福建省福州市联盟校2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

福建省福州市联盟（高中）2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．函数在处的导数等于（

）A．2 B．1 C． D．2．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（

）A．6 B．8 C．10 D．153．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．4．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（

）A．24种 B．48种 C．96种 D．144种5．函数的极小值点为（

）A． B． C．0 D．16．某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（

）A．21 B．30 C．42 D．607．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（

）

A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种二、多选题9．已知，，则满足不等式的的值为（

）A．6 B．3 C．8 D．410．设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种.13．已知函数，则______.14．设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．四、解答题15．已知函数．(1)求的值；(2)求曲线在点处的切线方程．16．从这7个数字中取出4个数字，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？17．已知函数在处有极小值3．(1)求的解析式；(2)求在上的值域．18．实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.(1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？(2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？(3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？19．若对，且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．(1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；(2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；(3)若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证：．

参考答案1．A【详解】函数，求导得，所以.故选：A2．B【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示个不同整数.所以，根据分类加法计数原理，一共可表示个不同整数.故选：B.3．C【详解】因为，所以，令，得，即该运动员在时的瞬时速度为.故选：C.4．D【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法，再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，则不同的坐法有种坐法.故选：D.5．C【详解】，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为0．故选：C6．C【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法.故选：C7．A【详解】令，因为，所以，所以在上单调递减；又，所以，因此不等式可化为，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A8．D【详解】分4步进行分析：①对于区域，有7种颜色可选；②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；④对于区域、若与颜色相同，区域有5种颜色可选，若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，则区域、有种选择.综上所述，不同的涂色方案有种.故选：D.9．BD【详解】因为，所以，即，解得；又，，所以或4，故选：BD.10．AC【详解】由题意知与轴有三个交点，当时，，当时，，当时，，当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．故选：AC．11．ABC【详解】A.定义域为，，，故A正确.B.定义域为，，，故B正确.C.定义域为，，，故C正确.D.定义域为，，，当时，，故D错误.故选：ABC.12．30【详解】根据题意可知，第一步，派1名男队员共有种；第二步，派1名男队员共有种，所以由分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种.故答案为：13．【详解】令，由复合函数的求导公式，得，故.故答案为：.14．【详解】，设，则，所以，，所以，因为与的图象若恰有3组对称点，所以有三组解，可得即有三个解，令，即函数与的图象有3个不同的交点，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，所以，，所以.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）由，得，因为，所以，解得．（2）由上问得，所以，则，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．16．(1)720(2)420【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择；第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．（2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．17．(1)(2)【详解】（1）由题意得函数，则，由题意得，解得当时，，令，解得．则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，则是极小值点，符合题意，故．（2）由（1）知，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，则当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，而，故在上的值域为．18．(1)60(2)90(3)540【详解】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法，从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法，剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法，则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法；（2）6名教师按，，分为三个组，有种方法，则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法.（3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2，①6名教师按，，分为三个组有种方法，则6人分配到三所学校共有种分配方法；②6名教师按，，分为三个组有种分法，则6人分配到三所学校共有种分配方法；③6名教师平均分配到3所学校有种方法则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法19．(1)是，理由见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）函数是函数在区间上的1级控制函数.理由如下：因为，且，，所以，，所以，即成立，所以函数是函数在区间上的1级控制函数.（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，得，又，且在上单