谑）将y表示为x的函数；

谑）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

3.（2023•山东临沂•高一校考期末）“春节"期间，某商场进行如下的优惠促销活动：

优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元.

例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130-5X［詈］=130-5x2=120元，其中卜］表示不大

于工的最大整数.又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额86。-5x［鬻卜40x1=750元.

⑴小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？

请说明理由；

⑵已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不

超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

考点三分段函数模型

【例3】（2023•云南）某乡镇响应"绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色

小镇经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料/单位：千克）满足如下关系:

5（X2+3）,0<X<2

W(x)=,50V，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20、元.己

--,2<x<5

l+x

知这种水果的市场售价大约15元/千克，旦销售畅通供不应求，记该水果单株利润为八处（单位：元）

⑴写单株利润f（x）（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

⑵当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

【一隅三反】

1.（2023春•山东聊城）某企业为进•步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通

过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x（千部）手机，需另外投入成本R（x）

1OX2+1OOX+^OO.O<X<5O

万元，其中R"）=,10000,，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销

504x+----------6450,x50

x—2

菖兀-

⑴求2023年该款手机的利润》关「年产量x的函数关系式；

⑵当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

2.（2022秋•新疆•高一乌鲁木齐市第70中校考期中）党的二十大报告提出“枳极稳妥推进碳达峰碳中和"，

降低能源消耗，建设资源节约型社会.日常生活中我们使用的上红）灯具就具有节能环保的作用，它环保不

含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗.经过市场调查，可知生产某种灯

需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W。）万元，在年产量不足6万件

IQ1

时，w（x）=-x2+x,在年产量不小于6万件时，W（x）=lx+--37.每件产品售价为6元.假设该产品

每年的销量等于当年的产量.

⑴写出年利润"X）（万元）关于年产量X（万件）的函数解析式.（注：年利润=年销售收入-固定成本-变

动成本）

⑵年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

3.（2023•上海徐汇）某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该

公司一年内生产x（x>°）万部手机并全部销售完当年销售量X低于40万部时，每销售1万部手机的收入

QOOO40000

/?（力=400-5x万元；当年销售量X不低于40万部时，每销售1万部手机的收入R（x）=------------二万元

XX

⑴写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；

⑵年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润.

3.4函数的应用（一）（精讲）

本）节:概卜要

常见的几种函数模型

知识点解答实际问题的解题思路

函

数

应

考点一塞函数模型

用

考点二分式函数模型

考点

考点三分段函数模型

考点展现

一.常见的几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型氏丫）=依+"々，b为常数，原0）

二次函数模型7(A)=ax2+bx~ic(a,b,c,为常数，a/))

f(x)xwD|

f2(x)XGD2

分段函数模型f(x)=・

fn(X)XcDn

幕函数模型7（工）=疗+〃5，b,a为常数，a#0,arl）

二.解答实际应用问题的基本思想

明确题意，找出题设与结

论的数学关系一:数量关

实际应系或空间位置关系

分析、联想、转化、抽象

用问题

盅林森比©狄在分析联想的基础上，转化

鬻器备鼠为数学问题,抽象构建-个

应用问题的内论或几个数学模型来解决

解答数给出数学问题的解答

建立数学模型

学问题

考)法)解M读

考点一事函数模型

【例1】(2023•江苏)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企

业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、4两种产品，根据市场调查与市场预测，4产品

的利润与投资成正比，其关系如图①；3产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所

示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).

图①图②

⑴分别求出4、4两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

⑵该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、8两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使

企业获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】⑴/(x)=；Mx20)，j?(x)=2V^(x>0)

(2)4产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元

【解析】(1)设投资为x万元，A产品的利润为/*)万元，3产品的利润为g3)万元

由题设/0)=&/,g(x)=k24x,

由图知/(2)=1,故又g(4)=4,所以&=2.

从而fW=20)，g(x)=2«(X>0).

(2)设A产品投入x万元，则8产品投入10-x万元，设企业利润为V万元

则y=/(x)+^(10-x)=—x+2Vl0-x(0<A<10),

2

令」=J10-X，则)，=一耳。一2)2+7(04/4所)，

当，=2时,)京=7,此时x=6.

故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.

【一隅三反】

1.（2023・湖北十堰）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费

每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850

元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费一月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

⑴当每个公司租出的汽车为10辆对，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，

两公司的月利润相等；

（2）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出。元（。>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍

高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最

大，求。的取值范围.

【答案】⑴48000元；37辆

（2）50<«<150

【解析】（1）由题意可得[（50-⑼x5O+3OOO]xlO-200x10=48000元，

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元：

设每个公司租出的汽车为X辆，设两公司的月利润分别为为，丁乙，月利润差为户

贝IJ为=[（50-^）x50+3OOO],v-2OO.v,），乙=3500工一1850,

由题意可得：即=丁乙,/.-5O,v2+53OOx=3500A-1850,

解得：x=37或r=—l（舍），

回当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

（2）因捐款后甲公司剩余的月利润仍高了乙公司月利润，

则此时利润差为.丫=-50.5+1800^+1850-依=-5（）./+（1800-0卜+1850,

函数图象对称轴为直线工=曳然，

IVA/

以只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，

团16.5〈当詈<17.5,解得：50<«<150,经检验此时满足捐款后甲公司剩余的月利润仍高广乙公司月利润，

IUU

故a的取值范围为50<a<15（）.

2.（2022・高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年x月x日，天气：阴；能见度：1.8千

米；11:40时，甲地"交叉潮"形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮〃，开始均

匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成"回头潮”.

（图1）（图2）（图3）

按上述信息，小红将“交叉潮〃形成后潮头与乙地质检的距离X（千米）与时间।（分钟）的函数关系用图3

表示.其中：“11:40时甲地咬叉潮，的潮头离乙地12千米”记为点A（0,12）,点8坐标为（加,0）,曲线BC可用

二次函数：s=-^t2+bt+c（b,c是常数）刻画.

（1）求〃，值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2）11:59时•，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与

潮头相遇？

⑶相遇后，小红土即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最

高速度为648千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶

2

段速度八%+玩（-30）,%是加速前的速度）

【答案】（1）根=30,0.4千米/分钟;

（2）小红5分钟后与潮头相遇；

⑶小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.

【解析】（1）11:40到⑵10的时间是30分钟，则8（30,0）,即阳=30,

12

潮头从甲地到乙地的速度4=0.4（千米/分钟）.

（2）因潮头的速度为0.4千米/分钟,则到11:59时,潮头已前进19x0.4=7.6（千米）,

此时潮头离乙地12-7.6=4.4（「米），设小红出发x分钟与潮头相遇，

于是得0.4x+0.48x=4.4,解得x=5,

所以小红5分钟后与潮头相遇.

—X3O2+3O/?+C=O

(3)把(30,0),C(55,15)代入s=」一产+加+c,125224

得L55XW5，解得力二一不，

125~5

1125

17?499

因此$=五产一文，—彳，乂%=0.4,则i，=«-30）+三，

1乙DN»JJ1J

22

当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即u=0.48时，—（r-30）+-=0.48,解得f=35,

1乙JJ

则当f=35时，s=W产-录”第=?

即从f=35分钟（12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米，分的

速度匀速追赶潮头,

设小红离乙地的距离为。,则。与时间，的函数关系式为与=0.4即+/?（d35）,

11731973

当7=35时，5,=5=y,解得:A=-y,因此有

I794I?73

最后潮头与小红相距1.8千米，即=1.8时，有亍产—只/一彳—又一彳=1.8,

解得“50,弓=20（舍去），

048x5

于是有f=5（）,小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时FT—=6（分钟），

0.4

因此共需要时间为6+50-30=26（分钟），

所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8T・米外共需26分钟.

考点二分式函数模型

【例2】（2023•河南新乡）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造•间

室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间

间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙

保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为工（单位：m）,三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单

位：m2）.

⑴求S关于工的函数关系式；

⑵求S的最大值，并求出此时x的值.

【答案】(1)5=-21—~72(^)()+916,工€(8,45())

⑵当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.

（900、7200

【解析】（1）由题设，得S=（x-8）——2=-2x---------+916,xe（8,450）.

\/%

（2）因为8cx<450,所以2x+122,2xxg=24（）,

当且仅当x=60时等号成立，从而SW676.

故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.

【一隅三反】

L（2022秋•重庆壁山•高一统考阶段练习）某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现,

A产品的月销售量/（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式，=10-一三（氏为常数，x>0）,

x+1

如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件

该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为（5+,元，设该产品的月利润为y万元，（注：利

润=销售收入•生产投入-促销费用）

⑴将），表示为上的函数；

（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

Q

【答案】（l）y=12—x--------x>0

x+\

（2）月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元.

【解析】（1）由题知，当％=0时，/=1,代入"10--"得"=9.

x+1

y=（5+2）-7-4f-K=/-x+2.

99

将1=10一3代入得）,=12-x-菖.

X+lx+]

所以，所求函数为丁=12-工----（x>0）.

x+l''

9

（2）由（1）知），=12—x--------,x>0.

x+1

因为xNO,所以x+121,

因为1+1+222、/（.1+1）2=6,

x+\V7x+l

L+1=^_

当且仅当｛x+1,即x=2时取等号.

[x>0

所以），=13/X+1+2]K13-6=7.

故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元.

2.（2023・湖北）围建•个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其

它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留•个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用

为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总

费用为V.

（E）将y表示为x的函数；

（（?）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【答案】（团）y=225x+%--36（9>0）

x

（E）当x=24rr^^修建围堵的总费用最小，最小总费用是10440元.

【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为am

则y=45x+180（x-2）+180-2a=225x+360a-360

360

由已知xa=360/^a=——，

X

所以y=225x+图1-36（Xx>0）

X

（2）vx>0./.225x+>27225x360:=10800

x

/.V=225x+-360>10440.当且仅当225乂=变1时，等号成立.

1

XX

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

3.（2023•山东临沂•高一校考期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动:

优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元.

例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130-5x［彳万卜130-5x2=120元，其中国表示不大

于i的最大整数.又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860-5x［的『40x1=750元.

⑴小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？

请说明理由；

(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不

超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

【答案】(1)一次文付好，理由见解析

⑵购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件

【解析】(1)分两次支付：支付额为

250-5x［鲁］+650-5x［詈卜40=230+600—40=790元；

一次支付：支付额为900—5x1券］—40x2=745元，

L60」

因为745V790,所以一次支付好；

(2)设购买x(xwN')件，平均价格为)，元/件.由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，

当141414时，不能享受每满400元再减40元的优惠

当仁工414时，y=^30x-5x=,7eN\

当工=2〃时，y=30-?x〃=27.5,

2n

当r=2〃+］H、f,)，=30x»=30--+————->27.5,

n〃十，2n+\22(2〃+l)，•

所以当1WXW14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件.

当15KxW19时，能享受每满400元再减40元的优惠

当％=2n时,y=30-—X/7--=27.5--,

2n2nn

当。=8,x=16时,)%n=25；

〃540，八575

田当r=〃?”十+1］口时)，，/y=30--2-〃-+--1x〃--2-〃--+-1=30---2---2-(；2-〃--+--1T)',

y随着〃的增大而增大，所以当〃=7,工=15时，％,“=25.

综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件

考点三分段函数模型

【例3】（2023•云南）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色

小镇经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料仪单位：千克八满足如下关系：

5（X2+3）,0<X<2

W）=50v，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已

l+x

知这种水果的市场售价大约15元/千克，旦销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）

⑴写单株利润/（.'•）（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

⑵当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

75.r-30x+225,0<x<2

【答案】⑴/（x）=《750x”与人；

---------30X,2<A<5

11+x

（2）4千克，480元•

5（X2+3）,0<X<2

【解析】（1）依题意/a）=l5W（x）-IOx-2Ox,又W（x）=，5（）t，

—,2<x<5

1+x

75x2-30x+225,0<x<2

750x、“八•

-----30x,2<x<5

.I+x

（2）当0WxK2时，/（X）=75X2-30X+225,开口向上，对称轴为工=?,

・•・/（x）在［of］上单调递减，在；,2上单调递增，

j--j-j

・・・/。）在［0,2］上的最大值为7（2）=465.

当2<X45时，/（A：）=780-30^yy-+1+.r'j<780-30X.（1+xl=480,

25

当且仅当L=l+x时，即x=4时等号成立.

\+x

0465<480,因当x=4时，/（同心=480.

团当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元.

【一隅三反】

1.（2023春•山东聊城）某企业为进•步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通

过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产%（干部）手机，需另外投入成本及（刈

10x2+100.r+800,0<x<50

万元，其中=10000“，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销

504x+------6450.x>50

x-2

售完.

⑴求2023年该款手机的利润关于年产量x的函数关系式；

⑵当年产量％为多少时.，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

10x2I400x1050,0vx<50

【答案】⑴)'=((.10000)"八八…

-4J+-------+6200,x之50

Ix-2)

(2)当年产量为52(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.

【解析】(1)当0cx<50时，y=5(X).v-(1Ox2+1OO.r+8()0)-250=-1Ox2+4()0.v-1050,

当工250时，V=500x-(504x+-6430)-230=—(4x+129^1)+6200,

-1Ox2+400x-1050,0<x<50

所以>(100001eg、“.

-4A.r+-----+6200,x>50

Ix-2)

(2)当0cx<50时，_y=-10.v24400x-1050=-10(x-20)2+2950,

团当20时，­=2950,

当x250时，

y=-^4x+-^^^+6200=-4(x-2)--^^+6I92<-2>/400(j0+6192=5792,

当且仅当4(x—2)=」"，即x=52时，加=5792,

因此当年产量为52(干部)时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.

2.(2022秋•新疆•高一乌鲁木齐市第70中校考期中)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和"，

降低能源消耗，建设资源节约型社会.日常生活中我们使用的上石。灯具就具有节能环保的作用，它环保不

含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗.经过市场调查，可知生产某种灯

需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W。)万元，在年产量不足6万件

1Q1

时，W("=#+x，在年产量不小于6万件时，W(x)=7x++37.每件产品售价为6元.假设该产品

每年的销量等于当年的产量.

⑴写山年利润LQ)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(江；年利润三年销售收入-固定成本-变

动成本）

（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

—X?+5x—3.0<x<6

2

【答案】⑴L"）

810

-x---+34,A>6

x

（2）年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元.

【解析】（1）由题可知，L（x）=6x-3-lV（x）,

6x-3-—x24-x,0<x<6—x~+5x—3,0<x<6

所以"％）=22