2026唐山二模数学试题卷+答案

唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将

答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.i为虚数单位，则复数的虚部为

A.—1B.1C.—2D.2

2.已知向量a=(1,2),b=(4,m),若a//b,则m=

A.—2B.0C.2D.8

3.已知集合M={x|x²—4x<0},N={x|y=1n(x—2)},则M∩N=

A.(0,十∞)B.(2,4)C.(2,十∞)D.(0,4)

4.已知,则tanθ=

B.—1C.一√3D.—2

5.若1<b<2,则椭的离心率的取值范围为

C

BD

6.已知曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a=

A.BC.1D.-1

7.已知随机变量X～N(30,6²),随机变量Y～N(34,2²),则

A.P(X≤34)+P(Y>34)<1B.P(X≤34)<P(Y≤34)

C.P(X≤38)+P(Y>38)>1D.P(X≤38)<P(Y≤38)

高三唐山数学试卷第1页(共4页)

8.在等差数列{an}中，a₆=7a₁₃>0,记b=an+1an+2an+3,n∈N,S,为数列{b„}的前n

项和，当S,取得最大值时，n的值为

A.11B.12C.13D.14

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数,则

A.f(x)为偶函数B.f(x)在上单调递增

C.f(x)的最小正周期是πD.f(x)的一条对称轴为

10.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,,PA=AB=BC=1,

AD=2,PE=λPD(0≤λ≤1),则下列说法正确的是

A.当时，直线CE//平面PAB

B.当时，直线CE与PB所成角为

C.当时，直线CE与平面PAD所成角为

D.当时，三棱锥E—ACD的外接球表面积为4π

11.设A,B是一个随机试验中的两个事件，记P(A+B)=a,P(AB)=β,P(A)P(B)=y,

则下列说法正确的是

A.若γ≠0,则

B.若β=y,则P(A)+P(B)=a

C.P(AB)=1—α

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中x³的系数为

高三唐山数学试卷第2页(共4页)

13.已知直线l:y=kx—3与圆(x—9)²+y²=9相切，若直线l过抛物线C:y²=2px(p>0)的

焦点F,与C的准线相交于点A,则|AF|=

14.已知欧拉函数φ(n)(n∈N”)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整

数的个数，例如：φ(1)=1,φ(3)=2;记集合,n∈N*)中

元素个数为c,则数列{ncn}前n项和为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,点D是边AC中点，BD=2,且

(1)若a=2√3,求△ABC的面积；

(2)

,求b.

16.(15分)

甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为p(0<p<1),乙每局获胜的

概率为1—p,采用七局四胜制(当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束).

已知甲先赢了前两局.

(1)若,求：

(i)乙获胜的概率；

(ii)比赛打满七局的概率；

(2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量X,若P(X=6)>P(X=7),求p

的取值范围.

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17.(15分)

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面ACC₁A₁,侧面ACC₁A₁是边长为2

的菱形，∠ACC₁=60°,BC₁=2√2,AB=2.

(1)求证：A₁C⊥平面ABC₁;

(2)求平面ABC₁与平面BCC₁B₁夹角的余弦值.

18.(17分)

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁,F₂,一条过点P(1,4)且

斜率为k的直线与C的左、右两支分别交于M,N两点，与两条渐近线分别交于S,

T两点.

(1)若焦距为12,求C的方程；

(2)当k=-2时，若|MF₂|·|NF₂|=180,证明：MF₁Lx轴；

(3)若a=2,求的最大值.

19.(17分)

设函数f(x)=e—ax²—x-1,若f(x)有两个极值点x₁,x₂,且x₁<x₂.

(1)求a的取值范围；

(2)当x₂>0时，记x₃为f(x)最大零点.

(i)①证明：f(x)有两个零点；②证明

(ii)比较2x₂与x₃的大小，并给出证明.

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数学参考答案

一.选择题(单选):

1～4.ADBC5～8.CBDC

二.选择题(多选):

9.BD10.ACD11.ACD

三.填空题：

12.—2013.1014.

四.解答题：(若有其他解法，请参照给分)

15.解：

(1)在△BCD中，由正弦定理可得：

所以……………2分

因为2√3>2,所以,…………………4分

又因为点D是边AC中点，

所以△ABC的面积…………6分

(2)在△ABD中，由余弦定理可得：

c²=BD²+AD²-2×AD×BD×cos∠ADB=4+AD²+2×AD,8分

在△BCD中，由余弦定理可得：

a²=BD²+CD²-2×BD×CD×cos∠BDC=4+CD²-2×CD,………10分

又因为,解得b=4.………………13分

16.解：

(1)(i)乙获胜有两种情况：

①乙连胜四局，概率为

②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜，

概率为

所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率………………4分

高三唐山数学参考答案第1页(共4页)

(ii)记“比赛打满七局甲胜”为事件A,“比赛打满七局乙胜”为事件B,

所以比赛打满七局的概率为.…………8分

(2)P(X=6)=C₃p²(1—p)²+(1—p)⁴,10分

P(X=7)=Cp²(1—p)³+C³p(1—p)°,12分

由已知P(X=6)>P(X=7)整理得：

8p²—6p+1>0,

解得或,……………………14分

因为0<p<1,

所以

综上：1时，P(X=6)>P(X=7).…………………15分

17.解：

(1)因为侧面ACC₁A,是边长为2的菱形，∠ACC₁=60°,

所以AC₁=2,取A₁C₁中点D,连接AD,则AD⊥A₁C₁,

又因为AC//A₁C₁,所以AD⊥AC,………2分

又因为底面ABC⊥侧面ACC₁A,平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC,

ADC平面ACC₁A₁,所以AD⊥平面ABC.

又因为ABC平面ABC,所以AD⊥AB,4分

因为AB=AC₁=2,BC₁=2√2,满足AB²+AC²=BC²,所以AB⊥AC₁.

又因为AC₁∩AD=A,AC,ADC平面ACC₁A₁,

所以AB⊥平面ACC₁A₁,所以AB⊥A₁C,………………6分

又因为A₁C⊥AC,AB∩AC₁=A,所以A₁C⊥平面ABC₁.……………7分

(2)以A为坐标原点，AC,AD,AB所在直线的方向分别为

x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(0,0,2),C(2,0,0),

D(0,√3,0),C₁(1,√3,0),

AB=(0,0,2),AC₁=(1,√3,0),

Cc₁=(-1,√3,0),CB=(-2,0,2),9分

设平面ABC₁的一个法向量为m=(x₁,y₁,z₁),

平面BCC₁B₁的一个法向量为n=(x₂,y₂,2),则

高三唐山数学参考答案第2页(共4页)

,即,所以m=(√3,-1,0);…………………11分

,即,所以n=(√3,1,√3)………13分

设平面ABC₁与平面BCC₁B₁夹角为θ,则

所以平面ABC₁与平面BCC₁B₁夹角的余弦值为……15分

18.解：

(1)因为|F₁F₂|=2c=12,所以c²=9a²=36,解得a=22分

所以C的方程………………3分

(2)将y=—2x+6代,设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

整理得x²+6x—9—2a²=0,所以x₁+x₂=-6,x₁x₂=-9-2a²5分

因为|MF₂I=√(x₁—3a)²+y²,将y²=8x²-8a²代入，

整理得|MF₂|=a—3x₁,同理|NF₂|=3x₂-a6分

所以|MF₂I·|NF₂|=3a(x₁+x₂)—9x₁x₂—a²7分

整理得|MF₂I·|NF₂|=17a²—18a+81=180,解得a=3(负根舍去)8分

所以点F₁的坐标为(一9,0),点M的坐标为(一9,24),

所以MF₁⊥x轴9分

(3)将直线y-4=k(x—1)与曲线联立得：

(8—k²)x²+2k(k—4)x—k²+8k—48=010分

………………11分

………………12分

将直线y-4=k(x—1)与渐近线y=±2√2x分别联立得：

…………………13分

令4—k=t,整理得：………………15分

所以当t=k=2时，的最大值为√5,经检验符合题意……17分

高三唐山数学参考答案第3页(共4页)

19.解：

(1)f'(x)=e-2ax-1,令g(x)=f'(x),则g'(x)=eˣ—2a,………………2分

当a≤0时，g'(x)>0,此时g(x)在R上单调递增，不符合题意；

当a>0时，g(x)在(一∞,ln(2a))递减，(ln(2a),十∞)递增，

因为,g(2a)>0,

由零点存在性定理可知，只需g(ln(2a))=2a—2aln(2a)-1<0,………4分

记h(x)=2x—2xln(2x)-1(x>0),h'(x)=-21n(2x),

所以h(x)在递增，递减，

所以.……………6分

(2)(i)①易知f'(0)=0,由(1)可知，7分

当时，In(2a)<0,此时x₁<x₂=0,不符合题意；

当时，In(2a)>0,此时0=x₁<x₂,符合题意.

故f(x)在(一∞,0)递增，(0,x₂)递减，(x₂,+∞)递增，且f(0)=0,…9分

由单调性可知f(x₂)<0,又f(9a)>0,

由零点